习题62 3.设p>0,b>0,p,q均为正整数且q≥2.给定方程组 dt=1-kr-ry, dt=b(r'y'-y) 作变量变换,使其定常解(x(,y(4)=(,0)对应于新方程组的零解并讨论其稳定性 解:作变 1,=y,则原方程组变成为 d=m-(u+1yP3,=Ma+2-) 性部分的系数矩阵为 u 0 它的两个特征根-,-1均为负实数,因此由定理22知原方程组的驻定解(x(1,y()≡(,0)渐近稳 4.考虑下列两个方程组 (A+B())r, dr ar 其中A为常数值矩阵,B(t)为t≥0上的连续矩阵值函数,且满足条件 B(t)dt0,使得当t≥0时 (D)≤K, 因此由(3)知当t≥0时, r()lsKIzol+K/B()z()ldr 再由 Gronwall不等式得:当t≥0时, (O)< Klrolexp(K/IB()ldr)
1 习 题 6.2 3. 设 µ > 0, b > 0, p, q 均为正整数且 q ≥ 2. 给定方程组 dx dt = 1 − µx − x p y q , dy dt = b(x p y q − y), 作变量变换, 使其定常解 (x(t), y(t)) ≡ ( 1 µ , 0) 对应于新方程组的零解并讨论其稳定性. 解: 作变换u = x − 1 µ , v = y，则原方程组变成为 du dt = −µu − (u + 1 µ ) p v q , dv dt = b((u + 1 µ ) p v q − v), 其线性部分的系数矩阵为： A = −µ 0 0 −1 它的两个特征根−µ, −1均为负实数，因此由定理2.2知原方程组的驻定解(x(t), y(t)) ≡ ( 1 µ , 0)渐近稳 定。 4. 考虑下列两个方程组 dx dt = (A + B(t))x, (1) dx dt = Ax, (2) 其中 A 为常数值矩阵, B(t) 为 t ≥ 0 上的连续矩阵值函数, 且满足条件 Z +∞ 0 |B(t)|dt 0，使得当t ≥ 0时， |Φ(t)| ≤ K, 因此由(3)知当t ≥ 0时， |x(t)| ≤ K|x0| + K Z t 0 |B(τ )||x(τ )|dτ. 再由Gronwall不等式得：当t ≥ 0时， |x(t)| ≤ K|x0| exp(K Z t 0 |B(τ )|dτ )
由假设 ()ldt=K0时,它的特征根为相异实根 在这三种情况下它至少有一个特征根有正实部,因此不稳定
2 由假设， Z +∞ 0 |B(t)|dt = K 0时，它的特征根为相异实根 λ1,2 = βδ 2² ± 1 2 √ ∆. 在这三种情况下它至少有一个特征根有正实部，因此不稳定
习题63 7.设a,B,7,6都是正数,B-a60.利用 形如 B 的 Liapunov函数讨论方程组 dt --ar+Bf(v), dy =yr-of(y) 的零解的稳定性 Lyapunov函数 它是定正的,其全导数为 dt=2a(-az+Bf())+Bf(y)(2r-8f(y) - ona+2Byrf()-B8((y)) 由于其判别式△=422-4a6=4B(7-a6)<0,因此出为定负函数,由定理3知原方程的 零解渐近稳定
3 习 题 6.3 7. 设 α, β, γ, δ 都是正数, βγ − αδ 0. 利用 形如 V = 1 2 Ax2 + B Z y 0 f(u)du 的 Liapunov 函数讨论方程组 dx dt = −αx + βf(y), dy dt = γx − δf(y) 的零解的稳定性. 解: 构造Lyapunov函数 V (x, y) = 1 2 γx 2 + β Z y 0 f(u)du 它是定正的，其全导数为 dV dt = γx(−αx + βf(y)) + βf(y)(γx − δf(y)) = −αγx 2 + 2βγxf(y) − βδ(f(y))2 . 由于其判别式∆ = 4β 2 γ 2 − 4βγαδ = 4βγ(βγ − αδ) < 0, 因此dV dt 为定负函数, 由定理3.1知原方程的 零解渐近稳定