习题2.1 1.在方程(2.1.1)中如果没有假设g(y)≠0,讨论怎样用分离变量法来求解微分方程. 解:我们分下面两种情形来讨论方程(211)的解.如果g(y)=0,则y=v显然是方程(21.1) 的解.如果9()≠0.设y=y(x)在区间(a,b)上是满足初始条件p(x0)=y的方程(21.1)的解, dp(ar) h(r)g(s(a)), Va <a<b 由解的唯一性可知,在区间(a,b)上均有g(y(x)≠0.事实上,假设有∈(a,b),使得g(y2(20)= g(o)(常函数)是方程(21.1)的解.从而,函数p,v都是过点(20,9(o)的方程 (21.1)的解.由解的唯一性,y≡v三(io)故 g(yo)=9(9(x0)=9(y(io)=0. 这与假设g(3)≠0矛盾 由g(9(x))≠0可得, do(r) 故当x∈(a,b)时, m=广 故y=(x)是满足 h(t)dt, (eo)=yo, 的隐函数解 反之,若y=(x)是由上式所确定的隐函数,则y=以(x)是过(xo,y)的方程(21.1)的解.事 实上,由上式知,当 "-厂 两边关于x求导,得到 gv(e)) dr=h(a) dv(r) h(x)g((x)) 所以y=p(x)是方程(21.1)的解
1 习 题 2.1 1. 在方程 (2.1.1) 中如果没有假设 g(y) 6= 0, 讨论怎样用分离变量法来求解微分方程. 解: 我们分下面两种情形来讨论方程 (2.1.1) 的解. 如果 g(y0) = 0, 则y = y0显然是方程 (2.1.1) 的解. 如果 g(y0) 6= 0. 设 y = ϕ(x) 在区间 (a, b) 上是满足初始条件 ϕ(x0) = y0 的方程 (2.1.1) 的解， 则 dϕ(x) dx = h(x)g(ϕ(x)), ∀a < x < b. 由解的唯一性可知，在区间 (a, b) 上均有 g(ϕ(x)) 6= 0. 事实上，假设有 x˜0 ∈ (a, b)，使得 g(ϕ(˜x0)) = 0, 则 y = ψ(x) ≡ ϕ(˜x0) (常函数) 是方程 (2.1.1) 的解. 从而，函数 ϕ, ψ 都是过点 (˜x0, ϕ(˜x0)) 的方程 (2.1.1) 的解. 由解的唯一性, ϕ ≡ ψ ≡ ϕ(˜x0). 故 g(y0) = g(ϕ(x0)) = g(ϕ(˜x0)) = 0. 这与假设 g(y0) 6= 0 矛盾. 由 g(ϕ(x)) 6= 0 可得， 1 g(ϕ(x)) · dϕ(x) dx = h(x). 故当 x ∈ (a, b) 时， Z x x0 ϕ 0 (t) g(ϕ(t))dt = Z x x0 h(t)dt. 令 τ = ϕ(t), 则 Z ϕ(x) ϕ(x0) dτ g(τ ) dτ = Z x x0 h(t)dt, 故 y = ϕ(x) 是满足 Z y y0 dτ g(τ ) = Z x x0 h(t)dt, ϕ(x0) = y0, 的隐函数解. 反之, 若 y = ψ(x) 是由上式所确定的隐函数，则 y = ψ(x) 是过 (x0, y0) 的方程(2.1.1)的解. 事 实上, 由上式知，当 a < x < b 时, Z ψ(x) y0 dτ g(τ ) = Z x x0 h(t)dt. 两边关于 x 求导，得到 1 g(ψ(x)) · dψ(x) dx = h(x). 即 dψ(x) dx = h(x)g(ψ(x)). 所以 y = ψ(x) 是方程 (2.1.1) 的解
同理可证由等式 =厂M0M 所确定的函数y=v(x,C)都是方程(21.1)的解,其中C是任意常数 因此,在实际求解中除了求出使g(y)=0的y值以外,只要用g(y)除方程(211)的两边,然后 求不定积分 I h(a)dr, 2.试用分离变量法求下列一阶微分方程的解 (1)出=-5 (3)出=2xy (4)xy(1+x2)dy=(1+y2)dr (9)出 (12)出 (1)分离变量后得ydy=-dx,两边积分,得 因而原方程的通解为 x2+y2=C, 其中C=2C1为任意非负常数 (3)当y≠0时,分离变量后得 dr 两端积分得 In lyl 此外显然y=0也是方程的解.从而方程的通解为 其中C为任意常数 (4)分离变量后得 i 4g2=ri4 两端积分得 1ln(1+x2)=lml-11(1+x2)+C ln(1+x21+y2)=lnx2+2C1 从而方程的通解为 (1+x2)1+y2)=Cx2, 其中C=e201为任意正常数
2 同理可证由等式 Z y y0 dτ g(τ ) = Z x x0 h(t)dt + C, 所确定的函数 y = ψ(x, C) 都是方程 (2.1.1) 的解, 其中 C 是任意常数. 因此, 在实际求解中除了求出使 g(y) = 0 的 y 值以外, 只要用 g(y) 除方程 (2.1.1) 的两边，然后 求不定积分 Z dy g(y) = Z h(x)dx, 即可. 2. 试用分离变量法求下列一阶微分方程的解. (1) dy dx = − x y . (3) dy dx = 2xy. (4) xy(1 + x 2 )dy = (1 + y 2 )dx. (9) dy dx = √ 1−y2 √ 1−x2 . (12) dy dx = cos x 3y2+ey . 解: (1) 分离变量后得 ydy = −xdx, 两边积分, 得 y 2 2 = − x 2 2 + C1, 因而原方程的通解为 x 2 + y 2 = C, 其中 C = 2C1 为任意非负常数. (3) 当 y 6= 0 时, 分离变量后得 1 y dy = 2xdx, 两端积分得 ln |y| = x 2 + C1, 此外显然 y = 0 也是方程的解. 从而方程的通解为 y = Cex 2 , 其中 C 为任意常数. (4) 分离变量后得 ydy 1 + y 2 = dx x(1 + x2) , 两端积分得 1 2 ln(1 + y 2 ) = ln |x| − 1 2 ln(1 + x 2 ) + C1, 即 ln(1 + x 2 )(1 + y 2 ) = ln x 2 + 2C1, 从而方程的通解为 (1 + x 2 )(1 + y 2 ) = Cx2 , 其中 C = e 2C1 为任意正常数
(9)当y≠±1时,分离变量后得 两端积分得 arcsin = arcsin r + C 其中C为任意正常数,从而方程的通解为 其中C为任意常数.此外显然y=1和y=-1也是方程的解 (12)分离变量后得 (3y +e)dy= cos rdr 两端积分得方程的隐式通解 y +e=sinr+C 其中C为任意常数
3 (9) 当 y 6= ±1 时, 分离变量后得 dy p 1 − y 2 = dx √ 1 − x2 , 两端积分得 arcsin y = arcsin x + C, 其中 C 为任意正常数, 从而方程的通解为 y = sin(arcsin x + C), 其中 C 为任意常数. 此外显然 y = 1 和 y = −1 也是方程的解. (12) 分离变量后得 (3y 2 + e y )dy = cos xdx, 两端积分得方程的隐式通解 y 3 + e y = sin x + C, 其中 C 为任意常数
