第计六多元的数的教恨与连续 ★§1平面点集与多元函数 ★§2二元函数的极限 ☆3二元数的连续性
第十六章 多元函数的极限与连续 §2二元函数的极限 §3二元函数的连续性 §1 平面点集与多元函数
第十章多元出数的与连续 了“““““了““““““了“了 §1平面点集与多元函数
第十六章 多元函数的极限与连续 §1 平面点集与多元函数
●●●● 一、平面点集 ●●● ●●●● ●●● ●● 1.邻域:以点X=(x0,y)为中心,以6为半径 的圆内部点的全体称为X的δ邻域 记作∪(X0,) 即U(X0,6)={(x,y)|(x-x)2+(y-y)2<δ ={X=(x,y)‖X-X08} 记U(X2δ)=U(X,δ)-{X},称为X0的 去心δ邻域.如图
一、平面点集 1. 邻域: 以点 X0 = (x0 , y0 )为中心, 以 为半径 的圆内部点的全体称为 X0 的 邻域. 即 (X0 , ) ={( , ) | ( ) ( ) } 2 0 2 x y x − x0 + y − y { ( , ) | || || } = X = x y X − X0 记 Û (X0 , ) = U (X0 , ) − { X0 }, 称为 X0 的 去心 邻域. 如图( , ), 记作 X0
●●●● ●●● ●●●● ●●●● ●● U(X02) U(X02) 当不关心邻域半径时,简记为U(X)和U(X
X0 X0 U (X0 , ) Û (X0 , ) 当不关心邻域半径时, 简记为U (X0 )和 Û (X0 )
●●●● ●●● ●●● 2.内点:设E是一平面点集,X=(x,y)∈E,F 若存在邻域U(X,O)E,则称X为 E的内点 E的全体内点所成集合称为E的内部,记为E0 比如z x2-y2的定义域D为单位圆盘, D={(x,y)x2+y2≤1}如图
2. 内点: 设 E 是一平面点集, X0 = (x0 , y0 )E, 若存在邻域 U(X0 , ) E , 则称 X0为 E 的内点. E 的全体内点所成集合称为 E 的内部, 记为E0 . 1 , 比如z = − x 2 − y 2的定义域D为单位圆盘 D = {(x, y)| x 2 + y 2 1 } 如图
●●●● ●●● ●●●● ●●●● ●● x2+y2=1 O D 三易知,圆内部的每一点都是D的内点.但 圆周主的点不是D的内点
x y o x 2 + y 2 = 1 1 1 D 易知, 圆内部的每一点都是 D 的内点. 但 圆周上的点不是 D 的内点
●●●● ●●● ●●●● ●●● 又如z=ln(x+y)的定义域D={x,y)x+y>0}2 易见,直线上方 每一点都是D的内点 即D=D°,但直线上 x+y=0 D 的点不是D的内点
x + y = 0 x y 0 如图 D 又如 z = ln (x+y)的定义域 D = {(x, y)| x+y > 0} 易见, 直线上方 每一点都是D的内点. 即 D=D , 但直线上 的点不是D的内点
●●● ●●●● 3.边界点:设E是一平面点集,X0=(x02yo)是平面 上一个点若X的任何邻域U(X0,) 内既有属于E的点,又有不属于E的点 则称X为E的边界点 E的全体边界点所成集合称为E的边界.记作OE 如,例1中定义域D的边界是直线x+y=0 上点的全体.例2中定义域D的边界是单位圆 周x2+y2=1上的点的全体.如图
3. 边界点: 设 E 是一平面点集, X0 = (x0 , y0 )是平面 上一个点. 若 X0的任何邻域 U(X0 , ) 内既有属于 E 的点, 又有不属于 E的点, 则称 X0为 E 的边界点. E 的全体边界点所成集合称为 E 的边界. 记作 E. 如, 例1中定义域 D 的边界是直线 x +y = 0 上点的全体. 例2中定义域 D 的边界是单位圆 周 x 2 + y 2 = 1上的点的全体. 如图
●●●● ●●● ●●●● ●●●● ●● O X x+y=0 E的边界点可以是E中的点 也可以不是E中的点
x y o 1 1 x 2 + y 2 = 1 D x + y = 0 x y o E 的边界点可以是 E 中的点, 也可以不是 E 中的点. D
●●●● ●●● ●●●● 4.开集 ●●● ●● 设E是一平面点集,若E中每一点都是E的内点 即EcE0,则称E是一个开集.规定,⑧,R2为开集 由于总有E0cE,因此,EcE台E=E0 故也可说,若E=EO,则称E是一个开集 比如,例1中D是开集,(D=D0),而例2中D不是 开集
4. 开集 设 E 是一平面点集, 若 E 中每一点都是 E 的内点. 即 E E0 , 则称 E 是一个开集. 由于总有 E0 E, 因此, E E0 E = E0 故也可说, 比如, 例1中 D 是开集, (D = D0 ), 而例2中 D 不是 开集. 若E = E0 , 则称 E 是一个开集. 规定, , R2为开集
