《泛函分析》课程教学资源：第4讲 完备性与纲定理

第4讲完备性与纲定理 教学目的:掌摄完备空间的概念,完备空间的基本性质并认识完备 性在分析中的重要意义。 授课要点: 1、完备性的定义和常见空间的完备性。 2、完备空间的基本性质。 纲的概念及初步应用。 完备化定理:任何度量空间都可以完备化 在实数理论中我们知道著名的 Cauchy准则,即实数序列是收敛的当且仅当它是满足 Cauchy条件的.当我们把视线从实数域转到一般的度量空间时我们会提出类似的问题,度 量空间也有序列的收敛概念,那么是否也有相应的 Cauchy准则呢?实际上只须看一下有理 数域Q的情况,其中的 Cauchy序列不一定都收敛于Q中的元,所以 Cauchy准则对于Q并 不成立.造成这一现象的原因并不是序列的分析性质不好,而在于空间中的点“不够多”, 以至于存在“孔洞 定义1设(X,d)是度量空间,xn∈X,n≥1 (1)若limd(xn,xn)=0,称{xn}为 Cauchy序列 (2)若X中的每个 Cauchy序列{xn}是收敛序列,即彐x∈X,使得limd(xn,x)=0, 则称X是完备的 由三角不等式容易得出每个收敛序列一定是 Cauchy序列,反之却未必 完备的线性赋范空间称为 Banach空间,完备的内积空间称为 Hilbert空间. 例1空间Pa,b]不完备 Pa,b]是区间[a,b上实(或复)系数多项式的全体.对于每个p∈Pa,b],定义 ‖p| maxp() 由定义可直接验证,P[a,b]是线性赋范空间,但Pa,b不是完备的.例如取 Pn()=1+

第 4 讲 完备性与纲定理 教学目的：掌握完备空间的概念，完备空间的基本性质并认识完备 性在分析中的重要意义。 授课要点： 1、 完备性的定义和常见空间的完备性。 2、 完备空间的基本性质。 3、 纲的概念及初步应用。 4、 完备化定理：任何度量空间都可以完备化。 在实数理论中我们知道著名的 Cauchy 准则，即实数序列是收敛的当且仅当它是满足 Cauchy 条件的．当我们把视线从实数域转到一般的度量空间时我们会提出类似的问题．度 量空间也有序列的收敛概念，那么是否也有相应的 Cauchy 准则呢? 实际上只须看一下有理 数域Q 的情况，其中的 Cauchy 序列不一定都收敛于Q 中的元，所以 Cauchy 准则对于Q 并 不成立．造成这一现象的原因并不是序列的分析性质不好，而在于空间中的点“不够多”， 以至于存在“孔洞”． 定义 1 设(X ,d) 是度量空间， xn ∈ X ， n ≥1． （1）若 lim ( , ) 0 , = →∞ m n m n d x x ，称{ }n x 为 Cauchy 序列． （2）若 X 中的每个 Cauchy 序列{ }n x 是收敛序列，即∃x∈ X ，使得lim ( , ) = 0 →∞ d x x n n ， 则称 X 是完备的． 由三角不等式容易得出每个收敛序列一定是 Cauchy 序列，反之却未必． 完备的线性赋范空间称为 Banach 空间，完备的内积空间称为 Hilbert 空间． 例 1 空间 P[a,b]不完备． P[a,b]是区间[a,b]上实（或复）系数多项式的全体．对于每个 p∈ P[a,b]，定义 || p || max | p(t) | a≤t≤b = ． 由定义可直接验证， P[a,b]是线性赋范空间，但 P[a,b]不是完备的．例如取 1! ! ( ) 1 n t t p t n n = + +"+

显然pn∈Pa,b].若记c=max{ab},则m>n Il pm-Pn ll=maxI p(1)-p(o) max> f=/I →0,m≥n→>∞ 故pn是 Cauchy序列. 我们知道 max Ipn()-e'Fmax/st\s C →0.n→∞. 但ePa,b].同时注意到,Pab]上的范数收敛相当于在[a,b]上的一致收敛,从而点点 收敛.于是极限函数是惟一的,pn不可能有其他极限,故Pab不完备 例2C[a,b]完备 设{xn}是Cab中的 Cauchy序列.VE>0,存在n0,当m,n≥n0时,‖ 时vt∈[a,b lxn()-xn(01)图‖xn-xn‖kE, (1) 于是{xn()}是 Cauchy数列.故vt∈[a,b]有x(m)使得 xn(1)→x(D) 在不等式(1)中固定n,令m→∞,则得到 x0(1)-xn(1)E,t∈[a,b (2) 现在取n≥n,由x(1)在[a,b]上的连续性,取>0,使得|41-t2kδ时 xn(1)-xn(2)kE,则 x(1)-x(2)|≤|x0(41)-xn(41)+|xn(41)-xn(12)+|xn(12)-x0(12)k3E 故x连续,即x∈CIab].不等式(2)中的不等式关于t∈[ab]是一致的,这说明 Ix, - ls 从而以Ca,b]中的范数 limx=x0 Ca,b是完备的 例3(≤p<∞完备

显然 p P[a,b] n ∈ . 若记c = max{| a |,| b |}，则∀m > n ， || p p || max | p (t) p (t)| m n a t b m − n = − ≤ ≤ ∑ ∑= + ≤ ≤ = + ≤ ≤ = ≤ m i n i a t b m i n i a t b i t i t 1 1 ! max ! max 1 0, . ! m i i n c m n i = + ≤ → ≥ →∞ ∑ 故 n p 是 Cauchy 序列． 我们知道 1 1 max | ( ) | max 0, . ! ! i i m t n aib aib in in t c pt e n i i ∞ ≤≤ ≤≤ =+ =+ − = ≤ → →∞ ∑ ∑ 但 e P[a,b] t ∈ ．同时注意到， P[a,b]上的范数收敛相当于在[a,b]上的一致收敛，从而点点 收敛．于是极限函数是惟一的， n p 不可能有其他极限，故 P[a,b]不完备． 例 2 ] C[a,b 完备． 设{ }n x 是C[a,b] 中的 Cauchy 序列．∀ε > 0 ，存在 0 n ，当 0 m,n ≥ n 时，|| − || 0 ，使得 | t1 − t2 |< δ 时 | ( ) − ( )|< ε 1 2 x t x t n n ，则 01 02 01 1 1 2 2 02 | ( ) ( )| | ( ) ( )| | ( ) ( )| | ( ) ( )| 3 n nn n xt xt xt xt xt xt xt xt − ≤ − + − + −< ε ． 故 0 x 连续，即 [ , ] 0 x ∈C a b ．不等式（2）中的不等式关于 t ab ∈[,] 是一致的，这说明 || − ||≤ ε 0 x x n ， 从而以C[a,b] 中的范数 0 lim x x n n = →∞ ． C[a,b] 是完备的． 例 3 p L (1≤ p < ∞)完备．

设{n}是L中的 Cauchy序列.ⅤE>0,存在n,使得当m,n≥n0时 Ifm-J吧=1Jm0)-d0,令Em(G)={t∫n()-fn(t)≥},则 a°H(Em(a)≤|Jm(0)-f(o)d ≤n(0-f、0)rd≤ 于是f在依测度收敛意义下是 Cauchy序列.由实变函数的知识,存在可测函数∫,使 得∫依测度收敛于∫ 根据 Riesz定理,有子序列{f}ae.收敛于f·现在我们证明依照L中的范数 f→∫·实际上,当n,≥m时 另一方面,固定n4,当n1→∞时 f2()-fn()|→)f()-fm(),ae. 由 Fatou引理, JoIS(- (Pdus lim Joln, ()-f,oPduse' (3) 故∫一∈L,L是线性空间,从而f=(f-fn)+fm∈D 不等式(3)还说明‖f-fl≤E(n≥n)·注意{n}是 Cauchy序列,只要n≥n, n≥n0 Jnf1斗f-fl+J-fl2<2E 故 limf,=∫ 证毕 L中序列的依范数收敛,通常称为p方平均收敛.由证明还可知道,p方平均收敛的 序列必定依测度收敛,反之则未必 验证度量空间的完备性通常都要从给定的 Cauchy序列找出一个“目标元”(在例2中 是x点点收敛的极限函数,在例3中是fn的依测度收敛的极限函数),而后验证此“目标元” 属于该空间,并且在空间度量意义下,该元是所给 Cauchy序列的极限. 思考题 验证空间L,P(1≤p≤∞),c0,c的完备性

设{ }n f 是 p L 中的 Cauchy 序列．∀ε > 0 ，存在 0 n ，使得当 0 mn n , ≥ 时 p p m n p m n p f f f t f t µ ε Ω − = − 0 ，令 E (σ ) ={t,| f (t) − f (t) |≥σ} mn m n ，则 σ µ σ µ σ ( ( )) | ( ) ( ) | d p E mn m n p E f t f t ∫ ≤ − p p m n f t f t µ ε Ω ≤ − < ∫ | ( ) ( ) | d ． 于是 n f 在依测度收敛意义下是 Cauchy 序列．由实变函数的知识，存在可测函数 f ，使 得 n f 依测度收敛于 f ． 根据 Riesz 定理，有子序列 { } nk f a.e. 收敛于 f ．现在我们证明依照 p L 中的范数 f f nk → ．实际上，当 0 n ,n n i k ≥ 时 p p ni nk p || f − f || < ε ． 另一方面，固定 k n ，当 ni → ∞ 时， p n p n n f t f t f t f t i k k | ( ) − ( ) | →| ( ) − ( )| ， a.e. 由 Fatou 引理， | ( ) ( ) | d lim | ( ) ( ) | d k ik i p pp n nn n ft f t f t f t µ µ ε Ω Ω →∞ −≤ −≤ ∫ ∫ ． （3） 故 p f f n L k − ∈ ， p L 是线性空间，从而 ( ) k k p n n f = ff f L − +∈ ． 不等式（3）还说明 − ≤ ε nk p || f f || ( ) 0 n n k ≥ ．注意{ }n f 是 Cauchy 序列，只要 0 n ≥ n ， 0 n n k ≥ ，则 || − || ≤|| − || + || − || < 2ε n p n n p n p f f f f f f k k ． 故 f f n n = →∞ lim ． 证毕． p L 中序列的依范数收敛，通常称为 p 方平均收敛．由证明还可知道， p 方平均收敛的 序列必定依测度收敛，反之则未必． 验证度量空间的完备性通常都要从给定的 Cauchy 序列找出一个“目标元”（在例 2 中 是 n x 点点收敛的极限函数，在例 3 中是 n f 的依测度收敛的极限函数），而后验证此“目标元” 属于该空间，并且在空间度量意义下，该元是所给 Cauchy 序列的极限． 思考题 验证空间 ∞ L ， p l (1≤ p ≤ ∞)， 0 c c , 的完备性．

在数学分析中我们知道,仅在有理数域中考虑极限运算会有不可想象的困难,这就是要 用实数域取代它的原因。由此想见,较之一般的度量空间,完备空间具有更为优良的性 质.下面让我们考察这方面的问题. 定理1设X是完备度量空间,FcX是一列非空递缩闭集,即FF1(m≥1)并且 diam→0,则∩F≠⑧ 证明取xn∈Fn,n≥1,由F=F知道xn∈F,Vm≥n.从而d(xn,x)≤damF→0 这说明{}是 Cauchy序列 X是完备的,故有x∈X, limx=x.已经知道xn∈Fn(m≥n),由于F是闭集,故 有x∈Fn(n≥1),或者x∈∩Fn 线性赋范空间x中的一个向量级数∑x称为是可和(收敛)的,若存在x∈X,使得 部分和序列,依X的范数收敛于x,Sn→S,此时记x=∑x·∑x称为绝对可和 的,若∑‖x‖0,存在n,使得 n≥n时,‖sn-xk三.另一方面,{sn}为 Cauchy序列,只要n足够大,当nn≥m时

在数学分析中我们知道，仅在有理数域中考虑极限运算会有不可想象的困难，这就是要 用实数域取代它的原因。 由此想见，较之一般的度量空间， 完备空间具有更为优良的性 质．下面让我们考察这方面的问题． 定理 1 设 X 是完备度量空间， Fn ⊂ X 是一列非空递缩闭集，即 Fn ⊃ Fn+1 (n ≥1) 并且 diamFn → 0 ，则 ≠ ∅ ∞ = n n F 1 ∩ ． 证明 取 n Fn x ∈ ，n ≥1，由 Fn ⊃ Fn+1知道 m Fn x ∈ ，∀m ≥ n．从而 ( , ) ≤ diam → 0 m n Fn d x x ． 这说明{ }n x 是 Cauchy 序列． X 是完备的，故有 x∈ X ， x x n n = →∞ lim ．已经知道 m Fn x ∈ (m ≥ n) ，由于 Fn 是闭集，故 有 Fn x∈ (n ≥1) ，或者 n n x F ∞ = ∈ 1 ∩ ． 线性赋范空间 X 中的一个向量级数 ∑ ∞ i=1 i x 称为是可和（收敛）的，若存在 x∈ X ，使得 部分和序列 ∑= = n i n i s x 1 依 X 的范数收敛于 x ， n s s → ，此时记 ∑ ∞ = = i 1 i x x ．∑ ∞ i=1 i x 称为绝对可和 的，若 ∑ 0 ，存在 0 n ，使得 0 n n i ≥ 时， 2 || || ε s − x < ni ．另一方面，{ }n s 为 Cauchy 序列，只要 0 n 足够大，当 0 n,n n i ≥ 时

lsn-snk5.此时 Ism, -xsls, -sl+, -xka s.→x,X是完备的 思考题 你能否建立一些关于向量级数收敛的比较判别法?试总结之。 为了叙述完备空间的另一个重要性质,让我们先来介绍稠密性和Bare纲的概念 定义2设X是度量空间,EcX (1)称E在X中稠密,若E=X (2)称E在X中无处稠密,若(E)=② (3)称E是第一纲的,若E可以写成至多可数多个无处稠密集的并 X中不是第一纲的集合称为是第二纲的 (4)称空间X具有 Baire性质,若X中可数多个稠密开集之交仍在X中稠密 例如,有理数的全体Q在整个实数域R中是稠密的.而 Cantor的三分点集E在[01中 是无处稠密的 下面两个命题可以将这些抽象的概念“直观化”一些 命题1设X是度量空间,EcX,则以下条件等价 (1)E在X中稠密 (2)对于X中任一非空开集U,E∩U≠ (3)对于任何x∈X,存在xn∈X,使得xn→x 证明(1)→(2)设U是X中的非空开集.由于E=EUE=X,要么有E∩U≠, 此时结论为真.要么E∩U≠⑧.此时由E的性质(第二讲命题4(3)),存在xn∈E,xn≠x x→x.显然必有某个xn∈U,所以也有E∩U≠② (2)→(3)Wx∈X,取Un=O(x,rn),rn→0,由(2)中条件,彐xn∈Un∩E, 于是xn→x.(3)→(1)是明显的 命题2设X是度量空间,EcX,则以下条件等价: (1)E在X中无处稠密 (2)E在X中无处稠密 (3)对于X中任一非空开球U,存在非空开球VcU,使得V∩E=⑧ (4)(E)在X中稠密 证明(1)与(2)的等价性直接由定义得到 (1)→(3)若E在X中无处稠密,即(E)°=②,则对于任何开球U,U\E≠⑧.注

2 || || ε sn − sn < i ．此时 || s − x ||≤|| s − s || + || s − x ||< ε n n ni ni ， 即 s x n → ， X 是完备的． 思考题 你能否建立一些关于向量级数收敛的比较判别法？试总结之。 为了叙述完备空间的另一个重要性质，让我们先来介绍稠密性和 Baire 纲的概念． 定义 2 设 X 是度量空间， E ⊂ X ． （1）称 E 在 X 中稠密，若 E ⊃ X ． （2）称 E 在 X 中无处稠密，若 = ∅ 0 (E) ． （3）称 E 是第一纲的，若 E 可以写成至多可数多个无处稠密集的并． X 中不是第一纲的集合称为是第二纲的． （4）称空间 X 具有 Baire 性质，若 X 中可数多个稠密开集之交仍在 X 中稠密． 例如，有理数的全体Q 在整个实数域 R 中是稠密的．而 Cantor 的三分点集 E 在[0,1]中 是无处稠密的． 下面两个命题可以将这些抽象的概念“直观化”一些． 命题 1 设 X 是度量空间， E ⊂ X ，则以下条件等价： （1） E 在 X 中稠密． （2）对于 X 中任一非空开集U ， E ∩U ≠ ∅ ． （3）对于任何 x ∈ X ，存在 xn ∈ X ，使得 x x n → ． 证明 （1）⇒（2） 设U 是 X 中的非空开集．由于 E = E ∪ E′ ⊃ X ，要么有 E ∩U ≠ ∅ ， 此时结论为真．要么 E′∩U ≠ ∅ ．此时由 E 的性质（第二讲命题 4（3）），存在 xn ∈ E ，x x n ≠ ， x x n → ．显然必有某个 xn ∈U ，所以也有 E ∩U ≠ ∅ ． （2）⇒ （3） ∀x ∈ X ，取 ( , ) n n U = O x r ， rn → 0 ，由（2）中条件，∃xn ∈Un ∩ E ， 于是 x x n → ．（3）⇒ （1）是明显的． 命题 2 设 X 是度量空间， E ⊂ X ，则以下条件等价： （1） E 在 X 中无处稠密． （2） E 在 X 中无处稠密． （3）对于 X 中任一非空开球U ，存在非空开球V ⊂U ，使得V ∩ E = ∅ ． （4） c (E) 在 X 中稠密． 证明 （1）与（2）的等价性直接由定义得到． （1）⇒（3） 若 E 在 X 中无处稠密，即 = ∅ 0 (E) ，则对于任何开球U ，U \ E ≠ ∅ ．注

意U\E是开集,从而存在开球VcU\E,使得∩E= (3)→(1)若(E)°≠⑧,取U=(E)°,则对于任何开球VcU,VcE,由命题1 (2)的证明知V∩E≠⑧,此与(3)矛盾 (1)→(4)记B=(E),若B≠X,则E=X\BX\B≠⑧.后者是开集,故 (E)≠②,从而E不是无处稠密的.矛盾 (4)→(2)(E)在X中稠密,则E不含内点,即(E)°= 定理3 (1)完备度量空间具有Bare性质 (2)具有Bare性质的空间本身是第二纲集 证明1°设X是完备的,B是X中一列稠密开集,只须证明对于X中任一开球U, B1∩U≠ B在X中稠密,故B1∩U≠②,此时x1∈X,r>0,使得O(x1,n)cB∩U.于是闭 球Sx1,|cB1∩U B2在x中稠密,故B∩o(x,|≠8.从而玉∈x和>0(不妨设<|,使得 0A=0()==D,此时用球号=x 如此做下去,一般地得到闭球 xn|co(xn)<B∩U,n≥1, 显然序列3,1,n21满足定理1的条件,实际上,Sxn 并且 In<in-l X完备,所以彐x∈X xens,n)=ox,)=B.∩U 故∩Bn在X中稠密 若x=UEn,其中E,是无处稠密集,显然X=UE,令B=X\E,则B是开集 并且由命题2(4),B在X中稠密.现在

意U \ E 是开集，从而存在开球V ⊂ U \ E ，使得V ∩ E = ∅ ． （3）⇒ （1） 若 ≠ ∅ 0 (E) ，取 0 U = (E) ，则对于任何开球V ⊂U ，V ⊂ E ，由命题 1 （1）⇒ （2）的证明知V ∩ E ≠ ∅ ，此与（3）矛盾． （1） ⇒ （4） 记 c B = (E) ，若 B ≠ X ，则 E = X \ B ⊃ X \ B ≠ ∅ ．后者是开集，故 0 ( ) E ≠ ∅ ，从而 E 不是无处稠密的．矛盾． （4）⇒ （2） c (E) 在 X 中稠密，则 E 不含内点，即 = ∅ 0 (E) ． 定理 3 （1）完备度量空间具有 Baire 性质． （2）具有 Baire 性质的空间本身是第二纲集． 证明 1°设 X 是完备的， Bi 是 X 中一列稠密开集，只须证明对于 X 中任一开球U ， ≠ ∅ ∞ = Bi U i ∩ ∩ 1 ． B1 在 X 中稠密，故 Bi ∩U ≠ ∅ ．此时∃x1 ∈ X ， 0 r1 > ，使得O(x1 ,r1 ) ⊂ B1 ∩U ．于是闭 球 B U r S x 1 ∩ 1 1 2 ,  ⊂      ． B2 在 X 中稠密，故  ≠ ∅      2 , 1 2 1 r B ∩O x ．从而 ∃x2 ∈ X 和 0 r2 >       < 2 1 2 r 不妨设r ，使得 B U r O x r B O x  ⊂ ⊂      ⊂ 2 1 2 2 2 1 2 ( , ) ∩ , ，此时闭球 ," 2 , 2 , 1 1 2 2        ⊂      r S x r S x ． 如此做下去，一般地得到闭球 O x r B U r S x n n n n n  ⊂ ⊂ ∩      ( , ) 2 , ， n ≥1, 显然序列         2 , n n r S x ， n ≥1满足定理 1 的条件，实际上， 1 1 , , 2 2 n n n n r r Sx Sx − −       ⊂    并且 1 1 2 0. 22 2 n n n r r r − ≤ ≤≤ → " X 完备，所以∃x∈ X ， O x r B U r x S x n n n n n n n n ∩ ∩ ∩ ∩ ∞ = ∞ = ∞ =  ⊂ ⊂      ∈ 1 1 1 ( , ) 2 , 故 n n B ∞ =1 ∩ 在 X 中稠密． 2° 若 n n X E ∞ = = 1 ∪ ，其中 En 是无处稠密集，显然 n n X E ∞ = = 1 ∪ ．令 Bn X En = \ ，则 Bn 是开集 并且由命题 2（4）， Bn 在 X 中稠密．现在

O=X\UE,=n(X\E=nB 这与X具有Bare性质矛盾,所以X只能是第二纲集 定理证毕 下面让我们介绍一些关于映射的记号和基本知识 设X,Y是任意点集,T是从X到Y中的映射(算子),AcX,BcY,今后记 T(A)={y∈y;y=Tx,wx∈A}, T(B)={x∈xy=Tx,vy∈B} 称T(A)是集合A的像,T-(B)是集合B的原像 定义3设X,Y是两个度量空间,T:X→Y是一个映射 (1)称T是在x∈X连续的,若对于任何xn∈X,xn→x,则Txn→Tx (2)若T在X的每一点连续,称T在X上连续 T在x连续的定义也可以用邻域的说法来表述,即T在x连续当且仅当对于Tx0的任 邻域O(Tx)存在x的邻域O(x)使得TO(x)cO(1x).甚至于可以用E-δ语言来叙述连 续性,它们彼此是等价的.读者不妨作为练习直接验证之 定理4设X,Y是度量空间,T:X→Y是一映射 (1)T在X上连续当且仅当对于任一开集BcY,T(B)是X中的开集 (2)上面开集换为闭集结论仍成立 证明分别以O(x),O(x)表示x在X中和Tx在y中的邻域,它们是包含该点的任 开集 1°设T在X上连续,BcY为开集.对于任意的x∈T(B),由于y=Tx∈B,存在 O(Tx)∈B.T在x连续,从而有O(x),T(Ox)cO(x)cB,于是O(x)∈T-(B),T(B) 为开集 反之,若对于任意开集BcY,T-(B)开,则对于任意的x∈X和Tx的邻域O(Tx), O(x)=T(O(Tx)为开集.显然x∈O(x),T(0(x)cO(x),故T在x连续,从而在X上连 续 2°从等式7(Y\B)=X\7(B)(VBcY)即得之 定义4设X,Y是线性空间,T:X→Y是一映射 (1)称T为线性映射或算子,若ⅵx,x2∈X,a,B∈

n n n n n n X E X E B ∞ = ∞ = ∞ = ∅ = = = 1 1 1 \ ∪ ∩( \ ) ∩ ， 这与 X 具有 Baire 性质矛盾，所以 X 只能是第二纲集． 定理证毕． 下面让我们介绍一些关于映射的记号和基本知识． 设 X ，Y 是任意点集，T 是从 X 到 Y 中的映射（算子）， A ⊂ X ， B ⊂ Y ，今后记 T(A) ={y∈Y; y = Tx,∀x∈ A}， ( ) { ; , } 1 T B = x∈ X y = Tx ∀y∈ B − ． 称T(A) 是集合 A 的像， ( ) 1 T B − 是集合 B 的原像． 定义 3 设 X ，Y 是两个度量空间，T : X →Y 是一个映射． （1）称T 是在 x0 ∈ X 连续的，若对于任何 xn ∈ X ， 0 x x n → ，则Txn → Tx0 ． （2）若T 在 X 的每一点连续，称T 在 X 上连续． T 在 0 x 连续的定义也可以用邻域的说法来表述，即T 在 0 x 连续当且仅当对于Tx0 的任一 邻域 ( ) O Tx0 存在 0 x 的邻域 ( ) 0 O x 使得 ( ( )) ( ) 0 O Tx0 T O x ⊂ ．甚至于可以用ε −δ 语言来叙述连 续性，它们彼此是等价的．读者不妨作为练习直接验证之． 定理 4 设 X ，Y 是度量空间，T : X →Y 是一映射． （1）T 在 X 上连续当且仅当对于任一开集 B ⊂ Y ， ( ) 1 T B − 是 X 中的开集． （2）上面开集换为闭集结论仍成立． 证 明 分别以O(x) ，O(Tx) 表示 x 在 X 中和Tx 在Y 中的邻域，它们是包含该点的任一 开集． 1°设T 在 X 上连续， B ⊂ Y 为开集．对于任意的 ( ) 1 x T B − ∈ ，由于 y = Tx∈ B ，存在 O(Tx) ⊂ B ．T 在 x 连续，从而有O(x) ，T (O(x)) ⊂ O(Tx) ⊂ B ，于是 ( ) ( ) 1 O x T B − ∈ ， ( ) 1 T B − 为开集． 反之，若对于任意开集 B ⊂ Y ， ( ) 1 T B − 开，则对于任意的 x ∈ X 和Tx 的邻域O(Tx) ， ( ) ( ( )) 1 O x T O Tx − = 为开集．显然 x ∈O(x) ，T (O(x)) ⊂ O(Tx) ，故T 在 x 连续，从而在 X 上连 续． 2°从等式 ( \ ) \ ( ) 1 1 T Y B X T B − − = (∀B ⊂ Y) 即得之． 定义 4 设 X ，Y 是线性空间，T : X →Y 是一映射． （1）称T 为线性映射或算子，若∀x1 , x2 ∈ X ，α,β ∈Φ

T(a+ Rx2=alx,+Blx (2)当Y=①时,(1)中的线性算子T称为X上的线性泛函 关于映射(算子),以下事实应该注意: 1°对于T:x→Y,我们记R(T)=7(X).则可以验证R()是Y的线性子空间,称R(T) 是T的值空间.若R()=y,称T是到上的(满射).若对于任何Tx1,Tx2∈R(T),由Tx1=Tx2 可推出x1=x2,则称T是一一的(单射).既是满射又是单射的映射又称为双射 2°若T是线性的,则70=0.记N(T)={x∈X;Tx=0},容易验证N(T)是X的线性子 空间并且T是一一的当且仅当N(T)={0},称N(T)是T的0空间 3°对于线性算子T,若T是一一映射,则对于每个y∈R(T),Ty是X中惟一的元 素.此时称映射r-:R(T)→X,(其中Tx=y时令r-y=x)是T的逆映射.容易验证此时 T-也是线性算子 线性算子与线性泛函在代数、几何和经典分析中是经常遇到的,现举例如下 例4设X=",Y=①".对于每个mxm阶矩阵A=(an),定义 j=1,…,m (4) 容易验证T:X→Y,T(x1…xn)=(1…,yn)是线性算子.若用矩阵表示,则上式即 例5在C[a,b]上定义 (x))=x(s)ds, tE[a, b]: S(x)=x(s)d 则T,S分别是Ca,b上的线性算子与线性泛函 例6在C(g2)上定义的微分算子 (Dn)()=∑Ca() u(t(这 里 a0,Ca(1)在Ω上连续) 都是线性算子 现在让我们回到本节开头所说的问题.一个度量空间可能不是完备的,那么是否可以补 充某些元素使之成为完备空间呢?我们将证明这样的完备化定理是成立的.为此需要下面概 念 定义5(1)设X,Y是度量空间,称X与Y彼此同构,若存在一一的到上的映射

1 2 1 2 T(αx + βx ) =αTx + βTx . （2）当Y =Φ 时，（1）中的线性算子T 称为 X 上的线性泛函． 关于映射（算子），以下事实应该注意： 1°对于T : X →Y ，我们记 R(T) = T(X ) ．则可以验证 R(T) 是Y 的线性子空间，称 R(T) 是T 的值空间．若 R(T) = Y ，称T 是到上的（满射）．若对于任何 , ( ) Tx1 Tx2 ∈ R T ，由Tx1 = Tx2 可推出 1 2 x = x ，则称T 是一一的（单射）．既是满射又是单射的映射又称为双射． 2°若T 是线性的，则T0 = 0．记 N(T) = {x∈ X;Tx = 0}，容易验证 N(T)是 X 的线性子 空间并且T 是一一的当且仅当 N(T) = {0} ．称 N(T)是T 的 0 空间． 3°对于线性算子T ，若T 是一一映射，则对于每个 y ∈ R(T) ，T y −1 是 X 中惟一的元 素．此时称映射T R T → X − : ( ) 1 ，（其中Tx = y 时令T y = x −1 ）是T 的逆映射．容易验证此时 −1 T 也是线性算子． 线性算子与线性泛函在代数、几何和经典分析中是经常遇到的, 现举例如下． 例 4 设 n X =Φ ， m Y =Φ ．对于每个 m×n 阶矩阵 ( )ij A = a ，定义 ∑= = n i j ji i y a x 1 ， j =1,",m （4） 容易验证T : X →Y ， ( , , ) ( , , ) 1 n 1 m T x " x = y " y 是线性算子．若用矩阵表示，则上式即                     =           m mn n n m x x a a a a y y # " # # # " # 1 1 1 11 1 , , , , . 例 5 在C[a,b] 上定义 ∫ = t a (Tx)(t) x(s)ds ，t ∈[a,b]； ∫ = b a S(x) x(s)ds ； 则T ， S 分别是C[a,b] 上的线性算子与线性泛函． 例 6 在 ( ) ( ) Ω k C 上定义的微分算子 α α α α t u t Du t C t k ∂ ∂ = ∑≤ ( ) ( )( ) ( ) | | （这里 u t u t = ∂ ∂ 0 0 ( ) ，C (t) α 在Ω 上连续） 都是线性算子． 现在让我们回到本节开头所说的问题．一个度量空间可能不是完备的，那么是否可以补 充某些元素使之成为完备空间呢? 我们将证明这样的完备化定理是成立的．为此需要下面概 念． 定义 5 （1）设 X ，Y 是度量空间，称 X 与Y 彼此同构，若存在一一的到上的映射

T:X→Y使得T与T均连续.若T是到上的并且x1,x2∈X,d(x1,Tx2)=d(x,y),则称T 是等距同构. (2)若X,Y是线性赋范空间,称X与Y同构,若存在一一的到上的线性映射, T:X→Y使得T与T都连续。若T到上并且x∈X,=|1,则称X,Y等距同构 容易验证一个到上的等距同构映射T一定是双方连续的,因此是同构映射.此外等距同 构的两个空间除了表示它们的元素的符号不同之外是无法区分的,因此可以看成同一个空 间.下面仅对于线性赋范空间证明完备化定理.实际上对于一般度量空间,结论仍成立。 定理5设X是线性赋范空间,则存在 Banach空间X使得X与x的一个稠密子空间 等距同构.在等距同构意义下,X是包含X的最小完备空间,从而是唯一的. 称X是X的完备化空间 证明记X中的 Cauchy序列全体为E.称X中的序列(xn)是0序列,若xn→0.称 两个序列(x),(yn)是等价的,记为(x)~(y),若xn-yn→0.直接验证可知关系“~” 满足自反性,对称性,传递性,因此是E上的等价关系(见附表).以X=E/~记如此的等 价类的全体.我们首先验证X是线性赋范空间 将X中的元记为2,方,定义 点+n=5+,a2=a5,a∈d (5) 这种定义是合理的.实际上若(x1n)(x2n)∈5,(n),(y2)∈方,则 0 所以(xn+yn)与(xn+y2)属于同一等价类,这说明5+η不会有歧意出现.同样地,数乘 也是合理的.例行的验证表明在此运算下,X是线性空间 V∈X,定义 这里样也不会有歧意,因为若(xn)(x,)∈,则x一x,→0,于是回mk-lm 为证样是X上的范数,注意若=0,即x→0,这说明是置中的0元,现在若 E=(x),方=(yn),则

T : X →Y 使得T 与 −1 T 均连续．若T 是到上的并且∀x1 , x2 ∈ X ， ( , ) ( , ) 1 2 d Tx Tx = d x y ，则称T 是等距同构． （2）若 X ，Y 是线性赋范空间，称 X 与Y 同构，若存在一一的到上的线性映射， T : X →Y 使得T 与 −1 T 都连续．若T 到上并且∀x∈ X ， Tx = x ，则称 X ，Y 等距同构． 容易验证一个到上的等距同构映射T 一定是双方连续的，因此是同构映射．此外等距同 构的两个空间除了表示它们的元素的符号不同之外是无法区分的，因此可以看成同一个空 间．下面仅对于线性赋范空间证明完备化定理．实际上对于一般度量空间，结论仍成立。 定理 5 设 X 是线性赋范空间，则存在 Banach 空间 X ~ 使得 X 与 X ~ 的一个稠密子空间 等距同构．在等距同构意义下， X ~ 是包含 X 的最小完备空间，从而是唯一的． 称 X ~ 是 X 的完备化空间． 证明 记 X 中的 Cauchy 序列全体为 E ．称 X 中的序列( ) n x 是 0 序列，若 → 0 n x ．称 两个序列( ) n x ，( ) n y 是等价的，记为( ) ~ ( ) n n x y ，若 − → 0 n n x y ．直接验证可知关系“ ~ ” 满足自反性，对称性，传递性，因此是 E 上的等价关系（见附表）．以 / ~ ~ X = E 记如此的等 价类的全体．我们首先验证 X ~ 是线性赋范空间． 将 X ~ 中的元记为ξ ~ ，η ~ ，定义 ξ η ξ η ~ ~ ~ + = + ， αξ αξ ~ ~ = ，∀α ∈Φ （5） 这种定义是合理的．实际上若 ξ ~ ( ),( ) x1n x2n ∈ , η ~ ( ),( ) y1n y2n ∈ ，则 ( ) ( ) 0 x1n + y1n − x2n + y2n ≤ x1n − x2n + y1n − y2n → 所以 ( ) 1n 1n x + y 与 ( ) 2n 2n x + y 属于同一等价类，这说明 ~ ξ +η 不会有歧意出现．同样地，数乘 也是合理的．例行的验证表明在此运算下， X ~ 是线性空间． X ~ ~ ∀ξ ∈ ，定义 n n x →∞ = lim ~ ξ ， xn X ~ ( ) ~ ∀ξ = ∈ ． 这里 ξ ~ 也不会有歧意．因为若 ξ ~ ( ),( ) x1n x2n ∈ ，则 x1n − x2n → 0 ，于是 n n n n x x 1 2 lim lim →∞ →∞ = ． 为证 ξ ~ 是 X ~ 上的范数，注意若 0 ~ ξ = ，即 → 0 n x ，这说明ξ ~ 是 X ~ 中的 0 元．现在若 ( ) ~ n ξ = x ， ( ) ~ n η = y ，则 ξ η ξ η ξ η ~ ~ lim lim lim ~ ~ ~ + = + = + ≤ + = + →∞ →∞ →∞ n n n n n n n x y x y

故考虑X中的特殊序列(x,x,…).记它所在的等价类为X.其全体记为0,容易知道 是X的线性子空间.我们证明X与X等距同构,X在X中稠密.实际上定义 T:X→X0,xx,其中x=(x,x,…), 则T是一一的,到上的并且 7x|‖x‖lim‖xlx‖,vx∈X 所以T是等距的映射.V∈X,不妨设=(x),其中xn∈X.对于每个n,记 =(x,xn…),则x∈X。,由于(x,)是 Cauchy序列所以vE>0,3n使得k,n≥n时 kE.从而 -x‖limx4-xn|E‖,k≥n (6) 即limx=5 最后证明是完备的.设=(xn)是 Cauchy序列,E>0,3k,当k,k'≥k时, 14r-srlimxi-xp< 对于每个,由以上所证,存在=(x,x…)∈使得 x|=im‖ k,Vk≥1 令=(x1,x2…),由(7),当n足够大时 x-x,图x-x+1x元-x。1+1x20-xk2+x元-x,+ 所以k,k足够大时,‖x4-x‖可任意小,于是(x4)是 Cauchy序列,5∈X.现在由(6), (7)得到 im5-5|klim‖k-Xk|+lim‖1x-5=0 总之,是X的完备化空间 若X是包含X的另一完备空间,X与x"的子空间等距同构,则v∈X,不妨设 ∈X使得→此时x∈X从而x∈X’,于是由的完备性,必有’∈X使得

αξ αξ α α α ξ ~ lim lim ~ ~= = = = →∞ →∞ n n n n x x ． 故考虑 X 中的特殊序列(x, x,") ．记它所在的等价类为 x ~ ．其全体记为 0 ~ X ，容易知道 0 ~ X 是 X ~ 的线性子空间．我们证明 X 与 0 ~ X 等距同构， 0 ~ X 在 X ~ 中稠密．实际上定义 0 ~ T : X → X ， x x 6 ~ ，其中 ( , , ) ~ x = x x " ， 则T 是一一的，到上的并且 || lim || || || || ~ ||Tx || || x x x n = = = →∞ ，∀x ∈ X ． 所以 T 是等距的映射． X ~ ~ ∀ξ ∈ ，不妨设 ( ) ~ n ξ = x ，其中 xn ∈ X ．对于每个 n ，记 ( , , ) ~xn = xn xn " ，则 0 ~ ~ xn ∈ X ，由于 ( ) n x 是 Cauchy 序列所以 ∀ε > 0 ， 0 ∃n 使得 0 k,n ≥ n 时 || − || 0 ， 0 ∃k ，当 0 k,k′ ≥ k 时， ξ −ξ = − ′ < ε →∞ ′ || lim || || ~ ~ || kn k n k k k x x ． 对于每个ξ k ~ ，由以上所证，存在 0 ~ ( , , ) ~ xk = xk xk " ∈ X 使得 k x x x kn k n k k 1 || lim || || ~ ~ || − = − < →∞ ξ ，∀k ≥1． （7） 令 ( , , ) ~ ξ = x1 x2 " ，由（7），当 n 足够大时 k x x k x x x x x x x x k k k kn kn k n k n k kn k n ′ − ′ ≤ − + − ′ + ′ − ′ < + − ′ + 1 || || 1 || || || || || || || || 所以 k ，k′ 足够大时，|| || k k x − x ′ 可任意小，于是( ) k x 是 Cauchy 序列， X ~ ~ ξ ∈ ．现在由（6）， （7）得到 || 0 ~ ~ || lim || ~ ~ || lim || ~ ~ lim || − ≤ − + − = →∞ →∞ →∞ ξ ξ ξ k ξ k k k k k k x x ． 总之， X ~ 是 X 的完备化空间． 若 X′ ~ 是包含 X 的另一完备空间， X 与 X ′ ~ 的子空间等距同构，则 X ~ ~ ∀ξ ∈ ，不妨设 0 ~ ~ xn ∈ X 使得 ξ ~ ~ xn → ．此时 xn ∈ X 从而 xn ∈ X ′ ~ ~ ．于是由 X ′ ~ 的完备性，必有 ′∈ X ′ ~ ~ ξ 使得