第20讲正交投影 教学目的:掌握正交投影算子和正交分解的基本性质 讲解要点: 1投影定理以及投影算子的初步性质。 2投影算子的特征及其运算。 3空间的正交分解。 定义1设H是内积空间,EcH是线性子空间,x∈H.若存 在分解x=x1+x2,其中x1∈E,x2⊥E,则称x1为x在E上的投影 记为Pgx=x1 定理1设H是内积空间,EcH是线性子空间,x∈H,x∈E 则以下诸条件等价 (1)PEx=x (3)v∈E,实变量函数f()=|x-x+|在=0有最小值。 证明()→(2)x有分解x=x1+x2,其中x1∈E,x2⊥E, 则v∈E,x1-∈E,x2⊥x1-2,于是 |x-=|x-+x1|=|-|+|≥|=|x-x 注意到x1∈E,故x-x=infx (2)→(3)注意∫(A)是A的连续函数并且x1-∈E,f(4)在 λ=0的最小性即(42-1)
1 第 20 讲 正交投影 教学目的：掌握正交投影算子和正交分解的基本性质。 讲解要点： 1 投影定理以及投影算子的初步性质。 2 投影算子的特征及其运算。 3 空间的正交分解。 定义 1 设 H 是内积空间， E ⊂ H 是线性子空间， x ∈ H . 若存 在分解 1 2 x = x + x ，其中 x1 ∈ E ， x2 ⊥ E ，则称 1 x 为 x 在 E 上的投影， 记为 1 P x x E = . 定理 1 设 H 是内积空间，E ⊂ H 是线性子空间，x∈ H ，x1 ∈ E ， 则以下诸条件等价： （1） Px x E = 1 . （2） 1 inf z E x x xz ∈ −= − , (4-2-1) （3）∀ ∈z E , 实变量函数 2 1 f ( ) λ =−+ xx z λ 在 λ = 0 有最小值。 证明 (1) ⇒ (2) x 有分解 1 2 x = x x + ，其中 x1 ∈ E ， x2 ⊥ E ， 则 ∀ ∈z E ， 1 x − ∈z E ， 2 1 x ⊥ x z − ，于是 2 2 1 2 x − = −+ z x zx ＝ 2 2 1 2 x − + z x ≥ 2 2 x ＝ 2 1 x − x 注意到 x1 ∈ E ，故 1 inf z E x x xz ∈ −= − 。 (2) ⇒ (3) 注意 f (λ) 是 λ 的连续函数并且 x1 − λz ∈ E ， f (λ) 在 λ = 0 的最小性即（4-2-1）
E,取A为实变量 f(0)=lm(2)/0=im-x+2-|x=xf m(x=)+(2x)+) 2Re(x-x1,2) f()在λ=0是可微的.由于=0是最小值点,故Re(x-x,)=0 同样地,将z换为得出Im(x-x2)=0,从而(x-x1,2)=0.∈E是 任意的,最后得出x-x⊥E.故Px=x1 定理2(投影定理)设H是 Hilbert空间,EcH为是线性子空 间,则vx∈H,Px存在且唯一。 证明若x∈E,则Px=x若xE,取xn∈E使得|y-xn (y,E)=d,由于 lrm -x=(x-x,)-(x-xmiI (x-x,+x-x) xn 2 {xn}是 Cauchy序列。不妨设xn→x,E闭,所以x∈E.现在 d 由定理1,Px=x0 由于 Hilbert空间是严格凸的,x是唯一的最佳逼近元。 其实为了得到最佳逼近元,定理2中的集合E可以是任一闭凸子 集,x的存在唯一性结论及其证明都不改变。定理2和定理1还说明 空间一点到闭子空间(闭凸集)的投影,恰恰是这一点关于闭子空间
2 (3) ⇒ (1) ∀z ∈ E ，取 λ 为实变量，则 λ λ λ ( ) (0) (0) lim 0 f f f − ′ = → 2 2 1 1 0 lim x x z xx λ λ → λ −+ −− = = ( ) 2 1 1 0 lim ( , ) ( , ) x x z zx x z λ λ → − + −+ = 2 Re 1 ( ,) x − x z . (4-2-2) f (λ) 在 λ = 0 是可微的. 由于 λ = 0 是最小值点，故 Re 1 ( ,) x − x z =0. 同样地，将 z 换为 iz 得出 Im 1 ( ,) x − x z =0，从而 1 ( ,) x − x z ＝0. z ∈ E 是 任意的，最后得出 1 x − ⊥ x E . 故 Px x E = 1。 定理 2（投影定理） 设 H 是 Hilbert 空间， E ⊂ H 为是线性子空 间，则 ∀ ∈x H ， P xE 存在且唯一。 证明 若 x∈ E ，则 P xE ＝ x .若 x∉ E , 取 xn ∈ E 使得 n y x − → ρ(, ) yE d = ，由于 2 2 ( )( ) mn n m x x xx xx − = − −− ＝ 2 2 2( ) n m xx xx − +− －4 2 2 n m x x x + − ≤ 2( ) 2 2 n m y − x + y − x －4 2 d → 0 , { }n x 是 Cauchy 序列。不妨设 0 x x n → ， E 闭，所以 x0 ∈ E . 现在 0 lim n n x x xx d →∞ − = − == inf z E x z ∈ − ， 由定理 1， P xE ＝ 0 x 。 由于 Hilbert 空间是严格凸的， 0 x 是唯一的最佳逼近元。 其实为了得到最佳逼近元，定理 2 中的集合 E 可以是任一闭凸子 集， 0 x 的存在唯一性结论及其证明都不改变。定理 2 和定理 1 还说明 空间一点到闭子空间（闭凸集）的投影，恰恰是这一点关于闭子空间
(闭凸集)的最佳逼近元。不仅如此,在 Hilbert空间上我们还可以定 量地计算出一点到最佳逼近元的距离。 例1设H是 Hilbert空间,EcH是线性子空间,dimE=n 1,…,en是E的一组规范正交基,则x∈H,Px=∑(x,e1)并且 d(x,E)=(-∑(x,e片y2 4-2-3) 若{en}是H中的规范正交集,E= span(e, i},则Px=∑(xe并且 d(x,E)=(|-∑(x,e)y2 (4-2-4) 实际上,令x=∑(x,e),x2=x-x,则x∈E,V∈E, z=∑(=,e),实际计算得到 (x2,2)=(x-x,2)=(x,=)-(x1,2)=0 故x2⊥E,从而Px=x1=∑(x,e1)1,由投影定理 d(xE)=1k-x|=(-|)=(-(xe) 思考题若e1,e2,…是E的规范正交基,证明类似的结论成 推论1设H是 Hilbert空间,EcH是闭线性子空间,记从H 到E的投影算子是P,则 (1)P:H→>E是线性算子 (2)|Pls.若E={0),则P=0,若E≠0},则|P=1 (3)E=R(P)=N(I-P),N(P)=R(-P) 称E是P的投影子空间
3 （闭凸集）的最佳逼近元。不仅如此，在 Hilbert 空间上我们还可以定 量地计算出一点到最佳逼近元的距离。 例 1 设 H 是 Hilbert 空间， E ⊂ H 是线性子空间， dim E = n , n e , ,e 1 " 是 E 的一组规范正交基，则 ∀x ∈ H ， ∑= = n i E i i P x x e e 1 ( , ) 并且 dxE (, ) = 2 2 1 2 1 ( (, )) . i i x xe ∞ = −∑ (4-2-3) 若{ }n e 是 H 中的规范正交集， { }n E = span e ，则 1 (, ) E ii i Px xe e ∞ = = ∑ 并且 2 2 1 2 1 (, ) ( (, )) . i i d xE x xe ∞ = = −∑ (4-2-4) 实际上，令 ∑= = n i i i x x e e 1 1 ( , ) ， 2 1 x = x − x ，则 x1 ∈ E , ∀ ∈z E ， 1 (, ) n i i i z ze e = = ∑ , 实际计算得到 21 1 ( ,) ( ,) (,) ( ,) 0 x z x x z xz x z =− = − = 故 x2 ⊥ E ，从而 ∑= = = n i E i i P x x x e e 1 1 ( , ) . 由投影定理 1 2 2 2 1 1 dxE x x x x (, ) ( ) =− = − = 2 1 2 2 1 ( (, )) n j j x xe = −∑ . 思考题 若 1 2 e e, ," 是 E 的规范正交基, 证明类似的结论成 立. 推论 1 设 H 是 Hilbert 空间, E H ⊂ 是闭线性子空间, 记从 H 到 E 的投影算子是 P, 则 (1) P : H → E 是线性算子. (2) P ≤1.若 E = {0} , 则 P = 0; 若 E ≠ {0}, 则 P = 1. (3) E = RP N I P NP RI P ( ) ( ), ( ) ( ). = − =− 称 E 是 P 的投影子空间
证明1°设x=x1+x2,y=y1+y2,其中x1,y∈E,x2,y2⊥E a+B=(ax1+的1)+(a2+y2 其中x1+的1∈E,而v∈E,(x2,=)=0,(02,=)=0,故 (ax2+By2,=)=a(x2,=)+B(y2,=)=0 所以aa2+y2⊥E,于是 P(ax+的y) 的1=aPx+BP P是线性的 2x∈H,若x=x1+x2是正交分解,则|2=|x|+|x1.从 P+2=x≤|+,|P+|≤|,Ps1 若E 则Vx∈H,Px=0,故P=0 若E≠{0},则有x∈E,|xl1使得Px=x1,|Pl≥|Px x|=1,从而P=1 ∈R(P)当且仅当 x2时x2=0,此即 y-Py=0从而y∈N(I-P),反过来也一样,另一式子可同样证明 定理3设H是 Hilbert空间,EcH是线性子空间,记 E H,x⊥E},则 (1)E是H的闭线性子空间 (2)若E是闭的,则E艹=E (3)若E是闭的,则H=E田E,即 H=E+EE∩E (4-2-5) (4)若E是闭的,P:H→E是投影算子,则E=N(P) 通常称E是E的正交补空间由于(4-2-5),称H是E与E的
4 证明 D 1 设 1 2 1 2 x = x + x , y = y + y , 其中 11 2 2 x , ,, y Exy E ∈ ⊥ , 则 ( ) ( ), 1 1 2 2 αx + βy = αx + βy + αx + βy 其中 1 1 αx + βy ∈ E, 而 ,( , ) 0,( , ) 0, ∀z ∈ E x2 z = y2 z = 故 22 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) 0. αx yz xz yz += + = βα β 所以 αx2 + βy2 ⊥ E , 于是 ( ) . P αx + βy =αx1 + βy1 =αPx + βPy P 是线性的. D 2 ∀ ∈x H, 若 1 2 x = x + x 是正交分解, 则 2 x = 2 1 x + 2 2 x . 从 而 2 Px = 2 1 x ≤ 2 x , Px ≤ x , P ≤1. 若 E = {0}, 则 ∀x ∈ H , Px = 0 , 故 P = 0 . 若 E ≠ {0} , 则 有 x1 ∈ E , 1 x1 = 使 得 1 1 Px = x , P ≥ Px1 = 1 x =1, 从而 P =1. D 3 由 于 y ∈ R(P) 当且仅当 1 2 y = x + x 时 0 x2 = , 此 即 y − Py = 0 从而 y ∈ N(I − P), 反过来也一样, 另一式子可同样证明. 定 理 3 设 H 是 Hilbert 空 间 , E ⊂ H 是线性子空间 , 记 E = { } x ∈ H x ⊥ E ⊥ , , 则 (1) ⊥ E 是 H 的闭线性子空间. (2) 若 E 是闭的, 则 E = E ⊥⊥ . (3) 若 E 是闭的, 则 ⊥ H = E ⊕ E , 即 ⊥ H = E + E , ∩ = {0} ⊥ E E . (4-2-5) (4) 若 E 是闭的, P : H → E 是投影算子, 则 ⊥ E = N(P). 通常称 ⊥ E 是 E 的正交补空间. 由于(4-2-5), 称 H 是 E 与 ⊥ E 的
直和.换句话说,(3)表明Hbet空间的每个闭子空间存在正交补空 间 证明1若x,y∈E,则∈E,x⊥2,y⊥,从而 (ax+的,=)=a(x,2)+B(y,)=0 故ax+∈E,E是线性子空间 若xn∈E,x→x,则Vz∈E,(xn,z)=0.由内积关于变元的 连续性,(x,2)=lim(xn2,2)=0,故x⊥2,X∈E,E是闭的 2设E是闭的,则由E⊥E知道EcE.另一方面,若 x∈E,则x⊥E.若x=x1+ E,x2⊥E,则x2∈E,从 而(x,x2)=0.于是 (x2,x2)=(x1+x2,x2)=(x,x2)=0 故x2=0,x=x1∈E,即EcE.最后E=E1 3°由定理2,Vx∈H,x=x1+x2,其中x1∈E,x2⊥E.即 x2∈E从而H=E+E,另一方面E∩E={0}故H=E由E 4x∈H,x=x1+x2其中x1∈E,x2⊥E.故x∈E当且仅 当x1=0,即Px=0或x∈N(P)从而E=N(P) 思考题若H是内积空间,M,NcH (1)若M⊥N,则McN,NcM (2)若McN,则M→N4 3)M=(M 定义2(1)称线性算子T:X→>X是幂等的,若T=T (2)设H是内积空间,称T∈B(H)是自伴算子,若 (x, y)=(x, y), Vx,yEH 定理4设H是 Hilbert空间,P∈B(H),则下列诸条件等价
5 直和. 换句话说, (3) 表明 Hilbert 空间的每个闭子空间存在正交补空 间. 证明 D 1 若 ⊥ x, y ∈ E , 则 ∀z ∈ E , x ⊥ z , y ⊥ z , 从而 (αx + βy,z) =α(x,z) + β ( y,z) =0, 故αx + βy ⊥ ∈ E , ⊥ E 是线性子空间. 若 ⊥ xn ∈ E , x x n → , 则 ∀z ∈ E , (xn ,z) = 0 . 由内积关于变元的 连续性, (x,z) = lim( , ) = 0 →∞ x z n n , 故 x ⊥ z , ⊥ x ∈ E , ⊥ E 是闭的. D 2 设 E 是闭的, 则由 ⊥ E ⊥ E 知道 E E⊥⊥ ⊂ . 另一方面, 若 ⊥⊥ x ∈ E , 则 ⊥ x ⊥ E . 若 1 2 x = x + x , x1 ∈ E , x2 ⊥ E , 则 ⊥ x2 ∈ E , 从 而 ( , ) 0 x x2 = . 于是 (x2 , x2 ) = (x1 + x2 , x2 ) = ( , ) 0 x x2 = , 故 0 x2 = , 1 x = x ∈ E , 即 E E ⊥⊥ ⊂ . 最后 ⊥⊥ E = E . D 3 由定理 2, ∀x ∈ H , 1 2 x = x + x , 其 中 x1 ∈ E , x2 ⊥ E . 即 ⊥ x2 ∈ E 从而 ⊥ H = E + E . 另一方面 ∩ = {0} ⊥ E E . 故 ⊥ H = E ⊕ E . D 4 ∀x ∈ H , 1 2 x = x + x 其中 x1 ∈ E , x2 ⊥ E . 故 ⊥ x ∈ E 当且仅 当 0 x1 = , 即 Px = 0 或 x ∈ N(P) . 从而 E = N(P) ⊥ . 思考题 若 H 是内积空间， M , N ⊂ H . （1） 若 M ⊥ N ，则 ⊥ M ⊂ N ， ⊥ N ⊂ M . （2） 若 M ⊂ N ，则 ⊥ ⊥ M ⊃ N . （3） ⊥ ⊥ M = (M ) . 定义 2 (1) 称线性算子 T : X → X 是幂等的, 若 T = T 2 . (2) 设 H 是内积空间, 称 T ∈ B(H) 是自伴算子, 若 (Tx, y) = (x,Ty), ∀x, y ∈ H . (4-2-6) 定理 4 设 H 是 Hilbert 空间, P ∈ B(H), 则下列诸条件等价:
(1)P是投影算子 (2)P2=P并且P是自伴的 (3)P=P并且N(P)⊥R(P) (4)若H是复空间,以上条件还等价于 (Px,x)=|Px2,vx∈H (4-2-7) 证明(1)→(2).首先设P是从H到闭线性子空间E上的投影 算子,Vx∈H,Px∈E,故P2x=P(Px)=Px.于是P2=P.其次 vx,y∈H,x=x1+x2,y=y1+y2,x1,y∈E,x2,y2⊥E,则 (Px,y)=(x1,y1+y2)=(x1,y1) =(x1+x2y1)=(x,Py) P自伴 (2)→(3)若x∈N(P),则Px=0,若y∈R(P)则x∈H,y=Px1 于是 (x,y)=(x,Px1)=(Px,x1)=0 即N(P)⊥R(P) (3)→(1)令E=N(Ⅰ-P),E是H的闭线性子空间,现在验证 P是从H到E上的投影算子 首先证明E=R(P),实际上Vy∈R(P),丑x∈H,y=Px=Px 从而(-P(Px)=0,即(-P)=0,y∈N(-P).反之vy∈ N(-P)则(-P)y=0,y=Py∈R(P),故R(P)=N(-P) Vx∈H,记x=Px+(x-Px).显然Px∈R(P)=E又 P(I-P)x=P(x-Px)=0,于是x-Px∈N(P).由N(P)⊥R(P)得到 x-Px⊥R(P)=E.所以P是从H到E上的投影算子 现在设H是复空间 (2)→(4)|Px=(Px,Px)=(P2x,x)=(Px,x) 6
6 (1) P 是投影算子. (2) P = P 2 并且 P 是自伴的. (3) P = P 2 并且 N(P) ⊥ R(P) . (4) 若 H 是复空间, 以上条件还等价于 (Px, x) = 2 Px , ∀x ∈ H . (4-2-7) 证明 (1) ⇒(2). 首先设 P 是从 H 到闭线性子空间 E 上的投影 算 子 , ∀x ∈ H , Px ∈ E , 故 P x 2 = P(Px) = Px . 于 是 P = P 2 . 其 次 , ∀ ∈ x, y H , 1 2 1 2 x = x + x , y = y + y , x1 , y1 ∈ E , x2 , y2 ⊥ E , 则 (Px, y) = ( , ) 1 1 2 x y + y = ( , ) 1 1 x y = ( , ) 1 2 1 x + x y = (x,Py) . P 自伴. (2) ⇒(3). 若 x∈ N P( ), 则 Px = 0, 若 y ∈ R(P) 则 1 ∃x ∈ H , Px1 y = . 于是 (x, y) = ( , ) Px1 x = ( , )1 Px x =0 即 N(P) ⊥ R(P) . (3) ⇒ (1). 令 E = N(I − P) , E 是 H 的闭线性子空间, 现在验证 P 是从 H 到 E 上的投影算子. 首先证明 E = R(P) , 实际上 ∀y ∈ R(P) , ∃x∈ H, y = Px P x 2 = . 从 而 (I − P)(Px) = 0 , 即 ( ) 0, I Py − = y NI P ∈ ( ). − 反 之 ∀ ∈y NI P ( ) − 则 (I − P) y = 0 ， y = Py ∈ R(P) , 故 R(P) = N(I − P) . ∀x ∈ H , 记 x = Px + (x − Px) . 显 然 Px ∈ R(P) = E . 又 P(I − P)x = P(x − Px) =0, 于是 x − Px ∈ N(P) . 由 N(P) ⊥ R(P) 得到 x − Px ⊥ R(P) = E . 所以 P 是从 H 到 E 上的投影算子. 现在设 H 是复空间. (2)⇒(4). 2 Px = (Px, Px) = ( , ) 2 P x x = (Px, x)
(4)→(2).对于H上的任一线性算子A,容易验证下面极化恒等 式成立: 4(Ax,y)=(4(x+y),x+y)-(4(x-y),x-y +i(4(x+iy)x+iy)-i(A(x-iy),x-iy)(4-2-8) 若vx∈H,(Px)=|P+,则(Px,x)是实数令A=P,实际计算 知道 (Px, y)=(Py,x)=(x, Py) P是自伴的.于是 (P-x,x)=(Px, Px)=(Px, x), VxE H 令A=P2-P,则(Ax,x)=0,Vx∈H,再利用极化恒等式得到 (Ax, y)=0, Vx 于是A=0,即P2=P,P是幂等的,(2)成立 整个定理得证 若P是投影算子,则 (Px, x)=(Px,x)=(Px, Px)20 H 利用这一点我们可以在投影算子之间建立一种半序关系:若P,PM分 别是从H到闭线性子空间E和M上的投影算子,并且 (Px,x)≥(PMx,x),x∈H (4-2-9) 则记为P≥PM(或PM≤P) 定理5设Pg,Pu分别是 Hilbert空间中的投影算子。则以下诸条 件等价 (1)P≤P Pxs|Px,wx∈H (3)MCE 4)PEPM=PMPE=P
7 (4) ⇒(2). 对于 H 上的任一线性算子 A , 容易验证下面极化恒等 式成立： 4(Ax, y) = (A(x + y), x + y) － (A(x − y), x − y) + + +− − − i A x iy x iy i A x iy x iy ( ( ), ) ( ( ), ) (4-2-8) 若 ∀x ∈ H ， (Px, x) ＝ 2 Px ，则 (Px, x) 是实数. 令 A = P , 实际计算 知道： (Px, y) ＝ (Py, x) ＝ (x,Py) ， P 是自伴的. 于是 ( , ) 2 P x x ＝ (Px, Px) ＝ (Px, x) , ∀x ∈ H . 令 A = P − P 2 ，则 (Ax, x) = 0 , ∀x ∈ H ，再利用极化恒等式得到 (Ax, y) = 0 , ∀x, y ∈ H . 于是 A = 0，即 P = P 2 ， P 是幂等的，（2）成立. 整个定理得证. 若 P 是投影算子，则 (Px, x) ＝ ( , ) 2 P x x ＝ (Px, Px) ≥ 0 ， ∀x ∈ H 利用这一点我们可以在投影算子之间建立一种半序关系: 若 , P P E M 分 别是从 H 到闭线性子空间 E 和 M 上的投影算子，并且 (P x, x) E ≥ (P x, x) M ， ∀x ∈ H (4-2-9) 则记为 PE ≥ PM （或 PM ≤ PE ）. 定理 5 设 PE PM , 分别是 Hilbert 空间中的投影算子。则以下诸条 件等价： （1） . P P M ≤ E （2） P x Px M E ≤ , ∀x ∈ H . （3） M ⊂ E . （4） PE PM ＝ PM PE ＝ PM
(5)Pg-Pu是投影算子 证明(1)→(2)|P,x=(Px,x)≤(Px,x)=|P2x2.故 P3x|s|P2x,x∈H (2)→(3)若x∈M,则PM P22≥|P,x=|2=x+|x-P2对 故x-Px=0或Px=x.即x∈E,所以McE。 (3)→(4)Vx∈H,PMx∈McE,故PPx=PMx或PEP P.另一方面,设x=Px+x2,x2⊥E从而x2⊥M.又设 Px x2⊥M,故x2-x2⊥ Px-PMx=-(x2-x2)⊥M 若记Px=PMx+(Pgx-Px),则此式为Px关于线性子空间M的正 交分解式,从而PPx=PMx或PuP=Pn (P-P1)2=P2-PP4-P PE-PM-PM+PM=PE-PM,P-Pu是幂等的。 由于Pg,PM的自伴性,x,y∈H ((PE-PM )x,y)=(PEx, y)-(PM x, y) (x, Py)-(x, Py)=(x, (Pe -Puy P-P是自伴的,故P-P4是投影算子 (5)→(1)由 Px,x)-(P,x,x)=(P4-P3)x)=KP2-P)x20 得之 定理6设PE,P分别是 Hilbert空间中的投影算子。则以下诸条 件等价:
8 （5） PE − PM 是投影算子. 证 明 (1) ⇒ (2) 2 2 ( ,) ( ,) P x P xx Pxx Px MM E E = ≤= . 故 P x Px M E ≤ , ∀x ∈ H . (2) ⇒ (3) 若 x ∈ M ，则 P x x M = ， 2 2 2 P x P x x E ≥ M = ＝ 2 2 P x x P x E + − E 故 x − P x = 0 E 或 P x x E = . 即 x ∈ E ，所以 M ⊂ E 。 (3) ⇒ (4) ∀x ∈ H ，PM x ∈ M ⊂ E ， 故 P P x E M ＝ P x M 或 PE PM ＝ PM . 另一方面，设 2 x P x x = E + ， x2 ⊥ E 从 而 x2 ⊥ M . 又 设 2 x P x x M = + ′ ， x2 ′ ⊥ M ，故 x2 − x2 ′ ⊥ M P x P x E − M ＝－ (x2 − x2 ′ ) ⊥ M 。 若记 PE x = PM x + (P x P x) E − M ，则此式为 P xE 关于线性子空间 M 的正 交分解式，从而 P P x M E ＝ P x M 或 PM PE ＝ PM . (4) ⇒ (5) 此 时 − =2 ( ) PE PM 2 2 PE − PE PM − PM PE + PM ＝ PE − PM − PM + PM ＝ PE − PM ， PE − PM 是幂等的。 由于 PE PM , 的自伴性， ∀ x, y ∈ H ((P P )x, y) E − M ( ,) = Px y E － (P x, y) M ＝ (x, P y) E － (x, P y) E ＝ (x,(P P ) y) E − M . PE − PM 是自伴的，故 PE − PM 是投影算子。 (5) ⇒ (1) 由 (P x, x) E － (P x, x) M ＝ ((P P )x, x) E − M ＝ ( ) 0 2 PE − PM x ≥ 得之. 定理 6 设 PE PM , 分别是 Hilbert 空间中的投影算子。则以下诸条 件等价：
(1)E⊥M (2)R(P)⊥R(P) (3)PPM=0(称PE与PM正交) (4)Pg+PM是投影算子 证明(1)→(2)由R(Pg)=E,R(PM)=M得到 R(PE)⊥R(Pu) (2)→(3)x,y∈H,(x,PPMy)=(Px,PMy)=0,故PBMy= 0,从而PP=0 (3)→(4)x∈H,由PPM=0得 PEPMP=0,于是 IPMP2x'=(P Pex, PM Pex)=(PEr, PM Pex =(PEx, P PEx)=(x,PPMPEx)=0 故PMP=0.现在 (PE+PM)=PE +PEPy+PPe+PM=Pe+PM 又x,y∈H, ((PE+ PM)x,y)=(PEx, y)+(PMx, y) (x, Pey)+(x, PEy)=(x, (PE+PM) 所以P+P是投影算子 PE+PM=(Pe+Pu)=Pe+PePM +Py Pe+ PM PE+PEPM+PMPE+Py 知道 PEPM+PyPe 0 (4-2-10) 左乘P,则PPn+ POPuP=0 右乘P,则PPPg+PMP=0 于是PEPM=PMP,由式(4-2-6),PPM=PP
9 （1） E ⊥ M . （2） ( ) ( ) R PE ⊥ R PM . （3） PE PM ＝0（称 PE 与 PM 正交）. （4） PE + PM 是投影算子. 证明 (1) ⇒ (2) 由 R(PE ) = E ， R(PM ) = M 得到 ( ) ( ) R PE ⊥ R PM . (2) ⇒ (3) ∀x, y ∈ H ，(x, P P y) (P x, P y) E M = E M ＝0， 故 P P y E M ＝ 0，从而 PE PM ＝0. (3) ⇒ (4) ∀x ∈ H ，由 PE PM ＝0 得 = 0 PE PM PE ，于是 ( , ) 2 P P x P P x P P x M E = M E M E ＝ ( , ) 2 P x P P x E M E ＝ (P x, P P x) E M E ＝ (x, P P P x) E M E ＝0. 故 = 0 PM PE . 现在 2 ( ) PE + PM ＝ 2 2 PE + PE PM + PM PE + PM ＝ PE + PM . 又 ∀x, y ∈ H ， ((P P )x, y) E + M ＝ (P x, y) E ＋ (P x, y) M ＝ (x, P y) E ＋ (x, P y) E ＝ (x,(P P ) y) E + M . 所以 PE + PM 是投影算子. (4) ⇒ (1) 由 PE + PM ＝ 2 ( ) PE + PM ＝ 2 2 PE + PE PM + PM PE + PM ＝ PE + PE PM + PM PE + PM 知道 PE PM + PM PE ＝ 0 (4-2-10) 左乘 PE ，则 + = 0 PE PM PE PM PE . 右乘 PE ，则 + = 0 PE PM PE PM PE . 于是 PE PM = PM PE , 由式（4-2-6）， PE PM = PM PE
vx∈M,PMx=x,故0=PPMx=Px。x⊥E所以M⊥E 思考题若P1,P2是投影算子,则PP2是投影算子当且仅当PP2=P2P 引理设H是 Hilbert空间,{P}是H上的一列投影算子并且P 点点收敛于P,即vx∈H,|Px-Px→0,则P是投影算子 证明Vx∈H, lim px=Px.由 Banach- Steinhaus定理,P是 有界线性算子.又vy∈H (Px, y)=lim(P x, y)=lim(x, p y)=(x, Py) P是自伴的.另一方面 ( P2-P)x=(p2-P, P+P, P-P2+P-P)x ≤KP-PPx+|PkP-P)x+kP-P)x→>0 故(P2-P)x=0,Vx∈H,即P2=P.P是幂等的 定理7设H为 Hilbert空间 (1)若Q}是一列两两正交(QQ,=0,≠的投影算子,则存在 投影算子P使得∑Qx→Px点点成立 (2)若{E是一列单调上升(EcEF,≤/的闭线性子空间并且 E=∪mE,则Px→Px点点成立 证明记P=∑Q,由定理6,利用数学归纳法不难证明 是投影算子.由正交性 (Ox, 0,x)=(@,x, x)=0(i+j) 故
10 ∀ ∈x M ， P x x M = ，故 P P x P x = E M = E 0 。 x ⊥ E 所以 M ⊥ E . 思考题 若 1 2 P , P 是投影算子，则 P1P2 是投影算子当且仅当 P1P2 ＝ P2P1 . 引理 设 H 是 Hilbert 空间， {Pn }是 H 上的一列投影算子并且 Pn 点点收敛于 P ，即 ∀x ∈ H ， P x − Px → 0 n ，则 P 是投影算子. 证明 ∀x ∈ H , n→∞ lim P xn = Px . 由 Banach-Steinhaus 定理, P 是 有界线性算子. 又 ∀ ∈y H , (Px, y) = n→∞ lim ) (P x, y n = n→∞ lim ) (x, P yn = (x, Py) P 是自伴的. 另一方面 (P P)x 2 − = P P P P P P P P x n n n n ( ) 2 2 − + − + − ≤ (P P )(Px) − n + Pn P P x n ( − ) + P P x n ( − ) → 0 故 (P P)x 2 − =0, ∀x ∈ H , 即 P = P 2 . P 是幂等的. . 定理 7 设 H 为 Hilbert 空间. (1) 若 {Qi}是一列两两正交 (Q Q 0,i j) i j = ≠ 的投影算子, 则存在 投影算子 P 使得 1 n i i Q x Px ∑ = → 点点成立. (2) 若 {Ei}是一列单调上升( , E Ei j i j ⊂ ≤ )的闭线性子空间并且 1 i i E E ∞ = =∪ , 则 En P x → P xE 点点成立. 证明 D 1 记 ∑= = n i Pn Qi 1 , 由定理 6, 利用数学归纳法不难证明 Pn 是投影算子. 由正交性 (Q x,Q x) i j = (Q Q x, x) j i =0 ( i ≠ j ) 故
