数理逻辑的研究目的 逻辑( Logics)研究的是有效的推理方法,数理逻辑 ( Mathematica| Logics)就是用数学化(符号化) 的手段,研究有效的推理方法 什么是有效的推理方法? a有效的推理方法应具备保真性,即如果推理前提真, 则推理结论真 b有效的推理方法的保真性应是普遍的,即不同的人, 在不同的语义环境下使用同样的推理方法,获得真假 性相同的结论 例子:三段论 他是医生,所以他是大夫
2 数理逻辑的研究目的 ◼ 逻辑（Logics）研究的是有效的推理方法，数理逻辑 （Mathematical Logics）就是用数学化（符号化） 的手段，研究有效的推理方法 ◼ 什么是有效的推理方法? a 有效的推理方法应具备保真性，即如果推理前提真， 则推理结论真 b 有效的推理方法的保真性应是普遍的，即不同的人， 在不同的语义环境下使用同样的推理方法，获得真假 性相同的结论 ◼ 例子：三段论 他是医生，所以他是大夫
数理逻辑的研究目的 ■问题:是否所有真命题都可由满足条件a和b的推理方法获得? “真”的分类:形式真、语义真和直觉真 下面中各个蓝色的结论的真假是由什么来决定的?推理形式 语义和直觉? 他是医生,所以他是大夫 2如果下雨,野餐将取消; 现在确实下雨了; 野餐将取消 3如果A优于B; 且B优于C; 则A优于C 4任何一个一班的同学都不能判定本语句是真的
3 数理逻辑的研究目的 ◼ 问题：是否所有真命题都可由满足条件a和b的推理方法获得？ ◼ “真”的分类：形式真、语义真和直觉真 ◼ 下面中各个蓝色的结论的真假是由什么来决定的？推理形式、 语义和直觉？ 1 他是医生，所以他是大夫 2 如果下雨，野餐将取消； 现在确实下雨了； 野餐将取消 3 如果A优于B； 且B优于C； 则A优于C 4 任何一个一班的同学都不能判定本语句是真的
数理逻辑的研究目的 ■注:d与说谎者悖论的区别(说谎者悖论:本 语句是在说谎) d与哥德尔不完备性定理之间的关系 数理逻辑的研究目的:研究形式有效的推理, 用形式手段地刻画人们对形式真的朴素理解
4 数理逻辑的研究目的 ◼ 注：d与说谎者悖论的区别（说谎者悖论：本 语句是在说谎） d与哥德尔不完备性定理之间的关系 ◼ 数理逻辑的研究目的：研究形式有效的推理， 用形式手段地刻画人们对形式真的朴素理解
逻辑学的历史 亚里士多德( Aristotle,B.C.384-B.C.322):三 段论 ■莱布尼茨( Gottfried wilhelm von leibniz,1646 1716):将推理还原为计算 ■布尔( George boole1815-1864):形式符号和等 式,布尔代数 ■弗雷格( Gottlob Frege,1848-1925):一阶逻辑 ■罗素( Bertrand russell,1872-1970):逻辑主义 希尔伯特( David hilbert,1862-1943):形式主义 ■哥德尔( Kurt gode,1906-1978):逻辑和形式方 法不充分性
5 逻辑学的历史 ◼ 亚里士多德（Aristotle，B.C. 384-B.C. 322）：三 段论 ◼ 莱布尼茨（Gottfried Wilhelm von Leibniz， 1646- 1716）：将推理还原为计算 ◼ 布尔（George Boole 1815-1864）：形式符号和等 式，布尔代数 ◼ 弗雷格（Gottlob Frege，1848-1925）：一阶逻辑 ◼ 罗素（Bertrand Russell，1872-1970）：逻辑主义 ◼ 希尔伯特（David Hilbert，1862-1943）：形式主义 ◼ 哥德尔（Kurt Godel, 1906-1978）：逻辑和形式方 法不充分性
数理逻辑的主要内容 ■命题逻辑、谓词逻辑、非古典逻辑 ■模型论、证明论、递归论、公理化集合论 模型论:用集合论的方法表示数学概念 证明论:用形式化的方法研究数学证明的过程 递归论:
6 数理逻辑的主要内容 ◼ 命题逻辑、谓词逻辑、非古典逻辑 ◼ 模型论、证明论、递归论、公理化集合论 模型论：用集合论的方法表示数学概念 证明论：用形式化的方法研究数学证明的过程 递归论：
第一章命题逻辑 1-1命题及其表示法 ■定义1:命题是一个具有确定真值的陈述语句 注:真值表示真假的性质,其可能的取值只有“真”和 “假”,通常有“T表示真,“F表示假 ■例子:5是一个整数 3是偶数 x+y=4 你吃过饭了吗? 我正在说谎 任何一个一班的同学都不能断定本语句是真的
7 第一章 命题逻辑 1-1 命题及其表示法 ◼ 定义1：命题是一个具有确定真值的陈述语句 ◼ 注：真值表示真假的性质，其可能的取值只有“真”和 “假”，通常有“T”表示真，“F”表示假。 ◼ 例子：5是一个整数 3是偶数 x+y=4 你吃过饭了吗? 我正在说谎 任何一个一班的同学都不能断定本语句是真的
1-1命题及其表示法 定义2:原子命题是不能再分解为更简单命题的 命题 ■例子:苏格拉底是哲学家 德国和法国都是欧洲国家 ˉ注:1原子命题与维特根斯坦的原子事实 2原子命题的界定不宜绝对化 3原子命题常用大写字母A,B,…,P, Q,…或带下标的大写字母来表示
8 1-1 命题及其表示法 ◼ 定义2：原子命题是不能再分解为更简单命题的 命题 ◼ 例子：苏格拉底是哲学家 德国和法国都是欧洲国家 ◼ 注：1 原子命题与维特根斯坦的原子事实 2 原子命题的界定不宜绝对化 3 原子命题常用大写字母A，B，…，P， Q，…或带下标的大写字母来表示
1-1命题及其表示法 ■定义3:由原子命题、联结词或标点符号的复 合构成的命题称复合命题 例子:昨天下雨,今天也在下雨 ■定义4:表示命题的符号称为命题标识符 ■定义5:一个命题标识符如果表示确定的命题, 称为命题常元;如果命题标识符可以表示某类 题中的任何一个,称为命题变元
9 1-1 命题及其表示法 ◼ 定义3：由原子命题、联结词或标点符号的复 合构成的命题称复合命题 ◼ 例子： 昨天下雨，今天也在下雨 ◼ 定义4：表示命题的符号称为命题标识符 ◼ 定义5：一个命题标识符如果表示确定的命题， 称为命题常元；如果命题标识符可以表示某类 命题中的任何一个，称为命题变元
1-2命题的联结词 作用:规范日常语言中联结词(如“与”、“或 等)在命题逻辑中的意义和用法,这里联结词可 以看作是作用于命题之上的运算符 定义1:设P为一命题,P的否定是一个新的命题, 记为P。若P为T,ηP为F;若P为T,P为F ■例子:P:上海不是一个大城市 P 10
10 1-2 命题的联结词 ◼ 作用：规范日常语言中联结词（如“与” 、 “或” 等）在命题逻辑中的意义和用法，这里联结词可 以看作是作用于命题之上的运算符 ◼ 定义1：设P为一命题，P的否定是一个新的命题， 记为┐P。若P为T， ┐P为F；若┐P为T，P为F ◼ 例子：P：上海不是一个大城市 ┐P：？
1-2命题的联结词 ■定义2:两个命题P和Q的合取是一个复合命题, 记作P∧Q。当且仅当P、Q同时为T时,P∧Q为T 其他情况下P∧Q均为F 例子:P:地球是球形的 Q:牛顿是物理学家 P∧Q:地球是球形的并且牛顿是物理学家 P:拿破仑是科西嘉人 Q:拿破仑不是科西嘉人(-P) P∧Q:拿破仑是科西嘉人并且拿破仑不是 科西嘉人 11
11 1-2 命题的联结词 ◼ 定义2：两个命题P和Q的合取是一个复合命题， 记作P∧Q。当且仅当P、Q同时为T时，P∧Q为T， 其他情况下P∧Q均为F ◼ 例子：P：地球是球形的 Q: 牛顿是物理学家 P∧Q: 地球是球形的并且牛顿是物理学家 P：拿破仑是科西嘉人 Q: 拿破仑不是科西嘉人 （ ┐P） P∧Q:拿破仑是科西嘉人并且拿破仑不是 科西嘉人