北京师范大学 2006年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目:专业基础(数学分析、高等代数) 1.当a、b为何值时,下列线形方程组有解,并求解: ax1+(b+1)x+2x3=1 ax1+(2b+1)x2+3x3= ax1+(b+1)x2+(b+4)x3=2b+1 2.V是n维的线形空间,V1、V2是V的子空间,且V1、V2的维数相等,证明存在一个子 空间W,使得V=V⊕W=V2⊕W。 3.证明:(1)若A是可逆矩阵,则AA′是正定矩阵。 (2)若A是对称矩阵,证明存在一个实数s,使得矩阵In+sA是正定矩阵 4.A、B是n阶矩阵,证明: (1)秩(A-ABA)=秩A+秩(In-BA)-n (2)若A+B=n,且秩A+秩B=n,则A2=AB2=B,且AB=0=BA 5.若0x0)上的第一型曲面
北京师范大学 2006 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目：专业基础（数学分析、高等代数） 1. 当 a、b 为何值时，下列线形方程组有解，并求解： 1 2 3 ax b x x + + + = ( 1) 2 1 1 2 3 ax b x x + + + = (2 1) 3 1 1 2 3 ax b x b x b + + + + = + ( 1) ( 4) 2 1 2. V 是 n 维的线形空间，、V1、V2 是 V 的子空间，且 V1、V2 的维数相等，证明存在一个子 空间 W，使得 V V W V W = = 1 2 。 3. 证明：（1）若 A 是可逆矩阵，则 AA′是正定矩阵。 （2）若 A 是对称矩阵，证明存在一个实数 s，使得矩阵 In+sA 是正定矩阵。 4. A、B 是 n 阶矩阵，证明： （1） 秩（A－ABA）=秩 A+秩(In－BA)－n （2） 若 A+B=In,且秩 A+秩 B=n,则 A2=A,B2=B,且 AB=0=BA 5. 若 0< x1<1,0<α<1,数列{xn}满足关系式：xn+1=1-(1- xn ) α ,求 lim n x x → 及 1 lim n x n x x + → 6．求 2 2 2 ( ) x xy y R I e dxdy − − + = ，其中 R 2 表示整个平面。 7．函数 f x C ( ) [ 1,1] − ,且有 1 1 1 1 f x dx xf x ( ) 0 , ( ) 0 − − = = ，证明：至少存在两个不同元 (−) ，使得 f f ( ( ) 0 ) = = 8．函数 g x C g g g ( ) [0,1], (1) 0, (1) 0( (1) = = 且 可理解为左导数) ，证明： 0 ( ) n n x g x = 在 [0，1]上一致收敛。 9． 3 f R 在 上有二阶连续偏导， 3 ( , , ) x y z R ，记 ( , , ) ( 0) r f B x y z r 在 上的第一型曲面
积分:F(x,y,=;P)= 4Tr2 JJB(x,, =) f(u,v,w)ds,其中B,(x,y,=)(>0)表示中心 在(x,yz),半径为r的球面{(,,)∈R:(x-)2+(y-)2+(z-1)2=r2},d表示 B(x,y,=)上的面积微元,求证: i> limF(x,y,=; r)=f(,y,=) aF(x,y, =,r) Im ii> lim aFO x:),此处△=0++G表示F中的Lase r→0 a- 微分算子。 10.已知函数f(x)∈CI0,1,且f(0)=0, 证明:若存在a>0,B>0,a>B使得1im(a3)-/Bx)=ceR为常数),则 f(x)在点x=0的右导数存在
积分： 2 ( , , ) 1 ( , , ; ) ( , , ) 4 B x y z r F x y z r f u v w ds r = ，其中 ( , , ) ( 0) B x y z r r 表示中心 在 ( , , ) x y z 半径为 r 的球面 3 2 2 2 2 {( , , ) : ( ) ( ) ( ) } u v w R x u y v z w r − + − + − = ，ds 表示 ( , , ) B x y z r 上的面积微元，求证： ⅰ> 0 ( , , ; ) ( , , ) lim r F x y z r f x y z → + = ； ⅱ> 0 ( , , ; ) 0 lim r F x y z r → + r = ⅲ> 2 2 0 ( , , ; ) ( , , ) lim r F x y z r f x y z → + r = ，此处 2 2 2 2 2 2 x y z = + + 表示 3 R 中的 Laplace 微分算子。 10．已知函数f x C f ( ) [0,1], (0) 0, = 且 证明：若存在 使得 0 ( ) ( ) ( lim x f x f x c c R x → + − = 为常数) ，则 f x( ) 在点 x = 0 的右导数存在