《数学分析》课程教学资源（试题集锦）总练习题提示与解答

总练习题提示与解答 第一章实数集与函数 1.设a,b∈R,证明 (1)max,b)2=5(a+b+l-b) (2)mx{,b}=(a+b-|a-b) 提示讨论a≥b和a0) 6.已知函数y=f(x)的图像,试作下列各函数的图像 (1)y=-f(x);(2)y=f(-x);(3)y=-f(-x);(4)y=f(x);(5)y=sgnf(x);(6)

总练习题提示与解答 第一章 实数集与函数 1．设 a,bR ，证明： （1）   ( ) 2 1 max a,b = a + b + a − b ； （2）   ( ) 2 1 mix a,b = a + b − a − b . 提示 讨论 a b和a b 两种情况. 2．设 f 和g 都是 D 上的初等函数.定义 M (x) = maxf (x), g(x),m(x)f (x), g(x), xD . 试问 M (x)和m(x) 是否为初等函数？ 解 应用第 1 题结论，可得 ( ( ) ( ) ( ) ( )) 2 1 M(x) = f x + g x + f x − g x . 若 f (x), g(x) 是初等函数，则 f (x)  g(x) 也是初等函数. f (x) − g(x) 可看作初等函数 2 y = u = u 与 u = f (x) − g(x) 的复合函数，因而也是初等函数，于是 M(x) 是初等函数.同理 m(x) 也是初等函数. 3．设函数 x x f x + − = 1 1 ( ) ，求 , ( ), ( ( )) ( ) 1 ), 1 ( ), ( 1), ( ) 1, ( 2 f x f f x x f x f −x f x + f x + f .         + − − + + − + + − − + x x x x x x x x x x x x , 1 1 , 1 1 , 1 1 , 1 2 , 2 , 1 1 2 2 4．已知 ) 1 ( x f = 2 x + 1+ x ，求 f (x) .         + = + x x x f x 2 1 1 ( ) 5．利用函数 y =[x] 求解： （1）某系各班级推选学生代表，每 5 人推选一名代表，余额满 3 人可增选 1 名.写出可推选代 表数 y 与班级学生数 x 之间的函数关系（假设每班学生数为 30~50 人）；         =       + = , 30,31, ,50 5 2 x  x y （2）正数 x 经四舍五入后得整数 y，写出 y 与 x 之间的函数关系.（y=[x+0.5],x>0） 6．已知函数 y = f (x) 的图像，试作下列各函数的图像： （1） y = − f (x) ；（2） y = f (−x) ；（3） y = − f (−x) ；（4） y =| f (x)| ；（5） y = sgn f (x) ；（6）

y=2(x)+/()y=U(x)- 7.已知函数∫和g的图像,试作下列各函数的图像 (1)(x)=max{(x),g(x)};(2)v(x)=mx{(x,g(x)} 提示应用上面第2题解答和第6题(6),(7) 8.设f,g和h为增函数,满足 f(x)≤g(x)≤h(x),x∈R 证明:f(f(x)≤g(g(x)≤h(h(x) 证因为x∈R,f(x)≤g(x),且f为增函数,所以 f(f(x)≤f(g(x) 又因f(y)≤g(y),取y=g(x),即有f(f(x)≤f(g(x);于是证得f(f(x)≤f(g(x)同理 利用g(x)是增函数可证g(g(x)≤h(H(x)这里没有用到h(x)的增函数性质(如果顺序倒过来证 就会用到h(x)的递增性) 9.设∫和g为区间(ab)上的增函数,证明第7题中定义的函数o(x)和v(x)也都是(a1b) 上的增函数 证现证v(x)=mn{(x),g(x)}为增函数设x1,x2∈(a,b),x1f(-x2) 2.设∫,g为D上的有界函数证明 (1)inf f(x)+8(x))< inf f(x)+sup g(x) (2)sup f(x)+inf g(x)<sulf(x)+g(x) 证法一(1)因为vx∈D,g(x)≤supg(x),于是 f(x)+g(x)sf(x)+sup g(x) 由教材§4,习题7可知 inf ff(x)+g(x))s inff(x)+sup g(x)=inf f(x)+ sup g(x)

 ( ) ( ) 2 1 y = f x + f x ；（7）  ( ) ( ) 2 1 y = f x − f x . 7．已知函数 f 和 g 的图像，试作下列各函数的图像： （1） (x) = maxf (x), g(x) ；（2）  (x) = mixf (x), g(x). 提示 应用上面第 2 题解答和第 6 题（6），（7）. 8．设 f ，g 和 h 为增函数，满足 f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) ， x R . 证明： f ( f (x)) ≤ g(g(x)) ≤ h(h(x)). 证 因为 xR ， f (x) ≤ g(x) ，且 f 为增函数，所以 f ( f (x)) ≤ f (g(x)) ； 又因 f ( y) ≤ g(y) ，取 y = g(x) ，即有 f ( f (x)) ≤ f (g(x)) ；于是证得 f ( f (x)) ≤ f (g(x)).同理， 利用 g(x) 是增函数可证 g(g(x)) ≤ h(h(x)).这里没有用到 h(x) 的增函数性质（如果顺序倒过来证， 就会用到 h(x) 的递增性）. 9．设 f 和 g 为区间（a,b）上的增函数，证明第 7 题中定义的函数 (x) 和 (x) 也都是（a,b） 上的增函数. 证 现证 (x) = minf (x), g(x) 为增函数.设 1 2 1 2 x , x (a,b), x  x ，按定义 ( )1 f x ≤ ( ) 2 f x ， ( ) 1 g x ≤ ( ) 2 g x ， 于是 minf (x1 ), g(x1 ) ≤ ( )1 f x ≤ ( ) 2 f x ， minf (x1 ), g(x1 ) ≤ ( ) 1 g x ≤ ( ) 2 g x . 这样就证得 minf (x1 ), g(x1 ) ≤ minf (x2 ), g(x2 )， 即 minf (x), g(x) 为增函数.同事可证 maxf (x), g(x) 也为增函数. 10．设 f 为[-a,a]上的奇（偶）函数.证明：若 f 在[0,a]上增，则 f 在[-a,0]上增（减）. 提示 若 1 2 1 2 x , x [−a,0], x  x ，则 1 2 1 2 x , x [−a,0], x  x ，于是 ( ) ( ) 1 2 f −x  f −x . 12．设 f ， g 为 D 上的有界函数.证明： （1） inf f (x) g(x) x D +  ≤ inf f (x) sup g(x) x D x D   + ； （2） sup f (x) inf g(x) x D x D   + ≤ supf (x) g(x) x D +  . 证法一 （1）因为 xD, g(x) ≤ sup g(x) xD ，于是 f (x) + g(x) ≤ f (x) sup g(x) xD + . 由教材§4，习题 7 可知 inf f (x) g(x) x D +  ≤       +   inf f (x) sup g(x) x D x D = inf f (x) sup g(x) x D x D   +

最后等式是应用了本书§2范例4中的结论 (2)x∈D,f(x)+nfg(x)≤f(x)+g(x) 于是 supf(x)+inf g(x)0,nfg(x)>0.由于f,g的非负性,因此 f(x)·nfg(x)≤f(x)g(x), 由此可得 inf(x)inf g(x))0) 若f∫,g的非负性条件不满足,结论(1)可能不成立例如 f(x)= 2(x-1),g(x)=-x,x∈D=[0,, ∫是非负函数,g是非正函数,不难验证 inf f(x)=0, inf g(x) inff(x).(x)=inf x(x-D=-

最后等式是应用了本书§2 范例 4 中的结论. （2） x D ， f (x) inf g(x) xD + ≤ f (x) + g(x)， 于是 supf (x) inf g(x) x D x D   + ≤ supf (x) g(x) x D +  ， 由此即得 sup f (x) inf g(x) x D x D   + ≤ supf (x) g(x) x D +  . 证法二 （1）由 sup g(x) xD =- inf  g(x) x D −  ，应用教材§4 例 2 中的结论，有 inf f (x) g(x) x D +  + inf  g(x) x D −  ≤ inf f (x) xD ， inf f (x) g(x) x D +  ≤ inf f (x) sup g(x) x D x D   + . 同理可证（2）. 13．设 f ， g 为 D 上非负有界函数.证明： （1） inf f (x) inf g(x) xD xD  ≤ inf f (x) g(x) x D   ； （2） supf (x)g(x) xD ≤ sup f (x) sup g(x) xD xD  证（1）因为 f ，g 为 D 上的非负有界函数，于是 inf f (x) xD ≥0，inf g(x) xD ≥0.若 inf f (x) xD ，inf g(x) xD 中有一为零，则不等式显然成立，故不妨设 inf f (x) xD >0，inf g(x) xD >0.由于 f ， g 的非负性，因此 f (x) ·inf g(x) xD ≤ f (x) g(x) ， 由此可得 inf f (x) inf g(x) xD xD  ≤ inf f (x)g(x) xD ， 于是有 inf f (x) inf g(x) xD xD  ≤ inf f (x)g(x) xD ， 最后不等式是应用了  =   af x a x D inf ( ) inf ( )(  0)  f x a x D . 若 f ， g 的非负性条件不满足，结论（1）可能不成立.例如， ( 1) 2 1 f (x) = − x − ， g x x 2 1 ( ) = − ， xD =[0,1]， f 是非负函数， g 是非正函数，不难验证 inf ( ) = 0  f x x D ， 2 1 inf ( ) = −  g x x D ， inf f (x) g(x) x D   = 16 1 ( 1) 4 1 inf = −       −  x x x D

因而(1)中不等式不成立 同理可证(2) 14.将定义在(0,+∞)上的函数∫延拓到R上,使延拓后的函数为(i)奇函数,(i)偶函 数,设 f(x) (2)f(x)= x2,00, F(x)={0 容易验证,x∈R,F1(-x)=-F1(x),因此F1(x)即为所求的奇函数 (i)F2(x)= x+1,x≥0 sin x. x0,对于vx∈[a,a+h,有|f(x)|≤M Wx∈R,m∈Z,使得x=mh+x1,其中x1∈[a,a+h]因为f以h为周期,所以vx∈R,满足 (x)=|f(mh)+x|=|(x)≤M 即f是R上的有界函数 16.设∫在区间I上有界记 M=sup f(x), m=inf f(x) 证明:

因而（1）中不等式不成立. 同理可证（2）. 14．将定义在（0，+∞）上的函数 f 延拓到 R 上，使延拓后的函数为（i）奇函数，（ii）偶函 数，设 （1） f (x) = sin x +1 ； （2）      − −   = , 1 1 1 , 0 1, ( ) 3 2 x x x x f x 解 （1） f 是定义在（0，+∞）上的，为了把函数 f 延拓到 R 上，必须将 f 定义域扩充到 (−,0] 上去，得到 R 上的函数 F(x) 在（0，+∞）上应当与 f (x) 相合. （i）为了使 f 延拓后成为奇函数，而奇函数的图形关于原点对称，所以应当定义     −  = +  = sin 1, 0. 0, 0, sin 1, 0, ( ) 1 x x x x x F x 容易验证， , ( ) ( ) 1 1 xR F −x = −F x ，因此 ( ) 1 F x 即为所求的奇函数. （ii）    −  +  = 1 sin , 0. sin 1, 0, ( ) 2 x x x x F x 为所求的偶函数. （2）（i）         − − + − −   − −    = , 1 1 1 , 1 0, 1 1 , 0 1, , 1, ( ) 3 2 2 3 1 x x x x x x x x F x 为所求的奇函数. （ii）       − − −   = , 1. 1 1 , | | 1, , 1, ( ) 3 2 3 2 x x x x x x F x 为所求的偶函数. 15．设 f 为定义在 R 上以 h 为周期的函数， a 为实数.证明：若 f 在 [a,a + h] 上有界，则 f 在 R 上有界. 证 由条件 f 在 [a,a + h] 上有界，故 M  0 ，对于 x[a, a + h] ，有 | f (x)| ≤M. xR,mZ ，使得 1 x = mh + x ，其中 [ , ] x1  a a + h .因为 f 以 h 为周期，所以 xR ，满足 f (x) = f (mh) + x1 = f (x1 )  M ， 即 f 是 R 上的有界函数. 16．设 f 在区间 I 上有界.记 M sup f (x) xI = ， m inf f (x) xI = . 证明：

supf(x)-f(x"=M-m 证按确界定义,应当证明 x"∈,f(x)-f(x")≤M (2)VE>0, Ex, x"EI, f(r,)f(r"0,3x',x"∈I,使得 <f(x),f(x")<m+ E 于是 M-m-E<f(r)-f(r")s(r)-f(x") 由此可见 f(x)-f(x”) 第二章数列极限 §1数列极限概念 1.求下列数列的极限: (1) lim Vn3+3"(=3);(2)lm(=0) )(=0) 2.证明

f x f x M m x x I  −  = −   sup ( ) ( ) , . 证 按确界定义，应当证明： （1） x  , x I ， f (x ) − f (x ) ≤ M − m ； （2）   0,x  , x I ， f (x ) − f (x ) m，取正数   M − m .因 为 M sup f (x) xI = ， m inf f (x) xI = ， 所以   0,x  , x I 2  ，使得 ( ) 2 M −  f x   ， 2 ( )  f x   m + ， 于是 M − m −   f (x ) − f (x )  f (x ) − f (x ) . 由此可见 sup ( ) ( ) , f x f x x x I  −    = M − m . 第二章 数列极限 §1 数列极限概念 1．求下列数列的极限： （1） lim 3 ( 3) 3 + = → n n n n ；（2） lim ( 0) 5 = → n n e n ； （3） lim( + 2 − 2 +1 + )(= 0) → n n n n . 2．证明：

(1)imnq"=0qk1);(2)mn 0(a≥1):(3)lmny 设q 1+h (2)先证lm蚂n=0 (3)VE>0,试证彐N,m>N,0n=12,…),则ima1a2…an=a 证(1)因为man=a,于是VE>03N,W>N时,{a-an E ≤ 当N1固定,取n充分大,n>N2时 N=maxN1,N2}时 E 8 即lina+a2+…+an=a 反之不必然,例如an=(-1),n}发散,但是ma+a2++a=0 注所证结论可作为§2范例5中施笃茨定理的推论 (2)若a=0,因为 0≤{a1a2…a ≤a+a2+…+an 令n→∞,由(1)有m4a++a=0,应用迫敛性,有ma2…an=0 若a>0,因为iman=a,所以lm=-又因为a,>0(i=1,2,…,n),利用不等式(其证明见 教材第六章§5习题8(1))

（1） lim 0(| | 1) 2 =  → n q q n n ；（2） 0( 1) lg lim =  →   n n n ；（3） lim ! = 0 → n n n . 提示 （1）设 , 0 1 1  + = h h q . （2）先证 0 lg lim = → n n n . （3）   0 ，试证 , ! 1  ,  ,   n n N n N 设  1 M = ，即 1 !  n M n . 3．设 an a n = → lim ，证明： （1） a n a a an n = + + + → 1 2  lim （又问由此等式能否反过来推出 an a n = → lim ）； （2）若 a  0(n =1,2, ) n ，则 a a a a n n n = → lim 1 2  . 证 （1）因为 an a n = → lim ，于是 1 1   0,N ,n  N 时， 2 | |  an − a  . a n a a an − 1 + 2 ++ ≤ n a1 − a ++ aN − a + aN +1 − a ++ an − a 1 2 ≤ 2 1 1 1   − + − + + − n n N n a a  aN a . 当 N1 固定，取 n 充分大， n  N2 时 2 1 1   − + + − n a a  aN a ，于是当 n  N = maxN1 , N2  时 a n a a an − 1 + 2 ++ ≤    + = 2 2 . 即 a n a a an n = + + + → 1 2  lim . 反之不必然，例如  n  n an = (−1) , a 发散，但是 lim 0 1 2 = + + + → n a a an n  . 注 所证结论可作为§2 范例 5 中施笃茨定理的推论. （2）若 a = 0 ，因为 0≤ n a1a2 an ≤ n a1 + a2 ++ an ， 令 n→ ，由（1）有 lim 0 1 2 = + + + → n a a an n  ，应用迫敛性，有 lim 1 2 = 0 → n n n a a a . 若 a  0 ，因为 an a n = → lim ，所以 n an a 1 1 lim = → .又因为 a 0(i 1,2, , n) i  =  ，利用不等式（其证明见 教材第六章§5 习题 8（1））

≤a1a2…an≤ a1+a2+…+an 于是有 lim taz¨+a n lim 由迫敛性证得 imya1a2…an=a 注上述结论也可以利用指数函数连续性和(1)来证明 1+ (2)ima=1(a>0):(提示:a1=a,a,=1(1≥2) (3)lmVh=1:(4)lm (5)lm=e:(提示:在题3(2)中取an=1+1 √n 1+√2+√3+…+n (6) lim a2>0,.则如= (7)若 lim ml (8)若lm(an-an1)=d,则加man=d 证明:若{n}为递增数列,{bn}为递减数列,且lm(an-bn)=0 则man与mb都存在且相等 提示证明{an},{n}为有界数列 6.设数列{an}满足:存在正数M,对一切n,有 A=a2-a1|+|a3-a2|+…+|an-an1|≤M 证明:数列{an}与{4}都收敛

a a an n 1 1 1 1 2 + ++ ≤ n a1a2 an ≤ n a1 + a2 ++ an ， 于是有 a n a a an n = + + + → 1 2  lim ， n n a a a n 1 1 1 lim 1 2 + + + →  = a a n a a an n = = + + + → 1 1 1 1 1 1 lim 1 2  . 由迫敛性证得 a a a a n n n = → lim 1 2  . 注 上述结论也可以利用指数函数连续性和（1）来证明. （1） 0 1 2 1 1 lim = + + + → n n n  ； （2） lim =1(  0) → a a n n ；（提示： , 1( 2) a1 = a ai = i  ） （3） lim =1 → n n n ；（4） 0 ! 1 lim = n→ n n ； （5） e n n n n = → ! lim ；（提示：在题 3（2）中取 n n n a       = + 1 1 ） （6） 1 1 2 3 lim 3 = + + + + → n n n n  ； （7）若 lim ( 0) 1 =  + → n n n n a b b b ，则 b a n n n = → lim ； （8）若 an an d n − − = → lim( ) 1 ，则 d n an n = → lim . 5．证明：若 an  为递增数列， bn  为递减数列，且 lim( − ) = 0 → n n n a b ， 则 n n a → lim 与 n n b → lim 都存在且相等. 提示 证明 an ，bn  为有界数列. 6．设数列 an  满足：存在正数 M，对一切 n ，有 | | AN = a2 − a1 + | | a3 − a2 +…+ | | an − an−1 ≤M. 证明：数列 an  与 A n  都收敛

证因{An}是递增有界数列,由单调有界定理,数列{An}收敛由数列极限的柯西准则(必要性), E>0,N,Vn>N,对任何正整数P,有 b1>0,记 b bn

证 因 A n  是递增有界数列，由单调有界定理，数列 A n  收敛.由数列极限的柯西准则（必要性），   0,N,n  N ，对任何正整数 P，有 −   A n+ p A n ， 即 an+ p − an = an+ p − an+ p−1 + an+ p−1 − an+ p−2 ++ an+1 − an ≤ an+ p − an+ p−1 + an+ p−1 − an+ p−2 +…+ an+1 − an  ， 对数列 an  应用柯西准则（充分性），可知 an  也是收敛的. 注 满足本题条件的数列称为有界变差数列. 7．设 , 1,2, 2 1 , 2 1 0, 0, 1 1 =          = +        = + + n a a a a a a a n n n    .证明：数列 an  收敛，且其极限 为  . 证 n, 有         + = + n n n a a a  2 1 1 ≥    = n n a a ，       = + a a a  2 1 1 ≥  ， 于是 an  是有下界数列. 再证 an  的递减性： n ，又有         + = + n n n a a a  2 1 1 =         + 2 1 2 n n a a  ≤       + a an  1 2 = n a 由数列极限的单调有界定理，存在 a l n n = → lim . 在         + = + n n n a a a  2 1 1 中令 n→ ，得到       = + l l l  2 1 ， 解出 l =   并舍去负根，有 =  → n n lim a . 8．设 a1  b1  0 ，记 2 −1 + −1 = n n n a b a ， 1 1 2 1 1 − − − − + = n n n n n a b a b b ， n = 2,3, 

证明:数列{n}与{n}的极限都存在且等于√ab 提示an≥bn 9.按柯西收敛准则叙述数列{an}发散的充要条件,并用它证明下列数列{an}是发散的 (1)an=(-)n:(2)an=n丌:(3)=11 解(1)co=1,N,取n0=N+1,m0=N+2 (2)E0=1,wN,取n=N+1,m0=N+2 n-an|≥5 10.设mnan=a,mbn=b,记 S=max a,, b,bT, =min a,, b,I,n=1,2 证明:(1)lmS=max{an,bn}:(2)lmTn=min{an 提示参考第一章总练习题1的结论 第三章函数极限 求下列极限 (1)im(x-[x])(=1);(2)lm([x]+1)(=) (3)lm(√(a+x)(b+x)-√(a-x)(b-x))=a+b) (=1);(5)li (6) lin 1+x-√1 (7) lim 出(-x1-x),mn为正整数/=m-n 解(7)先设m≥2,n≥2,mn为正整数作变换x=1+y,当x→1时,y→>0,于是有

证明：数列 an  与 bn  的极限都存在且等于 a1b1 . 提示 n a ≥ n b . 9．按柯西收敛准则叙述数列 an  发散的充要条件，并用它证明下列数列 an  是发散的： （1） a n n n = (−1) ；（2） 2 sin n an = ；（3） n an 1 2 1 =1+ ++ . 解 （1）  0 =1,N ，取 n0 = N +1,m0 = N + 2， n0 m0 a − a ≥ 0  . （2）  0 =1,N ，取 n0 = N +1,m0 = N + 2， n0 m0 a − a ≥ 0  . 10．设 an a n = → lim ， bn b n = → lim ，记 S n = maxa n , b n , T n = mina n , b n , n =1,2, . 证明：（1） n  n n  n lim S = max a ,b → ；（2） n  n n  n lim T = min a ,b → . 提示 参考第一章总练习题 1 的结论. 第三章 函数极限 1．求下列极限： （1） lim ( [ ]) ( 1) 3 − = → − x x x ；（2） ) 2 1 lim ([ ] 1) ( 1 1 + = − → + x x ； （3） lim( (a x)(b x) (a x)(b x))( a b) x + + − − − = + → ； （4） lim ( 1) 2 2 = − →+ x a x x ；（5） lim ( 1) 2 2 = − − →− x a x x ； （6）       = + − − + − − → 2 3 1 1 1 1 lim 1 3 3 x x x x x ； （7）       − − → − m n x x n x m 1 1 lim 1 ， m,n 为正整数       − = 2 m n . 解 （7）先设 m ≥2， n ≥2， m,n 为正整数.作变换 x =1+ y ，当 x →1 时， y →0 ，于是有       − − → − m n x x n x m 1 1 lim 1

n -lim (CMy+Cmy2+…+yCmy+C2y2+…+ (mCn-nCm)y+(mC -nCa)y+ (Cy+C2y2+…+y")Cy+C2y2+…+y") +C2y2+…+y") mc--nC- m-n 2 若m≥2,n=1时,令1-x=y cy+cy2+…+y2-y 同理可证m=1,n≥2的情况若m=n=1,易见极限为零.于是当mn为正整数时 2.分别求出满足下述条件的常数a与b: (1)lim b=0 x+1 (2)lim Nvx2-x+I-ax (3)lmn(x2-x+1-ax-b=0 解(1)因为 +1-ax-b(1-a)x2-(a+b)x+(1-b)

=         − + − → − + m n y y n y m 1 (1 ) 1 (1 ) lim 0 =         + + + − + + + − → n n n m M m y C y C y y n C y C y y m 0 1 2 2  1 2 2  lim =         + + + + + + − + − + − → ( )( ) ( ) ( ) lim 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 0 n n n m M m n m n n y C y C y y C y C y y mC nC y mC nC y    =         + + + + + + − + + − → ( )( ) ( ) ( ) lim 1 2 2 1 2 2 2 2 2 3 0 n n n m M m n n y C y C y y C y C y y mC nC y y     = 1 1 2 2 m n n m C C mC − nC − = 2 m − n . 若 m ≥2， n =1 时，令 1− x = y ，       − − → − x n x m m x 1 1 lim 1 =         − + + + − → C y C y y y m m M m y 1 lim 1 2 2 0  =         + + + + + − → C y C y y y C y y m M m m m y ( ) lim 1 2 2 2 2 0   = 1 2 m m C C = 2 m −1 . 同理可证 m =1,n ≥2 的情况.若 m = n =1 ，易见极限为零.于是当 m,n 为正整数时       − − → − x n x m m x 1 1 lim 1 = 2 m − n . 2．分别求出满足下述条件的常数 a 与 b ： （1） 0 1 1 lim 2 =        − − + + →+ ax b x x x ； （2） lim ( 1 ) 0 2 − + − − = →− x x ax b x ； （3） lim ( 1 ) 0 2 − + − − = →+ x x ax b x . 解 （1）因为 ax b x x − − + + 1 1 2 = 1 (1 ) ( ) (1 ) 2 + − − + + − x a x a b x b ， 而 0 1 1 lim 2 =        − − + + →+ ax b x x x