《数学分析》课程教学资源（试题集锦）第九章 定积分

第九章定积分 §1定积分概念与牛顿-布莱尼茨公式 例1证明:若f∈ab],且」f(x)x>0,则存在a,月{ab],使 f(x)>0,x∈, 证采用反证法,倘若在任何[a,]c[a,6上都使f(x)≤0,则导致任一积分和 ∑∫()Ax≤0,于是当|→0时极限亦为非正,即 牌∑GAx=(k0, 这与已知条件相矛盾 例2通过对积分和求极限来验证: 0-a≠1 in a 解首先,本题的解法与牛顿-莱布尼茨公式无关,按题意,需假设(1.6)式左边的定积分 存在,然后根据前面问题2的(5),可以通过对联某一特殊积分和求极限而得到该定积分的 为简单起见,取T为等分分割: B (n-1)B- Ax= ,i=1,2,…,n, 并取E=0+1B-a),1=12,…,n,则有 aB-a)B-a a'dx=lm∑a a" lim 2. B-a n

第九章 定积分 §1 定积分概念与牛顿-布莱尼茨公式 例 1 证明：若 f a,b ，且 f (x)dx 0 b a  ，则存在 ,   a,b ，使 f (x) 0, x,  证 采用反证法，倘若在任何 ,   a,b 上都使 f (x)  0 ，则导致任一积分和  ( ) =   n i i i f x 1  0 ，于是当 T →0 时极限亦为非正，即  ( ) ( ) = →  =   n i b i i a T f x f x dx 1 0 lim  0 ， 这与已知条件相矛盾。 □ 例 2 通过对积分和求极限来验证： a a a a dx x ln     −  = ， 0  a  1 （1.6） 解 首先,本题的解法与牛顿-莱布尼茨公式无关,按题意,需假设(1.6)式左边的定积分 存在，然后根据前面问题 2 的（5），可以通过对联某一特殊积分和求极限而得到该定积分的 值。 为简单起见，取 T 为等分分割： ( )( )       − − + − = +         , 1 , , , n n n T  ， ,i 1,2, , n; n xi T =  −  = =   并取 ( ) n i i     − = + ，i =1,2,  ,n ，则有 ( ) = −  − + →  = n i n n i n x a dx a 1 lim        = − → −          = n i i n n n a a 1 lim      ( ) n a a a a n n n          −  − − = − − − → 1 1 lim ( ) n n n a n a a a          − − → − − − = −  1 1 lim

(a-a).1.lim 1→1-a a)lim a In a 例3设f∈{ab],g与∫仅在有限个点处取值不同,试由可积定义证明g∈] 且有 「g(xkhx=f(xkhx 证不失一般性,设g与f只在一点处取值不同,而且为g(b)≠f(b) 记f(x)kx=J,因f∈b,故E>0,彐61>0,当<61时,对一切5H有 g() 于是又有 fl Ax lg(5)-f(),r 由于当1≤1≤n-1时,g()-f(5,)=0,而当=n时无论5n=b或5n≠b 都有 g(n)-f(n)≤g(6)-f6), 因此只要 r<δ=mn16 就能保证 g()

( ) t t a t a a − = −   → 1 1 lim   ( ) a a a a t t ln 1 lim − = − →   a a a ln   − = 例 3 设 f a,b，g 与 f 仅在有限个点处取值不同，试由可积定义证明 g a,b， 且有 g(x)dx f (x)dx b a b a  =  证 不失一般性，设 g 与 f 只在一点处取值不同，而且为 g(b)  f (b) 记 f (x)dx J b  a = ，因 f a,b ，故   0 ， 1  0 ，当 T  1 时，对一切   n i 1  有 ( ) 1 2     =  − n i i i g x J ； 于是又有  ( )  ( )  ( ) = = =  −   −  n i n i i i i i n i i i g x J g x f x 1 1 1     ( ) = +  − n i i i f x J 1   ( ) ( ) = −  + N I g i f i T 1 2     由于当 1 i  n −1 时， g( i ) − f ( i ) = 0 ，而当 i = n 时无论  n = b 或  n  b ， 都有 g( ) f ( ) g(b) f (b)  n −  n  − ， 因此只要 ( ) ( )         − = g b f b T 2 min , 1    ， 就能保证 ( )       − + = =1 2 2  n i i i g x J

这即为g∈ab],且 「g(x)dx=J=f(xkh 本例说明:一个可积函数,当它的有限个函数值发生改变时,既不会影响它的可积性 也不会影响它的定积分之值,这个重要性性质在以后常会用到 例4通过化为定积分后求极限 n(n+1)-(2n-1) 解这类问题的解题思想,是要把所求极限化为某个函数f(x)在某一区间[a,b]上的积 分和的极限,然后利用牛顿-莱布尼茨公式计算J=6f(xkx的值 由于(1.7)式中的根式不是一个和式,而是一个连乘积,因此可望通过求对数后化为 累加形式,为此记 I=In J 不难看出,1是函数f(x)=h(+x)在区间[0,1上对应于n等分分割,并取 的一个积分和 同于f(x)=h(1+x)在[0,1上连续,且存在原函数 故由定理9.1知道∫(x)∈[0,且有 I,=John(1+x) +x)n(+x)-=2h

这即为 g a,b ，且 g(x)dx J f (x)dx b a b a  = =  □ 本例说明：一个可积函数，当它的有限个函数值发生改变时，既不会影响它的可积性， 也不会影响它的定积分之值，这个重要性性质在以后常会用到 例 4 通过化为定积分后求极限： n(n ) ( n ) J n n n + − = → 1 2 1 1 lim  （1.7） 解 这类问题的解题思想，是要把所求极限化为某个函数 f (x) 在某一区间 a,b 上的积 分和的极限，然后利用牛顿-莱布尼茨公式计算 J f (x)dx b a =  的值。 由于（1.7）式中的根式不是一个和式，而是一个连乘积，因此可望通过求对数后化为 累加形式，为此记 ( ) ( ) n n n n n n J 1 2 1 1 = +  − n n n n       −  +      =  + 1 1 1 1 1  ,  − =       = = + 1 0 ln 1 1 ln n i n n n i n I J 不难看出，In 是函数 f (x) = ln(1+ x) 在区间[0，1]上对应于 n 等分分割，并取       − =  n i n i n i i , 1  ，i =1,2,  ,n 的一个积分和 同于 f (x) = ln(1+ x) 在[0，1]上连续，且存在原函数 F(x) = (1+ x)ln(1+ x) −1， 故由定理 9.1 知道 f (x)0,1 ，且有 I I ( x)dx n n = =  + → lim ln 1 1 0 (1 )ln(1 ) 1 2ln 2 1 1 = + x + x − 0 = −

于是就可求得 J=lim =ea 注上面L也可看作x在[1,2]上的一个积分和,或者是h(x-1)在[2,3]上的一个 积分和,……亦即 =h(+xx=2hxtx=… 例5试求由曲线y=x+以及直线x=2和x轴所围曲边梯形(图9-1)的面积S 解由于 x(-x)x∈D x(x-1)x∈(1,2] 因此依据定积分的几何意义,可求得 S=JoxI-xMx+x(x-l)d 66 例6设f(x)在[0,1上可积,且为凸函数,试证: bf(x)dx≥ (1.8) 证凸函数的特征是:V4(0<<1),恒有 (x)+(-4)/(x)≥f(x+(0-x)x)

于是就可求得 n n I n n J J e → = = → lim lim e e e I e 4 4 ln = = = 注 上面 In 也可看作 ln x 在[1，2]上的一个积分和，或者是 ln(x −1) 在[2，3]上的一个 积分和，……亦即 I =  1 0 ln(1+ x)dx =  1 2 ln xdx= 例 5 试求由曲线 y = x1+ x 以及直线 x=2 和 x 轴所围曲边梯形（图 9-1）的面积 S。 解 由于 ( )   ( )    −  −  − = 1 , (1,2], 1 , 0,1 , 1 x x x x x x x x 因此依据定积分的几何意义，可求得 S x(1 x)dx x(x 1)dx 2 1 1 =  0 − +  − 2 1 3 2 1 0 2 3 2 3 3 2         + −         = − x x x x 1 6 5 6 1 = + = □ 例 6 设 f (x) 在[0，1]上可积，且为凸函数，试证： ( )         2 1 1 0 f x dx f （1.8） 证凸函数的特征是： (0   1) ，恒有 ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ' '' ' '' f x + 1−  f x  f x + 1−  x ；

特别当λ=-时,满足 l[()+/()x+x (1.9) 要想证明不等式(1.8),可以先把左边的定积分表示成某一积分和的极限,以便能用 (1.9)把积分和中各项与f相联系,为方便起见,我们将[o,1等分为2n个小区间, 并取为第I个小区间的中点(i=1,2,…,2n),则有 f(xkx=im∑f(,) 由于 因此由(1.9)得到 ∑∫(:)=[(5)+/(n)+…+[/(n)+/(n 于是就证得 2 即不等式(1.8)成立。 把本例中的区间[0,1改为一般的[a,b]时,在同样的条件下,类似地可证得 ∫/(x)x≥ atb 请读者自行写出推导过程

特别当 2 1  = 时，满足  ( ) ( )         + +  2 2 1 ' '' ' '' x x f x f x f （1.9） 要想证明不等式(1.8)，可以先把左边的定积分表示成某一积分和的极限，以便能用 （1.9）把积分和中各项与       2 1 f 相联系，为方便起见，我们将[0，1]等分为 2n 个小区间， 并取  i 为第 I 个小区间的中点（i=1,2,…,2n）,则有 ( )  ( ) = →  = n i i n n f x dx f 2 1 1 0 2 1 lim  由于 ( ) 2 1 2 1  i +  2n−i+1 = ， i =1,2,  ,n, 因此由（1.9）得到  ( )  ( ) ( )  ( ) ( ) = = + + + + + n i i n n n f f f f f 2 1   1  2    1             +  + +      +  + 2 2 2 1 2n n n 1 f f            = 2 1 2nf 于是就证得  ( ) = →        n i i n f n f 2 1 2 1 2 1 lim  即不等式（1.8）成立。 □ 注 把本例中的区间[0，1]改为一般的[a,b]时，在同样的条件下，类似地可证得 ( ) (b a) a b f x dx f b a  −      +   2 请读者自行写出推导过程

§2可积条件 例1设f∈:{ab],g(x)=e,试用两种方法证明g∈s{ab 证[证法一因f∈{a,b],故彐M1>0,使 (x)≤M1,x∈ab] 于是有 g(x)≤eM=M,x∈[ab 因此由微分值定理推知 )_e/(x) xX∈Ar supEr)-fG) xx∈A2 ≤Ms甲p/()-/(x =Mo!(其中n在/(x)与/(x之间) (2.2) 根据可积第二充要条件(必要性),VE>0,彐某分割T,可使 ∑aAx 对于同一分割T,据(2.2)式便有 ∑ DAx, sM∑! E E 再由可积第二充要条件(充分性),证得g(x)=e∈ab [证法二]利用复合函数可积性质(教材第235页例2),已知h)=e"为连续函数, f(x)在a,b]上为可积函数,则 g(x)=h(/(x)=e∈9b 例2证明:若f∈b,[,月]=[a,b],则f∈a

§2 可积条件 例 1 设 f a,b， ( ) f (x) g x = e ，试用两种方法证明 g a,b 证[证法一]因 f a,b ，故 M1  0 ，使 ( ) M1 f x  ， xa,b ； 于是有 g(x) e M M  = 1 ， xa,b 因此由微分值定理推知 ( ) ( ) ' '' ' '' sup f x f x x x x g i e e i = −   ( ) ( ) ' '' ' '' sup f x f x i x x = −  ( ) ( ) ' '' ' '' M sup f x f x i x x  −  f = Mi （其中 在f (x ' )与f (x '' )之间 ） （2.2） 根据可积第二充要条件（必要性），   0 ， 某分割 T，可使 ( )   T i f i M x    ； 对于同一分割 T，据（2.2）式便有 ( )      T i f i i g i  x M  x    = M  M 再由可积第二充要条件(充分性),证得 ( ) ( ) g x e a b f x =  , □ [证法二] 利用复合函数可积性质(教材第 235 页例 2),已知 ( ) u h u = e 为连续函数， u = f (x) 在[a,b]上为可积函数，则 ( ) ( ( )) ( ) g x h f x e a b f x = =  , □ 例 2 证明：若 f a,b，,   a,b ，则 f ,  

证VE>0,因f∈ab],故彐分割T,使 把a,B两点加入T而成T,则由T是T的加密,知道 ∑o△x≤∑ 与此同时,T在[a,B]上的那部分分点构成对[a,月]的一个分割T”,并有 这就证得∫∈ 例3设h(x)是定义在[a,b]上的一个阶梯函数,意即有一[a,b]的分割T,使h(x)在T 所属的每个小区间(x21,x)上都是常(x,)的值可以是任意的,它对hx)的积分无影响), i=1,2,…,n,证明: (1)若f∈,月],则任给E>0,存在阶梯函数h1(x)≤f(x)h2(x)≥f(x)x∈[ab 使得 S(,(x)0,存在阶梯函数 h1(x)≤f(x),h2(x)≥f(x),x∈b 使得 ∫h2xkx-h1(xkx<E 则∫∈b 证(1)由f∈,b],彐T,使得 S()-s(r) 由于s()≤f(xkx≤S(T),因此

证   0 ，因 f a,b ，故  分割 T，使 ( )   T i i  x  把 ,  两点加入 T 而成 ' T ，则由 ' T 是 T 的加密，知道 ( ) ( )     T T X i i I  ' '  x  与此同时， ' T 在[ ,  ]上的那部分分点构成对[ ,  ]的一个分割 '' T ，并有 ( ) ( )  '' ''  ' '  i T T i i i  x  x 这就证得 f ,   □ 例 3 设 h(x) 是定义在[a,b]上的一个阶梯函数，意即有一[a,b]的分割 T，使 h(x) 在 T 所属的每个小区间 ( ) i i x , x −1 上都是常 ( ( )) i h x 的值可以是任意的，它对 h(x) 的积分无影响）， i =1,2,  ,n ，证明： （1）若 f ,   ，则任给   0 ，存在阶梯函数 h (x) f (x)(h (x) f (x)), x a,b 1  2   , 使得 f (x)dx h (x)dx b a b a 1  −  ( h (x)dx f (x)dx ) b a b a  −  2 （2.3） (2)若对任给的   0 ,存在阶梯函数 h (x)  f (x) 1 , h (x)  f (x) 2 , xa,b, 使得 h (x)dx h (x)dx b a b a 2 1  −  , 则 f a,b 证 (1)由 f a,b, T ,使得   = ( ) − ( ) T i f i x S T s T   由于 s(T) f (x)dx S(T) b   a  ,因此

∫f(xkdx-s(T)0,存在一个连续函数g(x)≤f(x),x∈[ab]

f (x)dx s(T) b  a − , S(T) f (x)dx  b a −  (2.4) 所以只要取阶梯函数 1 h 和 2 h 为 ( ) mi h1 x = ( ) M i h2 x = , ( ) i i x x , x  −1 , i =1,2,  ,n, 就有 h (x)dx s(T) b  a 1 = , h (x)dx S(T) b  a 2 = 把它代入(2.4)式，就证得（2.3）式成立。 （2）满足题设条件的阶梯函数 1 h 和 2 h 存在，根据阶梯函数的定义，分别存在分割 T1 和 T2 ，使 S(T ) s(T ) h (x)dx h (x)dx b a b 2 1 a 2 1 −   −  令 T=T1+T2，把 T 看作既是 T1 的加密，又是 T2 的加密，于是有 ( ) ( ) ( )   = − T i f i x S T s T ( ) ( )   2 T1  S T − s ， 这就证得 f a,b 说明 由以上（1）的结论，立即得到 ( ) ( ) 2 h2 x dx h1 x dx b a b a  −  ， 再与（2）相联系，便有如下命题—— f a,b 的充要条件是：存在两个阶梯函数 1 h 和 2 h ， 满足 h (x) f (x) h (x) 1   2 ， xa,b， h (x)dx h (x)dx b a b a 2 1  −  由以上（1）与（2）的证明看到，这个命题其实就是可积第二充要条件的另外一种表达方式。 例 4 证明：若 f a,b ，则对任给的   0 ，存在一个连续函数 g(x)  f (x)，xa,b

使得 「f(xkx-g(xkdx<E 证根据例3(1),取一阶梯函数h,满足 h(x)≤f(x)x∈[a,b], ∫。八(x)x-h(xk< 由f在[a,b]上可积,从而有界,设 (x)≤M,x∈ab] 若M(x)在(x21,x)上为常数m,i=12…n,取 则可构造一个连续函数g()(如图94所示)在x+,x-2|上8()=M)=m:在 x2,和x+2,8()满足g()=一M的线性函数,于是有 g(x)≤hx)≤f(x)x∈ jh(xx-Jg(x≤nM<5 a f(ydx- g(xdx=sf(xdx-f h(rdx +a hx) g(xx<8 请读者自行证明:当f∈a,b]时,存在连续函数g(x)≥f(x),满足 ∫。g(xkx-Jf(xkx<E 例5本题的最终目的是要证明:若f在[a,b]上可积,则f在[a,b]上必定存在无限多

使得 f (x)dx g(x)dx b a b a  −  证 根据例 3（1），取一阶梯函数 h,满足 h(x)  f (x), xa,b， ( ) ( ) 2  f x dx h x dx  b a b a  −  由 f 在[a,b]上可积，从而有界，设 f (x)  M ， xa,b 若 h(x) 在 ( ) i i x , x −1 上为常数 mi ，i =1,2,  ,n, 取 2nM    , 则可构造一个连续函数 g(x) （如图 9-4 所示）：在       − + − 2 , 2 1   i i x x 上 ( ) ( ) mi g x = h x = ；在       i − i x , x 2  和       + 2 ,  i i x x 上， g(x) 满足 g(xi ) = −M 的线性函数，于是有 g(x)  h(x)  f (x), xa,b ( ) ( ) 2  h x dx g x dx nM  b a b  a −   ； f (x)d x g(x)d x f (x)d x h(x)d x b a b a b a b a  −  =  −  h(x)dx g(x)dx b a b a +  −  □ 请读者自行证明：当 f a,b 时，存在连续函数 g(x)  f (x) ，满足 g(x)dx f (x)dx b a b a  −  例 5 本题的最终目的是要证明：若 f 在[a,b]上可积，则 f 在[a,b]上必定存在无限多

个连续点,而且它们在[a,b]上处处稠密,这可以用区间套方法按以下顺序逐一证明: (1)若分割T能使S()-s()<b-a,则在T中存在某个小区间△,,使在其上有 o/(△1)<1 (2)存在区间I1=[a1,b]=(a,b),使得 (,)=sup f(x)-inf f(x) (3)存在区间12={a2,b2](an,b),使得 o (L)=sup f(x)-inf f(x) (4)继续以上方法,求出一区间序列{n}={ an, b,],使得 am,b,c(a,,bmD) sup 可证{n}是一个区间套,其公共点x0∈nn=1,2…是f的一个连续点 (5)按上面方法求得的f的连续点在[a,b]上处处稠密。 *证(1)倘若在小区间上都有 O(△)≥1,i=12…n2 则将出现矛盾: s()-s(T)=∑o(△)x ≥SAx,=b-a (2)由(1),3△,=[x1,x,]c[b,在其上有o/(△,)<1,现按如下规定来得到l 若1<1<n,则取[a1,b1]=[x21,x]=(ab); 若=1,则取叵,b]=[a1x],其中a1为满足a<a1<x1的任意数,则有[a1,b]c(ab 若i=n,则取[a1,b]=[xn1、b],其中b为满足xn<b<b的任意数,同样有 la,, b(a, b) 由此得到的l1=[a1,b]=△,必定有 (1)≤o(△1)<1

个连续点，而且它们在[a,b]上处处稠密，这可以用区间套方法按以下顺序逐一证明： （1）若分割 T 能使 S(T ) − s(T )  b − a ，则在 T 中存在某个小区间 i ，使在其上有 ( i )1 f   ； （2）存在区间 I a ,b  (a,b) 1 = 1 1  ，使得 ( ) sup ( ) inf ( ) 1 1 1 I1 f x f x  x I x I f    = − ； （3）存在区间   ( ) 2 2 2 1 1 I = a ,b  a ,b ，使得 ( ) ( ) ( ) 2 1 sup inf 2 2 I 2 f x f x  x I x I f    = − ； （4）继续以上方法，求出一区间序列 I n = an ,bn  ，使得   ( ) 1 1 , , an bn  an− bn− ， ( ) ( ) ( ) n I f x f x n n x I x I n f 1 sup inf     = − ； 可证 I n  是一个区间套，其公共点 x0  I n , n =1,2,  是 f 的一个连续点； （5）按上面方法求得的 f 的连续点在[a,b]上处处稠密。 *证 （1）倘若在小区间上都有 (i )1 f  , i =1,2,  ,n, 则将出现矛盾： ( ) ( ) ( ) ( ) − =   T i i f S T s T  x ( ) x b a T  i = − （2）由（1）， x x  a b i i i , ,  = −1  ，在其上有 ( i )1 f   ，现按如下规定来得到 1 I ： 若 1 i  n ，则取 a b  x x  (a b) i i , , , 1 1 = −1  ； 若 i =1 ，则取     1 1 1 1 a ,b = a , x ，其中 1 a 为满足 1 1 a  a  x 的任意数，则有 a ,b  (a,b) 1 1  若 i = n ，则取     1 1 1 1 a ,b = xn− ,b ，其中 1 b 为满足 xn−1  b1  b 的任意数 ，同样有 a ,b  (a,b) 1 1  由此得到的   a b i I1 = 1 , 1   ，必定有 ( 1 ) ( i )1 f f  I  