《数学分析》课程教学资源（试题集锦）测试题

测试题 第一章实数集与函数 1.证明:n≥1时,有不等式 √m 然后利用它证明:当m≥2时,有 2.设S是非空数集,试给出数ξ是S的下界,但不是S的下确界的正面陈述 3.验证函数f(x)=xsmx,x∈R,即无上界又无下界 4.设f(x)是定义在R上的奇函数,g(x)是定义在R上的偶函数,试问f(g(x),g(f(x)是奇 函数还是偶函数? 5.证明: arctan+ arccot x=sgx(x≠0) 6.试问下列函数的图形关于哪一竖直轴线对称 bx+c;(2)y=√a+x+√b-x 7.设A,B为R中的非空数集,且满足下述条件 (1)对任何a∈A,b∈B有a0,存在x∈Ay∈B,使得Y-x1,证明 2<1 k! 2.设E={2<7为有理数}求s甲E,mE 3.设A,B为位于原点右方的非空数集 AB=Lx

测试题 第一章 实数集与函数 （A） 1．证明： n ≥1 时，有不等式 2( 1) 1 2( +1 − )   n − n − n n n . 然后利用它证明：当 m ≥2 时，有 2 ) 1 2( 2) 1 m n m m n −   = . 2．设 S 是非空数集，试给出数 是S的下界 ，但不是 S 的下确界的正面陈述. 3．验证函数 f (x) = xsin x, xR ，即无上界又无下界. 4．设 f (x) 是定义在 R 上的奇函数， g(x) 是定义在 R 上的偶函数，试问 f (g(x)), g( f (x)) 是奇 函数还是偶函数？ 5．证明： sgn ( 0) 2 arctanx + arccot x = x x   . 6．试问下列函数的图形关于哪一竖直轴线对称： （1） y = ax + bx + c 2 ；（2） y = a + x + b − x . 7．设 A，B 为 R 中的非空数集，且满足下述条件： （1）对任何 aA,bB 有 a  b ； （2）对任何   0 ，存在 x A, yB ，使得 Y − x   . 证明： sup A = inf B. （B） 1．设 n 为正整数. （1）利用二项式展开定理证明： = − =              = + −      + n k k r n n r n 1 k 1 0 1 ! 1 1 1 1  ，其中  1 0 − = k r 是连乘记号. （2）若 n 1 ，证明：  =   +        + n k n n 1 k 3 ! 1 1 1 2 1 2．设 E rr 7,r为有理数 2 =  ，求 sup E ，inf E 3．设 A，B 为位于原点右方的非空数集， AB = xy x A, yB

证明:nfAB= inf A- inf B 4.设函数f(x)定义于(0,+∞)内,试把f(x)延拓成R上的奇函数,f(x)分别如下: (1)f(x)=e' (2)f(x)=hx 5.试给出函数y=(x),x∈D不是单调函数的正面陈述。 6.证明:当xy1a1>1) 证明iman=1 5.试问下述论断是否正确,并说明理由: (1)lim-+-+……+ lim-+lim-+……+lim n)n→nnn (2)若 lim a=a,则ntf{an}≤ assunta}

证明： inf AB = inf Ainf B 4．设函数 f (x) 定义于 (0,+) 内，试把 f (x) 延拓成 R 上的奇函数， f (x) 分别如下： （1） ( ) x f x = e ； （2） f (x) = ln x 5．试给出函数 y = f (x)， xD 不是单调函数的正面陈述。 6．证明：当 xy 1 时，有不等式 xy x y x y − + + = 1 arctan arctan arctan 7．设 A，B 是非空数集，记 S = A  B ，证明： （1） sup S = maxsup A,sup B ； （2） inf S = mininf A,inf B 第二章 数列极限 （A） 1．按定义验证下列极限： 2 5 2 3 5 4 lim 2 2 = − + − → n n n n 2．设 n n bn + + + = 1 2  2 1 ，求 n n b → lim 3．若 (a a an ) S n + + + = → lim 1 2  ，证明 ( 2 ) 0 1 lim 1 + 2 + + = → n n a a na n  4．设 n a 由下式定义 ( 1, 1) 3 3 1 1 n  a1  a a a n n n + + + = 证明 lim =1 → n n a 5．试问下述论断是否正确，并说明理由： （1） n n n n n n n n n n n 1 lim 1 lim 1 lim 1 1 1 lim → → → →  = + + +      + + +    = 0 + 0 ++ 0 = 0 （2）若 an a n = → lim ，则 inf an  a  supan 

6.设lma=A,求证: im{an+Cla1+…+Ca+…+C"a)=A 7.设数列{xn}满足0≤xn+xn,则 lim - n= inf 1.求limx.,其中 (2) √/+ y=(n=23…),求极限m 3.设man=a,mb=b,a0,(=12,…n),m-=0 1a1+A2a2+…+ +入2+…+λ 7.证明:若有界数列满足2xn≤xn1+xn1,则 (, -xm-)=0 第三章函数极限

6．设 an A n = → lim ，求证： (a C a C a C an ) A n k n k n n n n + + + + + = → 0 1 1   2 1 lim 7．设数列 xn  满足 m n 0  x + x ，则       = → n x n xn n n lim inf （B） 1．求 n n x → lim ，其中 （1）        +       +      xn = + n 2 4 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1  ； （2） = + + + = n i n i x 1 3 3 3 1 2 1  2．设 0  x 1， 2 1 x y = ，…， ( 2,3,) 2 2 2 1 = + = − n x y y n n ，求极限 n n y → lim 3．设 an a n = → lim ， bn b n = → lim ， a  b ，试证存在发散数列 cn  ，满足 n n bn a  c  4．设正数数列 xn  ，满足 0 1 lim = → n n x ，则 xn  必能取到下确界。 5．设 an a n = → lim ， bn b n = → lim ，试证 ab n a bn a bn anb n = + − + + → 1 2 1 1 lim  6．若 an a n = → lim ， n = 1 + 2 ++ n ，i  0 ，(i =1,2,  , n)， 0 1 lim = → n n  证明 a a a a n n n n = + + + + + + →         1 2 1 1 2 2 lim 7．证明：若有界数列满足 2 n  n−1 + n+1 x x x ，则 lim( − −1 )= 0 → n n n x x 第三章 函数极限 （A）

1.试按定义验证 2.写出函数极限lmf(x)=+∞的定义,并按此验证:当a>1时, 3、求极限 4、求极限: I-cos x x03/1 COSx 5、举例说明下面关于lmf(x)=A的定义是不正确的:对于任意d>0,存在E>0,使得当 <x-a<0时,便有(x)-4<E 6、证明:f(x)=-sn-在U°(0)内无界,但x→0时不是无穷大量 7、设对任意正整数n,A是[01]中某些数的有限集,且当m≠n时A∩An≠O,定义函数 x∈A(n=1,2,…) f(x)=n Xg∪A 证明对所有[中的a,linf(x)=0 1、按定义验证: 2、写出函数极限imf(x)=-∞的定义,并验证 3、求极限 x+B1)…(x+Bn) 4、求极限: lim train x

1．试按定义验证： 1 2 1 1 lim 2 2 0 = − − − → x x x x 2．写出函数极限 ( ) = + →− f x x lim 的定义，并按此验证：当 a 1 时， = + − →− x x lim a 3、求极限 . 1 1 1 1 1 1 lim 0           + + − − + → + x x x x x x x 4、求极限： . 1 cos 1 cos lim 3 3 2 0 x x x − − → 5、举例说明下面关于 f x A x a = → lim ( ) 的定义是不正确的：对于任意   0 ，存在   0 ，使得当 0  x − a  时，便有 f (x) − A . 6、证明： x x f x 1 sin 1 ( ) = 在 (0)  U 内无界，但 x → 0 时不是无穷大量。 7、设对任意正整数 n A n , 是 [0,1] 中某些数的有限集，且当 m  n 时 A n  A m  ○，定义函数        = =  0, . , ( 1,2, ), 1 ( ) 1 k k n x A x A n n f x  证明对所有 [0,1] 中的 ,lim ( ) = 0. → a f x x a （B） 1、按定义验证： . 2 1 2 1 1 lim 2 2 = − − − → x x x x 2、写出函数极限 + = − → lim ( ) 0 f x x x 的定义，并验证 lim ln . 0 + = − → x x 3、求极限： lim  ( ) ( ) . 1 x x x n n x + + − →+    4、求极限： . 1 sin cos lim 2 0 x x x x x + − →

5、证明 (1)lm lim f(x) (2)lm lim f(x) 6、设f(1)为t→l0时的无穷大量,P(x)与Q(x)是多项式 P(x)=anx+anx+…+ax+a,an≠0, O(x)=bx+b b,bn≠0, 则当t→t0时 a, ff() n>m P((t)+Q(f(1)~{(an+b)f(t)",n=m bm(f(o) n0. (1)证明等式a=S2-1a (2)若x=∑ a,试证 lim x=a 第四章函九的连续性 1.讨论函数y=-的间断点及其类型 2.设(1)函数f(x)在点x连续,但函数g(x)在点x不连续;(2)函数f(x),g(x)都在点x 不连续,分别讨论∫(x)+g(x)或∫(x)·g(x)在点x是否必定不连续? 3.求极限: (a>0,b>0) 4.求极限: log, (x+h)+ log (x-h)-2 log, x (x>0) 设△ABC为平面上一个三角形,作平行于y轴的直线与三解形相交,证明其中必有一条直

5、证明： （1） lim ( ); 1 lim 0 f x x f x→ x→−  =      − （2） lim ( ). 1 lim 0 f x x f x→ x→  =      6、设 f (t) 为 0 t → t 时的无穷大量， P(x) 与 Q(x) 是多项式： ( ) , 0, ( ) , 0, 1 0 1 1 1 0 1 1 = + + + +  = + + + +  − − − − m m m m m n n n n n Q x b x b x b x b b P x a x a x a x a a   则当 0 t → t 时，        + + = ( ( )) , . ( )( ( )) , , ( ( ) , , ( ( )) ( ( )) ~ b f t n m a b f t n m a f t n m P f t Q f t m m n n n n n   7、设 f (x) ~ x(x →0),a  0. （1）证明等式 = − = n i a n i a 1 2 ; 2 1 （2）若 =       − = n i n a n i x f 1 2 2 1 ，试证 lim x a. n n = → 第四章 函九的连续性 1．讨论函数 x x y sin = 的间断点及其类型. 2．设（1）函数 f (x) 在点 0 x 连续，但函数 g(x) 在点 0 x 不连续；（2）函数 f (x) ，g(x) 都在点 0 x 不连续，分别讨论 f (x) + g(x) 或 f (x) · g(x) 在点 0 x 是否必定不连续？ 3．求极限： ( 0, 0) 1 lim           − + → a b a a b n n n . 4．求极限： ( 0) log ( ) log ( ) 2log lim 2 0  + + − − → x h x h x h x a a a h . 5．设ΔABC 为平面上一个三角形，作平行于 y 轴的直线与三解形相交，证明其中必有一条直

线把三角形分成面积相等的两部分 6.证明:(1)f(x)=cos-在区间(0,1)内不一致连续; (2)g(x)=xcos-在区间(0,1)内一致连续 7.设f(x)在[a+∞)上一致连续,q(x)在[a,+∞)上连续,且lm[f(x)-p(x)=0,证明q(x)在 [a,+∞)上一致连续 (B) 1.讨论函数y=[]的间断点及其类型 2.求极限: lim/q*++*l+ca+ a+b+c 3.求极限: lim tan" /I+I 4.设f(x)在I上连续,证明下述条件互相等价 (1)对任何x1x2∈I x1+x2)∠f(x1)+f(x2) (2)对任何x1,x2∈1及任何0≤a≤1:f(ax1+(1-a)x2)≤f(x1)+(1-a)f(x2) 5.设∫为(-∞,+∞)上的连续函数,对所有x,f(x)>0,且lmf(x)=lmf(x)=0,证明f(x) 必能取到最大值 6.设∫在[a,b]上连续,x为任意数 (1)证明在∫的图形上有一点离(x0,0)最近,即在[a,b内存在某一n使得点(x0,0)到 曲线上任一点(=,f())的距离 (2)试证用R代替[a,b时上述结论也成立 7.设函数∫为[a,b)上的连续函数,且无上界试证:若对任何区间(a,B)c[a,b),f(x)在(a,B) 内不能取得最小值,则∫的值域为区间[f(a)+∞]

线把三角形分成面积相等的两部分. 6．证明：（1） x f x 1 ( ) = cos 在区间（0，1）内不一致连续； （2） x g x x 1 ( ) = cos 在区间（0，1）内一致连续. 7．设 f (x) 在 [a,+) 上一致连续， (x) 在 [a,+) 上连续，且 lim [ ( ) − ( )]= 0 →+ f x x x  ，证明 (x) 在 [a,+) 上一致连续. （B） 1．讨论函数 ] 1 [ x y = 的间断点及其类型. 2．求极限： x x x x x a b c a b c 1 1 1 1 0 lim         + + + + + + + → 3．求极限：       + → n n n 1 4 lim tan  . 4．设 f (x) 在 I 上连续，证明下述条件互相等价： （1）对任何       +  2 , , 1 2 1 2 x x x x I f ≤ 2 ( ) ( ) 1 2 f x + f x ； （2）对任何 , , 1 2 x x I 及任何 0≤ a ≤1； ( (1 ) ) 1 2 f ax + − a x ≤ ( ) (1 ) ( ) 1 2 af x + − a f x . 5．设 f 为 (−,+) 上的连续函数，对所有 x, f (x)  0 ，且 lim ( ) = lim ( ) = 0 →+ →− f x f x x x ，证明 f (x) 必能取到最大值. 6. 设 f 在 [a,b] 上连续， 0 x 为任意数. （1）证明在 f 的图形上有一点离（ 0 x ，0）最近，即在 [a,b] 内存在某一  使得点（ 0 x ，0）到 曲线上任一点（ z, f (z) ）的距离. （2）试证用 R 代替 [a,b] 时上述结论也成立. 7.设函数 f 为 [a,b) 上的连续函数，且无上界.试证：若对任何区间 (, ) [a,b) ，f (x) 在 (, ) 内不能取得最小值，则 f 的值域为区间 [ f (a),+]

第五章导数和微分 1、求下列函数f(x)的导数 (1)f(x)=sin(cos2x) cos(sin2x) (2)f(x)=sn 2、求函数 l+er x*o f(x) 0,x=0 在x=0处的左、右导数,fx=0处可导吗? 3设 nx. xso ∫(x) 试求ab之值,使得f(x)在x=c处可导 4、判断下列命题的真伪,并说明理由 (1)若点x处可导,且在邻域U(x0)内f(x)0,则f(x0)0 (2)若/-a,a]上的偶函数,且f(0)存在,则f(0)=0 5、求下列函数的n阶导数 (1)f(x) (2)f(x)= √1-3x 6、设函数f(x)在x=0处可微,且f(0)=0,证明存在x=0处连续的函数g(x),使得(x)=xg(x) 设∫(x)=sn( marcin x)证明 (1)f(x)适合方程 (1-x2)f"(x)-xf(x)+m2f(x)=0

第五章 导数和微分 （A） 1、求下列函数 f (x) 的导数； （1） ( ) sin(cos ) cos(sin ); 2 2 f x = x  x （2）             = ) sin sin( ( ) sin 2 2 x x x f x 2、求函数        = + , 1 0, 1 ( ) x e x f x 0 0  = x x 在 x = 0 处的左、右导数， f在x = 0 处可导吗？ 3 设    = + sin , , ( ) x ax b f x 0  x x c 试求 a,b 之值，使得 f (x)在x = c 处可导 4、判断下列命题的真伪，并说明理由 （1）若 0 f在点x 处可导，且在邻域 ( ) 0 U x 内 f (x)0 ，则 f (x0 )0 ； （2）若 f为[−a,a] 上的偶函数，且 f (0) 存在，则 f (0) = 0 5、求下列函数的 n 阶导数； 3 2 1 (1) ( ) 2 − + = x x f x （2） x f x 1 3 1 ( ) − = 6、设函数 f (x)在x = 0 处可微， 且f (0) = 0 ，证明存在 x=0 处连续的函数 g(x),使得f (x) = xg(x) 。 7、设 f (x) = sin( marcsin x) 证明 （1） f (x) 适合方程 (1 ) ( ) ( ) ( ) 0 2 2 − x f  x − xf  x + m f x =

(2)求∫((0) 1、求函数f(x)的导数 (1)f(x)= (2)f(x)=sn 2、求函数f(x)=x在x=1处的左、右导数,fx=0处可导吗? 3、设f(x)在x=0处连续,且如mf(x)=1,求证f(x)在x处可导,又问这时f(0)=? 证明:f((O)(k=1,2,…,n)存在,∫(x)在x=0处连续,但∫(x)在x=0处不可导 5、试求由参变量方程 所确定的函数y=f(x)在=0处的切线斜率 6、设f(x)在(a,+∞)内可导,试讨论 (1)由四f(x)存在是否可有如f(x)存在? (2)由f(x)存在是否有如f(x)存在? 7、设∫是定义在(ab)内的函数,在其中某一点x处可导,{xn},{n}为任意两个数列,满足条 件 (x, xo y, ( b, n 且 试证

（2）求 (0) (n) f （B） 1、求函数 f (x) 的导数 （1） ; 1 ( 1 ) 1 ( ) 2 2 x x f x + + = （2）           − − = ) sin sin( ( ) sin x x x x x f x 2、求函数 f (x) = ln x 在 x =1 处的左、右导数， f在x = 0 处可导吗？ 3、设 f (x)在x = 0处连续 ，且 1 ( ) lim →0 = x f x x ，求证 f (x)在x 处可导，又问这时 f (0) = ? 4、设      = + x x som n f x 1 0 2 1 ( ) 0 0  = x x 证明： (0)( 1,2, , ) ( ) f k n k =  存在， ( ) ( ) f x n 在 x=0 处连续，但 ( ) ( ) f x n 在 x=0 处不可导。 5、试求由参变量方程    = + = + x t t y t t t 2 5 4 2 所确定的函数 y = f (x)在t = 0 处的切线斜率 6、设 f (x)在(a,+) 内可导，试讨论 （1） ( ) lim f x 由x→+ 存在是否可有 ( ) lim f x x  →+ 存在？ （2） ( ) lim f x x  由 →+ 存在是否有 ( ) lim f x x→+ 存在？ 7、设 f 是定义在 (a,b) 内的函数，在其中某一点 0 x 处可导， xn ，yn  为任意两个数列，满足条 件： axn x0  yn b,n =1,2 且 0 lim lim y x n→ = n→ n = ，试证

lim f-f(x) 第六章微分中值定理及其应用 设a)1,x)0.证明: (1+x)°}1+ax(x)0) 设函数∫(x)在(a,b)内可导,导函数∫(x)在(a,b)内有界证明:∫是(a,b)内的有界函数反 之试问从函数f(x)有界是否能得到导函数∫(x)是有界的? 3证明函数f(x)为n次多项式的充要条件为 f(m)(x)≡0,x∈R 4设a2-3b(0,证明方程x3+ax2+bx+c=0仅有一实根 5设f(x)在(a,+∞)上可导,且 .f(x)= f(x), 试证:存在5)0,使得∈(a,+∞),使得 d)=0 6设函数f(x)在区间[0,+∞]上可导,且 0≤f(x 7若函数f(x)在Q上二阶可导,且f(0)=0.,f(1)=1,f(0)=f(1)=0,则存在x∈(01),使 (x)≥2 1设函数∫,g在R上可导,且∫(x)g'(x),f(a)=g(a)证明:当x)a时,有f(x)8(x);当x(a时 有f(x)(g(x)

( ) ( ) ( ) 0 lim f x y x f y f x n n n n n =  − − → 第六章 微分中值定理及其应用 （A） 1.设 a1, x0 .证明: (1+ x) 1+ ax(x0) a . 2.设函数 f (x) 在 (a,b) 内可导,导函数 f '(x) 在 (a,b) 内有界,证明: f 是 (a,b) 内的有界函数.反 之,试问从函数 f (x) 有界是否能得到导函数 f '(x) 是有界的? 3.证明:函数 f (x) 为 n 次多项式的充要条件为: f x x R n   + ( ) 0, ( 1) 4.设 3 0 2 a − b ,证明方程 0 3 2 x + ax + bx + c = 仅有一实根. 5.设 f (x) 在 (a,+) 上可导,且 ( ) ( ), lim lim f x f x a x x→ + = →+ 试证:存在  0 ,使得   (a,+),使得 f '( ) = 0 . 6.设函数 f (x) 在区间 [0,+] 上可导,且 . 1 0 ( ) 2 x x f x +   7.若函数 f (x) 在 0,1 上二阶可导,且 f (0) = 0, f (1) = 1, f '(0) = f '(1) = 0 ,则存在 x (0,1) ,使 得 f ''(x)  2. (B) 1.设函数 f , g 在 R 上可导,且 f '(x)g'(x), f (a) = g(a).证明:当 xa 时,有 f (x)g(x) ;当 xa 时, 有 f (x)g(x)

2证明不等式 1-x 1+xe,0(x( 3设函数f(x)在+]上连续当x)时,f(x)k)0,其中k为常数,又f(a)0.证明f(x)在 a,a+- 内有唯一的实根 4设函数∫(x)在点x0的某一领域内存在四阶导数,且 4设函数f(x)在点x的某一领域内存在四阶导数且/“(x)sM证明对于此领域内异于x 的任何x都有 (x)-1()-21(5)+/()M(x-x) (x-x0)2 其中x与x关于x0对称 5设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,f(a)=f(b)=0.试证:对任何a∈R,存在 5∈(a,b)使得a(5)=f(5) 6设定义在(0,a)内的函数f(x)满足条件 (1)f(x)=0 (2 )-kx(f(x(kx(k)0) 证明 =0 7设f(x)在[0上二阶可导且f(O)=()=0,m1(x)=-1试证存在5∈(0)使得 f"()≥8 第七章实数的完备性 、试证明:数列x。= 只有0和1两个聚点 2n+ 2、试证:x0为数列{xn}的聚点的充要条件存在于列{n},使得

2.证明不等式 ,0 1. 1 1 2    + − − e x x x x 3.设函数 f (x) 在 a,+ 上连续,当 xa 时, f '(x)k0 ,其中 k 为常数,又 f (a)0 .证明 f (x) 在         + k f a a a ( ) , 内有唯一的实根. 4.设函数 f (x) 在点 0 x 的某一领域内存在四阶导数,且 4.设函数 f (x) 在点 0 x 的某一领域内存在四阶导数,且 f (x)  M (4) .证明:对于此领域内异于 0 x 的任何 x 都有 2 2 0 0 0 0 ( ) ( ) 12 ( ) 2 ( ) ( ') ''( ) x x M x x f x f x f x f x  − − − + − , 其中 x' 与 x 关于 0 x 对称. 5.设函数 f (x) 在 [a,b] 上连续,在 (a,b) 内可导, f (a) = f (b) = 0 .试证:对任何 aR ,存在   (a,b) 使得 af ( ) = f '( ). 6.设定义在 (0,a) 内的函数 f (x) 满足条件: (1) ( ) 0; lim 0 + = → f x x (2) − kx f (x)kx(k0). 证明: 0 ( ) lim 0 + = → f x x x . 7.设 f (x) 在 [0,1] 上二阶可导,且 f (0) = f (1) = 0 ,  ( ) 1, min x[0,1] f x = − 试证存在  (0,1) 使得 f ''( )  8. 第七章 实数的完备性 （A） 1、试证明：数列 2 1 ( 1) 2 1 + = + − n n x n n 只有 0 和 1 两个聚点。 2、试证： 0 x 为数列 xn  的聚点的充要条件存在于列   nk x ，使得