数学系2002级三、四班数学分析补充材料(二) (实数基本定理习题,2002年10月) 1、从定义出发证明上、下确界的惟一性 2、设B=supE,BgE,试证可从中选取数列{xn},其极限为β;又若B∈E,则情形如何? 3、举例:(1)有上确界无下确界的数列;(2)含有上确界但不含有下确界的数列;(3) 既含有上确界又含有下确界的数列;(4)既不含有上确界又不含有下确界的数列,其中上、下确界 都有限 4、试证:收敛数列必有上确界和下确界;趋于+∞的数列必有下确界,趋于-∞的数列必有 上确界 5、求数列的上、下确界: (1)xn=1- (2)xn=-n2+(-2)2] k, a2k 6、证明:单调有界数列必有极限。 7、试分析区间套定理的条件:若将闭区间列改成开区间列,结果怎样?若将条件{a1,b] a2,b2]{a3,b]>…去掉或将条件bn-an→0(n→∞)去掉,结果怎样?试举例说明 8、若{xn}无界,且不以∞为极限,则必存在两个子列xs(n)→∞,xh()→a(a为某有限数) 其中{9(n)}和{h(m)}是两个严格单调的正整数列。 9、有界数列{xn}若不收敛,则必存在两个子列xg(n)→b,xh(m)→a(n→∞),其中a≠b 10、若在区间[a,b内的两个数列{xn}及{mn}满足lim(xn-m)=0,则在此两数列中能找 出具有相同足标g(n)的子列,使{xg(m}及{vg(n)}收敛于同一极限 11、证明:若an>0(m=1,2,3.)且an而m1=1,则数列{an}收敛 12、证明:若{an}为单调数列,则Tman=lima *13、试证明:确界原理、单调有界定理、闭区间套定理、有限覆盖定理(海涅-波莱尔, borell)、聚点定理、致密性定理( Weierstrass,魏尔斯特拉斯)、柯西( Cauchy)收敛定理两两等价 14、记an={+y}={+)+n∈N+证明(1)数列{a单调增加有界:(2) 数列{bn}单调减少有界;(3) lim an= lim bn=e.其中e=271828…是自然对数的底 15、用上题结论证明下列数列收敛且有共同极限(这极限被称为欧拉常数y=0.577215664901 53286060651…) (1)Dn=1+2+3+…+n-ln (2)En=1+2+3+…+元-n(n+1) 16、设1=sina,rn+1= sIn r,n=1,2,…证明:数列{xn}收敛
1 2002 2002 10 1 !"# $ 2 % β = sup E,β /∈ E, &' () {xn} *+ , β -. β ∈ E /012 3 345 1 ! !")- 2 6 !786 !")- 3 96 !6 !")- 4 986 !86 !")* ! : $ 4 &5; !-? +∞ ")= !? −∞ ")= !$ 5 @)" !5 (1) xn = 1 − 1 n; (2) xn = −n[2 + (−2)n]; (3) x2k = k, x2k+1 =1+ 1 k , k = 1, 2, 3, ...; (4) n | cos nπ 3 |. 6 5AB!)=+ $ 7 &CDEF"GH5.IÆDE)JKLDE)MN2.IGH [a1, b1] ⊃ [a2, b2] ⊃ [a3, b3] ⊃ ... OPQIGH bn − an → 0(n → ∞) OPMN2&34R $ 8 . {xn} !S8 ∞ ,+ =TUV) xg(n) → ∞, xh(n) → a (a ,W ), * {g(n)} > {h(n)} XUVÆYAB")$ 9 !) {xn} .8; 0 (n = 1, 2, 3, ...) S limn→∞ an · limn→∞ 1 an = 1 ) {an} ;<$ 12 5. {an} ,AB) limn→∞ an = limn→∞ an. *13 & 5 ! AB!ÆDEF cd (ef - ghi HeineBorel) jk l (Weierstrass !imnom) p" Cauchy) ;<UUqr$ 14 s an = (1 + 1 n)n , bn = (1 + 1 n)n+1 , n ∈ N+. 5 (1) ) {an} AB#t!- (2) ) {bn} ABuv!- 3 limn→∞ an = limn→∞ bn = e. * e = 2.71828 ··· X$wx"y$ 15 % Mz ));<S{`+ &+ |},~o γ = 0.577 215 664 901 532 860 606 51 ···) 5 (1) Dn =1+ 1 2 + 1 3 + ··· + 1 n − ln n; (2) En =1+ 1 2 + 1 3 + ··· + 1 n − ln (n + 1). 16 % x1 = sin a, xn+1 = sin xn, n = 1, 2, .... 5) {xn} ;<$