第十五章多元函数的极限与连续性 §1平面点集 1.设{Pn=(xn,)是平面点列,B=(x0,90)是平面上的点证 明 lim P=P的充要条件是 lim ar=x0,且 lim y=0 2.设平面点列{Pn}收敛,证明{Pn}有界 3.判别下列平面点集哪些是开集、闭集、有界集和区域,并分别指 出它们的聚点: (1)E={(x,y)|y0}; (7)E={(x,y)2+y2=1E=0,0≤x≤1} (8)E={(x,y)|,y} 设F是闭集,G是开集,证明F\G是闭集,G\F是开集 5.证明开集的余集是闭集 6.设E是平面点集.证明P是E的聚点的充要条件是E中存在点 列{Pn},满足 Pn≠P0(mn=1,2,…) lim Pn=Po
第十五章 多元函数的极限与连续性 §1 平面点集 1．设{Pn = (xn, yn)}是平面点列，P0 = (x0, y0)是平面上的点. 证 明 limn→∞ Pn = P0的充要条件是 limn→∞ xn = x0，且 limn→∞ yn = y0. 2. 设平面点列{Pn}收敛，证明{Pn}有界. 3. 判别下列平面点集哪些是开集、闭集、有界集和区域，并分别指 出它们的聚点： (1) E = © (x, y)|y 0 ª； (7) E = © (x, y)|x 2 + y 2 = 1E = 0, 0 ≤ x ≤ 1 ª； (8) E = {(x, y)|x, y}. 4．设F是闭集，G是开集，证明F\G是闭集，G\F是开集. 5．证明开集的余集是闭集. 6．设E是平面点集. 证明P0是E的聚点的充要条件是E中存在点 列{Pn}，满足 Pn 6= P0 (n = 1, 2, · · ·) limn→∞ Pn = P0. 1
用平面上的有限覆盖定理证明致密性定理. 8.用致密性定理证明柯西收敛原理. 9.设E是平面点集,如果集合E的任一覆盖都有有限子覆盖,则 称E是紧集.证明紧集是有界闭集. 10.设E是平面上的有界闭集,d(E)是E的直径,即 d (e) PP P,P"∈E 求证:存在P,P∈E,使得r(P1,P2)=d(E) 11.仿照平面点集,叙述n维欧氏空间中点集的有关概念(如邻域、极 限、开集、聚点、闭集、区域、有界以及一些基本定理等) 12.叙述并证明三维空间的波尔察诺一魏尔斯特拉斯致密性定理. 2多元函数的极限与连续性 1.叙述下列定义 (1)limf(x,y)=∞; (2)lim f(a, y)=A (3) lim f(a,y)=A (4)limf(x,y)=∝ 2.求下列极限(包括非正常极限): (1)im需+ (2)lim sin(=+y) T-+U y→0
7．用平面上的有限覆盖定理证明致密性定理. 8．用致密性定理证明柯西收敛原理. 9．设E是平面点集，如果集合E的任一覆盖都有有限子覆盖，则 称E是紧集. 证明紧集是有界闭集. 10．设E是平面上的有界闭集，d (E)是E的直径，即 d (E) = sup P0 ,P00∈E r ¡ P 0 , P00¢ . 求证：存在P1, P2 ∈ E，使得r (P1, P2) = d (E). 11．仿照平面点集，叙述n维欧氏空间中点集的有关概念(如邻域、极 限、开集、聚点、闭集、区域、有界以及一些基本定理等). 12．叙述并证明三维空间的波尔察诺－魏尔斯特拉斯致密性定理. §2 多元函数的极限与连续性 1．叙述下列定义： (1) limx→x0 y→y0 f (x, y) = ∞； (2) limx→+∞ y→−∞ f (x, y) = A； (3) limx→a y→+∞ f (x, y) = A； (4) limx→a y→+∞ f (x, y) = ∞. 2．求下列极限（包括非正常极限）： (1) limx→0 y→0 x 2+y 2 |x|+|y|； (2) limx→0 y→0 sin(x 3+y 3 ) x2+y 2 ； 2
(3)lim-6 y→0 (4)lim(=+y)sin =1 (5)limr2y2In(a2+y2) y→0 (6)lim - ete (7)lim =ya y→0 (8)lim sin(zy2; y→2 (9)lim n(zte) y→0 (10)limo 1)lim +; (12)lim 2++2; (13)im(x2+y2)e-(x+) 4)皿m(=P) 3.讨论下列函数在(0,0)点的全面极限和两个累次极限 (1)f(x,y)=+ (2)f(a, y)=(a+y)sin sin (3)f(x,y)=m (4)f(x,y)=mp2+(x-) 3
(3) limx→0 y→0 x 2+y 2 √ 1+x2+y 2−1 ； (4) limx→0 y→0 (x + y) sin 1 x2+y 2； (5) limx→0 y→0 x 2 y 2 ln ¡ x 2 + y 2 ¢； (6) limx→0 y→0 e x+e y cos x−sin y； (7) limx→0 y→0 x 2 y 3 2 x4+y 2； (8) limx→0 y→2 sin(xy) x ； (9) limx→1 y→0 ln(x+e y √ ) x2+y 2； (10) limx→1 y→2 1 2x−y； (11) limx→0 y→0 xy+1 x4+y 4； (12) limx→0 y→0 1+x 2+y 2 x2+y 2 ； (13) limx→+∞ y→+∞ ¡ x 2 + y 2 ¢ e −(x+y)； (14) limx→+∞ y→+∞ ³ xy x2+y 2 ´x 2 . 3．讨论下列函数在(0, 0)点的全面极限和两个累次极限： (1) f (x, y) = x 2 x2+y 2； (2) f (x, y) = (x + y) sin 1 x sin 1 y； (3) f (x, y) = e x−e y sin(xy)； (4) f (x, y) = x 2 y 2 x2y 2+(x−y) 2； 3
()f(x,y)=x+ (6)f(x,y) (7)f(x,y)= 8)f(x,y)= 4.叙述并证明二元函数极限的局部有界性定理和局部保号性定理. 5.叙述并证明limf(x,y)存在的柯西收敛准则 6.试作出函数f(x,y),使当(x,y)→(xo,y0)时 (1)全面极限和两个累次极限都不存在; (2)全面极限不存在,两个累次极限存在但不相等; (3)全面极限和两个累次极限都存在 7.讨论下列函数的连续范围: (2)f(a, y)=sin sin y 3)f(x,y)=[x+y; (5)f(x,y) y≠0 sn(xy).x2+y2≠0, (6)f(x,y)=√=+y 0:
(5) f (x, y) = x 3+y 3 x2+y ； (6) f (x, y) = x 2 y 2 x3+y 3； (7) f (x, y) = x 4+3x 2 y 2+2xy3 (x2+y 2) 2 ； (8) f (x, y) = x 4 y 4 (x2+y 4) 3 . 4．叙述并证明二元函数极限的局部有界性定理和局部保号性定理. 5．叙述并证明x lim→x0 y→y0 f (x, y)存在的柯西收敛准则. 6．试作出函数f (x, y)，使当(x, y) → (x0, y0)时， (1) 全面极限和两个累次极限都不存在； (2) 全面极限不存在，两个累次极限存在但不相等； (3) 全面极限和两个累次极限都存在. 7．讨论下列函数的连续范围： (1) f (x, y) = √ 1 x2+y 2； (2) f (x, y) = 1 sin x sin y； (3) f (x, y) = [x + y]； (4) f (x, y) = x+y x3+y 3； (5) f (x, y) = sin(xy) y , y 6= 0, 0, y = 0; (6) f (x, y) = √ sin(xy) x2+y 2 , x2 + y 2 6= 0, 0, x2 + y 2 = 0; 4
(7)f(x,y) 0,x为无理数 y,x为有理数 8)f(x,y)= ∫r2n(2+),P2+n2≠0 (9)f(x,y) 0. 8.若f(x,y)在某区域G内对变量x连续,对变量y满足利普希茨条 件,即对任意 (x,y)∈G(x,y")∈Gk If(c,y-f(,y)IsLly-y 其中L为常数,求证f(x,y)在G内连续 9.证明有界闭集上二元连续函数的最值定理和一致连续性定理. 10.设二元函数f(x,y)在全平面上连续,imf(x,y)=A,求 x2+y2→∞ (1)f(x,y)在全平面有界; (2)f(x,y)在全平面一致连续 11.证明:若f(x,y)分别对每一变量x和y是连续的,并且对其中的 个是单调的,则f(x,y)是二元连续函数 12.证明:若E是有界闭域,f(x,y)是E上的连续函数,则f(E)是闭 区间
(7) f (x, y) = 0, x为无理数 y, x为有理数 ； (8) f (x, y) = y 2 ln ¡ x 2 + y 2 ¢ , x2 + y 2 6= 0, 0, x2 + y 2 = 0; (9) f (x, y) = x (x2+y 2) p , x2 + y 2 6= 0, 0, x2 + y 2 = 0, (p > 0). 8．若f (x, y)在某区域G内对变量x连续，对变量y满足利普希茨条 件，即对任意 ¡ x, y 0 ¢ ∈ G ¡ x, y 00¢ ∈ Gk ¯ ¯f ¡ x, y 0 ¢ − f ¡ x, y 00¢¯¯ ≤ L ¯ ¯y 0 − y 00¯ ¯ 其中L为常数，求证f (x, y)在G内连续. 9．证明有界闭集上二元连续函数的最值定理和一致连续性定理. 10．设二元函数f (x, y)在全平面上连续， lim x2+y 2→∞ f (x, y) = A，求 证： (1) f (x, y)在全平面有界； (2) f (x, y)在全平面一致连续. 11．证明：若f (x, y)分别对每一变量x和y是连续的，并且对其中的一 个是单调的，则f (x, y)是二元连续函数. 12．证明：若E是有界闭域，f (x, y)是E上的连续函数，则f (E)是闭 区间. 5