第一章 实数理论 §1从空集到有理数 实数是在有理数基础上定义的,有理数又是在整数的基础上定义的,而整数又是在自 然数的基础上定义的,那么自然数如何定义呢? 有两个集合A和B,我们称它们为等价的,如果存在一个从A到B的映射∫,它是1-1 的,又是满的。这时我们说A和B具有相同的势。我们首先承认空集φ是存在的,考虑 个集合{},它不是空集,凡与{φ}等价的集合都有相同的势,我们把{φ}简写为1。再考 虑集合{,{},它与1={φ}是不等价的,我们把它简写为2。一般地如果有了n之后, 可以定义它的跟随{,n},简写为n+1。这样我们就得到了自然数N={1,2,3,…,n,…}。 在N上可以定义加法:n+m=n+1+1+…+1,还可以证明加法满足结合律和交换律 n+(m+p)=(n+m)+p,n+m=m+n。这样我们就从空集出发,定义出自然数N 这是一个最抽象的定义,比如说2,它不指二个人,也不指二个物,而是指一个集合φ,{}, 这个集合有两个不同的元素{}和φ。凡是与它等价的集合,都与它有相同的势,于是二个 人,二个物……,都具有相同的势,按我们的理论,用{φ,{}}作为它们的代表。 在集合{(m,n):m,n∈N}中,考虑一个关系~:(m,n)~(m,n)当且仅当 m+n=m’+n,容易证明~是一个等价关系。整数Z现在定义为 Z={(m,n):m,n∈N}/~。 在Z上可以定义加法:(m,n)+(m,n)=(m+m,n+n),还可以定义减法 (m,n)-(m,n)=(m+n,m'+n)。可以验证它们在Z中封闭,而且互为逆运算。在Z 中我们用0表示{(n,n):n∈N},,即0=1-1=2-2 用k表示{(n+k,m):n,k∈ N},即k=(k+1)-1=(k+2)-2=…,用-1表示{(n,n+1):n∈N},即 1=1-2=2-3
182 第一章 实 数 理 论 §1 从空集到有理数 实数是在有理数基础上定义的，有理数又是在整数的基础上定义的，而整数又是在自 然数的基础上定义的，那么自然数如何定义呢？ 有两个集合 A 和 B ，我们称它们为等价的，如果存在一个从 A 到 B 的映射 f ，它是1-1 的，又是满的。这时我们说 A 和 B 具有相同的势。我们首先承认空集f 是存在的，考虑一 个集合{f}，它不是空集，凡与{f}等价的集合都有相同的势，我们把{f}简写为1。再考 虑集合{f, {f}}，它与1 = {f}是不等价的，我们把它简写为 2 。一般地如果有了 n 之后， 可以定义它的跟随{f, n}，简写为n +1。这样我们就得到了自然数 N= {1, 2, 3, L, n, L}。 在 N 上可以定义加法：n + m = n +1+1+L+1，还可以证明加法满足结合律和交换律： n + (m + p) = (n + m) + p，n + m = m + n。这样我们就从空集出发，定义出自然数 N。 这是一个最抽象的定义，比如说2 ，它不指二个人，也不指二个物，而是指一个集合{f, {f}}， 这个集合有两个不同的元素{f}和f 。凡是与它等价的集合，都与它有相同的势，于是二个 人，二个物… … ，都具有相同的势，按我们的理论，用{f, {f}}作为它们的代表。 在集合{ (m, n) : m,n ÎN }中，考虑一个关系 ~ ： (m, n) ~ (m¢, n¢) 当且仅当 m + n¢ = m¢ + n ，容易证明 ~ 是一个等价关系。 整数 Z 现在定义为： Z={(m, n) : m,nÎN} ~ 。 在 Z 上可以定义加法 ： (m, n) + (m¢, n¢) = (m + m¢, n + n¢) ， 还可以定义减法 ： (m, n) - (m¢, n¢) = (m + n¢, m¢+ n) 。可以验证它们在 Z 中封闭，而且互为逆运算。在 Z 中我们用0 表示{ (n, n) : n ÎN}，,即0 =1-1 = 2 - 2 =L，用k 表示{ (n + k, n) : n, k Î N} ， 即 k = (k +1) -1 = (k + 2) - 2 = L ， 用 - 1 表 示 { (n, n +1) : n Î N} ， 即 - 1 = 1- 2 = 2 - 3 = L
在集合{(p,q):P,q∈Z,q≠0}中考虑一个关系~:(p,q)~(p’,q)当且仅当 p'=pq,它也是一个等价关系,有理数Q现在定义为 Q={(P,q):p.q∈Z,q≠0} 在Q中我们可以定义加法,减法,乘法,除法,还可证明加减法互为逆运算,乘除法互为 逆运算等性质,在Q中我们用P,且(.q)=1表示其中一个有理数,比如用表示 (n,2n) 这样我们完成了从空集φ出发到有理数集Q的定义 在2500年前,毕达哥拉斯学派认为一切线段都由原子组成,而原子有一个固定长度, 比如假定单位线段由q个原子组成,被测量的线段由p个原子组成,则线段之长为:2 即有理数可以度量一切长度。但毕达哥拉斯学派弟子希伯斯发现正五角形的边长为1时,对 角线长不能由有理数表示,希伯斯因此受到迫害。但后来发现有很多长度不能用有理数表示 比如简单地取正方形边长为1,由勾股定理,它的对角线长度的平方应为2,我们记之为√2 如果它是有理数,就应该有: (m,n)=1,n≠0 两边平方,得2n2=m2,因为m,n都是整数,表明m2中含2因子,即m中含2因子, 设m=2p,则n2=2p2,同样推理表明n中也含2因子,与(m,n)=1矛盾,所以√2不 是有理数。这表明只有有理数是不够的,必须引入新的数,即无理数,它们合在一起称为实 数 §2实数的定义(戴德金分割) 定义实数有不同的方法,戴德金分割是一个比较标准的方法。直观地看,有理数Q在 实轴上没有填满,还有很多“孔隙”,戴德金分割就是在数轴上割一刀,把现有的有理数Q 分成两部分,如果这一刀恰好砍在某个有理数上,这一分割对应的就是这个有理数,如果没 碰到任何有理数,这个分割就定义出一个无理数。 定义1将有理数全体组成的集合分成A,B两类,使满足以下性质 1)A与B都至少包含一个有理数(不空) 2)任一有理数,或属于A,或属于B(不漏);
183 在集合{ ( p, q) : p, qÎZ, q ¹ 0 }中,考虑一个关系 ~ ： ( p, q) ~ ( p¢, q¢) 当且仅当 pq¢ = p¢q，它也是一个等价关系，有理数 Q 现在定义为： Q ={( p, q): p,qÎ Z, q ¹ 0} ~ 。 在 Q 中我们可以定义加法，减法，乘法，除法，还可证明加减法互为逆运算，乘除法互为 逆运算等性质，在 Q 中我们用 q p ，且( p, q) = 1表示其中一个有理数，比如用 2 1 表示 (n, 2n) 。 这样我们完成了从空集f 出发到有理数集 Q 的定义。 在 2500 年前，毕达哥拉斯学派认为一切线段都由原子组成，而原子有一个固定长度， 比如假定单位线段由q 个原子组成，被测量的线段由 p 个原子组成，则线段之长为： q p ， 即有理数可以度量一切长度。但毕达哥拉斯学派弟子希伯斯发现正五角形的边长为1时，对 角线长不能由有理数表示，希伯斯因此受到迫害。但后来发现有很多长度不能用有理数表示， 比如简单地取正方形边长为1，由勾股定理，它的对角线长度的平方应为2 ，我们记之为 2 ， 如果它是有理数，就应该有： n m 2 = ， (m, n) = 1， n ¹ 0 。 两边平方，得 2 2 2n = m ，因为m ，n 都是整数，表明 2 m 中含2 因子，即m 中含2 因子， 设m = 2 p ，则 2 2 n = 2p ，同样推理表明n 中也含 2 因子，与(m, n) = 1矛盾，所以 2 不 是有理数。这表明只有有理数是不够的，必须引入新的数，即无理数，它们合在一起称为实 数。 §2 实数的定义（戴德金分割） 定义实数有不同的方法，戴德金分割是一个比较标准的方法。直观地看，有理数 Q 在 实轴上没有填满，还有很多“孔隙”，戴德金分割就是在数轴上割一刀，把现有的有理数 Q 分成两部分，如果这一刀恰好砍在某个有理数上，这一分割对应的就是这个有理数，如果没 碰到任何有理数，这个分割就定义出一个无理数。 定义 1 将有理数全体组成的集合分成 A ， B 两类，使满足以下性质： 1） A 与 B 都至少包含一个有理数（不空）； 2） 任一有理数，或属于 A ，或属于 B （不漏）；
3)A中任一数a均小于B中任一数b,即a∈A,b∈B→a0且x20且x2>2,x∈Q}。 显然A、B不空、不乱,因为没有有理数平方等于2,所以不漏,下面证A无最大数。 设a≥0,a20,使 a+r)a 时,属于A的有理数0即大于a,这就证明了A无最大数。因此AB是有理数的一个分划。 这个分划中,上类B无最小数。事实上,设b∈B,即b>0且b2>2,要证存在有理 数r>0,使b-r>0,且(b-r)2>2,即 b+r2>2,或2b-r2<b2
184 3） A 中任一数a 均小于 B 中任一数b ，即a Î A，bÎ B Þ a 且 x 2 且 x 2 > xÎQ 。 显然 A 、 B 不空、不乱，因为没有有理数平方等于2 ，所以不漏，下面证 A 无最大数。 设a ³ 0， 2 2 a 0 ，使 ( ) 2 2 a + r a 。 当a 0且 2 2 b > ，要证存在有理 数r > 0 ，使b - r > 0 ，且( ) 2 2 b - r > ，即 2 2 2 2 b - br + r > ， 或 2 2 2 2 br - r < b -
要使上式成立,只要2b0,根据有理数的稠密性, 2b 知存在有理数r使得00,(b-r)2>2,这就证明了,在B中找到了比b更小的有理数b-r,所以B无 最小数。 可见,有理数的分划可以分为两类,第一类型是上类B有最小数,我们称这类分划为 有理分划;第二类型是上类B无最小数,我们称这类分划为无理分划。显然,任一有理分 划与其上类的最小有理数对应,反之任一有理数b,总可确定一有理分划 A={x|xa>0,必存在自然数n,使得na>b 31实数的运算 我们用x,y,2,…表示实数,即表示有理数的分划,用a,b,c,…表示有理数。用记号 R表示实数的集合,记号Q表示有理数的集合。为了书写方便,用A表示实数x的下类, B4表示实数x的上类,B表示B去掉最小数的集合 定义1设有实数x、y 1)若集合A=A,则称x=y 2)若集合A1≠A,AA,则称x小于y,或y大于x,记作xx。 185
185 要使上式成立，只要2 2 2 br - b b ，根据有理数的稠密性， 知存在有理数 r 使得 b b r 2 2 0 2 - 0 ，( ) 2 2 b - r > ，这就证明了，在B 中找到了比b 更小的有理数b - r ，所以 B 无 最小数。 可见，有理数的分划可以分为两类，第一类型是上类 B 有最小数，我们称这类分划为 有理分划；第二类型是上类 B 无最小数，我们称这类分划为无理分划。显然，任一有理分 划与其上类的最小有理数对应，反之任一有理数b ，总可确定一有理分划： A ={ x | x a > 0，必存在自然数n ，使得na > b 。 3.1 实数的运算 我们用 x, y, z, L表示实数，即表示有理数的分划，用 a, b, c,L表示有理数。用记号 R 表示实数的集合，记号 Q 表示有理数的集合。为了书写方便，用 Ax 表示实数 x 的下类， Bx 表示实数 x 的上类， 0 Bx 表示 Bx 去掉最小数的集合。 定义 1 设有实数x 、 y ， 1） 若集合 Ax = Ay ，则称 x = y ； 2） 若集合 Ax ¹ Ay ， Ax Ì Ay ，则称x 小于 y ，或 y 大于 x ，记作 x x
当x、y为有理分划时,这定义与把x、y看成有理数的相等和大小关系是一致的。 与有理数0对应的有理分划仍记为0,若x>0,称x为正实数:若x<0,称x为负 实数。 设实数x<y,由定义存在有理数q1,使q1∈A,q1A。再由A无最大数,所以 存在有理数q2,q3,使 q2<q3,q∈A,q1A1(=2,3) 有理数q2产生的有理分划记作二,容易看出x<<y,即实数集是稠密的。 为了定义加法,我们需要下面引理 引理1设x、y为实数,令A={1+a21a∈A2,a2∈A},B=Q-A。则(A|B) 是有理数的分划。 证明:A、B满足分划不漏的条件是显然的,集合A无最大元素也是明显的。只要 证满足分划的不空和不乱条件即可。 先证A、B不空。A不空是显然的,证B不空。因集合B,B,不空,b∈B b2∈B,只要证b1+b2∈B 假设不然,即b1+b2∈A,由A的定义,彐a1∈A1,a2∈A,使b+b2=a1+a 而由分划x、y不乱条件得a1<b,a2<b2,即得a1+a2<b1+b2°故矛盾,所以 b1+b2∈B 再证不乱。设a∈A,b∈B,要证a<b。 假设不然,a≥b,由A的定义,彐a1∈A1,a2∈A,使得a=a1+a2b,因此 a2≥b-a,由分划y的不乱,得b-a1∈A,于是b=a1+(b-a1)∈A,故矛盾。所以 因此(A|B)是有理数的分划 定义2在引理1条件下,称实数(A|B)为实数x与y的和,记作x+y 当x、y为有理分划时,和也为有理分划,且和的定义与把x、y看成有理数时和的 定义是一致的 由上看出,这种证明没有什么困难,所以,下面我们只叙述定义,而略去证明。 要定义减法只要定义负数即成 负数的定义给定实数x,令A={a|-a∈B},B=Q-A,则(A|B)是有理数 的分划,我们称(A|B)为实数x的负数,记作一x 186
186 当 x 、 y 为有理分划时，这定义与把 x 、 y 看成有理数的相等和大小关系是一致的。 与有理数 0 对应的有理分划仍记为0 ，若 x > 0，称 x 为正实数；若 x < 0，称 x 为负 实数。 设实数 x < y ，由定义存在有理数q1，使 Ay q1 Î ，q1 Ï Ax 。再由 Ay 无最大数，所以 存在有理数q2 ，q3 ，使 q1 < q2 < q3， i Ay q Î ， qi Ï Ax (i = 2, 3) 。 有理数q2 产生的有理分划记作 z ，容易看出 x < z < y ，即实数集是稠密的。 为了定义加法，我们需要下面引理。 引理 1 设x 、y 为实数，令 { | , } 1 2 1 x 2 Ay A = a + a a Î A a Î ，B = Q- A。则(A | B) 是有理数的分划。 证明： A 、 B 满足分划不漏的条件是显然的，集合 A 无最大元素也是明显的。只要 证满足分划的不空和不乱条件即可。 先证 A 、 B 不空。 A 不空是显然的，证 B 不空。 因集合 Bx ， By 不空，$b1 Î Bx ， By b2 Î ，只要证b1 + b2 Î B 。 假设不然，即b1 + b2 Î A，由 A 的定义，$a1 Î Ax ， Ay a2 Î ，使b1 + b2 = a1 + a2， 而由分划 x 、 y 不乱条件得 a1 < b1 ， a2 < b2 ，即得 a1 + a2 < b1 + b2 。故矛盾，所以 b1 + b2 Î B 。 再证不乱。设a Î A，bÎ B ，要证a < b。 假设不然， a ³ b，由 A 的定义， $a1 Î Ax ， Ay a2 Î ，使得 a = a1 + a2 ³ b ，因此 a2 ³ b - a1，由分划 y 的不乱，得 Ay b - a1 Î ，于是b = a1 + (b - a1 ) Î A，故矛盾。所以 a < b。 因此(A | B) 是有理数的分划。 定义 2 在引理 1 条件下，称实数(A | B) 为实数 x 与 y 的和，记作 x + y 。 当 x 、 y 为有理分划时，和也为有理分划，且和的定义与把 x 、 y 看成有理数时和的 定义是一致的。 由上看出，这种证明没有什么困难，所以，下面我们只叙述定义，而略去证明。 要定义减法只要定义负数即成。 负数的定义 给定实数x ，令 { | } 0 Bx A = a -aÎ ， B = Q- A，则(A | B) 是有理数 的分划，我们称(A | B) 为实数 x 的负数，记作- x
由负数定义,容易证明下面性质: 1)若x0 2)若x=y,则-x=-y; 4)-(x+y)=(-x)+(-y) 为了定义乘法,我们先要定义绝对值。设x≠0,称x与-x中的正实数为x的绝对值, 记作x|,规定|0}=0,于是 x,当x>0; lx0,当x=0 当x0,y>0,令 A={a1a2100,令 A={a|-∈BU{a|a≤0,a∈Q}, A 则(4|B)是有理数的分划,我们称实数(4|B)是实数的倒数,记作x或1 当x<0时,定义x=-|x|,或-= 总之我们用有理数的加法和负数,来定义分划的加法和负数:对正实数情形,用有理数 的乘法和倒数,来定义分划的乘法和倒数,对一般的实数乘法和倒数,又化到正实数情形 3.2实数集是域
187 由负数定义，容易证明下面性质： 1） 若 x 0； 2） 若 x = y ，则- x = - y ； 3） - (-x) = x ； 4） - ( x + y) = (-x) + (-y) 。 为了定义乘法，我们先要定义绝对值。 设x ¹ 0 ，称 x 与- x 中的正实数为 x 的绝对值， 记作| x | ，规定| 0 |= 0 ，于是 ï î ï í ì - = , 0. 0, 0 , 0 | | x x x x x x 当 当 当 ； ； 乘法的定义 设有实数x > 0， y > 0，令 { | 0 0 } { | 0, } A = a1 × a2 0，令 } { | 0, } 1 { | = Î B 0 a a £ a ÎQ a A a x U ， B = Q- A。 则(A | B) 是有理数的分划，我们称实数(A | B) 是实数的倒数，记作 -1 x 或 x 1 。 当 x < 0时，定义 1 1 | | - - x = - x ，或 | | 1 1 x x = - 。 总之我们用有理数的加法和负数，来定义分划的加法和负数；对正实数情形，用有理数 的乘法和倒数，来定义分划的乘法和倒数，对一般的实数乘法和倒数，又化到正实数情形。 3.2 实数集是域
要证集合R是域,即要对上面定义的加法和乘法运算,满足下列性质: 交换律:x,y∈R,x+y=y+x,x:y=y·x 2)结合律:Vx,y,z∈R,(x+y)+z=x+(y+),(x·y)·z=x·(y·z); )x∈R, 0 4)Vx∈R,x+(-x)=0,x·x-1=1(x≠0) 5)分配律:x·(y+-)=x·y+x·二。 其中,记号1表示由有理数1所确定的有理分划。 前三条性质证明比较简单;第四条性质的证明,用到有理数的阿基米德原理:第五条 性质证明较烦琐。我们不打算讨论这些性质的证明,只以第四条加法为例,给出证明的示范 证明x+(-x)=0的困难,在于每一个负有理数,能否看成集合A2中的元素,与集合 A中的元素相加而得,或能否看成集合A中的元素,减去集合B中的元素而得,为此我 们需要下面引理 引理2给定实数x,V有理数E>0,则彐a∈A,b∈B,使b-a=E 证明由分划的不空性,彐a0∈A,b∈B2,根据阿基米德原理,彐自然数n,使得 nE>bo-ao,考察数 ao, ao+E, ao +28,. .,ao+nE(> bo) 在这有限个数中,总存在一个位于X下类中最大的数,记作 a=ao+E∈A2 若b=ao+(k+1)E不是上类的最小数,a、b即为所求。若b是上类的最小数,取 +(k+ 即成 证x+(-x)=0,即要证A4+-x)=A 设a∈A2-x),即a=a+a2,a1∈Ax,a2∈Ax。由负数定义知-a2∈ B cB, 所以-a2>41,得a1+a2=a0,根据引理2,存在a1∈A1,b∈B,且b1-a1=-a l88
188 要证集合 R 是域，即要对上面定义的加法和乘法运算，满足下列性质： 1) 交换律："x, y ÎR， x + y = y + x ， x × y = y × x ； 2) 结合律： "x, y, z ÎR，( x + y) + z = x + ( y + z) ，( x × y) ×z = x × ( y ×z) ； 3) "x ÎR， x + 0 = x ， x ×1= x ； 4) "x ÎR， x + (-x) = 0， 1 ( 0) 1 × = ¹ - x x x ； 5) 分配律： x ×( y + z) = x × y + x ×z 。 其中，记号1表示由有理数1所确定的有理分划。 前三条性质证明比较简单；第四条性质的证明，用到有理数的阿基米德原理；第五条 性质证明较烦琐。我们不打算讨论这些性质的证明，只以第四条加法为例，给出证明的示范。 证明 x + (-x) = 0的困难，在于每一个负有理数，能否看成集合 Ax 中的元素，与集合 A-x 中的元素相加而得，或能否看成集合 Ax 中的元素，减去集合 0 Bx 中的元素而得，为此我 们需要下面引理。 引理 2 给定实数x ，" 有理数e > 0，则$a Î Ax ， 0 Bx bÎ ，使b - a = e 。 证明 由分划的不空性，$a0 Î Ax ，b0 Î Bx ，根据阿基米德原理，$自然数n ，使得 n > b0 - a0 e ，考察数： a0 ， + e a0 ， 2e a0 + ， L ，a + ne 0 ( ) > b0 。 在这有限个数中，总存在一个位于 x 下类中最大的数，记作 Ax a = a0 + ke Î (k a1，得a1 + a2 = a 0 ，根据引理 2，存在a1 Î Ax ， 0 1 Bx b Î ，且b1 - a1 = -a
由负数定义,-b1∈Ax,再由加法定义,知 (-b1)∈A 因此A6cA1-x° 合起来得A0=Ax+-x),即0=x+(-x)。 33实数集是全序域 实数集是全序域,是指实数集R,对前面所定义的“小于”关系,满足下面四条性质: 1)Vx,y∈R,下列三式有且仅有一个成立:x=y,x0,则x·0。由引理2,彐a∈A,b∈B,且b-a=E=c-c 于是c+a∈A,,b+c=a+c'∈B3-,所以x+0,根据分划的乘法定义,知z·[y+(-x)>0,由分配律 z·y+·(-x)>0,利用x+(-x)=0,可得x(-x)=-(2·x),所以2·y+[-(·x)>0, 即得xz<y·二。 34实数集的连通性 189
189 由负数定义，- b1 Î A-x ，再由加法定义，知 1 1 1 1 ( ) ( ) Ax x a a b a b = - = + - Î + - ， 因此 A0 Ì Ax+(- x) 。 合起来得 A0 = Ax+(- x) ，即0 = x + (-x) 。 3.3 实数集是全序域 实数集是全序域，是指实数集 R，对前面所定义的“小于”关系，满足下面四条性质： 1） "x ， y ÎR，下列三式有且仅有一个成立： x = y ， x 0，则 x × z 0 。由引理 2，$a Î Ax ，bÎ Bx ，且b - a = e = c¢ - c 。 于是 Ay z c a + Î + ¢ ， Bx z b c a c Î + + = + ¢ ，所以 x + z 0 ， 根据分划的乘法定义 ， 知 z×[ y + (-x)] > 0 ， 由分配律 z× y + z× (-x) > 0 ，利用 x + (-x) = 0，可得 z× (-x) = -(z× x) ，所以 z× y + [-(z × x)] > 0 ， 即得 x × z < y × z 。 3.4 实数集的连通性
将有理数用直线上的点表示时,发现直线上还留有许许多多“孔隙”。我们用无理数来填 充这些“孔隙”,现在问题是这些“孔隙”是否被填满了,如果被填满了,对实数作分划时, 就不可能产生新的“数”,否则类似于有理数分划产生无理数一样,对实数分划还可得出新 的“数”。事实上,戴德金正是考虑怎么用严格的数学语言,给出有理数是不连通的、实数 是连通的定义,经反复研究,发现用“分划”的办法是最恰当地描述连通性的数学语言,对 有理数作“不空、不漏、不乱”的分划时,若下类无最大数,则上类也可以无最小数,所以 按定义有理数是不连通的:而对实数作“不空、不漏、不乱”的分划时,若下类无最大数 则上类必有最小数,所以按定义实数是连通的。下面我们严格的说明这一点 定义3把实数集R分成两个子集X、Y,使满足: 1)X、Y至少包含一个实数(不空) 2)每一实数或属于X,或属于Y(不漏) 3)任一属于X的实数,小于任一属于Y的实数(不乱); 4)X中无最大数(用到实数稠密性) 则称X、Y为实数的一个分划,记作(XF),X称分划的下类,Y称分划的上类。 戴德金定理(连通性)设(X|Y)为一实数分化,则y必有最小数 证明首先我们定义一实数。令 A={a|a∈A2x∈X}; 则(A|B)是一有理数的分划,为此要证它满足分划的四个条件。 )A的不空是显然的。证B不空。由Y不空,习y∈Y,又彐b∈B,有理数b一定 属于B。若不然,有b∈A,由A的定义,Bx∈X,b∈A,由关于实数的“小于关系” 的定义,知y<x,这与(X|Y)分划不乱矛盾,所以b∈B i)A、B满足不漏条件是显然的 ⅲi)证满足不乱条件。设a∈A,b∈B,要证a<b 假设不然,b≤a,由A定义,丑x∈X,a∈A2,更有b∈A2,因此b∈A,这与b∈B 矛盾,所以a<b iv)A无最大数也是明显的。 既然(A|B)是一有理数的分划,所以它为一实数,记作z=(A|B)。 其次证gX。假若不然,由X无最大数,丑x∈X,z<x,根据小于定义,彐有理 数c,使c∈A,c∈B.=B。由A的定义,c∈A,可是c∈B,故矛盾,所以gX 最后证∈Y且是Y的最小数。因(X|Y)不漏,所以z∈Y。假设z不是Y的最小数, 3y∈Y,y<z,彐有理数c,使c∈A.=A,c∈B
190 将有理数用直线上的点表示时,发现直线上还留有许许多多“孔隙”。我们用无理数来填 充这些“孔隙”，现在问题是这些“孔隙”是否被填满了，如果被填满了，对实数作分划时， 就不可能产生新的“数”，否则类似于有理数分划产生无理数一样，对实数分划还可得出新 的“数”。事实上，戴德金正是考虑怎么用严格的数学语言，给出有理数是不连通的、实数 是连通的定义，经反复研究，发现用“分划”的办法是最恰当地描述连通性的数学语言，对 有理数作“不空、不漏、不乱”的分划时，若下类无最大数，则上类也可以无最小数，所以 按定义有理数是不连通的；而对实数作“不空、不漏、不乱”的分划时，若下类无最大数， 则上类必有最小数，所以按定义实数是连通的。下面我们严格的说明这一点。 定义 3 把实数集 R 分成两个子集 X 、Y ，使满足： 1） X 、Y 至少包含一个实数（不空）； 2） 每一实数或属于 X ，或属于Y （不漏）； 3） 任一属于 X 的实数，小于任一属于Y 的实数（不乱）； 4） X 中无最大数（用到实数稠密性）。 则称 X 、Y 为实数的一个分划，记作(X |Y ) ， X 称分划的下类，Y 称分划的上类。 戴德金定理（连通性） 设(X |Y ) 为一实数分化，则Y 必有最小数。 证明 首先我们定义一实数。令 A { a | a A , x X } = Î x Î ； B = Q- A 。 则(A | B) 是一有理数的分划，为此要证它满足分划的四个条件。 ⅰ） A 的不空是显然的。证 B 不空。由Y 不空，$y ÎY ，又 By $b Î ，有理数b 一定 属于 B 。若不然，有bÎ A，由 A 的定义，$x Î X ，bÎ Ax ，由关于实数的“小于关系” 的定义，知 y < x ，这与(X |Y ) 分划不乱矛盾，所以bÎ B 。 ⅱ） A 、 B 满足不漏条件是显然的； ⅲ） 证满足不乱条件。设a Î A，bÎ B ，要证a < b。 假设不然，b £ a，由 A 定义，$x Î X ，a Î Ax ，更有 bÎ Ax ，因此bÎ A，这与bÎ B 矛盾，所以a < b。 ⅳ） A 无最大数也是明显的。 既然(A | B) 是一有理数的分划，所以它为一实数，记作 z = (A| B) 。 其次证 z Ï X 。假若不然，由 X 无最大数，$x Î X ， z < x ，根据小于定义，$有理 数c ，使 Ax c Î ，c Î Bz = B 。由 A 的定义，c Î A，可是c Î B，故矛盾，所以 z Ï X 。 最后证 z ÎY 且是Y 的最小数。因 (X |Y ) 不漏，所以 z ÎY 。假设 z 不是Y 的最小数， $y ÎY ， y < z ，$有理数c ，使c Î Az = A， By c Î
由c∈A,丑x∈X,c∈A1,再由C∈B,及小于定义,知yk);又cn中一定有无限 个数字不为零,否则下类中就有最大数 反之,任给一有无限个cn不为零的无限小数coc1c2…Cn…,总可找到一个实数x, 刚好被它所表示。为此考察有理数 an=co-CC2 显然an<bn,(n=1,2,…)
191 由c Î A，$x Î X ， Ax c Î ，再由 By c Î 及小于定义，知 y ；又 n c 中一定有无限 个数字不为零，否则下类中就有最大数。 反之，任给一有无限个 n c 不为零的无限小数c0 .c1 c2Lcn L，总可找到一个实数 x ， 刚好被它所表示。为此考察有理数 n n a c c c Lc 0 1 2 = . ， n n n b c c c 10 1 . = 0 1L + ， 显然 an < bn ，(n = 1，2，L）