《线性代数》第三章（3.3）矩阵的秩

第三节矩阵的秩 矩阵秩的概念 矩阵秩的求法 小结思考题

第三节 矩阵的秩 • 一、矩阵秩的概念 • 二、矩阵秩的求法 • 三、小结 思考题

生一、矩阵秩的概念 任何矩阵Anxn,总可经过有限次初等行变换 王把它变为行阶梯形,行阶梯形矩阵中非零行的行 c数是唯一确定的.矩阵的秩 定义1在m×n矩阵A中任取k行与k列(k≤m k≤n),位这,位这些行列的k2个元素不改变改变 中在A中所处所处置序而阶行列式,称为矩阵A的 k阶子式 上页

. , 数是唯一确定的 把它变为行阶梯形，行阶梯形矩阵中非零行的行 任何矩阵 Amn 总可经过有限次初等行变换 k 阶子式. 在 A中所处所处置次序而k阶行列式，称为矩阵 A的 k n），位 这，位这些行列的 k 个 元素,不改变改变 定义1 在 m n 矩阵 A中任取 k 行 k 列（ k m, 2   与  一、矩阵秩的概念 矩阵的秩

m×n矩阵A的k阶子式共有C●CK个 定义2设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子 式D,且所有r+1阶子式(如果存在的话)全等 0,那末D称为矩阵A的最高阶非零子式,数r 称为矩阵A的秩,记作R(4)并规定零矩阵的秩 等于零 工工工 mxn矩阵A的秩R(A)是A中不等于零的 子式的最高阶数 对于A,显有R(4)=R(A 上页

. 0 1 2 0 等于零 称为矩阵 的秩，记作 并规定零矩阵的秩 于 ，那末 称为矩阵 的最高阶非零子式，数 式 ，且所有 阶子式（如果存在的话）全等 定义 设在矩阵 中有一个不等于 的 阶子 A R(A) . D A r D r A r + . ( ) 子式的最高阶数 m  n 矩阵 A的秩 R A 是 A中不等于零的 对于 A T ， R(A ) R(A). T 显有 = 矩阵 的 阶子式共有 个. k n k mn A k Cm •C

123 例1求矩阵A=23-5的秩 471 解在A中, ≠0 23 牛又4的3阶子式只有一个A,且A=0 .R(A)=2 上页

例 1 . 4 7 1 2 3 5 1 2 3 求矩阵 的秩   A = − 解 在 A中， 又  A 的 3阶子式只有一个 A， 0. 2 3 1 2  且 A = 0 ，  R ( A ) = 2

20 103-2 31-25 例2求矩阵B= 的秩 0004-3 00000 解:B是一个行阶梯形矩阵,其非零行有3行, B的所有4阶子式全为零 2-13 上而03-2≠0,∴R(B)=3 004 上页

例 2 . 0 0 0 0 0 0 0 0 4 3 0 3 1 2 5 2 1 0 3 2 求矩阵 的秩   − − − − B = 解  B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行，  B的所有 4阶子式全为零. 0, 0 0 4 0 3 2 2 1 3−  − 而  R(B) = 3

二、矩阵秩的求法 因为对于任何矩阵Ann,总可经过有限次初 等行变换把他变为行阶梯形 问题:经过变换矩阵的秩变吗? 庄定理1若A-B则R(4)=R(B) 上页

. , 等行变换把他变为行阶梯形 因为对于任何矩阵Amn 总可经过有限次初 问题：经过变换矩阵的秩变吗？ 定 理1 若 A ~ B,则 R(A) = R(B). 二、矩阵秩的求法

初等变换求矩阵秩的方法 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩 32050 3-236 例4设A 求矩阵A的 2015-3 16-4-14 秩,并求A的一个最高阶非零子式 解对A作初等行变换,变成行阶梯形矩阵: 上页

初等变换求矩阵秩的方法 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩. 例4 秩，并求 的一个最高阶非零子式． 设 求矩阵 的 A A , A 1 6 4 1 4 2 0 1 5 3 3 2 3 6 1 3 2 0 5 0             − − − − − = 解 对A作初等行变换，变成行阶梯形矩阵：

32050 3-236-1 2015-3 6-4-1 16-4-14 1分>r4|3-236-1 2015-3 32059 上页

              − − − − − = 1 6 4 1 4 2 0 1 5 3 3 2 3 6 1 3 2 0 5 0 A               − − − − − 3 2 0 5 0 2 0 1 5 3 3 2 3 6 1 1 6 4 1 4 1 4 r  r

3321 22 0 031 56 06 3 46U 514 → I4 1023 4 02 310 5 5 30 上

              − − − − − = 1 6 4 1 4 2 0 1 5 3 3 2 3 6 1 3 2 0 5 0 A               − − − − − 3 2 0 5 0 2 0 1 5 3 0 4 3 1 1 1 6 4 1 4 2 4 1 4 r r r r − 

3 3 22 03 56 0 06 51 3 1一 4 n r3 n23 1000 9r9bI 3 9711 2 8 2

              − − − − − − − − 0 16 12 8 12 0 12 9 7 11 0 4 3 1 1 1 6 4 1 4               − − − − − = 1 6 4 1 4 2 0 1 5 3 3 2 3 6 1 3 2 0 5 0 A 2 4 1 4 r r r r −  4 1 3 1 3 2 r r r r − −