第二十二章各种积分间的联系和场论初步 §1.各种积分间的联系 1.应用格林公式计算下列积分: ()y一xyk,其中L为椭圆+2=1,取正向 dx+(x-y)dy ()∮(x+y)d-(x2+y3),L是顶点为4(DB(32)C25)的三角形的边界 取正向 (4)(x2+y2)x-(x2-y2)d,L为x2+y2=1,取正向 (5)∮e"sinx+e- sin ydy,L为矩形a≤x≤bc≤y≤d的边界,取正向 ∮e[(ysin+cos(x+y)+( xsinxy+os(x+y)d],其中L是任意逐 段光滑闭曲线 2.利用格林公式计算下列曲线所为图形的面积 (1)双纽线r2=a2cos20 (2)笛卡儿叶形线x2+y3=3ay(a>0 (3)x=a(1+cos2t)sint,y=asin2 t coS t,0≤t≤2x 3.利用高斯公式求下列积分 ()Jx+ydd+=2dd,其中 (a)S为立方体0≤x,y,z≤a的边界曲面外侧 S为锥面x2+ (0≤z≤h),下侧 (2)x3dhd+y2zdr+=2adh,其中S是单位球面的外侧 (3)设S是上半球面二=a2-x2-y2的上侧,求 dyd- ydEdx =dxdy 第1页共8页
第 1 页 共 8 页 第二十二章 各种积分间的联系和场论初步 §1. 各种积分间的联系 1． 应用格林公式计算下列积分： (1) 2 2 L xy dy x ydx − ，其中 L 为椭圆 2 2 2 2 1 x y a b + = ，取正向； (2) ( ) ( ) L x y dx x y dy + + − ， L 同(1)； (3) 2 2 2 ( ) ( ) L x y dx x y dy + − + ，L 是顶点为 A B C (1,1), (3,2), (2,5) 的三角形的边界， 取正向； (4) 2 3 3 2 ( ) ( ) L x y dx x y dy + − − ， L 为 2 2 x y + =1 ，取正向； (5) sin sin y x L e xdx e ydy − + ， L 为矩形 a x b c y d , 的边界，取正向； (6) ( sin cos sin cos ( )) ( ( )) xy L e y xy x y dx x xy x y dy + + + + + ，其中 L 是任意逐 段光滑闭曲线． 2． 利用格林公式计算下列曲线所为图形的面积： (1) 双纽线 2 2 r a = cos 2 ； (2) 笛卡儿叶形线 3 3 x y axy + = 3 ( a 0 )； (3) 2 2 x a t t y a t t t = + = (1 cos )sin , sin cos ,0 2 ． 3． 利用高斯公式求下列积分： (1) 2 2 2 S x dydz y dzdx z dxdy + + ，其中 (a) S 为立方体 0 , , x y z a 的边界曲面外侧； (b) S 为锥面 2 2 2 x y z z h + = (0 ) ，下侧． (2) 3 3 3 S x dydz y dzdx z dxdy + + ，其中 S 是单位球面的外侧； (3) 设 S 是上半球面 2 2 2 z a x y = − − 的上侧，求 (a) S xdydz ydzdx zdxdy + +
(b)Jxs'dyd:+(r'y-x2)dex+(2xy+y2=dxdy (4)(x-y+=)dyd=+(v-22+x)d=dx+(=-x+22)dxdy, ShE +(y-b)+(=-c)2=R2的外侧 4.用斯托克斯公式计算下列积分: ()9xya+d+h,其中 (a)L为圆周x2+y2=a2,z=0,方向是逆时针 (b)L为y2+z2=1,x=y所交的椭圆,从x轴正向看去,按逆时针方向 2)∮(=)+(=-x)+(xy),L是从(a00)经(a0)至(.a)回 到(a00)的三角形 ()∮(y2+2)+(x2+2)+(x2+y2),其中 (a)L为x+y+z=1与三坐标轴的交线,其方向与所围平面区域上侧构成右手法 则 (b)L是曲线x2+y2+2=2Rx,x2+y2=2rx(00),它的方向与所 围曲面的上侧构成右手法则; ()∮)+动+x,L是x2+y2+2=a2,x+y+二=0,从x轴正向看去圆周 是逆时针方向 5.设L为平面上封闭曲线,l为平面上任意方向,证明 cos(n, /)ds 其中n是L的外法线方向 6.设S是封闭曲面,1为任意固定方向,证明 f cos(n, n)ds=0 7.求=∮[xcos(nx)+yos(ny)]4,L为包围有界区域D的光滑闭曲线,n为 L的外法向 8.证明高斯积分 第2页共8页
第 2 页 共 8 页 (b) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 S xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy + − + + ； (4) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 S x y z dydz y z x dzdx z x y dxdy − + + − + + − + ， S 是 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x a y b z c R − + − + − = 的外侧． 4． 用斯托克斯公式计算下列积分： (1) 2 3 L x y dx dy zdz + + ，其中 (a) L 为圆周 2 2 2 x y a z + = = , 0 ，方向是逆时针， (b) L 为 2 2 y z x y + = = 1, 所交的椭圆，从 x 轴正向看去，按逆时针方向； (2) ( ) ( ) ( ) L y z dx z x dy x y dz − + − + − ， L 是从 (a,0,0) 经 (0, ,0 a ) 至 (0,0,a) 回 到 (a,0,0) 的三角形； (3) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 L y z dx x z dy x y dz + + + + + ，其中 (a) L 为 x y z + + =1 与三坐标轴的交线，其方向与所围平面区域上侧构成右手法 则， (b) L 是曲线 2 2 2 2 2 x y z Rx x y rx r R z + + = + = 2 , 2 (0 , 0) ，它的方向与所 围曲面的上侧构成右手法则； (4) L ydx zdy xdz + + ， L 是 2 2 2 2 x y z a x y z + + = + + = , 0 ，从 x 轴正向看去圆周 是逆时针方向． 5． 设 L 为平面上封闭曲线， l 为平面上任意方向，证明 cos , 0 ( ) L n l ds = ， 其中 n 是 L 的外法线方向． 6． 设 S 是封闭曲面， l 为任意固定方向，证明 cos , 0 ( ) S n l dS = ． 7． 求 cos , cos , ( ) ( ) L I x n x y n y ds = + ，L 为包围有界区域 D 的光滑闭曲线， n 为 L 的外法向． 8． 证明高斯积分
s ( r n) ds =0 其中L是平面上一单连通区域a的边界,而r是L上一点到a外某一定点的距离,n是 L的外法线方向.又若r表示L上一点到O内某一定点的距离,则这个积分之值等 9.计算高斯积分 cos(r,n) 其中S为简单封闭光滑曲面,n为曲面S上在点(5,75)处的外法向, r=(5-x)i+(7-y)j+(5-)kr=试对下列两种情形进行讨论 (1)曲面S包围的区域不含(x,y,)点 (2)曲面S包围的区域含(xy,)点 10.求证 dodd. cos(r, n)ds 其中S是包围的分片光滑封闭曲面,n为S的外法线方向.r=(x,y)r=,分 下列两种情形精心讨论 (1)V中不含原点(0,0,0) (2)V中含原点(0,0,0)时,令 dxdydz lim dyde E→>0+Fg 其中V是以原点为心,以E为半径的球 11.利用高斯公式变换以下积分: (1)xydxdy+ xzdzdx yzdydz cosa+a cos B+a- cosr s 其中cosa,cosβ,cosγ是曲面的外法线方向余弦 12.设(x,y)y(x,y)是具有二阶连续偏导数的函数,并设 ou a1 第3页共8页
第 3 页 共 8 页 cos( ) 0 , L ds r r n = ， 其中 L 是平面上一单连通区域 的边界，而 r 是 L 上一点到 外某一定点的距离， n 是 L 的外法线方向．又若 r 表示 L 上一点到 内某一定点的距离，则这个积分之值等于 2 ． 9． 计算高斯积分 ( ) 2 cos , S r n dS r ， 其 中 S 为 简 单 封 闭 光 滑 曲 面 ， n 为曲面 S 上在点 ( , , ) 处 的 外 法 向 ， r x i y j z k r r = − + − + − = ( ) ( ) ( ) , ．试对下列两种情形进行讨论： (1) 曲面 S 包围的区域不含 ( x y z , , ) 点； (2) 曲面 S 包围的区域含 ( x y z , , ) 点． 10． 求证： ( ) 1 cos , 2 V S dxdydz r n dS r = ， 其中 S 是包围 V 的分片光滑封闭曲面， n 为 S 的外法线方向． r = ( x y z , , ),r r = ．分 下列两种情形精心讨论： (1) V 中不含原点（0，0，0）； (2) V 中含原点（0，0，0）时，令 lim 0 V V V dxdydz dxdydz r r − = → + ， 其中 V 是以原点为心，以 为半径的球． 11． 利用高斯公式变换以下积分： (1) S xydxdy xzdzdx yzdydz + + ； (2) cos cos cos S u u u dS x y z + + ， 其中 cos ， cos ，cos 是曲面的外法线方向余弦． 12． 设 u x y v x y ( , , , ) ( ) 是具有二阶连续偏导数的函数，并设 2 2 2 2 u u u x y = + ．
证明: (1)‖△adh au av au av (2)vAudxdy dxdy d Cx ax ay ay 其中σ为闭曲线l所围的平面区域 为沿l外法线的方向导数 auau a s是V的边界曲面,证明 △ah小s/ra an 0会)+)1 c)a+a△aohd 式中在V及其边界曲面S上有连续的二阶偏导数,为沿曲面S的外法线的方向导 数 14.计算下列曲面积分: j(x-y+(2-)h+2(-9,其中S是++ (二≥0)下侧; (2)J(x+cosy)d+(y+cos)ddk+(=+osx)ds是立体?的边界面, 而立体g由x+y+2=1和三坐标面围成 (3)JF°n△s,其中F=x+y3j+=kn是S的外法向,S为x2+y2+=2=a2 ≥0)上侧 (x≥0)后侧 15.证明由曲面S所包围的体积等于 第4页共8页
第 4 页 共 8 页 证明： (1) l u udxdy ds n = ； (2) l u v u v u v udxdy dxdy ds x x y y n = − + + ； (3) ( ) l u v u v v u dxdy v u ds n n − = − − ． 其中 为闭曲线 l 所围的平面区域， , u v n n 为沿 l 外法线的方向导数． 13． 设 222 2 2 2 , uuu u S x y z = + + 是 V 的边界曲面，证明： (1) V S u udxdydz dS n = ； (2) 2 2 2 S V V u u u u u dS dxdydz u udxdydz n x y z = + + + ． 式中 u 在 V 及其边界曲面 S 上有连续的二阶偏导数， u n 为沿曲面 S 的外法线的方向导 数． 14． 计算下列曲面积分： (1) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 S x y dydz y z dzdx z y x dxdy − + − + − ，其中 S 是 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + + = ( 0) z 下侧； (2) ( cos cos cos , ) ( ) ( ) S x y dydz y z dzdx z x dxdy S + + + + + 是立体 的边界面， 而立体 由 x y z + + =1 和三坐标面围成； (3) S F ndS ，其中 3 3 3 F x i y j z k n = + + , 是 S 的外法向， S 为 2 2 2 2 x y z a + = ＋ ( 0) z 上侧； (4) 3 3 3 3 2 3 3 2 2 2 , S x y z yz dydz z x dzdx x y dxdy S a b c + + + + + 是 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + + = ( x 0) 后侧． 15． 证明由曲面 S 所包围的体积等于
∫j( x cosa+ cos p+=c)ds 式中cosa,cosB,cosy为曲面S的外法线的方向余弦 16.若L是平面 x cosa+ ncos B+ EcOSy-p=0上的闭曲线,它所包围区域的面积 为S,求 其中L依正向进行 17.设PO,R有连续偏导数,且对任意光滑闭曲面S,有 Pdydz +Odzdx+ Rdxdv=0 aP aO aR 证明 18.设P(xy)Q(xy)在全平面上有连续偏导数,而且以任意点(x,y)为中心,以 任意正数r为半径的上半圆/:x=x0+rcos,y=y+ rsin e(0≤0≤z),恒有 「P(xy)+Q(xy)dy=0, 求证:P(x,y)=0 §2.积分与路径无关 1.验证下列积分与路径无关,并求它们的值: (0,0) (x-y(dx-dy ydx-xd 沿在右半平面的路径 (6, 8)xdx+ ydy (10) x+y 沿不通过原点的路径 (4) f(x+y)(x+dy),式中f(u)是连续函数 (5)「,(x)dx+v(y)d,其中q,v为连续函数 第5页共8页
第 5 页 共 8 页 ( ) 1 cos cos cos 3 S V x y z dS = + + ， 式中 cos ， cos ，cos 为曲面 S 的外法线的方向余弦． 16． 若 L 是平面 x y z p cos cos cos 0 + + − = 上的闭曲线，它所包围区域的面积 为 S ，求 cos cos cos L dx dy dz x y z ， 其中 L 依正向进行． 17． 设 P Q R , , 有连续偏导数，且对任意光滑闭曲面 S ，有 0 S Pdydz Qdzdx Rdxdy + + = ． 证明 0 P Q R x y z + + = ． 18． 设 P x y Q x y ( , , , ) ( ) 在全平面上有连续偏导数，而且以任意点 ( x y 0 0 , ) 为中心，以 任意正数 r 为半径的上半圆 l ： 0 0 x x r y y r = + = + cos , sin (0 ) ，恒有 ( , , 0 ) ( ) l P x y dx Q x y dy + = ， 求证： ( , 0, 0 ) Q P x y x ． §2. 积分与路径无关 1． 验证下列积分与路径无关，并求它们的值： (1) ( )( ) ( ) (1,1) 0,0 x y dx dy − − ； (2) ( ) (1,2) 2 2,1 ydx xdy x − 沿在右半平面的路径； (3) ( ) (6,8) 2 2 1,0 xdx ydy x y + + 沿不通过原点的路径； (4) ( )( ) ( ) ( , ) 0,0 a b f x y dx dy + + ，式中 f u( ) 是连续函数； (5) ( ) ( ) ( ) (1,2) 2,1 x dx y dy + ，其中 ， 为连续函数；
ycdx+xcd+xyz xdx+y'dy-=de (=2, 2 =2)xdx+ ydy + dz xa)√x2+y2+:2,其中(,勇),(2=)在球面x2+y2+2=a2上 2.求下列全微分的原函数 (1)(x2+2x-y2)4+(x2-2-y) (2)(2xcos y-y sin x dx+(2ycos x-x sin y)dy +-dy (4)(x2-2y)dx+(y2-2x)d+(=2-2xy)t (5)(e sin y+2.xy)dx+(e cos y+2x2y) dy 3.函数F(xy)应满足什么条件才能使微分式F(x,y)(xx+yo)是全微分 4.验证 xdy- ydx Px+Q小2Ax+2Bmy+Cy2 适合条件=,其中A,B,C为常数,AC-B2>0.求奇点(00)的循环 常数. xdx+ ydy 其中L是不经过原点的简单闭曲线,取正向.设L围成的 区域为D (1)D不包含原点 (2)D包含原点在其内部 d x d 其中L是不经过(-2,0)和(2,0)点的简单闭曲线 第6页共8页
第 6 页 共 8 页 (6) ( ) (6,1,1) 1,2,3 yzdx xzdy xydz + + ； (7) ( ) (2,3, 4) 2 3 1,1,1 xdx y dy z dz − + − ； (8) ( ) ( 2 2 2 ) 1 1 1 , , , , 2 2 2 x y z x y z xdx ydy zdz x y z + + + + ，其中 ( ) 1 1 1 x y z , , ，( ) 2 2 2 x y z , , 在球面 2 2 2 2 x y z a + + = 上． 2． 求下列全微分的原函数： (1) ( ) ( ) 2 2 2 2 x xy y dx x xy y dy + − + − − 2 2 ； (2) ( ) ( ) 2 2 2 cos sin 2 cos sin x y y x dx y x x y dy − + − ； (3) 2 a b by ax dx dy dz z z z − − + + ； (4) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x yz dx y xz dy z xy dz − + − + − 2 2 2 ； (5) ( ) ( ) 2 2 sin 2 cos 2 x x e y xy dx e y x y dy + + + ； (6) ( ) ( ) 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 2 3 5 x y x dx y dy z dz x y x y x y − + + − + + − − ． 3． 函数 F x y ( , ) 应满足什么条件才能使微分式 F x y xdx ydy ( , )( + ) 是全微分． 4． 验证 2 2 1 2 2 xdy ydx Pdx Qdy Ax Bxy Cy − + = + + 适合条件 P Q y x = ，其中 A ， B ，C 为常数， 2 AC B− 0． 求奇点 (0,0) 的循环 常数． 5． 求 2 2 L xdx ydy I x y + = + ，其中 L 是不经过原点的简单闭曲线，取正向． 设 L 围成的 区域为 D ． (1) D 不包含原点； (2) D 包含原点在其内部． 6． 求 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 L y y x x I dx dy x y x y x y x y − − + = + + + − + + + − + + + ， 其中 L 是不经过 (−2,0) 和 (2,0) 点的简单闭曲线．
7.设(x,y)在单连通区域D上有二阶连续偏导数,证明v(x,y)在D内有 0的充要条件是对D内任一简单光滑闭曲线L,都有 其中一为L沿外法线的方向导数 8.计算积分 (x+y)dx+(x-y)dy 其中L是从点A(-10)到B(10)的一条不通过原点的光滑曲线,它的方程是 (x)(-1≤x≤1 9.计算积分 I=l xIn(x2+ dx+yIn(x+y--1dy 其中L是被积函数的定义域内从点(20)至(O2)的逐段光滑曲线 §3.场论初步 1.求l=x2+2y2+3z2+2xy-4x+2y-4在点O(0,0,0,A(1,1,B(-1-1-1)的梯度,并求梯度为零 的点 2.计算下列向量场F的散度和旋度 (1)F=(y z2+x2 ,x +y (2)F=(xy,xy2二,x22); x J v2 2x x1 3.证明F=(y(2x+y+z)x(x+2y+z)x(x+y+2=)是有势场并求势函数 4.设P=x2+5y+3y=,Q=5x+31x-2,R=(+2)x-4 ()计算Pa+Q+Rh,其中L是螺旋线x= acost,y=asin,=c(O≤1≤2) 第7页共8页
第 7 页 共 8 页 7． 设 u x y ( , ) 在单连通区域 D 上有二阶连续偏导数，证明 u x y ( , ) 在 D 内有 2 2 2 2 0 u u x y + = 的充要条件是对 D 内任一简单光滑闭曲线 L ，都有 0 L u ds n = ， 其中 u n 为 L 沿外法线的方向导数． 8． 计算积分 ( ) ( ) 2 2 L x y dx x y dy I x y + + − = + ， 其中 L 是从点 A(−1,0) 到 B(1,0) 的一条不通过原点的光滑曲线，它的方程是 y f x x = − ( ) 1 1 ( ) ． 9． 计算积分 ( ) ( ) 2 2 2 2 ln 1 ln 1 L I x x y dx y x y dy = + − + + − ， 其中 L 是被积函数的定义域内从点 (2,0) 至 (0,2) 的逐段光滑曲线． §3. 场论初步 1. 求 2 2 2 u x y z xy x y z = + + + − + − 2 3 2 4 2 4 在点 O (0,0,0), A (1,1,1), B (-1,-1,-1)的梯度，并求梯度为零 的点． 2. 计算下列向量场 F 的散度和旋度： (1) 2 2 2 2 2 2 F y z z x x y = + + + ( , , ) ； (2) 2 2 2 F x yz xy z xyz = ( , , ) ； (3) ( , , ) x y z F yz zx xy = ． 3. 证明 F yz x y z xz x y z xy x y z = + + + + + + ( (2 ), ( 2 ), ( 2 )) 是有势场并求势函数． 4. 设 2 P x y yz Q x xz R xy z = + + = + − = + − 5 3 , 5 3 2, ( 2) 4 ． (1) 计算 L Pdx Qdy Rdz + + ，其中 L 是螺旋线 x a t y a t z ct = = = cos , sin , (0 2 ) t ；
(2)设F=(PQ,R),求roF (3)在什么条件下F为有势场,并求势函数 5.设g为可微函数,r=(x,y,),r=川,求 grad(n),dv((r)r),rot(q(r)r) 6.求向量场F=(-y,x,z)沿曲线L的环流量 (1)L为Ox平面上的圆周x2+y2=1,z=0,逆时针方向 (2)L为Oxy平面上的圆周(x-2)2+y2=R2,z=0,逆时针方向 (3)L为Oxy平面上任一逐段光滑简单闭曲线,它围成的平面区域D的面积为S.证 明F沿L的环流量为2S (4)设有一平面x:ax+by+c=d(c≠0),取丌为上侧,丌上有一逐段光滑简单闭曲 线L,其方向关于丌为正向.L围成的平面区域的面积为S,问F沿L的环流量是什 么? 7.求向量场F=grad( (arctan2)沿曲线L的环流量: (1)L不环绕〓轴 (2)L环绕z轴一圈 (3)L环绕z轴n圈 8.设向量场F={PQ,R在除原点(000外有连续的偏导数,在球面 x2+y2+z2=t2上F的长度保持一固定值,F的方向与矢径r=(x,y,z)相同, 而且F的散度恒为零,证明此向量场为F_kr(k是常数) 9.设有一数量场u=(x,y,),除(0,00)点外有连续偏导数,其等值面是以原点为中心 的球面.又数量场的梯度场的散度为零,证明此数量场与(r=√x2+y2+=2) 仅差一个常数,其中c1为某固定常数 10.设G是空间开区域,u=(x,y,)在G上有二阶连续偏导数证明l=(x,y,z)在G 内调和的充要条件是对G内任意简单分片光滑曲面S,都有 第8页共8页
第 8 页 共 8 页 (2) 设 F P Q R = ( , , ) ，求 rotF ； (3) 在什么条件下 F 为有势场，并求势函数． 5. 设 为可微函数， r x y z r r = = ( , , ), ，求 grad r ( ) ，div ( ( ) ) r r ，rot ( ( ) ) r r ． 6. 求向量场 F y x z = −( , , ) 沿曲线 L 的环流量： (1) L 为 Oxy 平面上的圆周 2 2 x y + =1， z = 0 ，逆时针方向； (2) L 为 Oxy 平面上的圆周 2 2 2 ( 2) x y R − + = ， z = 0 ，逆时针方向； (3) L 为 Oxy 平面上任一逐段光滑简单闭曲线，它围成的平面区域 D 的面积为 S ．证 明 F 沿 L 的环流量为 2 S ． (4) 设有一平面 : ax by cz d + + = ( 0) c ，取 为上侧， 上有一逐段光滑简单闭曲 线 L ，其方向关于 为正向． L 围成的平面区域的面积为 S ，问 F 沿 L 的环流量是什 么？ 7. 求向量场 (arctan ) y F grad x = 沿曲线 L 的环流量： (1) L 不环绕 z 轴； (2) L 环绕 z 轴一圈； (3) L 环绕 z 轴 n 圈． 8. 设 向 量 场 F P Q R = , , 在 除 原 点 (0,0,0) 外 有 连 续 的 偏 导 数 ， 在 球 面 2 2 2 2 x y z t + + = 上 F 的长度保持一固定值， F 的方向与矢径 r x y z = ( , , ) 相同， 而且 F 的散度恒为零，证明此向量场为 3 k F r r = （ k 是常数）． 9. 设有一数量场 u x y z = ( , , ) ，除(0,0,0)点外有连续偏导数，其等值面是以原点为中心 的球面．又数量场的梯度场的散度为零，证明此数量场与 1 c r ( 2 2 2 r x y z = + + ) 仅差一个常数，其中 1 c 为某固定常数． 10. 设 G 是空间开区域， u x y z = ( , , ) 在 G 上有二阶连续偏导数．证明 u x y z = ( , , ) 在 G 内调和的充要条件是对 G 内任意简单分片光滑曲面 S ，都有 0 s u dS n = ．
