《线性代数》第一章（1.4）对换

§1.4对换 对换的定义 对换与排列的奇偶性的关系 三、小结

§ 1.4 对换 • 一、对换的定义 • 二、对换与排列的奇偶性的关系 • 三、小结

王一、对换的定义 定义在排列中,将任意两个元素对调,其余 元素不动,这种作出新排列的手续叫做 对换 将相邻两个元素对调,叫做相邻对换 例如 1…a1abb1…bma1…ab1…bnbc1cCn 王a1…a1bmb1bna…ab∵bn 上页

一、对换的定义 定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余 元素不动，这种作出新排列的手续叫做 对换． 将相邻两个元素对调，叫做相邻对换． a1 al a b b1 bm 例如 a b a1 al bbaa b1 bm l m n a a a b b b c c 1 1 1 l m n a a b b b a c c 1 1 1 b a a b

王二、对换与排列的奇偶性的关系 定理1一个排列中的任意两个元素对换,排列 改变奇偶性。 推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数 上页

二、对换与排列的奇偶性的关系 定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列 改变奇偶性． 推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数

上定理2n阶行列式也可定义为 D=2(-1)an1n2…an 其中t为行标排列P1P2P的逆序数 上页

( ) p p p n t n D a 1a 2 a 1 2 =  − 1 定理2 n 阶行列式也可定义为 其中 t 为行标排列 p1 p2  pn 的逆序数

庄三、小结 1.一个排列中的任意两个元素对换,排列改 变奇偶性 2行列式的三种表示方法 D=2G1)ap, ap,2"a D=2G1)a,,,.a 中D=∑( 1)ap ap-42 apA 上页

1. 一个排列中的任意两个元素对换，排列改 变奇偶性． 2.行列式的三种表示方法 ( ) p p p n t n D a 1a 2 a 1 2 =  − 1 ( ) p p npn t D a a a 1 1 2 2 =  −1 ( ) p q p q pnqn t D a a a 1 1 2 2 =  − 1 三、小结

§1.5行列式的性质 行列式的性质 应用举例

§1.5行列式的性质 • 一、行列式的性质 • 二、应用举例

庄一、行列式的性质 1、记 l12 In 21 nI 22 1, 12 2 n21 D n D= m2 In n 行列式D称为行列式D的转置行列式 牛2、性质1行列式与它的转置行列式相等 王页下

一、行列式的性质 2、性质1 行列式与它的转置行列式相等. 行列式 称为行列式 的转置行列式. T D D 1、记 nn a a a  22 11    n n a a a 2 12 1   1 2 21 n n a a a D =    2 21 1 n n a a a   n n a a a 1 2 12 = T D nn a a a  22 11

2-4 例如:3页的例2 D=-221|=-14 34-2 对这个行列式进行转置 1-2-3 D=224=1×2x(-2)+(-2)×4X(-4)+(3)×2×1 41-2 (-3)×2×(-4)-(-2)x2×(-2)-1×1×4 =-4+32-6-24-8-4 上页

• 例如： 14 3 4 2 2 2 1 1 2 4 = − − − − − D = 3页的例2 对这个行列式进行转置 4 1 2 2 2 4 1 2 3 − − − − = T D = 1 2 (−2) + (−2) 4 (−4) + (−3) 21 − (−3) 2 (−4) − (−2) 2 (−2) − 11 4 = −4+ 32− 6− 24− 8− 4 = −14

3、性质2互换行列式的两行(列),行列式变号 12-4 3页的例2 D=-221|=-14 34-2 互换行列式的二、三行 2-4 D,1=-34-2=14 22 上页

3、性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 14 3 4 2 2 2 1 1 2 4 = − − − − − D = 14 2 2 1 3 4 2 1 2 4 1 = − − − − D = 3页的例2 互换行列式的二、三行

王4推论如果行列式有两行(列)完全相同, 则此行列式为零 庄证明互换相同的两行,有D=-D D=0 上页

4、推论 如果行列式有两行（列）完全相同， 则此行列式为零. 证明 互换相同的两行，有  D = 0. D = −D