第二十章重积分的计算及应用 §1.二重积分的计算 1.将二重积分‖f(x,y)d化为不同顺序的累次积分 (1)D由x轴与 (y>0)所围成 (2)D由y=x,x=2及y=-(x>0)所围成 (3)D由y=x3,y=2x3,y=1和y=2围成 (4)D={(x,y)对+s 2.计算下列二重积分: [35]×[12] 2)cos(x+ydxdy, D=o 2 [0.x (3)Joye*dxdy, D=[a,b]x[c, d] dxdy, D 1+ 3.改变下列累次积分的次序 (1)[df(x 2). dxIrf(x, y)dy 设f(x,y)在所积分的区域D上连续,证明 ∫d,(xy)=小门(xy 5.计算下列二重积分: () Jx"ydrdy(mk>0D是由y2=2px(p>0)x=2围成的区域 第1页共6页
第 1 页 共 6 页 第二十章 重积分的计算及应用 §1. 二重积分的计算 1． 将二重积分 ( , ) D f x y dxdy 化为不同顺序的累次积分： (1) D 由 x 轴与 2 2 2 x y r y + = ( 0) 所围成； (2) D 由 y x x = = , 2 及 1 y x( 0) x = 所围成； (3) D 由 3 3 y x y x y = = = , 2 , 1 和 y = 2 围成； (4) D x y x y = + ( , ) 1 ． 2. 计算下列二重积分： (1) ( 2 ) D y x dxdy − ， D = 3,5 1,2 ； (2) cos( ) D x y dxdy + ， 0, 0, 2 D = ； (3) 2 2 x y D xye dxdy + ， D a b c d = , , ； (4) 1 D x dxdy + xy ， D = 0,1 0,1 ． 3. 改变下列累次积分的次序： (1) 2 2 3 0 ( , ) y y dy f x y dx ； (2) 2 2 1 ( , ) x dx f x y dy ； (3) 2 1 1 3 (3 ) 2 0 0 1 0 ( , ) ( , ) x x dx f x y dy dx f x y dy − + ． 4. 设 f x y ( , ) 在所积分的区域 D 上连续，证明 ( , ) ( , ) b x b b a a a y dx f x y dy dy f x y dx = ． 5. 计算下列二重积分： (1) m k D x y dxdy ( m k, 0 ), D 是由 2 2 ( 0), 2 p y px p x = = 围成的区域；
(2)xD是由y=0y=sinx,x=0和x=√围成的区域 (3)yo,D:x2+y2≤x dxdy D 5)(x+y)oD由y=c,y=1x=0,x=1所围成 (6)「x3y2dy,D由x=y2x=0,x=2,y=2+x所围成 (7) xc,D是以(2,2),(2,3)和(3,1)为顶点的三角形 (8) [sinnxdrdy, D由y=x,y=4x和y=4所围成 D 6.求下列二重积分 dx x'e (3)I= a y sinx 7.改变下列累次积分的次序: ady。f(x,y,)d ∫4” f(x, y, =)d= 8.求下列立体之体积 (1)V由 r2,x2+y2+z2≤2rz所确定 (2)V由z≥x2+y2,y≥x2,x≤2所确定 (3)V是由坐标平面及x=2,y=3,x+y+z=4所围成的角柱体 9.用极坐标变换将f(x,y)dd化为累次积分 (1)D:半圆x2+y2≤a2,y≥0 D:半环a2≤x2+y2≤b2,x≥0 第2页共6页
第 2 页 共 6 页 (2) , D xdxdy D 是由 2 y y x x = = = 0, sin , 0 和 x = 围成的区域； (3) , D xdxdy D ： 2 2 x y x + ； (4) , D xy dxdy D ： 2 2 2 x y a + ； (5) ( ) , D x y dxdy D + 由 , 1, 0, 1 x y e y x x = = = = 所围成； (6) 2 2 , D x y dxdy D 由 2 x y x x y x = = = = + , 0, 2, 2 所围成； (7) , x y D e dxdy D + 是以 (2, 2),(2,3) 和 (3,1) 为顶点的三角形； (8) sin , D nxdxdy D 由 2 y x y x = = , 4 和 y = 4 所围成． 6. 求下列二重积分： (1) 1 1 2 0 y x I dx e dy − = ； (2) 1 1 2 2 0 y x I dx x e dy − = ； (3) 2 2 2 2 0 sin y I dy y x dx = ． 7. 改变下列累次积分的次序： (1) 1 1 0 0 0 ( , , ) x x y dx dy f x y z dz − + ； (2) 2 2 1 1 0 0 0 ( , , ) x y dx dy f x y z dz + ； (3) 2 1 0 1 0 1 ( , , ) x y dx dy f x y z dz − − ； (4) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ( , , ) x x x y dx dy f x y z dz − − − − + ． 8. 求下列立体之体积： (1) V 由 2 2 2 2 2 2 2 x y z r x y z rz + + + + , 2 所确定； (2) V 由 2 2 2 z x y y x z + , , 2 所确定； (3) V 是由坐标平面及 x y x y z = = + + = 2, 3, 4 所围成的角柱体． 9. 用极坐标变换将 ( , ) D f x y dxdy 化为累次积分： (1) D ：半圆 2 2 2 x y a y + , 0 ； (2) D ：半环 2 2 2 2 a x y b x + , 0 ；
≤a(a>0) (4)D:正方形0≤x≤a,0≤y≤a 10.用极坐标变换计算下列二重积分 Ix ≤x2+y2≤4 ()(x+y)dod,D是圆x2+y2≤x+y的内部 ()jx+y2)d,D由双纽线x2+y)=d(x2-y2x20)围成 (4)‖xhd,D由阿基米德螺线r=和半射线O=x围成 (5)∫xgo,D由对数螺线r="和半射线O=0,O=2围成 11.在下列积分中引入新变量u,,将它们化为累次积分: ()[f(x,y0小若=x+yv=x-y ∫dnf(xy)b b,00),若 x+y=u,y 12.作适当的变量代换,求下列积分 ()J(x2+y2)ad,D是由x2+y2=1围成的区域 (2)J(x+y)drdy, D t y=4x, y=9x, x=4y2 (3)Jxod,D由x=2x=4y=x,y=2x围成 §2.三重积分的计算 1.利用二重积分求由下列曲面围成的立体的体积: y2=a2,z=0 y2=R2 第3页共6页
第 3 页 共 6 页 (3) D ：圆 2 2 x y ay + ( 0) a ； (4) D ：正方形 0 ,0 x a y a ． 10. 用极坐标变换计算下列二重积分： (1) 2 2 sin , D x y dxdy + D ： 2 2 2 2 + x y 4 ； (2) ( ) , D x y dxdy + D 是圆 2 2 x y x y + + 的内部； (3) 2 2 ( ) , D x y dxdy + D 由双纽线 2 2 2 2 2 2 ( ) ( )( 0) x y a x y x + = − 围成； (4) , D xdxdy D 由阿基米德螺线 r = 和半射线 = 围成； (5) , D xydxdy D 由对数螺线 r e = 和半射线 0, 2 = = 围成． 11. 在下列积分中引入新变量 u v, ，将它们化为累次积分： (1) 2 2 0 1 ( , ) , x x dx f x y dy − − 若 u x y v x y = + = − , ； (2) ( , ) b x a x dx f x y dy ( 0 ,0 a b )，若 , y u x v x = = ； (3) ( , ) D f x y dxdy ，其中 D ＝ ( x y x y a x y , , 0, 0 ) + ， 若 4 4 x u v y u v = = cos , sin ； (4) ( , ) D f x y dxdy ，其中 D ＝ ( x y x y a x y , , 0, 0 ) + ( a 0 ) ， 若 x y u y uv + = = , ． 12. 作适当的变量代换，求下列积分： (1) 2 2 ( ) , D x y dxdy + D 是由 4 4 x y + =1 围成的区域； (2) ( ) , D x y dxdy + D 由 2 2 2 2 y x y x x y x y = = = = 4 , 9 , 4 , 9 围成； (3) , D xydxdy D 由 xy xy y x y x = = = = 2, 4, , 2 围成． §2. 三重积分的计算 1. 利用二重积分求由下列曲面围成的立体的体积： (1) 2 2 2 z xy x y a z = + = = , , 0 ； (2) 2 2 2 2 2 , 0, h z x y z x y R R = + = + = ；
(3)球面x2+y2+2=a2与圆柱面x2+y2=ax(a>0)的公共部分 (z>0); (6)z=x2+y2,z=x+y 2.求曲线x+y=所围成的面积 3.用柱坐标变换计算下列三重积分 ()(x2+y2)dod,由曲面=x2+y2,=4=16围成 顶F+y)小在,P由曲面x+=9x+y=1=x+y20 围成 4.用球坐标变换计算下列三重积分 ()∫(x+y+)oht,V:x2+y2+=2≤R2 )∫yF+y+2)ddh,F由x2+y2+2=2围成 (3)川xaxd,V由x2+y2=2,x2+y2+2=8围成 5.作适当的变量代换,求下列三重积分: ()xyd,V由 x+1 6,xy=c, xy=d,y=ax, y= Bx 围成的立体,其中00,00)围成 l22aoh,V由x+y+三=1围成; 第4页共6页
第 4 页 共 6 页 (3) 球面 2 2 2 2 x y z a + + = 与圆柱面 2 2 x y ax + = （ a 0 ）的公共部分； (4) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1, x y z x y z a b c a b c + + = + = ( z 0 )； (5) 2 2 2 2 2 , 2 4 9 4 9 x y x y z z = + = + ； (6) 2 2 z x y z x y = + = + , ． 2. 求曲线 2 2 2 2 2 2 x y xy a b c + = 所围成的面积． 3. 用柱坐标变换计算下列三重积分： (1) 2 2 2 ( ) V x y dxdydz + ，V 由曲面 2 2 z x y z z = + = = , 4, 16 围成； (2) ( ) 3 2 2 V x y dxdydz + , V 由曲面 2 2 2 2 2 2 2 x y x y z x y z + = + = = + 9, 16, , 0 围成． 4. 用球坐标变换计算下列三重积分： (1) ( ) , V x y z dxdydz + + V ： 2 2 2 2 x y z + + R ； (2) ( ) 5 2 2 2 V x y z dxdydz + + , V 由 2 2 2 x y z z + + = 2 围成； (3) 2 V x dxdydz ，V 由 2 2 2 2 2 2 x y z x y z + = + + = , 8 围成． 5. 作适当的变量代换，求下列三重积分： (1) 2 2 V x y zdxdydz ，V 由 2 2 2 2 , , , , , x y x y z z xy c xy d y x y x a b + + = = = = = = 围成的立体，其中 0 ,0 a b ； (2) 2 V x yzdxdydz ，V 同(1)； (3) 4 V y dxdydz ， V 由 2 2 x az x bz = = , ( z a b 0,0 ) ， x y x y = = , ( 0 )以及 x h = ( 0) 围成； (4) 2 2 2 2 2 2 x y z a b c V e dxdydz + + ，V 由 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + + = 围成；
6.求下列各曲面所围立体之体积: (1)z=x2+y2,z=2(x2+y2),y=x,y=x2; (2)(X+2+=1(x20y20.=≥0a>0.b>0.c>0 7.计算下列三重积分 (1)J(+y+=)drdyd-,V: x'+y2+22sa2 dxdyd,V由曲面z=x2+y2,z=1,z=2所围成 (3)川(1+x)x,V由曲面x2=2+y2,x=2,x=4所围成: (4)x3 yEdxdyde,V是由曲面x2+y2+2=1x=0,y=0,z=0围成的位于第 卦限的有界区域; )x2=2ahd,V由曲面=,y=x,=0x=1所围成 6∫ycsx+)dh,是由y=√5,y=0.=0及x+=2所围成的区 §3.积分在物理上的应用 1.求下列均匀密度的平面薄板的质心 (1)半椭圆+,≤1,y≥0 (2)高为h,底分别为a和b的等腰梯形; (3)r=a(1+cosq)(0≤q≤x)所界的薄板; (4)qy=x2,x+y=2a(a>0)所界的薄板 2.求下列密度均匀的物体的质心: (1)=≤1-x-y,20; (2)由坐标面及平面x+2y-2=1所围成的四面体 3)二=x2+y2,x+y=a,x=0,y=0,z=0围成的立体 第5页共6页
第 5 页 共 6 页 (5) 2 2 2 2 2 1 1 2 2 0 0 x x y x y dx dy z dz − − − + ． 6. 求下列各曲面所围立体之体积： (1) 2 2 2 2 2 z x y z x y y x y x = + = + = = , 2( ), , ； (2) 2 2 1 x y z a b c + + = ( x y z a b c 0, 0, 0, 0, 0, 0 )． 7. 计算下列三重积分： (1) ( ) , V x y z dxdydz + + V ： 2 2 2 2 x y z a + + ； (2) , V zdxdydz V 由曲面 2 2 z x y z z = + = = , 1, 2 所围成； (3) 4 (1 ) , V + x dxdydz V 由曲面 2 2 2 x z y x x = + = = , 2, 4 所围成； (4) 3 , V x yzdxdydz V 是由曲面 2 2 2 x y z x y z + + = = = = 1, 0, 0, 0 围成的位于第 一卦限的有界区域； (5) 2 3 , V xy z dxdydz V 由曲面 z xy y x z x = = = = , , 0, 1 所围成； (6) cos( ) , V y x z dxdydz + V 是由 y x y z = = = , 0, 0 及 2 x z + = 所围成的区 域． §3. 积分在物理上的应用 1． 求下列均匀密度的平面薄板的质心： (1) 半椭圆 2 2 2 2 1, 0 x y y a b + ； (2) 高为 h ，底分别为 a 和 b 的等腰梯形； (3) r a = + (1 cos )(0 ) 所界的薄板； (4) 2 ay x x y a a = + = , 2 ( 0) 所界的薄板． 2． 求下列密度均匀的物体的质心： (1) 2 2 z x y z − − 1 , 0 ； (2) 由坐标面及平面 x y z + − = 2 1 所围成的四面体； (3) 2 2 z x y x y a x y z = + + = = = = , , 0, 0, 0 围成的立体；
(4)2=x2+y2(x≥0)和平面二=h围成的立体; (5)半球壳a2≤x2+y2+z2≤b2,z≥0 3.求下列密度均匀的平面薄板的转动惯量: (1)边长为a和b,且夹角为的平行四边形,关于底边b的转动惯量; (2)y=x2,y=1所围平面图形关于直线y=-1的转动惯量 4.求由下列曲面所界均匀体的转动惯量: (1)z=x2+y2,x+y=土1,x-y=±1,z=0关于z轴的转动惯量 (2)长方体关于它的一棱的转动惯量 (3)圆筒a2≤x2+y2≤b2,-h≤二≤h关于x轴和z轴的转动惯量 5.设球体x2+y2+2≤2x上各点的密度等于该点到坐标原点的距离,求这球的质量 6.求均匀薄片x2+y2≤R2,z=0对z轴上一点(0,0,c)(c>0)处单位质点的引力 求均匀柱体x2+y2≤a2,0≤二≤h对于(0,0,c)(c>h)处单位质点的引力 §4.广义重积分 设y轴将平面有界区域D分成对称的两部分D1和D2,证明 (1)若∫(x,y)关于x为奇函数,即f(-x,y)=-f(x,y),则 f(, y)dxdy=0: (2)若f(x,y)关于x为偶函数,即f(-x,y)=f(x,y),则 fs(x, y)drdy =2/(x, y)drdy =2/(r,y)drdy 第6页共6页
第 6 页 共 6 页 (4) 2 2 2 z x y z = + ( 0) 和平面 z h = 围成的立体； (5) 半球壳 2 2 2 2 2 a x y z b z + + , 0 ． 3． 求下列密度均匀的平面薄板的转动惯量： (1) 边长为 a 和 b ，且夹角为 的平行四边形，关于底边 b 的转动惯量； (2) 2 y x y = = , 1 所围平面图形关于直线 y =−1 的转动惯量． 4． 求由下列曲面所界均匀体的转动惯量： (1) 2 2 z x y x y x y z = + + = − = = , 1, 1, 0 关于 z 轴的转动惯量； (2) 长方体关于它的一棱的转动惯量； (3) 圆筒 2 2 2 2 a x y b + ， − h z h 关于 x 轴和 z 轴的转动惯量． 5． 设球体 2 2 2 x y z x + + 2 上各点的密度等于该点到坐标原点的距离，求这球的质量． 6． 求均匀薄片 2 2 2 x y z + = R , 0 对 z 轴上一点(0，0，c )( c >0)处单位质点的引力． 求均匀柱体 2 2 2 x y a z h + , 0 对于(0，0，c ) ( c > h )处单位质点的引力． §4. 广义重积分 1． 设 y 轴将平面有界区域 D 分成对称的两部分 D1 和 D2 ，证明： (1) 若 f x y ( , ) 关于 x 为奇函数，即 f x y f x y ( , ) ( , ) − = − ，则 ( , ) 0 D f x y dxdy = ； (2) 若 f x y ( , ) 关于 x 为偶函数，即 f x y f x y ( , ) ( , ) − = ，则 1 2 ( , ) 2 ( , ) 2 ( , ) D D D f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy = = ．