第六章不定积分 §1.不定积分的概念及运算法则 1.求下列不定积分: √x (1)(x+x-k 2)j(5-x)a (x+3x 3 (5) (7)「(2sinx-4cosx)db (8)「(3-sec2x)dx (9)(tan2x+3)d 2+sinx (10) oS x tanx (11) sin cos 2x (12) -dx cosx-sinx (13) 1+ cos 2x (14)j(3+1)a 第1页共8页
第 1 页 共 8 页 第六章 不定积分 §1. 不定积分的概念及运算法则 1． 求下列不定积分： （1） 5 3 ( ) 4 x x x dx + − ； （2） ( ) 3 5 − x dx ； （3） 3 3 3 2 ( ) x x dx x x + + + ； （4） ( ) 4 2 1 dx x x + ； （5） 2 2 3 1 x dx + x ； （6） x 1 dx x + ； （7） (2sin 4cos ) x x dx − ； （8） 2 (3 sec ) − x dx ； （9） 2 (tan 3) x dx + ； （10） 2 2 2 sin cos x dx x + ； （11） 2 2 tan cos sin 2 2 x dx x x − ； （12） cos 2 cos sin x dx x x − ； （13） 1 cos 2 dx + x ； （14） 2 (5 1) x + dx ；
(15)「(2+()-=)x Je()dx (17)(cos x 1+x2 (19)[2x3 (20) +sin x )da 2.求一曲线y=f(x),它在点(x,f(x)处的切线的斜率为2x,且通过点(2,5) 3.已知f(x)满足给定的关系式,试求f(x): (1)xf(x)=1(x>0) (2)∫(x)=1(x>0) (3)f(x)∫(x)=1(x>0) 1(f(x)>0) f(x) §2.不定积分的计算 1.用凑微分法求下列不定积分 (1) (3) dx 第2页共8页
第 2 页 共 8 页 （15） (2 ) 5 x e dx x 1 x +（ ）- 3 ； （16） (1 ) x x e e dx x − − ； （17） 2 2 2 1 (cos ) 1 4 1 x dx x x − − + − ； （18） x x dx ； （19） 2 2 3x x dx ； （20） 2 3 ( sin ) 4 4 x dx x + − ． 2．求一曲线 y f x = ( ) ，它在点 ( , ( )) x f x 处的切线的斜率为 2 x ，且通过点 (2,5) ． 3．已知 f x( ) 满足给定的关系式，试求 f x( ) ： (1) '( ) 1 ( 0) = xf x x ； '( ) (2) 1 ( 0) f x x x = ； (3) ( ) '( ) 1 0 = ( ) f x f x x ； ' 1 ( ( ) 0) ( ) f x f x f x ( ) () = . §2. 不定积分的计算 1． 用凑微分法求下列不定积分： （1） 1 5 6 dx x − ； （2） 1 (1 2 ) dx x x + ； （3） 1 1 1 dx x x + + − ；
edx 1+e e+e+2 (11)tan xdx (12)tan'xsec xdx: sin x cos x (14) (15)cos xdx (16) 1+sinx (17) sinx cosx (18)SIn-xr cosx 1+sin *x (19) 4+x2 (20) 4+x (21) (22)sin 2xcos 3xdx: 第3页共8页
第 3 页 共 8 页 （4） 2 2 1 1 ( ) 3 1 3 dx x x + − − ； （5） 2 1 2 3 dx + x ； （6） 2 x e dx − ； （7） 2 x xe dx − ； （8） 1 x x e dx + e ； （9） 2 x x dx e e − + + ； （10） x x dx e e − + ； （11） tan xdx ； （12） 5 2 tan sec x xdx ； （13） 2 1 2sin cos x dx x − ； （14） 2 2 sin cos dx A x B x + ； （15） 5 cos xdx ； （16） 1 sin dx + x ； （17） cos 2 sin cos x dx x x ； （18） 4 sin cos 1 sin x x dx + x ； （19） 2 4 x dx + x ； （20） 4 4 x dx + x ； （21） 5 4 3 2 x dx x − − ； （22） sin 2 cos3 x xdx ； （23） 2 (ln ) x dx x ；
1 dx (24)sin (25)( arcsin x)2 (26)arctan x dx 1+ (27) (28) (1+x) (29) dx (30)∫+ sin xd 2.用换元积分法求下列不定积分: (1)「√x2-a2 d +x一x ∫√2 +x-xdx (5) (x2+a2) x x+1 (8) ⊥1 (9) 第4页共8页
第 4 页 共 8 页 （24） 2 1 sin . dx x x ； （25） 2 2 (arcsin ) 1 x dx − x ； （26） 2 arctan 1 x dx + x ； （27） 1 dx x x + ； （28） (1 ) dx x x + ； （29） 2 1 x x e dx − e ； （30） 1 sin + xdx ． 2． 用换元积分法求下列不定积分： （1） 2 2 x a dx − ； （2） 2 2 4 x dx − x ； （3） 2 5 x dx + −x x ； （4） 2 2 + −x x dx ； （5） 2 2 3 / 2 ( ) dx x a + ； （6） 2 1 dx x x + − ； （7） x 1 e dx + ； （8） 1 1 1 1 x dx x + − + + ； （9） 3 1 x dx + x ；
(10) 3.用分部积分法求下列不定积分: (2)「x3hxdx (3)In xdx (4)arctan xdx ()∫ ctan xdr √- (6)arctan xdx (7) cos(nx (9)sec xdx (10)xln(+x (11)xsin xdx: (12)xcos xdx (13)|ln(nx)+,dx dx (15)「 arcsinx)dx (16) 第5页共8页
第 5 页 共 8 页 （10） 1 x dx + x ； （11） 5 2 1 x dx − x ； （12） 2 3 2 ( 1) x dx x + + ． 3． 用分部积分法求下列不定积分： （1） 2 x xdx cos ； （2） 3 x xdx ln ； （3） ln xdx ； （4） arctan xdx ； （5） arctan 1 xdx − x ； （6） x xdx arctan ； （7） 3 ln x dx x ； （8） cos(ln ) x dx ； （9） 5 sec xdx ； （10） 1 ln( ) 1 x x dx x + − ； （11） 2 x xdx sin ； （12） 2 x xdx cos ； （13） 1 [ln(ln ) ] ln x dx x + ； （14） 2 ( 1) x xe dx x + ； （15） 2 (arcsin ) x dx ； （16） 2 sin x dx x ；
(17)In(x+v1+x)dx (18)「√xhn2xhr 4.求下列有理函数的不定积分: 8 (1) d x (4)∫a dx (5 dx +4 (6) l)(x+2 d x (7) dx dx (9) 5.求下列无理函数的不定积分: (1) x(1+2x+yx) +1+√x-1 d x x2+2x+2 (4) ∫x√x2-2x+2k x dx (5) V1+x 第6页共8页
第 6 页 共 8 页 （17） 2 ln( 1 ) x x dx + + ； （18） 2 x xdx ln ． 4． 求下列有理函数的不定积分： （1） 5 4 3 x x 8 dx x x + − − ； （2） 2 ( 1)( 1) dx dx x x + + ； （3） 2 4 1 x dx − x ； （4） 3 1 dx dx + x ； （5） 2 2 7 12 x dx x x − − + ； （6） 2 4 ( 1)( 2) x dx x x + − + ； （7） 4 1 dx dx + x ； （8） 2 2 3 2 1 x dx x x − + + ； （9） 2 4 2 dx dx x x + + ； （10） 2 8 2 dx dx − −x x ． 5. 求下列无理函数的不定积分： （1） 3 (1 2 ) dx dx x x x + + ； （2） 1 1 1 1 x x dx x x + − − + + − ； （3） 2 2 2 dx x x x + + ； （4） 2 x x x dx − + 2 2 ； （5） 2 1 1 x dx x x − + ；
d x (7) x-x (8)[√x2+x+ldt d x (9) √1+x4 (10) 6.求下列不定积分的递推公式: (1),=xe-a (2)n=(nx) In=(arcsin x)dx 7.求下列三角有理式的积分 (1) 4+5cosx (2) 5+4 sin 2x 2+sin x serax (+sec x) 1+ tan x (6) (2+cos x)sinx (7)「 sin x cos x sin x+ cosr (8) 1+cos x (9)丁 tan xax 第7页共8页
第 7 页 共 8 页 （6） 2 dx x x + ； （7） 2 2 1 x dx + −x x ； （8） 2 x x dx + +1 ； （9） 4 4 1 dx x x + ； （10） 4 3 (1 ) xdx x x − ． 6. 求下列不定积分的递推公式： （1） n kx n I x e dx = ； （2） (ln )n n I x dx = ； （3） tann n I xdx = ； （4） (arcsin )n n I x dx = ． 7. 求下列三角有理式的积分： （1） 4 5cos dx + x ； （2） 5 4sin 2 dx + x ； （3） 2 2 sin dx + x ； （4） 2 sec (1 sec ) xdx + x ； （5） 1 tan dx + x ； （6） (2 cos )sin dx + x x ； （7） sin cos sin cos x x dx x x + ； （8） 3 2 sin 1 cos x dx + x ； （9） 3 tan xdx ；
(10) Sin x CoS x cos xdx (11) sin x+2 cosx 1+cos-x 8.求下列不定积分 d x /(x-a)(x-b) dx B (3)xe sin xdx (5) dx sin(x+a)sin(x +b (6) tan x tan(x +a)dx: 1+tan x+tanx (10) dx 1+cosx 1-ta (11) dx (12)sinr sin 2xdx (13)| arctan(1+√x)dx 第8页共8页
第 8 页 共 8 页 （10） 2 sin cos dx x x ； （11） cos sin 2cos xdx dx x x + ； （12） 2 2 sin 1 cos x dx + x ． 8. 求下列不定积分： （1） ( )( ) dx x a x b − − ； （2） 2 2 dx x x + ； （3） sin x xe xdx ； （4） cos x xe xdx ； （5） sin( )sin( ) dx x a x b + + ； （6） tan tan( ) x x dx + ； （7） 3 2 arccos 1 x x dx − x ； （8） 2 tan 1 tan tan x dx + +x x ； （9） 1 x x xe dx dx + e ； （10） sin 1 cos x x dx x + + ； （11） 1 tan 1 tan x dx x − + ； （12） sin sin 2 x e xdx ； （13） arctan(1 ) + x dx ； （14） 4 (1 2 )x dx + ．