《数学分析(1,2,3)》教案 第九章数项级数 §1预备知识:上极限和下极限 对于一个有界数列{an},去掉他的最初k项以后,剩下来的依旧是一个有界数列,记 B=sup{a12ak2…} ak+, ak 显然,数列{}是单调减少的,{a}是单调增加的,所以这两个数列的极限存在。称{B}的极 限是{an}的上极限,设它为H。称{a}的极限是{an}的下极限,设它为h。记为 H=lim h=lim a 显然:h≤H 定理1设 Im a 则(i)当H为有限时,对于H的任何E邻域(H-E,H+E),在数列{an}中有无穷多个项属于 这个邻域,而在(H+E,+∞)只有有限多个项。 (i)当H=+∞时,对任何数N>0,在{an}中波有无穷多项大于N。 (ⅲ)当H=-∞时,数列{an}以-为极限。 定理2设 h=lim a 则(i)当h为有限时,对于H的任何E邻域(h-E,h+E),在数列{an}中有无穷多个项属于这个 邻域,而在(一0,h-)只有有限多个项。 (i)当h=-时,对任何数N>0,在{an}中波有无穷多项小于-N。 (ⅲ)当h=+∞时,数列{an}以+为极限 定理3设H为{an}的上极限,那么,H必是{a}中所有收敛子列的极限中的最大值。设h为 an}的下极限,那么,h必是{an}中所有收敛子列的极限中的最小值。 9-1
《数学分析（1，2，3）》教案 9-1 第九章 数 项 级 数 §1 预备知识：上极限和下极限 对于一个有界数列 an ，去掉他的最初 k 项以后，剩下来的依旧是一个有界数列，记 1 2 1 2 sup , , , inf , , . k k k k k k a a a a + + + + = = 显然，数列 k 是单调减少的， k 是单调增加的，所以这两个数列的极限存在。称 k 的极 限是 an 的上极限，设它为 H 。称 k 的极限是 an 的下极限，设它为 h 。记为 lim , lim . n n n n H a H a − → − → = = 显然： h H 。 定理 1 设 lim n n H a − → = 则（i）当 H 为有限时，对于 H 的任何 邻域 (H H − + , ) ，在数列 an 中有无穷多个项属于 这个邻域，而在 (H + + , ) 只有有限多个项。 （ii）当 H = + 时，对任何数 N 0 ，在 an 中波有无穷多项大于 N 。 （iii）当 H = − 时，数列 an 以 − 为极限。 定理 2 设 lim n n h a −− → = 则（i）当 h 为有限时，对于 H 的任何 邻域 (h h − + , ) ，在数列 an 中有无穷多个项属于这个 邻域，而在 (− − , h ) 只有有限多个项。 （ii）当 h = − 时，对任何数 N 0 ，在 an 中波有无穷多项小于−N 。 （iii）当 h = + 时，数列 an 以 + 为极限。 定理 3 设 H 为 an 的上极限，那么， H 必是 an 中所有收敛子列的极限中的最大值。设 h 为 an 的下极限，那么， h 必是 an 中所有收敛子列的极限中的最小值
《数学分析(1,2,3)》教案 推论1 lim a=A的充分必要条件为 lim a =lim a = a 例:设an=n+(-1)",求它的上下极限。 例:设an=cos",求它的上下极限。 §2级数的收敛性及其基本性质 级数概念 在初等数学中,我们知道:任意有限个实数a4,2…,ln相加,其结果仍是一个实数,在本章将讨论一 一无限多个实数相加一一级数一一所可能出现的情形及特征。如 111 +-+-+…+一+ 从直观上可知,其和为1。 2222 又如,1+(-1)+1+(-1)+…。 其和无意义 若将其改写为:(1-1)+(1-1)+(1-1)+… 则其和为:0: 若写为: 1+[(-1)+1]+[(-1)+1]+ 则和为:1。(其结果完全不同) 问题:无限多个实数相加是否存在和 如果存在,和等于什么 定义1给定一个数列{an},将它的各项依次用加号“+”连接起来的表达式 l1+l2+l2 (1) 称为数项级数或无穷级数(简称级数),其中un称为级数(1)的通项。级数记为:∑Un 级数的收敛性 记Sn=∑4=l1+2+…+un,称之为级数∑un的前n项部分和,简称部分和。 定义2若数项级数∑n的部分和数列{Sn}收敛于S(即mSn=S,则称数项级数∑n收敛,记作 ln=l1+12+a2+……+l 9-2
《数学分析（1，2，3）》教案 9-2 推论 1 lim n n a A → = 的充分必要条件为 lim lim n n n n a a A − −− → → = = 。 例：设 ( 1) n n a n = + − ，求它的上下极限。 例：设 cos 4 n n a = ，求它的上下极限。 §2 级数的收敛性及其基本性质 一 级数概念 在初等数学中，我们知道：任意有限个实数 u u un , , , 1 2 相加，其结果仍是一个实数，在本章将讨论— —无限多个实数相加——级数——所可能出现的情形及特征。如 + + ++ n + 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 从直观上可知，其和为 1。 又如， 1+ (−1) +1+ (−1) +。 其和无意义； 若将其改写为： (1−1) + (1−1) + (1−1) + 则其和为：0； 若写为： 1+[(−1) +1] +[(−1) +1] + 则和为：1。（其结果完全不同）。 问题：无限多个实数相加是否存在和； 如果存在，和等于什么。 定义 1 给定一个数列 un ，将它的各项依次用加号“+”连接起来的表达式 u1 + u2 + u3 ++ un + （1） 称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中 n u 称为级数（1）的通项。级数记为： n=1 n u 。 二 级数的收敛性 记 n n k Sn = uk = u + u + + u = 1 2 1 ，称之为级数 n=1 n u 的前 n 项部分和，简称部分和。 定义 2 若数项级数 n=1 n u 的部分和数列 Sn 收敛于 S （即 Sn S n = → lim ），则称数项级数 n=1 n u 收敛 ，记作 S = n=1 n u = u1 + u2 + u3 ++ un +
《数学分析(1,2,3)》教案 若部分和数列Sn}发散,则称数项级数∑un发散。当级数收敛时,又称 =S-S=> k=n+1 为级数的余和 注:无穷级数的收敛问题,实质上是部分和数列的收敛问题 例:试讨论等比级数(几何级数) a+ag t a≠ 的收敛性。 例:讨论级数 1·22·33.4 n(n+1) 的收敛性 收敛级数的性质 性质1若级数∑un都有收敛,则对任意常数a,级数∑an也收敛,且 au =a uln 性质2若级数∑un与∑vn都有收敛,则级数∑(un+vn)也收敛,且 即对于收敛级数来说,交换律和结合律成立 性质3在收敛级数的项中任意加括号,既不改变级数的收敛性,也不改变它的和。 注意:从级数加括号后的收敛,不能推断加括号前的级数也收敛(即去括号法则不成立)。 如:(1-1)+(1-1)+…+(1-1)+…=0+0+…+0+ 收敛,而级数 是发散的 性质4(收敛的必要条件)若级数∑un收敛,则→0(n→∞)。 注:1→0(m→∞)只是级数∑un收敛的必要条件,不是充分条件
《数学分析（1，2，3）》教案 9-3 若部分和数列 Sn 发散，则称数项级数 n=1 n u 发散。当级数收敛时，又称 1 n n k k n r S S u = + = − = 为级数的余和。 注：无穷级数的收敛问题，实质上是部分和数列的收敛问题。 例: 试讨论等比级数（几何级数） = − − = + + + + + 1 1 2 1 n n n aq a aq aq aq ，(a 0) 的收敛性。 例:讨论级数 + + + + + + ( 1) 1 3 4 1 2 3 1 1 2 1 n n 的收敛性。 三 收敛级数的性质 性质 1 若级数 n=1 n u 都有收敛，则对任意常数 a ，级数 1 n n au = 也收敛，且 1 n n au = 1 n n a u = = 。 性质 2 若级数 n=1 n u 与 n=1 n v 都有收敛，则级数 1 ( ) n n n u v = + 也收敛，且 1 ( ) n n n u v = + 1 1 n n n n u v = = = + 。 即对于收敛级数来说，交换律和结合律成立。 性质 3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。 注意：从级数加括号后的收敛，不能推断加括号前的级数也收敛（即去括号法则不成立）。 如： (1−1) + (1−1) ++ (1−1) + = 0+ 0++ 0+ 收敛，而级数 1−1+1−1+ 是发散的。 性质 4 （收敛的必要条件）若级数 n=1 n u 收敛，则 u n n → → 0( ) 。 注： u n n → → 0( ) 只是级数 n=1 n u 收敛的必要条件，不是充分条件
《数学分析(1,2,3)》教案 例:级数∑发散,但→0 敛散性是由它的部分和数列S}来确定的,因而也可以认为数项级数∑n是数列Sn}的另一表现形 式。反之,对于任意的数列{an},总可视其为数项级数 ∑un=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a 的部分和数列,此时数列{an}与级数a1+(a2-a1)+(a23-a2)+…+(an-an)+…有 相同的敛散性,因此,有 定理1(Cacy收敛原理)级数∑un收敛的充要条件是:任给正数E,总存在正整数N,使得当n>N以 及对任意的正整数p,都有 注:级数∑un发散的充要条件是:存在某个E0>0,对任何正整数N,总存在正整数m(>N,P,有 +lln+…+ 例:利用收敛原理来判断级数∑的收敛性。 例:利用收敛原理来判断调和级数∑的收敛性 3正项级数 正项级数收敛性的一般判别原则 若级数各项的符号都相同,则称为同号级数。而对于同号级数,只须研究各项都由非负项数组成的级数 正项级数。因负项级数同正项级数仅相差一个负号,而这并不影响其收敛性 基本定理正项级数∑Un收敛台部分和数列Sn}有上界 正项级数的比较判别法 定理1设∑n和∑n均为正项级数,如果存在某个正数N,使得对n>N都有
《数学分析（1，2，3）》教案 9-4 例：级数 1 1 n n = 发散，但 1 0 n → 。 敛散性是由它的部分和数列 Sn 来确定的，因而也可以认为数项级数 n=1 n u 是数列 Sn 的另一表现形 式。反之，对于任意的数列 an ，总可视其为数项级数 n=1 n u = a1 + (a2 − a1 ) + (a3 − a2 ) ++ (an − an−1 ) + 的部分和数列，此时数列 an 与级数 a1 + (a2 − a1 ) + (a3 − a2 ) ++ (an − an−1 ) + 有 相同的敛散性，因此，有 定理 1（Cauchy 收敛原理） 级数 n=1 n u 收敛的充要条件是：任给正数 ，总存在正整数 N ，使得当 n N 以 及对任意的正整数 p ，都有 1 2 n n n p u u u + + + + + + 。 注：级数 n=1 n u 发散的充要条件是：存在某个 0 0 ，对任何正整数 N，总存在正整数 0 0 m ( N), p ，有 0 1 0 2 0 0 0 + + + um + um + um + p 。 例：利用收敛原理来判断级数 2 1 1 n n = 的收敛性。 例：利用收敛原理来判断调和级数 1 1 n n = 的收敛性。 §3 正 项 级 数 一 正项级数收敛性的一般判别原则 若级数各项的符号都相同，则称为同号级数。而对于同号级数，只须研究各项都由非负项数组成的级数 ——正项级数。因负项级数同正项级数仅相差一个负号，而这并不影响其收敛性。 基本定理 正项级数 n=1 n u 收敛 部分和数列 Sn 有上界。 正项级数的比较判别法 定理 1 设 n=1 n u 和 n=1 n v 均为正项级数，如果存在某个正数 N，使得对 n N 都有
《数学分析(1,2,3)》教案 那么(1)若级数∑n收敛,则级数∑un也收敛 (2)若级数∑n发散,则级数∑vn也发散 例:考察 的收敛性 推论(比较判别法的极限形式)设un和∑vn是两个正项级数,若 l lim -n=l, 则(1)当0N,有Vns1N,有n21,则级数∑un发散。 推论(柯西判别法的极限形式)设∑un为正项级数,且 lim/u 则(1)当r1(可为+∞)时,级数∑un发散 9-5
《数学分析（1，2，3）》教案 9-5 n n u cv ， 那么（1）若级数 n=1 n v 收敛，则级数 n=1 n u 也收敛； （2）若级数 n=1 n u 发散，则级数 n=1 n v 也发散。 例: 考察 2 1 1 n n n 1 = + + 的收敛性。 推论（比较判别法的极限形式） 设 n=1 n u 和 n=1 n v 是两个正项级数，若 l v u n n n = → lim ， 则 （1） 当 0 l + 时，级数 n=1 n u 、 n=1 n v 同时收敛或同时发散； （2）当 l = 0 且级数 n=1 n v 收敛时，级数 n=1 n u 也收敛； （3）当 l = + 且 n=1 n v 发散时，级数 n=1 n u 也发散。 例: 讨论级数 1 2 n + n 的收敛性。 例: 讨论级数 n 1 sin 的收敛性。 柯西判别法 定理 2 设 un 为正项级数，且存在某个正整数 N 及正常数 l ， （1）若对 n N ，有 n un l 1 ，则级数 un 收敛； （2）若对 n N ，有 n un 1 ，则级数 un 发散。 推论（柯西判别法的极限形式）设 un 为正项级数，且 lim n n n u r −− → = ， 则 （1）当 r 1 时，级数 un 收敛； （2）当 r 1 （可为 + ）时，级数 un 发散；
《数学分析(1,2,3)》教案 (3)当r=1时,级数∑n可能收敛,也可能发散。如:∑,∑ 例:讨论级数 ∑2+ 的敛散性 达朗贝尔判别法 定理3设∑n为正项级数,且存在某个正整数N及常数q∈(01) (1)若对n>N,有≤q,则级数∑un收敛 (2)若对Ⅶm>N,有≥1,则级数un发散 推论设∑n为正项级数,且 lm -=9, 则(1)当q1(可为+∞)时,级数∑n发散 (3)当q=1时,级数∑un可能收敛,也可能发散。如:∑,∑ 例:讨论级数 的收敛性 例:讨论级数∑mx"(x>0)的收敛性。 说明:因m-=q→lm《ln=q,这就说明凡能用达朗贝尔判别法判定收敛性的级数,也能用柯西 判别法来判断,即柯西判别法较之达朗贝尔判别法更有效。但反之不能。 柯西积分判别法 定理4设f(x)为1+x)上非负减函数,则正项级数∑f(m)与反常积分厂f(x)同时收敛或同时发散 例:讨论下列级数 (2) siNn 的敛散性。 §4任意项级数
《数学分析（1，2，3）》教案 9-6 （3）当 r =1 时，级数 un 可能收敛，也可能发散。如： n 1 ， 2 1 n 。 例：讨论级数 + − n n 2 2 ( 1) 的敛散性。 达朗贝尔判别法 定理 3 设 un 为正项级数，且存在某个正整数 N 及常数 q (0,1) ： （1） 若对 n N ，有 q u u n n +1 ，则级数 1 n n u = 收敛 ； （2） 若对 n N ，有 1 1 + n n u u ，则级数 1 n n u = 发散。 推论 设 un 为正项级数，且 q u u n n n = + → 1 lim ， 则（1）当 q 1 时，级数 un 收敛； （2） 当 q 1 （可为 + ）时，级数 un 发散； （3） 当 q = 1 时，级数 un 可能收敛，也可能发散。如： n 1 ， 2 1 n 。 例：讨论级数 1 n s n a n = 的收敛性。 例：讨论级数 ( 0) n nx x 的收敛性。 说明：因 + = → q u u n n n 1 lim n un q n = → lim ，这就说明凡能用达朗贝尔判别法判定收敛性的级数，也能用柯西 判别法来判断，即柯西判别法较之达朗贝尔判别法更有效。但反之不能。 柯西积分判别法 定理 4 设 f (x) 为[ 1,+) 上非负减函数，则正项级数 f (n) 与反常积分 + 1 f (x)dx 同时收敛或同时发散。 例: 讨论下列级数 （1） =1 1 n p n ，（2） 2 1 n n n ln = ， 的敛散性。 §4 任意项级数
《数学分析(1,2,3)》教案 绝对收敛级数 定义1若级数∑Un各项绝对值所组成的级数∑n收敛,则称原级数∑un绝对收敛。若级数∑un收敛, 但级数∑叫发散,则称级数∑un条件收敛 定理1绝对收敛的级数一定收敛。但反之不然 注:例如∑( 说明:对于级数是否绝对收敛,可用正项级数的各判别法进行判别 例:对任何实数a,级数∑是绝对收敛的 若级数∑un收敛,但级数∑|l}发散,则称级数∑u,条件收敛 例:∑(-1y“-1,是条件收敛的:∑(y4 n -1) 和∑(-1)1,n是绝对收敛的 全体收敛的级数可分为绝对收敛级数和条件收敛级数两大类。 二交错级数 定义2若级数的各项符号正负相间,即 (u,>0,n) 称为交错级数 定理2(莱布尼茨判别法)若交错级数∑(-1)”un满足下述两个条件 (1)数列{an}单调递减:(2)lmn=0 则级数∑(-1)"un收敛。且此时有∑(-1)un|≤u 推论若级数∑(-1)un满足莱布尼茨判别法的条件,则其余和估计式为 例:判别下列级数的收敛性:(1)∑(-1-:(2)∑(-1 :(3)∑(-1) (2n+ 三阿贝耳判别法和狄立克莱判别法
《数学分析（1，2，3）》教案 9-7 一 绝对收敛级数 定义 1 若级数 1 n n u = 各项绝对值所组成的级数 1 n n u = 收敛，则称原级数 1 n n u = 绝对收敛。若级数 1 n n u = 收敛， 但级数 1 n n u = 发散，则称级数 1 n n u = 条件收敛。 定理 1 绝对收敛的级数一定收敛。但反之不然。 注：例如 ( ) 1 1 n n n = − . 说明：对于级数是否绝对收敛，可用正项级数的各判别法进行判别。 例：对任何实数 ，级数 =1 ! n n n 是绝对收敛的。 若级数 un 收敛，但级数 un 发散，则称级数 un 条件收敛。 例： 1 1 ( 1) 1 1 + − = + n n n 是条件收敛的； (2 1)! 1 ( 1) 1 1 − − = + n n n 和 n n n n 10 ( 1) 1 1 = + − 是绝对收敛的。 全体收敛的级数可分为绝对收敛级数和条件收敛级数两大类。 二 交错级数 定义 2 若级数的各项符号正负相间，即 = + − 1 1 ( 1) n n n u ，(u 0, n) n 称为交错级数。 定理 2（莱布尼茨判别法） 若交错级数 = + − 1 1 ( 1) n n n u 满足下述两个条件： （1） 数列 un 单调递减； （2） lim = 0 → n n u 。 则级数 = + − 1 1 ( 1) n n n u 收敛。且此时有 1 1 1 ( 1) u u n n n − = + 。 推论 若级数 = + − 1 1 ( 1) n n n u 满足莱布尼茨判别法的条件，则其余和估计式为 1 1 1 ( 1)k n k n k n r u u + + = + = − 。 例：判别下列级数的收敛性：（1） 1 1 ( 1) 1 n n n = − + ；（2） 1 1 1 ( 1) (2 1)! n n n + = − + ；（3） 1 1 ( 1) 5 n n n n + = − 。 三 阿贝耳判别法和狄立克莱判别法
《数学分析(1,2,3)》教案 定理3(阿贝尔判别法)若{an}为单调有界数列,且级数∑b收敛,则级数 anbn=a1b+a2b2+…+anb 收敛 例:根据阿贝尔判别法法可知,当级数∑un收敛时,级数 ∑m(P>1),∑ 收敛。 定理4(狄立克莱判别法)若{an}为单调递减数列,且 lim a=0,又级数∑b,的部分和数列有界,则级 a,b,=a, 6+a, b2 ++ab+ 收敛 例:若数列{an}为单调递减,且lman=0,则级数 ∑ a cosIX 对任何x∈(0,2)都收敛。 5绝对收敛技术和条件收敛级数的性质 定理1对于级数∑n令 uln |-n-J-n,当n<0 0,当un 那么:(i)若级数∑n绝对收敛,则级数∑v和∑"n都收敛 (i)若级数∑ln条件收敛,则级数∑和∑vn都发散
《数学分析（1，2，3）》教案 9-8 定理 3（阿贝尔判别法）若 { }n a 为单调有界数列，且级数 1 n n b = 收敛，则级数 1 1 2 2 1 n n n n n a b a b a b a b = = + + + + 收敛。 例：根据阿贝尔判别法法可知，当级数 1 n n u = 收敛时，级数 ( 1) n p u p n ， n u n 收敛。 定理 4（狄立克莱判别法）若 { }n a 为单调递减数列，且 lim = 0 → n n a ，又级数 1 n n b = 的部分和数列有界，则级 数 1 1 2 2 1 n n n n n a b a b a b a b = = + + + + 收敛。 例：若数列 { }n a 为单调递减，且 lim = 0 → n n a ，则级数 a nx n sin ， a nx n cos 对任何 x (0,2 ) 都收敛。 §5 绝对收敛技术和条件收敛级数的性质 定理 1 对于级数 1 n n u = ，令 , 0 2 0, 0 n n n n n n u u u u v u + = = 当 当 , 0 2 0, 0 n n n n n n u u u u w u − − = = 当 当 那么：（i）若级数 1 n n u = 绝对收敛，则级数 1 n n v = 和 1 n n w = 都收敛。 （ii）若级数 1 n n u = 条件收敛，则级数 1 n n v = 和 1 n n w = 都发散
《数学分析(1,2,3)》教案 定义1对于一个级数∑un,他的更序级数就是把它的项重新排列后所得到的级数。 定理2绝对收敛级数∑n的更序级数∑仍为绝对收敛,且其和相同,∑n=∑ 定理3若级数∑n条件收敛,那么,总可以适当地更换原来级数的次序而组成一个级数,使它收敛于任何 预先给定的数S(包括∞的情形)。 注:(1)由条件收敛的级数重排后所得到的级数,不一定收敛:即使收敛,也不一定收敛于原来的和数。 如:设∑(-1) A 2345678 则 (-)1_1111 A 468 而S(-1n11,1 它正是第1个级数的重排 级数的乘积 设有收敛级数 ∑un=4+l2+…+un+…=A, ∑vn=v1+n2+…+Vn+…=B (2) 它们每一项所有可能的乘积为: u, l11 1v3 l, v l2112v2l23 u, v uv 1 un un2 unV3 定理4(柯西定理)若级数(1)、(2)都绝对收敛,则对(3)中所有乘积4",按任意顺序排列所得到的级 数∑n也绝对收敛,且和等于AB 例:等比级数 =1+r+r2+…+rn+
《数学分析（1，2，3）》教案 9-9 定义 1 对于一个级数 1 n n u = ，他的更序级数就是把它的项重新排列后所得到的级数。 定理 2 绝对收敛级数 1 n n u = 的更序级数 ' 1 n n u = 仍为绝对收敛，且其和相同， 1 n n u = = ' 1 n n u = 。 定理 3 若级数 1 n n u = 条件收敛，那么，总可以适当地更换原来级数的次序而组成一个级数，使它收敛于任何 预先给定的数 S （包括 的情形）。 注：（1）由条件收敛的级数重排后所得到的级数，不一定收敛；即使收敛，也不一定收敛于原来的和数。 如：设 A n n n − = − + − + − + − + = = + 8 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 1 ( 1) 1 1 ， 则 8 2 1 6 1 4 1 2 1 1 ( 1) 2 1 1 1 A n n n − = − + − + = = + ， 而 n n n 1 ( 1) 1 1 = + − 2 3 4 1 7 1 5 1 2 1 3 1 1 1 ( 1) 2 1 1 1 A n n n + − = + − + + − + = = + ， 它正是第 1 个级数的重排。 级数的乘积 设有收敛级数 un = u1 + u2 ++ un += A， （1） vn = v1 + v2 ++ vn += B 。 （2） 它们每一项所有可能的乘积为： 1 1 u v 1 2 u v 1 3 u v … n u v1 … 2 1 u v 2 2 u v 2 3 u v … n u v2 … 3 1 u v 3 2 u v 3 3 u v … n u v3 … （3） … … … … … … 1 u vn 2 u vn 3 u vn … n n u v … … … … … … … 定理 4（柯西定理） 若级数（1）、（2）都绝对收敛，则对（3）中所有乘积 i j u v 按任意顺序排列所得到的级 数 wn 也绝对收敛，且和等于 AB。 例：等比级数 1− r 1 =1+ r + r 2 ++ r n +， r 1
《数学分析(1,2,3)》教案 是绝对收敛的,将C∑r")按(3)的顺序排列。则得到 1+(r+r)+(r2+r2+r2)+…+(rn+…+r")+ (1-r) 1+2r+3r2+…+(n+1)r2+ 注:(3)中所有乘积uν,可以按各种方法排成不同的级数,常用的有按正方形顺序 v1+l1v2+l2y2+l21+l2v3+l23+l2V3+l2v2+l231+ 或对角线顺序: l1v1+l1v2+l2v1+41y3+l2V2+l3v (4) 定义2称级数(4)为两级数∑un和∑v的柯西乘积。 例:证明∑xSy=(x+y sn! h= n 9-10
《数学分析（1，2，3）》教案 9-10 是绝对收敛的，将 2 ) n （ r 按（3）的顺序排列。则得到 2 (1 ) 1 − r = + + + + + ++ ++ + +1个 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) n n n r r r r r r r =1+ 2r + 3r 2 ++ (n +1)r n + . 注：（3）中所有乘积 i j u v 可以按各种方法排成不同的级数，常用的有按正方形顺序： u1 v1 + u1 v2 + u2 v2 + u2 v1 + u2 v3 + u2 v3 + u3 v3 + u3 v2 + u3 v1 + ； 或对角线顺序： u1 v1 + u1 v2 + u2 v1 + u1 v3 + u2 v2 + u3 v1 +。 （4） 定义 2 称级数（4）为两级数 1 n n u = 和 1 n n v = 的柯西乘积。 例：证明 1 ! n n x n = 1 ! n n y n = = ( ) 1 ! n n x y n = +