第四节矩、协方差矩阵 在数学期望一讲中,我们已经介绍了 矩和中心矩的概念 这里再给出混合矩、混合中心矩的概念
第四节 矩、协方差矩阵 在数学期望一讲中，我们已经介绍了 矩和中心矩的概念. 这里再给出混合矩、混合中心矩的概念
设X和Y是随机变量,若 E(XY4)k,L=12, 存在, 4●●● 称它为X和Y的k+L阶混合(原点)矩 若E{X-E(X)Y-E(Y)}存在, 称它为X和Y的k+L阶混合中心矩 可见,协方差Coν(X,Y是X和Y的 二阶混合中心矩
协方差Cov(X,Y)是X和Y的 二阶混合中心矩. 称它为X和Y的k+L阶混合（原点）矩. 若 {[ ( )] [ ( )] } k L E X − E X Y − E Y 存在， 称它为X和Y的k+L阶混合中心矩. ( ) k L E X Y 设X和Y是随机变量，若 k,L=1,2,… 存在， 可见
协方差矩阵的定义 将二维随机变量(X1X2)的四个二阶中心矩 c1=E{X1-E(X1)} c12=E{X1-E(X)[X2-E(X2)]} E{X2-E(X2)X1-E(X1)} 22 E{X2-E(X2) 这是一个 排成矩阵的形式:(c1c12 对称矩阵 称此矩阵为(X1Y2)的协方差矩阵
协方差矩阵的定义 将二维随机变量（X1 ,X2）的四个二阶中心矩 {[ ( )] } 2 11 E X1 E X1 c = − {[ ( )][ ( )]} 12 E X1 E X1 X2 E X2 c = − − 排成矩阵的形式: {[ ( )][ ( )]} 21 E X2 E X2 X1 E X1 c = − − {[ ( )] } 2 22 E X2 E X2 c = − 称此矩阵为（X1 ,X2）的协方差矩阵. 21 22 11 12 c c c c 这是一个 对称矩阵
类似定义n维随机变量(X,X2,…,Xn 的协方差矩阵 若c;=COv(X,X EILXi-E(XILX-E(XI 都存在,称矩阵 l,厂= ●·●● n n 为(X1X2,…,X的 协方差矩阵 n 2 下面给出n元正态分布的概率密度的定义
类似定义n维随机变量(X1 ,X2 , …,Xn ) 的协方差矩阵. 下面给出n元正态分布的概率密度的定义. 为(X1 ,X2 , …,Xn ) 的 协方差矩阵 = n n nn n n c c c c c c c c c C 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 都存在, 称矩阵 i, j=1,2,…,n ( , ) i j Cov Xi Xj 若 c = {[ ( )][ ( )]} = E Xi − E Xi Xj − E Xj
设X=(X1X2,…Xn)是一个n维随机向量, 若它的概率密度为 1%29 (2r)"2/CP2 exp (-(X-u)C(x-H)i 则称X服从n元正态分布 其中C是(X1X2,…,X的协方差矩阵 C1是它的行列式,C表示C的逆矩阵, X和是n维列向量,X表示X的转置
( ) ( )} 2 1 exp{ (2 ) | | 1 1 2 1 2 = − − − − X C X C n f (x1 ,x2 , …,xn ) 则称X服从n元正态分布. 其中C是(X1 ,X2 , …,Xn ) 的协方差矩阵. |C|是它的行列式， C −1 表示C的逆矩阵， X和 是n维列向量， X 表示X的转置. 设 =(X1 ,X2 , …,Xn )是一个n维随机向量, 若它的概率密度为 X
n元正态分布的几条重要性质 I.X=(X12,…服从n元正态分布 对一切不全为0的实数a1,a2 a1X1+a2X2+…+anXn均服从正态分布
n元正态分布的几条重要性质 1. X=(X1 ,X2 , …,Xn )服从n元正态分布 a1X1+ a2 X2+ …+ an Xn均服从正态分布. 对一切不全为0的实数a1 ,a2 ,…,an
n元正态分布的几条重要性质 2若x=(xX1,X2,…,X服n元正态分布, H1,Y2,…,Yk是X(=12,…,n)的线性函数, 则(Y1,H2,…,Y服从多元正态分布 这一性质称为正态变量的线性变换不变性
n元正态分布的几条重要性质 2. 若 X=(X1 ,X2 , …,Xn )服从n元正态分布， Y1 ,Y2 , …，Yk是Xj（j=1,2,…,n）的线性函数， 则(Y1 ,Y2 , …，Yk )也服从多元正态分布. 这一性质称为正态变量的线性变换不变性
n元正态分布的几条重要性质 3.设(X1,X2,…服从n元正态分布,则 ●●● Xn相互独立” 等价于 “X1X2,,￥两两不相关
n元正态分布的几条重要性质 3. 设(X1 ,X2 , …,Xn )服从n元正态分布，则 “X1 ,X2 , …,Xn相互独立” 等价于 “X1 ,X2 , …,Xn两两不相关
例2设随机变量X和Y相互独立且X~N1,2) Y~N(0,1).试求Z=2X-+3的概率密度 解:XN(1,2,F~N(0,1,且X与γ独立, 故X和Y的联合分布为正态分布,X和Y的 任意线性组合是正态分布 即zN(E(Z),r(Z E(∠)=2E(XE(Y)+3=2+3=5 r(z)=4r(X+lr(Y=8+1=9 z~N(5,32)
例2 设随机变量X和Y相互独立且X~N(1,2), Y~N(0,1). 试求Z=2X-Y+3的概率密度. 故X和Y的联合分布为正态分布，X和Y的 任意线性组合是正态分布. 解: X~N(1,2),Y~N(0,1)，且X与Y独立, Var(Z)=4Var(X)+Var(Y)=8+1=9 E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=2+3=5 即 Z~N(E(Z), Var(Z)) Z~N(5, 32 )
z~N(5,32) 故z的概率密度是 (z-5)2 fz(z) 18 32兀 <z<0
故Z的概率密度是 , 3 2 1 ( ) 1 8 ( 5) 2 − − = z Z f z e − z Z~N(5, 32 )