《数学分析(1,2,3)》教案 第四章导数与微分 §1导数的引进和定义 导数的引进 引言(背景) 来看两个实际问题 问题1已知曲线求它的切线:曲线方程y=f(x),P=(x0,y)是其上一点,求y=f(x)过点P的切 线方程 问题2已知运算规律,求物体运动速度,运动规律:s=s(1),t0为某一确定时刻,求质点在l0时刻的 速度。 上述两问题中,第一个是几何学的问题,后一个是物理学问题,但问题都归结到求形如 lim f(x)-f(xo2 的极限问题。 、导数的定义及几何意义 定义1(导数)设函数y=f(x)在x0的某邻域内有定义,若极限 lim (x)-/(xo) 存在,则称函数∫在点x处可导,并称该极限为∫在点x处的导数,记作∫(x0)。即 f(x)=f(x)-/() ro 若上述极限不存在,则称∫在点x0处不可导 1.利用导数定义求导数的几个例子 例:求∫(x)=x2在点x=1处的导数。 2.可导与连续的连续 定理1若函数∫在点x0可导,则∫在点x0连续。 注∫若在点x不连续,则∫在x必不可导。但∫在点x连续,未必有∫在x0可导 3.单侧导数的概念 定义2(右导数)设函数y=f(x)在点x0的某右邻域(x0,x0+6)上有定义,若右极限 4-1
《数学分析（1，2，3）》教案 4-1 第四章 导数与微分 §1 导数的引进和定义 一 导数的引进 1． 引言（背景） 来看两个实际问题。 问题 1 已知曲线求它的切线：曲线方程 y = f (x)， ( , ) 0 0 p = x y 是其上一点，求 y = f (x) 过点 p 的切 线方程。 问题 2 已知运算规律，求物体运动速度，运动规律： s = s(t) ， 0 t 为某一确定时刻，求质点在 0 t 时刻的 速度。 上述两问题中，第一个是几何学的问题，后一个是物理学问题，但问题都归结到求形如 0 0 ( ) ( lim 0 x x f x f x x x − − → ） 的极限问题。 二、导数的定义及几何意义 定义 1（导数） 设函数 y = f (x) 在 0 x 的某邻域内有定义，若极限 0 0 ( ) ( lim 0 x x f x f x x x − − → ） 存在，则称函数 f 在点 0 x 处可导，并称该极限为 f 在点 0 x 处的导数，记作 '( ) 0 f x 。即 0 0 0 ( ) ( '( ) lim 0 x x f x f x f x x x − − = → ）。 若上述极限不存在，则称 f 在点 0 x 处不可导。 1. 利用导数定义求导数的几个例子 例：求 2 f (x) = x 在点 x =1 处的导数。 2． 可导与连续的连续 定理 1 若函数 f 在点 0 x 可导，则 f 在点 0 x 连续。 注 f 若在点 0 x 不连续，则 f 在 0 x 必不可导。但 f 在点 0 x 连续，未必有 f 在 0 x 可导。 3． 单侧导数的概念 定义 2 （右导数） 设函数 y = f (x) 在点 0 x 的某右邻域 ( , ) x0 x0 + 上有定义，若右极限
《数学分析(1,2,3)》教案 f(x)-f(x0) 存在,则称该极限为∫在点x0的右导数,记作f(x0)。 左导数∫(x0)。 左、右导数统称为单侧导数。 4.可导函数 若函数∫在区间I上每一点都可导(对区间端点,仅考虑单侧导数),则称∫为I上的可导函数 5.导函数 6.函数在x0点的导数与导函数的区别与联系 区别:导数是就一点而言的,是一个确定的数,一般与所给函数以及x0的值均有关,与Ax无关;导函数 是就一个区间而言的,是一个确定的函数,与所给函数有关,与x、Ax均无关。 联系:函数在某点的导数就是导函数在该点的值,因此,f在x0的导数也记为:y r=ro 7导数与左、右导数的关系: 定理2若函数y=∫(x)在点x0的某邻域内有定义,则厂(x0)存在∫'(x0),f(x0)都存在,且 f'(x0)=∫'(x)。 sx-1,x≥0 例:设∫(x) x,x<0讨论f(x)在x=0处的左、右导数与导数 注讨论分段函数在分段点处的导数,应用导数的定义。 8.导数的几何意义 f(x)表示f(x)点(x,f(x)的切线的斜率 例:求曲线y=x3在点P(1,1)处的切线方程与法线方程 §2简单函数的导数 常数的导数 二三角函数的导数 sin x)=cosx;(cos)=-sinx
《数学分析（1，2，3）》教案 4-2 0 0 0 ( ) ( lim x x f x f x x x → + − − ） 存在，则称该极限为 f 在点 0 x 的右导数，记作 '( ) 0 f x + 。 左导数 0 f x'( ) − 。 左、右导数统称为单侧导数。 4. 可导函数 若函数 f 在区间 I 上每一点都可导（对区间端点，仅考虑单侧导数），则称 f 为 I 上的可导函数。 5. 导函数 6. 函数在 0 x 点的导数与导函数的区别与联系 区别：导数是就一点而言的，是一个确定的数，一般与所给函数以及 0 x 的值均有关，与 x 无关；导函数 是就一个区间而言的，是一个确定的函数，与所给函数有关，与 x 、 x 均无关。 联系：函数在某点的导数就是导函数在该点的值，因此， f 在 0 x 的导数也记为： 0 ' x x y = ， 0 x x dx dy = ， 0 '( ) ' 0 x x f x f = = 。 7 导数与左、右导数的关系： 定理 2 若函数 y = f (x) 在点 0 x 的某邻域内有定义，则 '( ) 0 f x 存在 '( ) 0 f x + ， '( ) 0 f x − 都存在，且 '( ) 0 f x + = '( ) 0 f x − 。 例: 设 cos 1, 0 ( ) { , 0 x x f x x x − = − 讨论 f (x) 在 x = 0 处的左、右导数与导数。 注 讨论分段函数在分段点处的导数，应用导数的定义。 8. 导数的几何意义 0 f x'( ) 表示 f x( ) 点 0 0 ( , ( )) x f x 的切线的斜率。 例: 求曲线 3 y = x 在点 P(1,1) 处的切线方程与法线方程。 §2 简单函数的导数 一 常数的导数 C' = 0。 二 三角函数的导数 (sin x)' = cos x ； (cos)' = −sin x
《数学分析(1,2,3)》教案 三对数函数的导数 (oga x=rha 四幂函数的导数 例按定义证明,可导的偶函数其导函数是奇函数。 §3求导法则 导数的四则运算 般地,有如下的求导法则: 定理1(和差的运算法则)若u(x),v(x)可导,则函数(x)±v(x)也可导,且 (u(x)千v(x))(x)=a(x)千v(x) 例:f(x)=x3+5x2-9x+,求f(x),f(0)。 定理2(积的运算法则)若u(x),v(x)可导,则函数u(x)v(x)也可导,且 ((x)(x)(x)=a(x)v(x)+l(x)(x) 例:y= cosxInx,求y|x= 定理3(数乘的运算法则)若(x)可导,则函数k(x)也可导,(k(x)=kn(x) 定理4(相除的运算法则)若函数x),m(x)可导,且(x)≠0,则“(x)也可导,且 V(x u(x), u(x v(x-u(x )v(x v(x (v(x)2 例3:设∫(x) 求厂(x) 二反函数的导数 定理5设y=∫(x)为x=φp(y)的反函数,若φ(y)在点y的某邻域内连续,严格单调且q(y0)≠0, 则f(x)在点x0(x0=9(y))可导,且f(x0) p(o) 注:反函数的倒数等于原函数的倒数份之一。 例:(a2y=a2ha(a>0,a≠0
《数学分析（1，2，3）》教案 4-3 三 对数函数的导数 ( ) x a x a ln 1 log ' = 。 四 幂函数的导数 ( ) 1 ' − = a a x ax 。 例 按定义证明，可导的偶函数其导函数是奇函数。 §3 求导法则 一、 导数的四则运算 一般地，有如下的求导法则： 定 理 1 （ 和 差 的 运 算 法 则 ） 若 u(x) ， v(x) 可 导 ， 则 函 数 u x v x ( ) ( ) 也 可导， 且 ( ( ) ( ))'( ) '( ) '( ) u x v x x u x v x = 。 例： f (x) = x + 5x − 9x + 3 2 ，求 f '(x) ， f '(0) 。 定 理 2 （ 积 的 运 算 法 则 ） 若 u(x) ， v(x) 可 导 ， 则 函 数 u x v x ( ) ( ) 也 可 导 ， 且 ( ( ) ( ))'( ) '( ) ( ) ( ) '( ) u x v x x u x v x u x v x = + 。 例： y = cos x ln x ，求 x= y' 。 定理 3（数乘的运算法则）若 u(x) 可导，则函数 ku x( ) 也可导， ( ( ))' '( ) ku x ku x = 。 定 理 4（ 相 除的 运算 法则 ） 若函 数 u(x) ， v(x) 可 导 ，且 v x( ) 0 ， 则 ( ) ( ) u x v x 也可导，且 2 ( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( ( )) u x u x v x u x v x v x v x − = 。 例 3：设 x a f x a x log ( ) = ，求 f '(x) 。 二 反函数的导数 定理 5 设 y = f (x) 为 x = ( y) 的反函数，若 ( y) 在点 0 y 的某邻域内连续，严格单调且 '(y0 ) 0 ， 则 f (x) 在点 0 x （ ( ) 0 0 x = y ）可导，且 '( ) 1 '( ) 0 0 y f x = 。 注：反函数的倒数等于原函数的倒数份之一。 例： a a a x x ( )'= ln （ a 0,a 0 ）；
《数学分析(1,2,3)》教案 例:( arccos x) 例:( arctan +x2,(arc cot x ) 1+x §4复合函数求导法 复合函数的导数 定理1设y=f(m)在点可导,=g(x)在点x可导,则复合函数y=/(g(x)在点x可导,且 dy dy du 例:y=sinx3,求y 例:设f(x)=√x2+1,求f(O),f(1) 例:设y=(x)2),其中(x)>0且(x)和v(x)均可导,试求此幂指函数的导数。(对数求导法) 例:设y= (x+5)(x-8)3 (x>4),求y。 (x+2)°(x+4)2 §5微分及其运算 微分的定义 1.引 先考察一个具体的问题,推得一般情形。 2.微分的定义 定义1函数y=f(x)定义在点x的某邻域O(x,)内。当给x一个增量△x,x+△x∈O(x,0)时, 相应地得到函数的增量为y=∫(x+Ax)-f(x)。如果存在常数A,使得△y能有 △y=A△x+o(△x) (1) 则称函数∫在点x可微,并称(1)中右端第一项AAx为∫在点x的微分,记作: AAx df(x)Irsr.=AAx
《数学分析（1，2，3）》教案 4-4 例： 2 1 1 (arccos )' x x − = − 例： 2 1 1 ( )' x arctgx + = ， 2 1 1 ( cot )' x arc x + = − 。 §4 复合函数求导法 一 复合函数的导数 定理 1. 设 y f u = ( ) 在点 u 可导， u g x = ( ) 在点 x 可导，则复合函数 y f g x = ( ( )) 在点 x 可导，且 dy dy du dx du dx = 。 例： 3 y x = sin ，求 y '。 例： 设 ( ) 1 2 f x = x + ，求 f '(0) ， f '(1) 。 例： 设 ( ) ( ) v x y = u x ，其中 u(x) 0 且 u(x) 和 v(x) 均可导，试求此幂指函数的导数。（对数求导法） 例： 设 1 3 3 1 5 2 ( 5) ( 8) ( 2) ( 4) x x y x x + − = + + （ x 4 ），求 y' 。 §5 微分及其运算 一 微分的定义 1．引言 先考察一个具体的问题，推得一般情形。 2．微分的定义 定义 1 函数 y f x = ( ) 定义在点 0 x 的某邻域 O x( 0 , ) 内。当给 0 x 一个增量 x ，x x O x 0 0 + ( , ) 时， 相应地得到函数的增量为 0 0 = + − y f x x f x ( ) ( ) 。如果存在常数 A ，使得 y 能有 = + y A x o x ( ) （1） 则称函数 f 在点 0 x 可微，并称（1）中右端第一项 A x 为 f 在点 0 x 的微分，记作： 0 x x dy A x = = or 0 ( ) x x df x A x = =
《数学分析(1,2,3)》教案 定义2若y=f(x)在区间X上每一点都可微,则称∫为X上的可微函数。函数y=f(x)在X上任 点x处的微分记作 dy=A(x)△x,x∈X。 注:(1)d依赖于x和Ax,但x与△x无关是两个相互独立的变量 可微与可导的关系 定理1函数f在点x可微分f在点x可导,而且A=f(x) 注:(3)d=ax,所以微分d=AAx=Ahtx=∫(x)l (4)对可导函数y=f(x),有d=f(x),从而有少=f(x),即函数的导数是函数微分与自变量微 分的商(导数即微商)。 二徽分的运算法则 (1) du(x)+v(x)]=du(x)+dv(x):(2) du(xv(x)=v(x)du()+u(x)cv(x) (3)da(x)1(x)dn(x)-(x)N:(4)/·g(x)=f(n)g(x)dh,其中n=g(x) 注在(4)中,由于d=dg(x)=g(x)ax,afg(x=af(u)=∫(u)dhn。即(4)式 dy=f(u)g(x)lx不仅在x为自变量时成立,当它是另一个可微函数的因变量时也成立。这性质成为一阶 微分的形式不变性 例:求y=x3hnx+cosx3的微分 例:求y=ema)的微分 §6隐函数及参数方程所表示函数的求导法 隐函数求导法 设F(x,y)=0,y为x的函数,等式两边对x求导,得 Fx+Fy y= 4-5
《数学分析（1，2，3）》教案 4-5 定义 2 若 y f x = ( ) 在区间 X 上每一点都可微，则称 f 为 X 上的可微函数。函数 y f x = ( ) 在 X 上任 一点 x 处的微分记作 dy A x x = ( ) ， x X 。 注：（1） dy 依赖于 x 和 x ，但 x 与 x 无关是两个相互独立的变量。 可微与可导的关系： 定理 1 函数 f 在点 0 x 可微 f 在点 0 x 可导，而且 0 A f x = ( ) 。 注：（3） dy dx = ，所以微分 dy A x Adx f x dx = = = ( ) 。 （4）对可导函数 y f x = ( ) ，有 dy f x dx = ( ) ，从而有 ( ) dy f x dx = ，即函数的导数是函数微分与自变量微 分的商（导数即微商）。 二 微分的运算法则 （1） d u x v x du x dv x [ ( ) ( )] ( ) ( ) = ；（2） d u x v x v x du x u x dv x [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) = + ； （3） 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u x v x du x u x dv x d v x v x − = ；（4） d f g x f u g x dx [ ( )] ( ) ( ) = ，其中 u g x = ( ) 。 注 在（ 4 ） 中 ， 由于 du dg x g x dx = = ( ) ( ) ， d f g x d f u f u du [ ( )] [ ( )] ( ) = = 。即（ 4 ）式： dy f u g x dx = ( ) ( ) 不仅在 x 为自变量时成立，当它是另一个可微函数的因变量时也成立。这性质成为一阶 微分的形式不变性。 例：求 3 3 y x x x = + ln cos 的微分。 例：求 cos( ) ax b y e + = 的微分。 §6 隐函数及参数方程所表示函数的求导法 一 隐函数求导法 设 F(x, y) = 0， y 为 x 的函数，等式两边对 x 求导，得 Fx + Fy y' = 0 。 从而 y x F F y ' = −
《数学分析(1,2,3)》教案 例:设x2 1,求 dy 二参数方程所表示函数的求导法 设函数y=y(x)由参数方程 ly=v( 确定,其中t是参数,则 y(x)=y()/x(t) x cos t 例:求 所确定的函数y=y(x)在=时的导数 dy dx 例:求下面由参数方程所确定的函数的导数,一。 1+t 在t>0处 4 注分清求导的对象,即到底是关于哪个变量求导。 §7不可到的函数举例 例:f(x)=在x=0不可导。 例:求函数y= 0 在x=0点的左导数和右导数 0, 注:处处连续但处处不可导的函数是存在的 §8高阶导数与高阶微分 高阶导数及其运算法则 定义若函数厂的导函数∫在点x可导,则称厂在点x的导数为厂在点x的三阶导数,记作∫",4 或y 4-6
《数学分析（1，2，3）》教案 4-6 例：设 1 2 2 x + y = ，求 dx dy 。 二 参数方程所表示函数的求导法 设函数 y = y(x) 由参数方程 = = ( ) ( ) y t x t 确定，其中 t 是参数，则 y x y t x t '( ) '( ) / '( ) = . 例：求 = = y t x t sin cos 所确定的函数 y = y(x) 在 2 t = 时的导数。 例：求下面由参数方程所确定的函数的导数 dx dy ， dy dx 。 3 1 4 1 t x t t y t = + − = + 在 t 0 处。 注 分清求导的对象，即到底是关于哪个变量求导。 §7 不可到的函数举例 例： f (x) = x 在 x = 0 不可导。 例：求函数 2 1 sin , 0 0, 0 x x y x x = = 在 x = 0 点的左导数和右导数。 注：处处连续但处处不可导的函数是存在的。 §8 高阶导数与高阶微分 一 高阶导数及其运算法则 定义 若函数 f 的导函数 f ' 在点 x 可导，则称 f ' 在点 x 的导数为 f 在点 x 的二阶导数，记作 f x ''( ) ， 2 2 d y dx 或 y''
《数学分析(1,2,3)》教案 函数y=f(x)的二阶导数∫"(x)一般仍旧是x的函数。如果对它再求导数,如果导数存在的话,称之 为函数y=f(x)的三阶导数,记为y",f"(x),或y dx 函数y=f(x)的n-1阶导数的导数称为函数y=f(x)的n阶导数,记为y),fm,或“y Δ二阶及二阶以上的导数都称为高阶导数。 从高阶导数的定义可知,求高阶导数无非是反复运用求一阶导数的方法 例:求幂函数y=x”的各阶导数。 般地,任何首项系数为1的多项式:x”+a1x1+a2x”2+…+an的n阶导数为n,(n+1)阶导数 为零。 例: 例:y1=sinx,y2=cosx.,则y1)=(sinx)=sin(x+n);y2m=(cosx)")=cos(x+丌)。 高阶导数的计算法则 [(x)±v(x)”=(x)±y"(x) 2.(n))=uy0+Cl(n-y(+C2t(n-2)y(2) +clunk)y()+.+Cn-u(( n-d)+u(o)y(n) (n-k)(k) ( Leibniz公式) 其中 注将 Leibniz公式与二项式展开作一比较可见: (u+v)=u v+Cu-v+.cku-kyk +u°yn。(这里u°=p0=1),在形式上二者有相似 之处。 从定义出发,重复应用一阶导数法则,容易建立“复合函数”的高阶导数,“参数方程”的高阶导数 公式。但这些公式非常繁,对于求高阶导数没有多大帮助,因此不作深入讨论。 作为例子,我们指出参数方程求二阶导数的方法 设,W在a,月]上都是二阶可导,则由参数方程{所确定的函数的一阶导数中,则 y=(1) dx (o 24(a=a=面= ()q(1)-v()q"() Lo(o] dt 4-7
《数学分析（1，2，3）》教案 4-7 函数 y = f (x) 的二阶导数 f ''(x) 一般仍旧是 x 的函数。如果对它再求导数，如果导数存在的话，称之 为函数 y = f (x) 的三阶导数，记为 y''' ， f '''(x) ，或 3 3 dx d y 。 函数 y = f (x) 的 n −1 阶导数的导数称为函数 y = f (x) 的 n 阶导数，记为 (n) y ， (n) f ，或 n n dx d y 。 二阶及二阶以上的导数都称为高阶导数。 从高阶导数的定义可知，求高阶导数无非是反复运用求一阶导数的方法。 例：求幂函数 n y = x 的各阶导数。 一般地，任何首项系数为 1 的多项式： n n n n x + a x + a x + + a 1 −1 2 −2 的 n 阶导数为 n!，(n +1) 阶导数 为零。 例： x y e − = 。 例： 1 y x = sin , ， 2 y x = cos . ，则 ( ) ( ) 1 (sin ) sin( ) 2 n n n y x x = = + ； ( ) ( ) 2 (cos ) cos( ) 2 n n n y x x = = + 。 高阶导数的计算法则 1． ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) n n n u x v x u x v x = 。 2． (uv) (n) = u (n) v (0) + Cn 1 u (n−1) v (1) + Cn 2 u (n−2) v (2) + ( ) ( ) n 1 (1) (n 1) (o) (n) n k n k k n + C u v + + C u v + u v − − − = − = N K k n k k n C u v 0 ( ) ( ) ， （Leibniz 公式） 其中 u = u (0) ， v = v (0) 。 注 将 Leibniz 公式与二项式展开作一比较可见： k n k k o n n n n n n u + v = u v + C u v + C u v + + u v ( ) 0 1 −1 1 − 。（这里 1 0 0 u = v = ），在形式上二者有相似 之处。 从定义出发，重复应用一阶导数法则，容易建立“复合函数”的高阶导数，“参数方程”的高阶导数 公式。但这些公式非常繁，对于求高阶导数没有多大帮助，因此不作深入讨论。 作为例子，我们指出参数方程求二阶导数的方法。 设 ， 在[ , ]上都是二阶可导，则由参数方程 = = ( ) ( ) y t x t 所确定的函数的一阶导数 '( ) '( ) t t dx dy = 。则 2 3 2 [ '( )] ''( ) '( ) '( ) ''( ) ( ) ( ) ( ) t t t t t dt dx dx dy dt d dx dt dx dy dt d dx dy dx d dx d y − = = = =
《数学分析(1,2,3)》教案 例;试求由摆线参量方程{x=0(3m0 所确定的函数y=y(x)的二阶导 y=a(-cost) 高阶微分 对于函数y=f(x),类似于高阶导数,可以定义高阶微分,具体做法如下: 二阶微分定义为 d(dy)=d(f(x)dx=df(x) dx=f(x).dx=f(x(dr) 称之为函数∫的二阶微分。记作d2y=f(x)dx)2ord2y=f(x)dx2。 一般地,n阶微分是n-1阶微分的微分,记作d"y,即d"y=d(dmy)=d(m(x)dx")=f(x)h 注(1)dx2=(dx)2;d2x是x的二阶微分(d2x=0);d(x2)是x2的微分(一阶)(=2xd):(2) sy="(x)是n阶导数记法的来由:(3)一阶微分具有形式不变性,对于高阶微分已不具备此性质,以二 阶微分为例。若y=f(x),则(i)当x为自变量时,d2y=f(x)hx2;(i)当x为因变量,如x=g(t) Bf, dy=f(x)dx2+'(x)d'x 例:记y=sinx,x=t3,分别求d2y,(1)当x是自变量时,(2)当x是因变量时。 4-8
《数学分析（1，2，3）》教案 4-8 例：试求由摆线参量方程 = − = − (1 cos ) ( sin ) y a t x a t t 所确定的函数 y = y(x) 的二阶导数。 二 高阶微分 对于函数 y f x = ( ) ，类似于高阶导数，可以定义高阶微分，具体做法如下： 二阶微分定义为 2 d dy d f x dx d f x dx f x dx dx f x dx ( ) ( ( ) ) ( ( )) ( ) ( )( ) = = = = 称之为函数 f 的二阶微分。记作 2 2 d y f x dx = ( )( ) or 2 2 d y f x dx = ( ) 。 一般地， n 阶微分是 n−1 阶微分的微分，记作 n d y ，即 1 1 1 ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) n n n n n n d y d d y d f x dx f x dx − − − = = = 注 （1） 2 2 dx dx = ( ) ； 2 d x 是 x 的二阶微分（ 2 d x =0）； 2 d x( ) 是 2 x 的微分（一阶）（＝ 2xdx ）；（2） ( ) n n n d y f x dx = 是 n 阶导数记法的来由；（3）一阶微分具有形式不变性，对于高阶微分已不具备此性质，以二 阶微分为例。若 y f x = ( ) ，则（ⅰ）当 x 为自变量时， 2 2 d y f x dx = ( ) ；（ⅱ）当 x 为因变量，如 x t = ( ) 时， 2 2 2 d y f x dx f x d x = + ( ) ( ) 。 例：记 y x = sin ， 3 x t = ，分别求 2 d y ，（1）当 x 是自变量时，（2）当 x 是因变量时
