《数学分析(1,2,3)》教案 第七章定积分 §1定积分的概念 问题的提出 不定积分和定积分是积分学中的两大基本问题,求不定积分是求导数的逆运算,而定积分则是某种特殊 和式的极限,它们之间既有本质的区别,但也有紧密的联系。先看下面的例子 1.曲边梯形的面积设函数f(x)在闭区间[a,b上连续,且f(x)≥0。则由曲线y=f(x),直线x=a, x=b以及x轴所围成的平面图形(如下左图),称为曲边梯形。下面将讨论该曲边梯形的面积(这是求任何 曲线边界图形的面积的基础)。 在区间[a,b内任取n-1个分点,依次为 a=xo0,总存在>0,使得 对[ab]的任意分割,以及5∈[x-1,x],1=12,…n,只要A=max{Ax,2Ax2,,Ax}<,就有 7-1
《数学分析（1，2，3）》教案 7-1 第七章 定积分 §1 定积分的概念 一 问题的提出 不定积分和定积分是积分学中的两大基本问题，求不定积分是求导数的逆运算，而定积分则是某种特殊 和式的极限，它们之间既有本质的区别，但也有紧密的联系。先看下面的例子。 1．曲边梯形的面积 设函数 f (x) 在闭区间 [a,b] 上连续，且 f (x) 0 。则由曲线 y = f (x)，直线 x = a ， x = b 以及 x 轴所围成的平面图形（如下左图），称为曲边梯形。下面将讨论该曲边梯形的面积（这是求任何 曲线边界图形的面积的基础）。 在区间 [a,b] 内任取 n −1 个分点，依次为 a = x0 x1 x2 xn−1 xn = b 它们将区间 [a,b] 分割成 n 个小区间 [ , ] i 1 i x x − ，i = 1,2, , n 。记为 i x ，即 [ , ] i i 1 i x x x = − ，i = 1,2, , n 。 并用 i x 表示区间 [ , ] i 1 i x x − 的长度，记 max{ , , , } 1 2 n = x x x ，再用直线 i x = x ，i = 1,2, ,n −1 把曲 边梯形分割成 n 个小曲边梯形。在每个小区间 [ , ] i 1 i x x − ，i = 1,2, , n 上任取一点 i ，i = 1,2, , n ，作以 ( ) i f 为高， i x 为底的小矩形，其面积为 ( ) i f i x ，当分点不断增多，又分割得较细密时，由于 f (x) 连 续，它在每个小区间 [ , ] i 1 i x x − 上的变化不大，从而可用这些小矩形的面积近似代替相应的小曲边梯形的面积。 于是，该 曲边梯形面积的近似值为 = n i i i S f x 1 ( ) 。从而 0 1 lim ( ) n i i i S f x → = = 。 二 定积分的定义 定义 1 设 f (x) 是定义在[ a.b ]上的一个函数，在 (a b, ) 内插入若干个分点（这里插入 n −1 个），依次 为 a = x0 x1 x2 xn−1 xn = b， 将闭区间[ a.b ]分成 n 个小区间，记为 [ , ] i i 1 i x x x = − ， i = 1,2, , n ，简，任取点 i i i x x −1 , ， i = 1,2, , n ，并作和式 i n i i f x = ( ) 1 。又设 I 是一个确定的实数，若对任给的 0 ，总存在 0 ，使得 对[ a.b ]的任意分割，以及 i i i x x −1 , ，i = 1,2, , n ，只要 = max , , ..., x x x 1 2 n ，就有
《数学分析(1,2,3)》教案 则称函数f(x)在[ab]上可积或黎曼可积。数称为函数f(x)在[ab]上的定积分或黎曼积分,记作 =」f(x) 其中∫(x)称为被积函数,x称为积分变量,[ab]称为积分区间,f(x)x称为被积式,a,b分别称为积分 的下限和上限。 定理:若f(x)在[a可积,则f(x)在[a,必定有界。 定积分的几何意义:定积分的几何意义就是--由连续曲线y=f(x)≥0及直线x=a,x=b,y=0所围曲 边梯形的面积。 注:定积分[f(x)d的值只与被积函数∫(x)及积分区间ab关,而与积分变量所用的符号无关。 规定:J(x)女=”f(x女及∫”f(x=0 例:利用定积分的定义计算积分:x2dx §2定积分存在的条件 定积分存在的充分必要条件 定义1设函数f(x)在[a有界,在[a,小插入分点 a=X<x1<x<…<x.<x= b 把[a,小]分成n个小区间[x,x](=12,…n),记 =suP{(x)|x∈[x,x] m=imf{((x)x∈[x,x] 作和式 MAx 分别成为对于这一分法的达布上和达布下和
《数学分析（1，2，3）》教案 7-2 1 ( ) n i i i f x I = − 。 则称函数 f (x) 在[ a.b ]上可积或黎曼可积。数 I 称为函数 f (x) 在[ a.b ]上的定积分或黎曼积分，记作： ( ) b a I f x dx = 其中 f (x) 称为被积函数， x 称为积分变量，[ a.b ]称为积分区间， f (x)dx 称为被积式， a,b 分别称为积分 的下限和上限。 定理：若 f x( ) 在 a b, 可积，则 f x( ) 在 a b, 必定有界。 定积分的几何意义：定积分的几何意义就是-------由连续曲线 y = f (x) 0 及直线 x = a, x = b, y = 0 所围曲 边梯形的面积。 注：定积分 b a f (x)dx 的值只与被积函数 f (x) 及积分区间[ a.b ]有关，而与积分变量所用的符号无关。 规定： ( ) ( ) b a a b f x dx f x dx = − 及 ( ) 0 a a f x dx = 。 例：利用定积分的定义计算积分： 2 2 1 x dx − 。 §2 定积分存在的条件 一 定积分存在的充分必要条件 定义 1 设函数 f x( ) 在 a b, 有界，在 a b, 插入分点 a = x0 x1 x2 xn−1 xn = b 把 a b, 分成 n 个小区间 x x i i −1 , (i n =1,2,..., ) ，记 ( ) ( ) 1 1 1 sup , inf , i i i i i i i i i M f x x x x m f x x x x x x x − − − = = = − 作和式 1 n i i i S M x − = = 1 n i i i S m x − = = 分别成为对于这一分法的达布上和达布下和
《数学分析(1,2,3)》教案 要判断一个函数是否可积,由定义,可直接考察积分和是否能无限接近某一常数,但由于积分和的复杂性和 那个常数不可预知,因此这是极其困难的。下面即将出的可积准则只与被积函数本身有关,而不涉及定积分 的值。 定理1(定积分存在的第一充分必要条件)函数∫(x)在[a,b]上可积的充分必要条件是imS=limS 注:定理1也可叙述为函数f(x)在[b]上可积的充分必要条件是limS-S|=0 例:证明 为有理数, ∫(x) -,x为无理数 在[-1,]不可积,但f(x)可积。 定义2记O1=M1-m1,称之为f(x)在△x上的幅度,则有 注:定理1也可叙述为函数f(x)在[ab]上可积的充分必要条件是lim∑O△x=0。 定理2(定积分存在的第二充分必要条件)函数f(x)在{a,b上可积的充分必要条件是对任意的两个 正数E及σ>0,可找到6>0,使当任一分法满足A=max{△x}<时,对应于幅度O1≥E的那些区间的 长度Ax2E之和∑Ax;<a。 注:定理揭示了可积函数的本质,表明可积函数不连续的范围不能太广 二可积函数类 定理3若函数f(x)为[ab上的连续函数,则f(x)在[a,b上可积。 定理4若∫(x)是区间[a,b上只有有限个第一类不连续点的有界函数,则f(x)在[a,b]上可积。 定理5若f(x)是区间[a,b上的单调函数,则f(x)在[a,b]上可积 注意:单调函数即使有无限多个间断点,也仍然可积 0,x=0 例:试用两种方法证明函数f(x)={11 nn+1x≤,n=12.在区间[O,上可积 §3定积分的性质 性质1若函数f(x)在[a,b上可积,k为常数,则kf(x)在[a,b]上也可积,且
《数学分析（1，2，3）》教案 7-3 要判断一个函数是否可积，由定义，可直接考察积分和是否能无限接近某一常数，但由于积分和的复杂性和 那个常数不可预知，因此这是极其困难的。下面即将出的可积准则只与被积函数本身有关，而不涉及定积分 的值。 定理 1（定积分存在的第一充分必要条件） 函数 f (x) 在 [a,b] 上可积的充分必要条件是 0 0 lim lim S S − → → − = 。 注：定理 1 也可叙述为函数 f (x) 在 [a,b] 上可积的充分必要条件是 0 lim 0 S S − → − − = 。 例：证明 ( ) 1, 1 x f x x = − 为有理数， ， 为无理数 在 −11， 不可积，但 f x( ) 可积 。 定义 2 记 i = Mi − mi ，称之为 f (x) 在 i x 上的幅度，则有 1 n i i i S S x − − = − = 。 注：定理 1 也可叙述为函数 f (x) 在 [a,b] 上可积的充分必要条件是 0 1 lim 0 n i i i x → = = 。 定理 2 （定积分存在的第二充分必要条件） 函数 f (x) 在 [a,b] 上可积的充分必要条件是对任意的两个 正数 及 0 ，可找到 0 ，使当任一分法满足 = max xi 时，对应于幅度 ' i 的那些区间的 长度 i' x 之和 ' ' i i x 。 注：定理揭示了可积函数的本质，表明可积函数不连续的范围不能太广。 二 可积函数类 定理 3 若函数 f (x) 为 [a,b] 上的连续函数，则 f (x) 在 [a,b] 上可积。 定理 4 若 f (x) 是区间 [a,b] 上只有有限个第一类不连续点的有界函数，则 f (x) 在 [a,b] 上可积。 定理 5 若 f (x) 是区间 [a,b] 上的单调函数，则 f (x) 在 [a,b] 上可积。 注意：单调函数即使有无限多个间断点，也仍然可积。 例：试用两种方法证明函数 = + = = , 1,2, 1 1 1 , 1 0, 0 ( ) n n x n n x f x 在区间 [0,1] 上可积。 §3 定积分的性质 性质 1 若函数 f (x) 在 [a,b] 上可积， k 为常数，则 kf (x) 在 [a,b] 上也可积，且
《数学分析(1,2,3)》教案 即常数因子可从积分号里提出(注意与不定积分的不同)。 性质2若函数f(x)、g(x)都在[a,b]上可积,则∫(x)±g(x)在[a,b上也可积,且有 f(x)±g(x)t=f(x)d±g(x)dr 性质3若函数f(x)、g(x)都在[a,b]上可积,则f(x)·g(x)在[a,b]上也可积 注意:一般地f(x)g(x)dtx≠f(x)dtg(x)x。 性质4若函数f(x)在[ab]上可积,则f(x)也在[ab]上可积 出,4的不/(小为无数 在[-1,1不可积,但(x)可积 性质5(关于积分区间的可加性)函数f(x)在[ab]上可积台Vc∈(a,b),f(x)在[a,C]与[c,b上都可 积,此时有[f(x)dtx=f(x)dx+[f(x)dr。 注:性质5对a,b,c的任何大小顺序都成立 性质6设函数f()在上可积,且f()20,x∈ab,则广(x)20 例:设函数f(x)在[ab]上连续,f(x)≥0,x∈{ab,且在f(x)不恒等于0,证明[f(x)x>0 性质7若函数(在6上可积,则/(x/(x 性质8(积分第一中值定理)若∫(x)在[a,b上连续,g(x)在[a,b上不变号且可积,则至少存在一点 5eb,使得(x)g(x=(5),g(x)。 说明:当g(x)=1时,结论为则至少存在一点∈[ab,使得∫f(x)=f(5(b-) 注:事实上,积分第一中值定理中的点ξ必能5∈(a,b)。 积分第一中值定理的几何意义:如右图,若∫(x)在[a,b]上非负连续,则y=f(x)在[a,b]上的曲边梯形的 面积等于以/()=/(x为高,b为底的矩形的面积 般地,称C(xk为/x)在[a上的平均值 例:试求f(x)=snx在[0,丌]上的平均值
《数学分析（1，2，3）》教案 7-4 = b a b a kf(x)dx k f (x)dx。 即常数因子可从积分号里提出（注意与不定积分的不同）。 性质 2 若函数 f (x) 、 g(x) 都在 [a,b] 上可积，则 f (x) g(x) 在 [a,b] 上也可积，且有 = b a b a b a [ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx 。 性质 3 若函数 f (x) 、 g(x) 都在 [a,b] 上可积，则 f (x) g(x) 在 [a,b] 上也可积。 注意：一般地 b a b a b a f (x)g(x)dx f (x)dx g(x)dx 。 性质 4 若函数 f (x) 在 [a,b] 上可积，则 f (x) 也在 [a,b] 上可积 注：性质 4 的你不对。例如 ( ) 1, 1 x f x x = − 为有理数， ， 为无理数 在 −11， 不可积，但 f x( ) 可积 。 性质 5（关于积分区间的可加性） 函数 f (x) 在 [a,b] 上可积 c (a,b) ， f (x) 在 [a, c] 与 [c,b] 上都可 积，此时有 = + b a c a b c f (x)dx f (x)dx f (x)dx 。 注：性质 5 对 a,b, c 的任何大小顺序都成立。 性质 6 设函数 f (x) 在 [a,b] 上可积，且 f (x) 0， x [a,b] ，则 b a f (x)dx 0 。 例：设函数 f (x) 在 [a,b] 上连续， f (x) 0， x [a,b] ，且在 f (x) 不恒等于 0，证明 b a f (x)dx 0 。 性质 7 若函数 f (x) 在 [a,b] 上可积，则 f x dx f x dx b a b a ( ) ( ) 。 性质 8（积分第一中值定理）若 f (x) 在 [a,b] 上连续， g(x) 在 [a,b] 上不变号且可积，则至少存在一点 [a,b] ，使得 = b a b a f (x)g(x)dx f () g(x)dx 。 说明：当 g(x) 1 时，结论为则至少存在一点 [a,b] ，使得 ( ) ( )( ) b a f x dx f b a = − 。 注：事实上，积分第一中值定理中的点 必能 (a,b)。 积分第一中值定理的几何意义：如右图，若 f (x) 在 [a,b] 上非负连续，则 y = f (x) 在 [a,b] 上的曲边梯形的 面积等于以 − = b a f x dx b a f ( ) 1 ( ) 为高， [a,b] 为底的矩形的面积。 一般地，称 − b a f x dx b a ( ) 1 为 f (x) 在 [a,b] 上的平均值。 例：试求 f (x) = sin x 在 [0, ] 上的平均值
《数学分析(1,2,3)》教案 性质9若f(x)在[ab上可积,则F(x)=「f()在[ab]上连续 s4定积分的计算 定积分计算的基本公式 定理1若函数f(x)在小上连续,则G(x)=Jf()t在[ab]上处处可导,且 Gop(xdr f(dt=f(x),xela, b] 说明:此定理沟通了导数与定积分之间的关系:同时也证明了连续函数必有原函数这一结论,并以积分 的形式给出了∫(x)的一个原函数。因此,该定理也称之为微积分学基本定理。且用它可以给出牛顿莱布尼 茨公式的另一证明 用定义来计算定积分一般是很困难的,下面将要介绍的牛顿一莱布尼茨公式不仅为定积分的计算提供 了一个有效的方法,而且在理论上把定积分与不定积分联系了起来 定理2若函数∫(x)在[a,b]上连续,且存在原函数F(x),则f(x)在[a,b上可积,且 f(x)dx= F(b)-F(a 这即为牛顿一菜布尼茨公式,也常记为∫f(x)=F(x)=F(b)-F(a) 注:在实际应用中,定理的条件是可以适当减弱的,如∫(x)只要在在[a,b]上可积即可。 例:计算下列定积分 1)Jxdk(m为整数) dx (0<a<b); 3)cos xdx 定积分的换元积分法 定理3(定积分的换元积分法)若函数f(x)在[ab上连续,作代换x=9()。其中o(1)在[a,月上有连续 导数o(),当a≤1≤B时,a≤q()≤b且(a)=a,(B)=b,则 f/()=/(()o (dt =/(()do( 注意:在应用中要注意定积分的换元公式与不定积分的换元公式的异同之处。 例:求 例:求2 sin t cos2to 例,求J=H+x 7-5
《数学分析（1，2，3）》教案 7-5 性质 9 若 f (x) 在 [a,b] 上可积，则 ( ) ( ) x a F x f t dt = 在 [a,b] 上连续。 §4 定积分的计算 一 定积分计算的基本公式 定 理 1 若函数 f (x) 在 [a,b] 上 连 续 ， 则 ( ) ( ) x a G x f t dt = 在 [a,b] 上 处 处 可 导 ， 且 ( ) ( ) ( ) x a d G x f t dt f x dx = = ， x [a,b] 。 说明：此定理沟通了导数与定积分之间的关系；同时也证明了连续函数必有原函数这一结论，并以积分 的形式给出了 f (x) 的一个原函数。因此，该定理也称之为微积分学基本定理。且用它可以给出牛顿-莱布尼 茨公式的另一证明。 用定义来计算定积分一般是很困难的，下面将要介绍的牛顿—莱布尼茨公式不仅为定积分的计算提供 了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与不定积分联系了起来。 定理 2 若函数 f (x) 在 [a,b] 上连续，且存在原函数 F(x) ，则 f (x) 在 [a,b] 上可积，且 = − b a f (x)dx F(b) F(a) 这即为牛顿—莱布尼茨公式，也常记为 = = − b a b a f (x)dx F(x) F(b) F(a) 。 注：在实际应用中，定理的条件是可以适当减弱的，如 f (x) 只要在在 [a,b] 上可积即可。 例：计算下列定积分： 1） b a n x dx （n 为整数）； 2） 3 b a dx x （0<a<b）； 3） 0 cos xdx 。 二 定积分的换元积分法 定理 3（定积分的换元积分法）若函数 f (x) 在 [a,b] 上连续，作代换 x t = ( ) 。其中 ()t 在 [,] 上有连续 导数 '(t) ，当 t 时， a t b ( ) 且 ( ) = = a b , ( ) ，则 = = f (x)dx f ((t)) (t)dt f ((t))d(t) b a 。 注意：在应用中要注意定积分的换元公式与不定积分的换元公式的异同之处。 例：求 x dx − 1 0 2 1 。 例：求 2 0 2 sin cos t tdt。 例：求 dx x x J + + = 1 0 2 1 ln(1 )
《数学分析(1,2,3)》教案 三定积分的分部积分法 定理4(定积分的分部积分法)若u(x)、v(x)为[a,b]上的连续可微函数,则 ax)(xk=xx)-m()(xh 或 ruta)dv(x)=u(x)v(x) -ver)du(x) 例:求[x3lnxr 例:求[sin"xdx 四杂例 注:因为定积分是一类和式的极限,故可以借助于定积分来为某些特殊的极限。 例:利用定积分求极限:m( n→∞n+1n+2 例:求 lim v/n! 例:设f(x)在[a可上连续,那么当f(x)是偶函数时,(x)=2(x1:当f(x)是奇函数时, 76
《数学分析（1，2，3）》教案 7-6 三 定积分的分部积分法 定理 4（定积分的分部积分法）若 u(x) 、v(x) 为 [a,b] 上的连续可微函数，则 = − b a b a b a u(x)v (x)dx u(x)v(x) u (x)v(x)dx ， 或 = − b a b a b a u(x)dv(x) u(x)v(x) v(x)du(x) 。 例：求 3 1 ln e x xdx 。 例：求 2 0 sinn xdx 。 四 杂例 注：因为定积分是一类和式的极限，故可以借助于定积分来为某些特殊的极限。 例：利用定积分求极限： ) 2 1 2 1 1 1 lim ( n n n n + + + + → + 。 例：求 ! lim n n n → n 。 例：设 f x( ) 在 −a a, 上连续，那么当 f x( ) 是偶函数时， ( ) ( ) 0 2 a a a f x dx f x dx − = ；当 f x( ) 是奇函数时， ( ) 0 a a f x dx − =
