《数学分析(1,2,3)》教案 第五章微分中值定理及其应用 §1微分中值定理 引言 在前一章中,我们引进了导数的概念,详细地讨论了计算导数的方法。这样一来,类似于求已知曲线 上点的切线问题己获完美解决。但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题,那么,只知道怎样 计算导数是远远不够的,而要以此为基础,发展更多的工具 另一方面,我们注意到:(1)函数与其导数是两个不同的的函数:(2)导数只是反映函数在一点的局 部特征:(3)我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态,因此如何解决这个矛盾?需要在导数及函数间 建立起一一联系一一搭起一座桥,这个“桥”就是微分中值定理。 本章以中值定理为中心,来讨论导数在研究函数性态(单调性、极值、凹凸性质)方面的应用。 费马定理 定义1(极值)若函数f在区间X上有定义,x∈X。若存在x的邻域O(x,),使得对于任意的 x∈O(x0,o),有f(x)≥f(x),则称f在点x取得极大值,称点x为极大值点。若存在x0的邻域O(x02o) 使得对于任意的x∈U(x),有f(x)≤f(x),则称f在点x取得极小值,称点x为极小值点。 极大值、极小值统称为极值,极大值点、极小值点统称为极值点 极值存在的必要条件一一费马定理 费马定理若函数在点x的邻域内有定义,且在点x可导。若x为f的极值点,则比有f(x)= 几何意义:可导极值点的切线平行于x轴。 由费马定理可知,可导极值点是稳定点,反之不然。如f(x)=x3,点x=0是稳定点,但不是极值点 二中值定理 Lagrange定理若函数f满足以下条件:(1)f在[a,b]上连续:(2)f在(a,b)内可导。则在(a,b)内 至少存在一点,使得∫(f(b)-f(a) 特别地,当f(a)=f(b)时,有如下Roll定理: Role定理若f满足如下条件:(1)f(x)在[ab]上连续:(2)g(x)在(ab)可导:(3)fa)=f(b), 则存在∈(ab),使得f(5)=0 如把曲线弧AB用参数方程函数,则可得出以下中值定理 Cahy定理若函数∫(x),g(x)满足如下条件:(1)(1)f(x)在[ab上连续:(2)g(x)在(a,b) 5-1
《数学分析（1，2，3）》教案 5-1 第五章 微分中值定理及其应用 §1 微分中值定理 ⚫ 引言 在前一章中，我们引进了导数的概念，详细地讨论了计算导数的方法。这样一来，类似于求已知曲线 上点的切线问题已获完美解决。但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题，那么，只知道怎样 计算导数是远远不够的，而要以此为基础，发展更多的工具。 另一方面，我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的的函数；（2）导数只是反映函数在一点的局 部特征；（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态，因此如何解决这个矛盾？需要在导数及函数间 建立起一一联系――搭起一座桥，这个“桥”就是微分中值定理。 本章以中值定理为中心，来讨论导数在研究函数性态（单调性、极值、凹凸性质）方面的应用。 一 费马定理 定义 1（极值） 若函数 f 在区间 X 上有定义， 0 x X 。若存在 0 x 的邻域 0 O x( , ) ，使得对于任意的 0 x O x ( , ) ，有 0 f x f x ( ) ( ) ，则称 f 在点 0 x 取得极大值，称点 0 x 为极大值点。若存在 0 x 的邻域 0 O x( , ) ， 使得对于任意的 0 x U x ( ) ，有 0 f x f x ( ) ( ) ，则称 f 在点 0 x 取得极小值，称点 0 x 为极小值点。 极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点。 极值存在的必要条件――费马定理 费马定理 若函数在点 0 x 的邻域内有定义，且在点 0 x 可导。若 0 x 为 f 的极值点，则比有 0 f x ( ) 0 = 。 几何意义：可导极值点的切线平行于 x 轴。 由费马定理可知, 可导极值点是稳定点，反之不然。如 3 f x x ( ) = ,点 x=0 是稳定点，但不是极值点。 二 中值定理 Lagrange 定理 若函数 f 满足以下条件：（1）f 在 a b, 上连续；（2）f 在 (a b, ) )内可导。则在 (a b, ) 内 至少存在一点 ，使得 ( ) ( ) ( ) f b f a f b a − = − 。 特别地，当 f a f b ( ) ( ) = 时，有如下 Rolle 定理： Rolle 定理 若 f 满足如下条件：（1） f x( ) 在 a b, 上连续；（2） g x( ) 在 (a b, ) )内可导；（3） f a f b ( ) ( ) = ， 则存在 (a b, ) ，使得 f ( ) 0 = 。 如把曲线弧 AB 用参数方程函数，则可得出以下中值定理： Cauchy 定理 若函数 f x( )，g x( ) 满足如下条件：（1）（1） f x( ) 在 a b, 上连续；（2） g x( ) 在 (a b, )
《数学分析(1,2,3)》教案 内可导:(3)g'(x)≠0。在存在∈(1)∫(x)在[ab]上连续:(2)g(x)在(ab)内可导。使得 fo f(b)-f(a g(5)g(b)-g(a) 说明 )几何意义:Roll:在每一点都可导的连续曲线,如果曲线两端点高度相同,则至少存在一水平切 线(在具有水平弦的可微曲线上有水平曲线); Lagrang:可微曲线上存在一点,使其切线平行于端点的连线 Cauchy:视为曲线的参数;u=f(x),v=g(x),x∈[a,b],则以v为横坐标,u为纵坐标可得曲线上有一点,该处 切线与曲线端点连线平行 (2)三个定理关系如下: Rolle+ (a/(b)Lagrang b均成立。此时ξ在a,b之间;(ⅱi)、(ⅲ)的好处在于无论a,b如何变化,θ∈(0,1)易于控制。 三中值定理的一些推论 1、 Rolle定理的推论:若f在[x1,x2l上连续,在(x1,x2)内可导,f(x)=f(x2)=0,则存在5∈(x1,x2), 使得f(5)=0(简言之:可导函数的两个之间必有导数的零点) 2、 Lagrang定理的推论: 推论若函数f在区间I上可导,且∫(x)=0,x∈1,则f为I上的一个常量函数。 几何意义:斜率处处为0的曲线一定是平行于x轴的直线 推论若函数f和g均在I上可导,且f(x)=g(x),x∈l,则在区间I上fx)与g(x)只差一个常数, 即存在常数C,使得f(x)=g(x)+C 例:设fe∈[a,b],在[a,b]连续可微,在(ab)二阶可微,且f(a)=f(b)=f(a)=0,证明:f"(x) 在(ab)中至少有一个根 例:设f(x)=x4-2x2+x,证明f(x)于(0,2)中至少有一根。 例:证明:当a>b>0时 a a-b lr bb 5-2
《数学分析（1，2，3）》教案 5-2 内可导；（3） g x ( ) 0 。在存在 （1） f x( ) 在 a b, 上连续；（2） g x( ) 在 (a b, ) )内可导。使得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f f b f a g g b g a − = − 。 说明 （1）几何意义：Rolle：在每一点都可导的连续曲线，如果曲线两端点高度相同，则至少存在一水平切 线（在具有水平弦的可微曲线上有水平曲线）；Lagrang：可微曲线上存在一点，使其切线平行于端点的连线； Cauchy：视为曲线的参数；u=f(x)，v=g(x)，x [a,b]，则以 v 为横坐标，u 为纵坐标可得曲线上有一点，该处 切线与曲线端点连线平行。 （2）三个定理关系如下： f a f b g x x ( ) ( ) ( ) Rolle Lagrang Cauchy ⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯ = = （3）三个定理中的条件都是充分但非必要。以 Rolle 定理为例，三个条件缺一不可。1）不可导，不一定存 在；2）不连续，不一定存在；3）f(a) f(b)，不一定存在。“不一定存在”意味着一般情况如下：Rolle 定理 不再成立。但仍可知有 f ( ) 0 = 的情形发生。如 y=sgnx，x [-1,1]不满足 Rolle 定理的任何条件，但存在无 限多个 (-1,1)，使得 f ( ) 0 = 。（4）Lagrang 定理中涉及的公式： ( ) ( ) ( ) f b f a f b a − = − 称之为“中值公 式”。这个定理也称为微分基本定理。中值公式有不同形式：（ⅰ）f(b)-f(a)= f ( ) (b-a) ， (a,b)；（ⅱ） f(b)-f(a)= f a b a b a ( ( ) )( ) + − − ，0b 均成立。此时 在 a，b 之间；（ⅱ）、（ⅲ）的好处在于无论 a，b 如何变化， (0,1) 易于控制。 三 中值定理的一些推论 1、Rolle 定理的推论：若 f 在[ 1 x ， 2 x ]上连续，在( 1 x ， 2 x )内可导， 1 2 f x f x ( ) ( ) 0 = = ，则存在 1 2 ( , ) x x ， 使得 f ( ) 0 = （简言之：可导函数的两个之间必有导数的零点）。 2、Lagrang 定理的推论： 推论 若函数 f 在区间 I 上可导，且 f x ( ) 0 = ， x I ，则 f 为 I 上的一个常量函数。 几何意义：斜率处处为 0 的曲线一定是平行于 x 轴的直线。 推论 若函数 f 和 g 均在 I 上可导，且 f x g x ( ) ( ) = ， x I ，则在区间 I 上 f(x)与 g(x)只差一个常数， 即存在常数 C，使得 f x g x C ( ) ( ) = + 。 例：设 f [ , ] a b ，在 [ , ] a b 连续可微，在（a,b）二阶可微，且 f a f b f a ( ) ( ) ( ) 0 = = = ，证明： f x ( ) 0 = 在(a,b)中至少有一个根。 例：设 4 2 f x x x x ( ) 2 = − + ，证明 f x ( ) 于（0, 2）中至少有一根。 例：证明：当 a>b>0 时， ln a b a a b a b b − −
《数学分析(1,2,3)》教案 例:证明:|sinx-siny图x-y|,Vx,y∈R §2.泰勒公式 利用导数作近似计算 1.近似计算 前已描述,如果y=∫(x)在x点可微,则当Δx很小时,有f(x。+△x)≈f(x0)+f(x0)△x,亦即,当 ≈x0时有 f(x)≈f(x)+f(xx-x0)(用导数作近似计算公式)。 注:导数作近似计算公式常用于:直接计算∫(x)比较困难,而在x点附近一点x处的函数值f(x)的 导数f(x0)却都比较容易求得。 例:求sin-丌的近似值。 例:计算√401的近似值。 把f(x)≈f(x0)+f(x0(x-x0)用于具体函数,可得:sinx≈x,tanx≈x,ln(1+x)≈x,e≈1+x。 2.误差估计 实际测量或计算所得的数据,一般都是近似值。要知道这些数据的准确程度,就必须估计这些数据的近 似程度,即估计它与准确值的差,这就是误差估计。 般地,如果一个量A的近似值为a,那么δ=A-a叫作绝对误差,而da叫作相对误差 般地,对函数y=f(x),若x是由测量得到的,如果由x计算y时,x有误差△x,则y有绝对误差 If'(x)Ar 和相对误差 f"(x) 例:测得一球体的直径为42cm,测量工具的精度为00cm,试求此直径计算球体积时所起的误差 泰勒公式 不论在近似计算或理论分析中,我们希望能用一个简单的函数来近似一个比较复杂的函数,这将会带来 很大的方便。一般来说,最简单的是多项式,因为多项式是关于变量加、减、乘的运算,但是,怎样从一个 函数本身得出我们所需要的多项式呢? 前面讨论过“微分在近似计算中的应用”从中我们知道,如果函数f在点x可导,则有有限存在公式
《数学分析（1，2，3）》教案 5-3 例：证明： | sin sin | | | x y x y − − ， x y R , 。 §2. 泰勒公式 一 利用导数作近似计算 1．近似计算 前已描述，如果 y f x = ( ) 在 0 x 点可微，则当 x 很小时，有 0 0 0 f x x f x f x x ( ) ( ) ( ) + + ，亦即，当 0 x x 时有 0 0 0 f x f x f x x x ( ) ( ) ( )( ) + − （用导数作近似计算公式）。 注：导数作近似计算公式常用于：直接计算 f x( ) 比较困难，而在 x 点附近一点 0 x 处的函数值 0 f x( ) 的 导数 0 f x ( ) 却都比较容易求得。 例：求 7 sin 60 的近似值。 例：计算 4.01 的近似值。 把 0 0 0 f x f x f x x x ( ) ( ) ( )( ) + − 用于具体函数，可得： sin x x ，tan x x ，ln(1 ) + x x ， 1 x e x + 。 2．误差估计 实际测量或计算所得的数据，一般都是近似值。要知道这些数据的准确程度，就必须估计这些数据的近 似程度，即估计它与准确值的差，这就是误差估计。 一般地，如果一个量 A 的近似值为 a，那么 =|A-a|叫作绝对误差，而 /a 叫作相对误差。 一般地，对函数 y f x = ( ) ，若 x 是由测量得到的，如果由 x 计算 y 时， x 有误差 x ，则 y 有绝对误差 f x x ( ) 和相对误差 ( ) ( ) f x ' f x 。 例：测得一球体的直径为 42cm，测量工具的精度为 0.01cm，试求此直径计算球体积时所起的误差。 二 泰勒公式 不论在近似计算或理论分析中，我们希望能用一个简单的函数来近似一个比较复杂的函数，这将会带来 很大的方便。一般来说，最简单的是多项式，因为多项式是关于变量加、减、乘的运算，但是，怎样从一个 函数本身得出我们所需要的多项式呢？ 前面讨论过“微分在近似计算中的应用”从中我们知道，如果函数 f 在点 0 x 可导，则有有限存在公式；
《数学分析(1,2,3)》教案 f(x)=f(x0)+f(x0(x-x0)+o(x-x0) 即在x附近,用一次多项式P(x)=f(x0)+f(x0(x-x)逼近函数f(x)时,其误差为o(x-x) 然而,在很多场合,取一次多项式逼近是不够的,往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近,并要求 误差为o(x-x0)"),其中n为多项式次数。为此,有如下的n次多项式 Pn(x)=ao +a,(x-xo)+.+a,(x-xo) 易见 4=P2(x),a1=2(x) Pn (多项式的系数由其各阶导数在x0的取 2! 值唯一确定)。 定理若f(x)在x=x点有直到n+1阶连续导数,那么: 对1)+、-)+“+y(n+1)(x- 其中ξ在x与x之间。这就是泰勒公式。余项称为拉格朗日余项。 注:带有皮亚诺余项的泰勒公式 f(x)=f(x0)+ fo f(xo) x0)+ (x-x0)+o(x-x0)) 1! o(x-x)")的余项称为皮亚诺余项。 常见的麦克劳林公式 e=1+x+-+…+-+o(x") 2n-1 SInx= x +-+…+(-1) +Olx cOSx=l ++…+(-1)2 anrl+o(x2m) n(1+x)=x- (-1)-+o(x") (1+x)=1+ a(a-1)…(a-n+1) +O(x") 1+x+x2+…+x"+o(x") (2)带 Lagrange型余项的麦克劳林公式
《数学分析（1，2，3）》教案 5-4 0 0 0 0 f x f x f x x x o x x ( ) ( ) ( )( ) ( ) = + − + − 即在 0 x 附近，用一次多项式 1 0 0 0 p x f x f x x x ( ) ( ) ( )( ) = + − 逼近函数 f x( ) 时，其误差为 0 o x x ( ) − 。 然而，在很多场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求 误差为 0 (( ) ) n o x x − ，其中 n 为多项式次数。为此，有如下的 n 次多项式： 0 1 0 0 ( ) ( ) ( )n n n p x a a x x a x x = + − + + − 易见： 0 0 ( ) n a p x = ， 0 1 ( ) 1! n p x a = ， 0 2 ( ) 2! n p x a = ，…， ( ) 0 ( ) ! n n n p x a n = （多项式的系数由其各阶导数在 0 x 的取 值唯一确定）。 定理 若 f x( ) 在 0 x x = 点有直到 n+1 阶连续导数，那么： ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1! ! 1 ! n n n n f x f x f f x f x x x x x x x n n + + = + − + + − + − + ， 其中 在 0 x 与 x 之间。这就是泰勒公式。余项称为拉格朗日余项。 注：带有皮亚诺余项的泰勒公式 ( ) 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ) 1! ! n n n f x f x f x f x x x x x o x x n = + − + + − + − 0 (( ) ) n o x x − 的余项称为皮亚诺余项。 常见的麦克劳林公式 2 1 ( ) 2! ! n x n x x e x o x n = + + + + + 3 5 2 1 1 2 sin ( 1) ( ) 3! 5! (2 1)! m x x x m m x x o x m − − = − + + + − + − 2 4 2 2 1 cos 1 ( 1) ( ) 2! 4! (2 )! m x x x m m x o x m + = − + + + − + 2 3 1 ln(1 ) ( 1) ( ) 2 3 n x x x n n x x o x n − + = − + + + − + 2 ( 1) ( 1) ( 1) (1 ) 1 ( ) 2! ! n n x x x o x n − − − + + = + + + + + 1 2 1 ( ) 1 n n x x x o x x = + + + + + − （2）带 Lagrange 型余项的麦克劳林公式
《数学分析(1,2,3)》教案 nx∈R,θ∈(0.,1) sInx=x +-+…+(-1)m1x2m coset (2m-1) (2m+1)! x2m+x∈R,O∈(0,1) COsx=1-x +1 coset 2!4! (2m) (2m+2)+3m2x∈R,O∈(0,1) In(1+x)=x-rx +…+(-1)1 x>-1,b∈(0,1) (n+1)(1+bx) 1+x)=1+ax+a(a-1) a(a-1)…(a-n+1) a(a-1)…(a-n) (1+8x)-x x>-1,0∈(0,1) =1+x+x2+…+x"+ x0(f(x)((x2)0(1+x 5-5
《数学分析（1，2，3）》教案 5-5 2 1 1 2! ! ( 1)! n x x n x x e e x x n n + = + + + + + + x R ， (0,1) 3 5 2 1 1 2 1 cos sin ( 1) ( 1) 3! 5! (2 1)! (2 1)! m x x x x m m m x x x m m − − + = − + + + − + − − + x R ， (0,1) 2 4 2 1 2 2 cos cos 1 ( 1) ( 1) 2! 4! (2 )! (2 2)! m x x x x m m m x x m m + + = − + + + − + − + x R ， (0,1) 2 3 1 1 1 ln(1 ) ( 1) ( 1) 2 3 ( 1)(1 ) n n n n n x x x x x x n n x + − + + = − + + + − + − + + x −1， (0,1) 2 ( 1) ( 1) ( 1) (1 ) 1 2! ! n n x x x x n − − − + + = + + + + 1 1 ( 1) ( ) (1 ) ! n n n x x n − − − − + + + x −1， (0,1) 1 2 2 1 1 1 (1 ) n n n x x x x x x + + = + + + + + − − x 1， (0,1) 例： 写出 3 2 ( ) x f x e − = 的 Maclaurin 公式，并求 (98) f (0) 与 (100) f (0) 。 例： 求 ln x 在 x = 3 处的 Taylor 公式。 例： 2 2 4 0 cos lim x x x e → x − 例： （1）计算 e 的值，使其误差不超过 5 10− ；（2）证明 e 为无理数。 §3 函数的升降、凸性与极值 一 函数的上升与下降 定理 1 设 f(x)在区间 a b, 上可导，则 f(x)在 a b, 上递增（减） f x ( ) 0( 0). 注 （1）这个定理的主要用途在于用它研究函数的单调性，确定单调区间。 例： 设 3 f x x x ( ) = − ，试讨论函数 f 的单调区间。 （2）从实现充分性的证明中发现，若 2 1 f x f x f x ( ) 0( 0) ( ) ( ) 2 1 ( ( ) ( )) f x f x ，即 f 严格递 增（减），从而有如下推论： 推论 设函数 f 在区间 a b, 连续，在 (a b, ) 可微，若 f x ( ) 0( 0) 且不变号，则 f 在 a b, 上严格递 增（减）。 （3）上述推论是严格递增（减）的一个充分非必要条件。 例：证明等式：当 x 0 时， 1 x e x +
《数学分析(1,2,3)》教案 例:证明:当x>0时,sinx>x 例:已知f(x)+f(x)≠0,证明:f(x)=0至多只有一个根。 例:证明方程:x sinx 0只有一个根x=0。 二函数的极大值和极小值 函数的极值不仅在实际问题中占有重要的地位,而且也是函数性态的一个重要特征 Fermat定理告诉我们:若函数∫在点x可导,且x为∫的极值点,则f(x)=0,即可导函数∫在点 x有极值的话,必有f(x)=0。进一步的问题是:如果y=f(x)在点x不可导,它有没有可能在x点取 得极值呢?回答是肯定的,例如y=,在x=0不可导,但在x=0有极小值 定理2若x是f(x)的极值点,那么f(x)=0或f(x)在点x不可导 把这两类点称为“极值可疑点”或“可疑极值点”。如何来判定一个极值可疑点且又是真正的极值点呢? 定理2(极值判别法之一)设∫(x)点x连在续,在(x1-6,x)和(x2x0+)内可导,那么 (1)若当x∈(x-0,x)时,∫(x)0,则x为极小点 (2)若当x∈(x-0,x)时,∫(x)>0;当x∈(x2,x0+)时,f(x0)0 则∫(x)是极小值 例:求∫(x)=(2x-5x2的单调区间、极值点和极值 432 例:求∫(x)=x2+的极值点与极值 例:试求函数y=f(x)=x+(x-1)的极值 三函数的最大值与最小值 若∫(x)在[a,b]连续,则f(x)在[a,b]上一定有最大、最小值。这为求连续函数的最大、小值提供了 理论保证,问题是如何求出最大小值呢?函数在[b]上最大(小)值可能在x=a或b取得,也可能在(a,b) 内取到,若在(ab)内取得,则最大(小)值点一定是极大(小)值点。于是,为求f在ab]]上的最大(小) 值,可按以下步骤进行: 5-6
《数学分析（1，2，3）》教案 5-6 例：证明：当 x 0 时， 3 sin 3! x x x − 例：已知 f x f x ( ) ( ) 0 + ，证明： f x( ) 0 = 至多只有一个根。 例：证明方程： sin 0 2 x x − = 只有一个根 x = 0 。 二 函数的极大值和极小值 函数的极值不仅在实际问题中占有重要的地位，而且也是函数性态的一个重要特征。 Fermat 定理告诉我们：若函数 f 在点 0 x 可导，且 0 x 为 f 的极值点，则 0 f x ( ) 0 = ，即可导函数 f 在点 0 x 有极值的话，必有 0 f x ( ) 0 = 。进一步的问题是：如果 y f x = ( ) 在点 0 x 不可导，它有没有可能在 0 x 点取 得极值呢？回答是肯定的，例如 y x = ，在 x = 0 不可导，但在 x = 0 有极小值。 定理 2 若 0 x 是 f x( ) 的极值点，那么 0 f x ( ) 0 = 或 f x( ) 在点 0 x 不可导。 把这两类点称为“极值可疑点”或“可疑极值点”。如何来判定一个极值可疑点且又是真正的极值点呢？ 定理 2（极值判别法之一）设 f x( ) 点 0 x 连在续，在 ( x x 0 0 −, ) 和 ( x x 0 0 , + ) 内可导，那么 （1）若当 0 0 x x x − ( , ) 时， f x ( ) 0 ；当 0 0 x x x + ( , ) 时， f x ( ) 0 ，则 0 x 为极小点； （2）若当 0 0 x x x − ( , ) 时， f x ( ) 0 ；当 0 0 x x x + ( , ) 时， 0 f x ( ) 0 ，则 0 x 为极大点； （3）若 f x ( ) 在 0 0 ( , ) x x − 和 0 0 ( , ) x x + 内不等号，则点 0 x 不是极值点。 若 f 是二阶可导函数，则有如下判别极值的方法： 定理 3（极值判别法之二） 设 0 f x ( ) 0 = ，（1）若 0 f x ( ) 0 ，则 f x( 0 ) 是极大值；（2）若 0 f x ( ) 0 ， 则 f x( 0 ) 是极小值。 例：求 3 2 f x x x ( ) (2 5) = − 的单调区间、极值点和极值。 例：求 2 432 f x x ( ) x = + 的极值点与极值。 例：试求函数 4 3 y f x x x = = − ( ) ( 1) 的极值。 三 函数的最大值与最小值 若 f x( ) 在 a b, 连续，则 f x( ) 在 a b, 上一定有最大、最小值。这为求连续函数的最大、小值提供了 理论保证，问题是如何求出最大、小值呢？函数在 a b, 上最大（小）值可能在 x a = 或 b 取得，也可能在 (a b, ) 内取到，若在 (a b, ) 内取得，则最大（小）值点一定是极大（小）值点。于是，为求 f 在 a b, ]上的最大（小） 值，可按以下步骤进行：
《数学分析(1,2,3)》教案 (1)求出y=f(x)=0在(a,b)内的点,和y=f(x)在(a,b)内不可导的点,并求出相应的函数值 (2)计算f(a),∫(b) (3)把上述函数值作比较,其中最大者为最大值,最小者为最小值 例;求函数(x)2x-9x2+12x1在[-1.5]上的最大值与最小值。 例:剪去正方形四角同样大小的正方形后制成一个无盖盒,问剪去小正方形的边长为何值时,可使盒子的容 积最大? 四函数的凸性 引言 上面已经讨论了函数的升降与极值,这对函数性状的了解是有很大作用的。为了更深入和较精确地掌握 函数的性状,我们在这里再讲述一下有关函数凸性的概念及其与函数二阶导数的关系 什么叫函数的凸性呢?我们先以两个具体函数为例,从直观上看一看何谓函数的凸性。如函数y=√x所 表示的曲线是向上凸的,而y=x2所表示的曲线是向下凸的,这与我们日常习惯上的称呼是相类似的。或更 准确地说:从几何上看,若y=f(x)的图形在区间I上是下凸的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的 上方;若y=fx)的图形在区间I上是上凸的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的下方。从而有以下 定义: 定义1设函数∫(x)在[a付连续,若对[b]上任意两点x、x2和任意实数∈(0,1)总有 f(x1+(1-)x2)≤Af(x)+(1-4)f(x),则称f为[ab]上的下凸函数。反之,如果总有 f(x1+(1-1)x2)≥Af(x1)+(1-A)f(x2),则称f为I上的上凸函数 定义2设曲线y=f(x)在点(xf(x)的一边为上凸,一边为下凸,则称(x2f(x)为曲线的拐点 注:若(x,f(x)是曲线y=f(x)的一个拐点,y=f(x)在点x的导数不一定存在,如y=vx在x=0的 情形 定理4(凸函数与二阶导数的关系)设∫(x)在(a,b)二阶可导,则 (1)若在(a,b)内∫"(x)0,则f(x)在(a,b)为下凸 定理5(拐点必要条件)若(x0,f(x)为拐点,则要么(1)f"(x)=0;要么(2)f在x点不可导。 应用 例:(1)讨论函数/(x)=x2 的下凸和上凸区间,并求拐点 1+x atta 例:证明不等式(abe)3≤abc,其中a,b,c均为正数 5-7
《数学分析（1，2，3）》教案 5-7 （1）求出 y f x = = ( ) 0 在 (a b, ) 内的点，和 y f x = ( ) 在 (a b, ) 内不可导的点，并求出相应的函数值； （2）计算 f a( )， f b( ) ； （3）把上述函数值作比较，其中最大者为最大值，最小者为最小值。 例：求函数 3 2 f x x x x ( ) | 2 9 12 | = − + 在 1 5 [ , ] 4 2 − 上的最大值与最小值。 例：剪去正方形四角同样大小的正方形后制成一个无盖盒，问剪去小正方形的边长为何值时，可使盒子的容 积最大？ 四 函数的凸性 ⚫ 引言 上面已经讨论了函数的升降与极值，这对函数性状的了解是有很大作用的。为了更深入和较精确地掌握 函数的性状，我们在这里再讲述一下有关函数凸性的概念及其与函数二阶导数的关系。 什么叫函数的凸性呢？我们先以两个具体函数为例，从直观上看一看何谓函数的凸性。如函数 y x = 所 表示的曲线是向上凸的，而 2 y x = 所表示的曲线是向下凸的，这与我们日常习惯上的称呼是相类似的。或更 准确地说：从几何上看，若 y＝f(x)的图形在区间 I 上是下凸的，那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的 上方；若 y＝f(x)的图形在区间 I 上是上凸的，那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的下方。从而有以下 定义： 定义 1 设函数 f x( ) 在 a b, 连续，若对 a b, 上任意两点 1 x 、 2 x 和任意实数 (0,1) 总有 1 2 1 2 f x x f x f x ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ) + − + − ，则称 f 为 a b, 上 的 下 凸函数。反之，如果总有 1 2 1 2 f x x f x f x ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ) + − + − ，则称 f 为 I 上的上凸函数。 定义 2 设曲线 y f x = ( ) 在点( 0 0 x f x , ( ) )的一边为上凸，一边为下凸，则称 ( 0 0 x f x , ( ) )为曲线的拐点。 注：若( 0 0 x f x , ( ) )是曲线 y f x = ( ) 的一个拐点， y f x = ( ) 在点 0 x 的导数不一定存在，如 3 y x = 在 x = 0 的 情形。 定理 4（凸函数与二阶导数的关系） 设 f x( ) 在 (a b, ) 二阶可导，则 （1） 若在 (a b, ) 内 f x '' 0 ( ) ，则 f x( ) 在 (a b, ) 为上凸； （2） 若在 (a b, ) 内 f x '' 0 ( ) ，则 f x( ) 在 (a b, ) 为下凸。 定理 5（拐点必要条件） 若( 0 0 x f x , ( ) )为拐点，则要么（1） 0 f x ( ) 0 = ；要么（2）f 在 0 x 点不可导。 3、应用 例：（1）讨论函数 2 2 ( ) 1 x f x x = + 的下凸和上凸区间，并求拐点。 例：证明不等式 3 ( ) a b c a b c abc a b c + + ，其中 a，b，c 均为正数
《数学分析(1,2,3)》教案 §4平面曲线的曲率 什么是曲线的曲率 曲线的弯曲程度不仅与其切线方形的变化角度△的大小有关,而且还与所考察的曲线的弧长△s有关,并且 曲率与△q成正比,与△s成反比。即一般曲线的弯曲程度可用、△,其中k:曲线段AB的平均变化率 △S △φ:曲线段AB上切线方向变化的角度;△s:曲线段AB的弧长 定义1称极限 K=lm△=m△ B→A△s△→0△s 为曲线在A点的曲率。称p=为曲线在A点的曲率半径 K 弧长的微分 (1)若弧的方程为y=f(x)(a≤x≤b),f(x)在[a小连续,则=±+f"(x) (2)若弧的方程为x=(),y=p(1)(a≤6≤B),则 =√°()+g°()d (3)若弧的方程为P=(0)(≤≤B),则 d=d=t()+P2(0)dO 三曲率的计算 设曲线的方程为y=f(x)(a≤x≤b),y=y(x)二阶可微,则在点x处的曲率 因为gq=y,= arctos',所以如y dx,又因为ds dx,所以 dx 1+y K y 例:求y=x2在任一点的曲率。 过点(x,f(x)且与y=y(x)在该点有相同的一阶及二阶导数的圆(x-a)2+(y-b)2=R2称为曲率 圆。曲率圆的中心和半径分别称为曲率中心和曲率半径。 例:求y=x2在点(0,0)的曲率和曲率半径 5-8
《数学分析（1，2，3）》教案 5-8 §4 平面曲线的曲率 一 什么是曲线的曲率 曲线的弯曲程度不仅与其切线方形的变化角度 的大小有关，而且还与所考察的曲线的弧长 s 有关，并且 曲率与 成正比，与 s 成反比。即一般曲线的弯曲程度可用 k S = ，其中 k ：曲线段 AB 的平均变化率； ：曲线段 AB 上切线方向变化的角度； s ：曲线段 AB 的弧长。 定义 1 称极限 s s K B A s = = → → 0 lim lim 为曲线在 A 点的曲率。称 K 1 = 为曲线在 A 点的曲率半径。 二、弧长的微分 （1） 若弧的方程为 y f x = ( ) (a x b ) ， f x '( ) 在 a b, 连续，则 2 ds f x dx = +1 ' ( ) ； （2） 若弧的方程为 x t y t = = ( ), ( ) ( ) ，则 ( ) 2 2 ds t t dt = + ' ( ) ' （3） 若弧的方程为 = ( ) ( ) ，则 ds = ( ) ( ) 2 2 ds d = + ' 。 三 曲率的计算 设曲线的方程为 y f x = ( ) (a x b ) ， y y x = ( ) 二阶可微，则在点 x 处的曲率 因为 tg y = ， = arctgy ，所以 2 2 1 1 d y y d dx dx y y = = + + ，又因为 2 ds y dx = +1 ，所以 ( ) 3/ 2 2 1 d y K ds y = = + 。 例：求 1 2 2 y x = 在任一点的曲率。 过点（ ( x f x , ( )) 且与 y y x = ( ) 在该点有相同的一阶及二阶导数的圆 2 2 2 ( ) ( ) x a y b R − + − = 称为曲率 圆。曲率圆的中心和半径分别称为曲率中心和曲率半径。 例：求 1 2 2 y x = 在点（0,0）的曲率和曲率半径
《数学分析(1,2,3)》教案 §5.待定型 及一待定型 1、什么是不定式极限 在求极限时,若分子和分母的极限都趋于0,则把这种类型的极限称为“”型的不定式极限。 除了0型不等式极限外,还有许多类型的不等式极限,如:(1)2型:()-D型:(ⅲ)0.型 (ⅳ)0°型;(ⅴ)1型;(ⅵ)0°,∞°型等,其中最基本的是型和一型,其它类型都可化成这两种基 本类型来解决。 2、一不定式极限的计算(洛必达法则) 定理1若函数f(x)和g(x)满足:(1)limf(x)=limg(x)=0:(2)在点x的某空心邻域内两者 都可导,且g(x)≠0:(3)1m(x)=A,则 lim f'(x=A 注(1)将x→x改为x→x,x,+O,-0,时,上述结论都对:(2)lmf(x)是分子,分母分别 x→xg'(x) 求导时极限和lm()不同,更不能认为是m x-o g(x) x→g(x) 例:Iim 1-coS x 3、一型极限(洛必达法则) 定理2(1)limf(x)=limg(x)=∞;(2)在点x的某空心邻域内两者都可导,且g'(x)≠0;(3) im(x)=A,则
《数学分析（1，2，3）》教案 5-9 §5. 待定型 一 0 0 及 待定型 1、什么是不定式极限 在求极限时，若分子和分母的极限都趋于 0，则把这种类型的极限称为“ 0 0 ”型的不定式极限。 除了 0 0 型不等式极限外，还有许多类型的不等式极限，如：（ⅰ） 型；（ⅱ） − 型；（ⅲ） 0 型； （ⅳ） 0 0 型；（ⅴ） 1 型；（ⅵ） 0 ， 0 型等，其中最基本的是 0 0 型和 型，其它类型都可化成这两种基 本类型来解决。 2、 0 0 不定式极限的计算（洛必达法则） 定理 1 若函数 f x( ) 和 g x( ) 满足：（1） 0 0 lim ( ) lim ( ) 0 x x x x f x g x → → = = ；（2）在点 0 x 的某空心邻域内两者 都可导，且 g x ( ) 0 ；（3） 0 ( ) lim ( ) x x f x A → g x = ，则 0 0 ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) x x x x f x f x A → → g x g x = = 。 注 （1）将 0 x x → 改为 0 0 x x x, , , , → + − + − 时，上述结论都对；（2） 0 ( ) lim ( ) x x f x → g x 是分子，分母分别 求导时极限和 0 ( ) lim( ) ( ) x x f x → g x 不同，更不能认为是 0 ( ) (lim ) ( ) x x f x → g x 。 例： 0 lim 1 x x x e → + − 。 例： 2 0 1 cos lim x x → x − 。 3、 型极限（洛必达法则） 定理 2 （1） 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x g x → → = = ；（2）在点 0 x 的某空心邻域内两者都可导，且 g x ( ) 0 ；（3） 0 ( ) lim ( ) x x f x A → g x = ，则
《数学分析(1,2,3)》教案 lim f(x)f(x) m x-40 g(x) I+og(x) 注(1)将x→>x改为x→>x0,x0,+∞,-∞,∞时,上述结论都对;(2)如果∫’,g’,∫”,g"满足 条件,则可再次使用该法则 例:lim 例:lim=。 x→+ 使用型和一型求极限的 L'Hospital法则应注意的一些问题:(1)、不能对任何比较类型的极限都用 L'Hospital法则来求解,必须是型和一型才可以;(2)、若lim 不存在,就不能用,但这不意味着 x+0 g(x) lin f(x) 不存在;(3)、可以使用 L'Hospital法则,但出现循环现象,无法求出结果,此时只能寻求别的方 法;(4)、只有当lim x+8(r)lim f(x) f'(x) 简单时,用 L'Hospital法则才有价值,否则另找方法,故 HOspi x-o g(x) 法则不是“万能工具” 二其它待定型 如一型、∞-∞型、0·∞型、0°型、1型、0°型、∞°型等,经过变换,它们一般均可以化为一型和 型的极限。 例: lim x in x=0。 例:lim(cosx)2=e x→0 例;im(sinx)+hx=e(k为常数)。 例:lim(x+√1+x2)x=e。 例:lim( g(x) x≠0 例:设f(x){x 已知g(O)=g'(0)=0,g"(O)=3,试求f(O)。 0.x=0 用 L'Hospital法则求数列极限,应注意什么? 例:lim(+-+-2)=e 5-10
《数学分析（1，2，3）》教案 5-10 0 0 ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) x x x x f x f x A → → g x g x = = 。 注 （1）将 0 x x → 改为 0 0 x x x, , , , → + − + − 时，上述结论都对；（2）如果 f ， g ， f ， g 满足 条件，则可再次使用该法则。 例： ln lim x x →+ x 。 例： 5 lim x x e →+ x 。 使用 0 0 型和 型求极限的 L’Hospital 法则应注意的一些问题：（1）、不能对任何比较类型的极限都用 L’Hospital 法则来求解，必须是 0 0 型和 型才可以；（2）、若 0 ( ) lim ( ) x x f x → g x 不存在，就不能用，但这不意味着 0 ( ) lim ( ) x x f x → g x 不存在；（3）、可以使用 L’Hospital 法则，但出现循环现象，无法求出结果，此时只能寻求别的方 法；（4）、只有当 0 ( ) lim ( ) x x f x → g x 比 0 ( ) lim ( ) x x f x → g x 简单时，用 L’Hospital 法则才有价值，否则另找方法，故 L’Hospital 法则不是“万能工具”。 二 其它待定型 如 型、 − 型、 0 型、 0 0 型、 1 型、 0 型、 0 型等，经过变换，它们一般均可以化为 型和 0 0 型的极限。 例： 0 lim ln 0 x x x → + = 。 例： 2 1 1 2 0 lim(cos ) x x x e − → = 。 例： 1 ln 0 lim (sin ) k k x x x e + + → = （k 为常数）。 例： 1 2 ln lim ( 1 ) x x x x e →+ + + = 。 例： 1 1 1 1 lim( ) x→ x x 1 ln 2 − = − − 。 例：设 ( ) 0 ( ) 0, 0 g x x f x x x = ，已知 g g (0) (0) 0 = = ， g (0) 3 = ，试求 f (0) 。 用 L’Hospital 法则求数列极限，应注意什么？ 例： 2 1 1 lim(1 )n n e → n n + + =