第五章微分学的基本定理及其应用 §1.中值定理 1.应用拉格朗日中值定理证明下列不等式: (1)|sinx-inys|x-yxy∈(-0+∞) (2) x1+x,x≠0, y-x 0 2.设f(x)=x2(1-xy,mn为正整数,x∈[0,则存在5∈(0.D,使m=5 3.设函数在点a具有连续的二阶导数,证明 f(a+h)+f(a-h)-2f(a =f(a) h 4.函数f(x)在[a,b]可导,其中a≥0,证明:存在ξ∈(a,b),使得 2(b)-f(a)=(b2-a2)f(2) 5.证明:(1)方程x-3x+c=0(c是常数)在区间[0,1]内不可能有两个不同的实 根 (2)方程x"+px+q=0(n为正整数,p,q为实数)当n为偶数时至多有两个 实根:当n为奇数时至多有三个实根 6.设f(x)可导,求证:f(x)在两零点之间一定有∫(x)+f(x)的零点 7.若∫(x)在[a,b可导,且f(a)≠∫(b),k为介于f(a)和∫(b)之间的任一实 数,则至少存在一点5∈(a,b),使∫(2)=k 若函数∫(x),g(x)和h(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,证明存在∈(a,b),使 得 第1页共11页
第 1 页 共 11 页 第五章 微分学的基本定理及其应用 §1. 中值定理 1. 应用拉格朗日中值定理证明下列不等式： （1） sin sin , , ( , ); x y x y x y − − − + （2） tan , ( , ), 2 2 x x x − 等号成立当且仅当 x = 0 ； （3） 1 , 0; x e x x + （4） ln ,0 ; y x y y x x y y x x − − （5） 2 arctan , 0. 1 x x x x x + 2. 设 ( ) (1 ) , , m n f x x x m n = − 为正整数， x [0,1] ，则存在 (0,1) ，使 1 m n = − . 3. 设函数在点 a 具有连续的二阶导数，证明 '' 2 0 ( ) ( ) 2 ( ) lim ( ). h f a h f a h f a f a → h + + − − = 4. 函数 f x( ) 在 [ , ] a b 可导，其中 a 0 ，证明：存在 ( , ) a b ，使得 2 2 ' 2 [ ( ) ( )] ( ) ( ). f b f a b a f − = − 5. 证明：（1）方程 3 x x c − + = 3 0 （ c 是常数）在区间 [0,1] 内不可能有两个不同的实 根； （2）方程 n x 0 + + = px q （ n 为正整数， p q, 为实数）当 n 为偶数时至多有两个 实根；当 n 为奇数时至多有三个实根. 6. 设 f x( ) 可导，求证： f x( ) 在两零点之间一定有 ' f x f x ( ) ( ) + 的零点. 7. 若 f x( ) 在 [ , ] a b 可导，且 ' ' f a f b ( ) ( ) ，k 为介于 ' f a( ) 和 ' f b( ) 之间的任一实 数，则至少存在一点 ( , ) a b ，使 ' f k ( ) = . 8. 若函数 f x( ) ，g x( ) 和 h x( ) 在 [ , ] a b 连续，在 ( , ) a b 可导，证明存在 ( , ) a b ，使 得
f(a) g(a) h(a) f(b)g()h(b)=0 f(5)g(5)h(5) 9.设函数∫(x)在(a,b)内可导,且∫(x)单调,证明∫(x)在(a,b)连续 10.设∫(x)在(a,+∞)上可导,且imf(x)=limf(x)=A。求证:存在∈(a,+∞) 使f()=0。 11.求证: arcsinx+ arccos x≡ 2(x≤1) 12.设limf(x)=a,求证:任意T>0,有 limf(x+1)-f(x=Ta 13.设∫(x)在[a,b)连续,imf(x)=B (1)若存在x1∈[a,b),使∫(x)>B,则f(x)在[a,b)上达到最大值 (2)如果存在x1∈[a,b),使∫(x1)=B,能否断言f(x)在[a,b)上达到最大值? 14.设f(x)在(-∞,+∞)连续,且lmf(x)=+∞,证明:f(x)在(-∞,+∞)上取到 它的最小值 15.设f(x)在[a,+∞)有界,∫(x)存在,且lmf(x)=b.求证b=0 16.对函数∫(x)在[0,x]上应用拉格朗日中值定理有 f(x)-f(0)=f(x)x,O∈(0,1) 试证对下列函数有limb=-: (1)f(x)=ln(1+x) X=( §2.泰勒公式 1.写出下列函数在x=0的带佩亚诺余项的泰勒展开式: 第2页共11页
第 2 页 共 11 页 ' ' ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) f a g a h a f b g b h b f g h = . 9. 设函数 f x( ) 在 ( , ) a b 内可导，且 ' f x( ) 单调，证明 ' f x( ) 在 ( , ) a b 连续. 10. 设 f x( ) 在 ( , ) a + 上可导，且 lim ( ) lim ( ) x a x f x f x A → + → = = 。求证：存在 + ( , ) a ， 使 ' f ( ) 0 = 。 11. 求证： arcsin arccos ( 1) 2 x x x + . 12. 设 ' lim ( ) x f x a →+ = ，求证：任意 T 0 ，有 lim [ ( ) ( )] . x f x T f x Ta →+ + − = 13. 设 f x( ) 在 [ , ) a b 连续， lim ( ) x b f x B → − = . （1）若存在 1 x a b [ , ) ，使 1 f x B ( ) ，则 f x( ) 在 [ , ) a b 上达到最大值； （2）如果存在 1 x a b [ , ) ，使 1 f x B ( ) = ，能否断言 f x( ) 在 [ , ) a b 上达到最大值？ 14. 设 f x( ) 在 ( , ) − + 连续，且 lim ( ) x f x → = + ，证明： f x( ) 在 ( , ) − + 上取到 它的最小值. 15. 设 f x( ) 在 [ , ) a + 有界， ' f x( ) 存在，且 ' lim ( ) x f x b →+ = .求证 b = 0 . 16. 对函数 f x( ) 在 [0, ] x 上应用拉格朗日中值定理有 ' f x f f x x ( ) (0) ( ) , (0,1). − = 试证对下列函数有 0 1 lim x 2 → = ： （1） f x x ( ) ln(1 ); = + （2） ( ) . x f x e = §2. 泰勒公式 1. 写出下列函数在 x = 0 的带佩亚诺余项的泰勒展开式： (1) 2 x e ；
(6) sinx: (8)in 2.求下列函数在x=1的泰勒展开式 (3)P(x)=x3-2x2+3x+5: 3.利用泰勒公式求极限 0)=(m) (2)lim sin 2x li n1+ (4) lim x→2ln(1+x2) (5)lin(√x2+3x-√x2-2x): 4.设f(x)在原点的邻域二次可导,且 in 3x f(x) 0 (1)f(0),f(0),f"(0) 第3页共11页
第 3 页 共 11 页 (2) 2 cos x ； (3) ln(1 ) − x ； (4) 2 1 (1 ) + x ； (5) 3 2 1 1 x x x + + − ； (6) 3 sin x ； (7) 2 2 1 x x x + − ； (8) 1 ln 1 2 x x + − ； 2. 求下列函数在 x =1 的泰勒展开式： (1) ln x ； (2) x a ； (3) 3 2 P x x x x ( ) 2 3 5 = − + + ； 3. 利用泰勒公式求极限： (1) 1 1 lim x→ x x sin − ； (2) 3 3 6 1 lim sin 2 x x e x → x − − ； (3) 1 1 lim ln 1 n 2 n → n + + ； (4) 2 1 cos(sin ) lim 2ln(1 ) x x → x − + ； (5) 3 3 2 lim( 3 2 ) x x x x x → + − − ； 4. 设 f x( ) 在原点的邻域二次可导，且 3 2 sin 3 ( ) lim 0 x x f x → x x + = (1) f f f (0), '(0), ''(0) ；
f(x) 5.确定常数a,b,使x→>0时 (1)f(x)=(a+ bcos x)sinx-x为x的5阶无穷小; 1+ax (2)f(x)=e 为x的3阶无穷小; 1+ bx 6.写出下列函数在x=0的泰勒公式至所指的阶数: (2) In cos x, (x) (3) ,(x2) 7.求证 (1)e=1+1+-+…+ (0 (b)-f(a) 9.设∫(x)在a点附近二次可导,且∫"(a)≠0,由微分中值定理 f(a+h-f(a=f(a+8hh,0<8< 求证:Iimb 10.设f(x)在实轴上任意次可导,令F(x)=f(x2),求证 F (0)=0 (2m)! 1l.证明:若函数f(x)在区间[a,b]上恒有f"(x)≥0,则在[a,b]内任意两点x1,x2 都有 f(x)+f(x2)、x1+x2 2 第4页共11页
第 4 页 共 11 页 (2) 2 2 0 1 ( ) lim x f x → x x + ； 5. 确定常数 a，b ，使 x →0 时， (1) f x a b x x x ( ) ( cos )sin = + − 为 x 的 5 阶无穷小； (2) 1 ( ) 1 x ax f x e bx + = − + 为 x 的 3 阶无穷小； 6. 写出下列函数在 x = 0 的泰勒公式至所指的阶数： (1) sin 3 ,( ) x e x ； (2) 6 ln cos ,( ) x x ； (3) 4 ,( ) sin x x x ； (4) 2 4 2 ,( ) 1 x x − +x x ； 7. 求证： (1) 1 1 1 1 (0 1) 2! ! ( 1)! e e n n = + + + + + ； (2) e 是无理数； 8. 设 f x( ) 在 [ , ] a b 上有二阶导数，且 f a f b '( ) '( ) 0 = = ，则存在 c a b ( , ) ，使 2 4 ''( ) ( ) ( ) ( ) f c f b f a b a − − 9. 设 f x( ) 在 a 点附近二次可导，且 f a ''( ) 0 ，由微分中值定理： f a h f a f a h h ( ) ( ) '( ) , 0 1 + − = + 求证： 0 1 lim h 2 → = 10. 设 f x( ) 在实轴上任意次可导，令 2 F x f x ( ) ( ) = ，求证： (2 ) ( ) (2 1) (0) (0) (0) 0, (2 )! ! n n n F f F n n + = = . 11. 证明：若函数 f x( ) 在区间 [ , ] a b 上恒有 f x ''( ) 0 ，则在 [ , ] a b 内任意两点 1 2 x x, ， 都有 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 f x f x x x f + +
12.设P(x)为一n次多项式, (1)P(a),P(a)…,P"(a)皆为正数,证明P(x)在(a,+∞)上无根 (2)P(a),P(a)…,P"(a)正负号相间,证明P(x)在(-∞,a)上无根 §3.函数的升降、凸性与极值 1.确定下列函数的单调区间: (1)y=x3-6x (2) (3)y=2x2-lnx, (4)y (5)y=2x'-sinx (6)y=x"e-(n>0,x≥0) 2.求下列函数的极值 (1)y=x-ln(1+x) (2)y=x+ 1+3x (3) 4+5x (n x) (4)y (5) (6)y=arctan x-In(1+x) 3.证明:若函数f(x)在点x处有∫,(x)0,则x为∫的极大值点 设f(x),g(x)在实轴上连续可微,且 第5页共11页
第 5 页 共 11 页 12. 设 P x( ) 为一 n 次多项式， (1) ( ) ( ), '( ), , ( ) n P a P a P a 皆为正数，证明 P x( ) 在 ( , ) a + 上无根； (2) ( ) ( ), '( ), , ( ) n P a P a P a 正负号相间，证明 P x( ) 在 ( , ) − a 上无根. §3. 函数的升降、凸性与极值 1. 确定下列函数的单调区间： （1） 3 y x x = − 6 ; （2） 2 y x x = − 2 ; （3） 2 y x x = − 2 ln ; （4） 2 1 ; x y x − = （5） 2 y x x = − 2 sin ; （6） ( 0, 0). n x y x e n x − = 2. 求下列函数的极值： （1） y x x = − + ln(1 ); （2） 1 y x ; x = + （3） 2 1 3 ; 4 5 x y x + = + （4） 2 (ln ) ; x y x = （5） 3 4 y x x = − 2 ; （6） 1 2 arctan ln(1 ). 2 y x x = − + 3. 证明：若函数 f x( ) 在点 0 x 处有 ' ' 0 _ 0 f x f x ( ) 0, ( ) 0 + ，则 0 x 为 f 的极大值点. 设 f x( ) ， g x( ) 在实轴上连续可微，且
f(x)g(x) 求证:f(x)=0的两实根之间一定有g(x)=0的根 4.应用函数的单调性证明下列不等式: (1)x0, (4) tanx>x+ (0,) (5)2√x>3--,x>1 5.确定下列函数的凸性区间与拐点 (1)y=3x2-x3; (2)y=x2+ (3)y=ln(1+x) xS 6.设∫(x)= 2X≠O (1)证明:X=0是函数的极小值点; (2)说明在∫的极小值点x=0处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件. 7.设f(x)=alnx+bx2+x在x1=1,x2=2处都取的极值,试定出a和b的值;并 问这时∫在x和x2是取得极大值还是极小值; (1)求函数∫(x)=ax-lnx在x>0上的极值; (2)求方程ax=lnx有两个正实根的条件 8.问a,b为何值时,点(1,3)为曲线y=ax3+bx2的拐点? 第6页共11页
第 6 页 共 11 页 ' ' ( ) ( ) 0. ( ) ( ) f x g x f x g x 求证： f x( ) 0 = 的两实根之间一定有 g x( ) 0 = 的根. 4. 应用函数的单调性证明下列不等式： （1） 2 sin , (0, ); 2 x x x x （2） 3 sin , 0; 6 x x x x x − （3） 2 ln(1 ) , 0; 2 x x x x x − + （4） 3 tan , (0, ); 3 2 x x x x + （5） 1 2 3 , 1. x x x − 5. 确定下列函数的凸性区间与拐点： （1） 2 3 y x x = − 3 ; （2） 2 1 y x ; x = + （3） 2 y x = + ln(1 ); （4） 2 y x = +1 . 6. 设 4 2 1 sin , x 0, ( ) 2 0 , x 0. x f x = = （1）证明： x 0 = 是函数的极小值点； （2）说明在 f 的极小值点 x = 0 处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件. 7. 设 2 f x a x bx x ( ) ln = + + 在 1 2 x x = = 1, 2 处都取的极值，试定出 a 和 b 的值；并 问这时 f 在 1 x 和 2 x 是取得极大值还是极小值； (1) 求函数 f x ax x ( ) ln = − 在 x 0 上的极值； (2) 求方程 ax x = ln 有两个正实根的条件. 8. 问 a，b 为何值时，点 (1,3) 为曲线 3 2 y ax bx = + 的拐点？
9.证明曲线y2x2+1有位于同一直线上的三个拐点 10..设∫(x)为区间/上严格上凸函数,证明:若x∈为∫(x)的极小值点,则x为 f(x)在/上唯一的极小值点 11.作出下列函数的图形 (1)y=x3-6 (2) y=e-(x-l)2 y (4)p=ln1+x (5)y=y=x-2arctan x; (6)y=xe (7) (8)y= (x-1) (x+1)3 (9)y +x 12.证明 (1)若f(x)为下凸函数,A为非负实数,则Af(x)为下凸函数; (2)若∫(x)、g(x)均为下凸函数,则∫(x)+g(x)为下凸函数 (3)若f(x)为区间I上的下凸函数,g(x)为J上的下凸递增函数,f()cJ,则 gof(x)为/上的下凸函数 13.给定长为l的线段,试把它分成两段,使以这两段为边所围成的矩形面积为最大 14.如何选择参数h>0,方能使曲线 y 在x=±σ(σ>0为给定的常数)处有拐点 15.求下列函数在指定区间上的最大值与最小值 第7页共11页
第 7 页 共 11 页 9. 证明曲线 2 1 1 x y x + = + 有位于同一直线上的三个拐点. 10. .设 f x( ) 为区间 I 上严格上凸函数，证明：若 0 x I 为 f x( ) 的极小值点，则 0 x 为 f x( ) 在 I 上唯一的极小值点. 11. 作出下列函数的图形： （1） 3 y x x = − 6 ; （2） 2 ( 1) ; x y e − − = （3） 2 1 ; 1 y x = − （4） 1 ln ; 1 x y x + = − （5） y y x x = = − 2arctan ; （6） ; x y xe − = （7） 2 2 2 3 ; 1 x x y x − − = + （8） 3 3 ( 1) ; ( 1) x y x − = + （9） 4 3 (1 ) x y x = + . 12. 证明： (1) 若 f x( ) 为下凸函数， 为非负实数，则 f x( ) 为下凸函数； (2) 若 f x( ) 、 g x( ) 均为下凸函数，则 f x g x ( ) ( ) + 为下凸函数； (3) 若 f x( ) 为区间 I 上的下凸函数， g x( ) 为 J 上的下凸递增函数， ( ) f I J ，则 g f x( ) 为 I 上的下凸函数. 13. 给定长为 l 的线段，试把它分成两段，使以这两段为边所围成的矩形面积为最大. 14. 如何选择参数 h 0 ，方能使曲线 2 2 h h x y e − = 在 x = （ 0 为给定的常数）处有拐点. 15. 求下列函数在指定区间上的最大值与最小值
(1)y=x3-5x4+5x3+1,[-1,2] (2)y=2 tan x-tan x,[0,-; (3)y=√xlnx,(0,+∞); 4)y=x2-3x+2,10.10 [-55] 16.点M(P,p)到抛物线y2=2px最短距离 17.设炮口的仰角为a,炮弹的初速为vm/s,炮口取作原点,发炮时间取作t=0 不计空气阻力时,炮弹的运动方程为 x= t. cosa y=to sin a-8i 若初速v不变,问如何调整炮口的仰角a,使炮弹射程最远 §4.平面曲线的曲率 1.求下列曲线的曲率与曲率半径: (1)抛物线y2=2px(p>0) (2)双曲 (3)星形线x3+y3=a3; 2.求下列以极坐标表示的曲线的曲率半径: 1)心脏线r=a(1+cos)(a>0 (2)双纽线r2=2a2cos20(a>0) (3)对数螺线r=ce(>0) 3.设曲线是用极坐标方程r=r(O)给出,且二阶可导,证明它在点日处曲率为 第8页共11页
第 8 页 共 11 页 （1） 5 4 3 y x x x = − + + − 5 5 1, [ 1,2]; （2） 2 2 tan tan , [0, ); 2 y x x = − （3） y x x = + ln ,(0, ); （4） 2 y x x = − + 3 2 , [-10,10]; （5） x-3 y=e , [-5,5]. 16. 点 M p p ( , ) 到抛物线 2 y px = 2 最短距离. 17. 设炮口的仰角为 ，炮弹的初速为 0 v m s/ ，炮口取作原点，发炮时间取作 t = 0， 不计空气阻力时，炮弹的运动方程为： 0 2 0 cos 1 sin 2 x tv y tv gt = = − 若初速 0 v 不变，问如何调整炮口的仰角 ，使炮弹射程最远. §4. 平面曲线的曲率 1. 求下列曲线的曲率与曲率半径： (1) 抛物线 2 y px p = 2 ( 0); (2) 双曲线 2 2 2 2 1; x y a b − = (3) 星形线 2 2 2 3 3 3 x y a + = ; 2. 求下列以极坐标表示的曲线的曲率半径： (1) 心脏线 r a a = + (1 cos ) ( 0); (2) 双纽线 2 2 r a a = 2 cos 2 ( 0); (3) 对数螺线 r ae ( 0). = 3. 设曲线是用极坐标方程 r r = ( ) 给出，且二阶可导，证明它在点 处曲率为
r2+2 (r2+r"2)2 求下列各曲线在指定点的曲率和曲率半径: (1)xy=4在点(2,2); nx在点(1,0) 5.证明抛物线y=ax2+bx+c在顶点处的曲率半径为最小 6.求曲线y=2(x-1)2的最小曲率半径 7.求曲线y=e2上曲率最大的点 8.求下列参数方程给出的曲线的曲率和曲率半径: (1)旋轮线x=a(t-sint),y=a(1-cost)(a>0) (2)椭圆x= a cost,y= bint(a,b>0) (3)圆的渐开线x=a(cost+ tsin t),y=a(sint- t cos t) §5.待定型 1.求下列待定型的极限 tan d (2)lim x→0x3sinx (3)li In(1+x) Sx-1 (4) lim tanx-x (5) In cos ax (6) lim (7)lim x→2Secx+ 第9页共11页
第 9 页 共 11 页 2 2 3 2 2 2 | 2 ' '' | . ( ' ) r r rr K r r + − = + 4. 求下列各曲线在指定点的曲率和曲率半径： (1) xy = 4 在点(2，2)； (2) y x = ln 在点(1，0)． 5. 证明抛物线 2 y ax bx c = + + 在顶点处的曲率半径为最小． 6. 求曲线 2 y x = − 2( 1) 的最小曲率半径． 7. 求曲线 x y e = 上曲率最大的点． 8. 求下列参数方程给出的曲线的曲率和曲率半径： (1) 旋轮线 x a t t y a t a = − = − ( sin ), (1 cos ) ( 0); (2) 椭圆 x a t y b t a b = = cos , sin ( , 0); (3) 圆的渐开线 x a t t t y a t t t = + = − (cos sin ), (sin cos ). §5. 待定型 1. 求下列待定型的极限： （1） 0 tan lim ; x sin ax → bx （2） 2 3 0 1 cos lim ; x sin x → x x − （3） 0 ln(1 ) lim ; x cos 1 x x → x + − − （4） 0 tan lim ; x sin x x → x x − − （5） 0 1 1 lim ; 1 x x→ x e − − （6） 0 ln cos lim ; ln cos x ax → bx （7） 2 tan 6 lim ; x sec 5 x x → − +
(8) (9)lim(丌-x)tan (10)lim xl-I (11)Iimx(a,b>0) z arctan x (12) lim In 1-740r6(b,co) (13) lim (14) lim x In°x(b∞>0) (15) lin 1-2sin x (16) lim nx (17) lim 1+x)i-e (18)lim x (19) lim In- x-0 tan x (20)lim →0(x (21)lm(1-1 (22) lim sin xlnx 2.下列函数不能用洛必达法则求极限 第10页共11页
第 10 页 共 11 页 （8） 1 1 1 lim ; x→ ln 1 x x − − （9） lim( ) tan ; x 2 x x → − （10） 1 1 1 lim ; x x x − → （11） lim ( , 0); b ax x x a b →+ e （12） arctan 2 lim ; 1 sin x x x →+ − （13） ln lim (b,c>0); c b x x →+ x （14） 0 lim ln (b,c>0); b c x x x → + （15） 6 1 2sin lim ; x cos3 x x → − （16） 0 ln lim ; cot x x x → + （17） 1 0 (1 ) lim ; x x x e → x + − （18） sin 0 lim ; x x x → + （19） 0 1 lim ln ; x x x → + （20） 2 1 0 tan lim ; x x x → x （21） 2 2 0 1 1 lim ; x→ x x sin − （22） 0 lim sin ln . x x x → + 2. 下列函数不能用洛必达法则求极限：