第十五章极值和条件极值 §1.极值和最小二乘法 1.下列函数的极大值点和极小值点: (1)f(x,y)=(x-y+1)2 (2)f(x,y)=3axy-x23-y2(a>0), (3)f(x,y)=xy (a,b>0) (4)f(x,y)=e2(x+y2+2y) (5)f(x,y)=sinx+cosy+cos(x-y)(0≤x,y≤) (6)f(x,y)=(yx2+ 2.已知y=ax2+bx+c,观测得一组数据(x1,y,i=1,2…n,利用最小二乘法,求系数 a,b,c所满足的三元一次方程组 3.已知平面上有n个点的坐标分别是 A(x1,y),A2(x2,y2),…,A(xn,y), 试求一点,使它与这n个点距离的平方和最小 4.求下列函数在指定范围D内的最大值和最小值: (1)f(x,y)=x2-y2,D={(x,y)x2+y2≤4} (2)f(x,y)=x2-xy+y2,D={(x,y)‖x|+|yk1} (3)f(x,y,)=(ax+by+c)-1+)*),其中a2+b2+c2>0,D=R3 5.求证: (1)f(x,y)=Ax2+2Bxy+(y2+2D+2E+F在R2有最小值,无最大值,其中 A>0.B-<AC (2)f(x,y)=x+-+-在0<x,y<+∞有最小值,无最大值 6.设F(x,y,)有二阶连续偏导数,并且 第1页共3页
第 1 页 共 3 页 第十五章 极值和条件极值 §1. 极值和最小二乘法 1． 下列函数的极大值点和极小值点： (1) 2 f x y x y ( , ) ( 1) ; = − + (2) 3 3 f x y axy x y a ( , ) 3 ( 0); = − − (3) 2 2 2 2 ( , ) 1 ( , 0); x y f x y xy a b a b = − − (4) 2 2 ( , ) ( 2 ); x f x y e x y y = + + (5) f x y x y x y ( , ) sin cos cos( ) = + + − (0 , ); 2 x y (6) 2 2 2 f x y x y ( , ) ( 1) . = + − 2． 已知 2 y ax bx c = + + ,观测得一组数据 ( , ), i i x y i=1,2,…,n，利用最小二乘法，求系数 a,b,c 所满足的三元一次方程组. 3． 已知平面上有 n 个点的坐标分别是 1 1 1 2 2 2 A x y A x y ( , ), ( , ), …, ( , ) A x y n n n ， 试求一点，使它与这 n 个点距离的平方和最小. 4． 求下列函数在指定范围 D 内的最大值和最小值： (1) 2 2 2 2 f x y x y D x y x y ( , ) , {( , ) | 4}; = − = + (2) 2 2 f x y x xy y D x y x y ( , ) , {( , ) || | | | 1}; = − + = + (3) 2 2 2 ( ) 2 2 2 3 ( , , ) ( ) , 0, x y z f x y z ax by cz e a b c D R − + + = + + + + = 其中 . 5． 求证： (1) 2 2 f x y Ax Bxy Cy Dx Ey F ( , ) 2 2 2 = + + + + + 在 2 R 有最小值，无最大值，其中 A 0, 2 B AC ; (2) 1 1 f x y xy ( , ) x y = + + 在 0 , + x y 有最小值，无最大值. 6． 设 F x y z ( , , ) 有二阶连续偏导数，并且
F(x0,y,=0)=0,F2(x,y,-0)≠0 讨论由F(x,y,z)=0确定的隐函数z=f(x,y)在(x0,y)去的极值的必要和充分条件 求由 2x+2y-4z-10=0 所确定的z=f(x,y)的极值 7.求下列隐函数的极大值和极小值: 1)(x+y)2+(y+z)2+(z+x) (2)2+xyz-x2-x2-9=0 8.在已知周长为2P的一切三角形中,求出面积最大的三角形 9.有一块铁片,宽b=24cm,要把它的两边折起做成一个槽,使得容积最大,求每边 的倾角a和折起的宽度x(见下图) §2.条件极值 1.求下列函数在所给条件下的极值: (1)f 若x2+y2=1 (2)∫=x2+y2,若x+y-1=0 (4)∫=-+-,若x+y=2; (5)∫=xz,若x2+y2+z2=1,x+y+z=0 (6)∫=ax2+by2+2hxy,若x2+y2=1 第2页共3页
第 2 页 共 3 页 0 0 0 F x y z ( , , ) 0 = ， 0 0 0 ( , , ) 0. F x y z x 讨论由 F x y z ( , , ) 0 = 确定的隐函数 z f x y = ( , ) 在 0 0 ( , ) x y 去的极值的必要和充分条件. 求由 2 2 2 x y z x y z + + − + − − = 2 2 4 10 0 所确定的 z f x y = ( , ) 的极值. 7． 求下列隐函数的极大值和极小值： (1) 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 3 x y y z z x + + + + + = ； (2) 2 2 2 z xyz x xy + − − − = 9 0. 8． 在已知周长为 2 p 的一切三角形中，求出面积最大的三角形. 9． 有一块铁片，宽 b = 24cm，要把它的两边折起做成一个槽，使得容积最大，求每边 的倾角 和折起的宽度 x (见下图). §2. 条件极值 1． 求下列函数在所给条件下的极值： (1) f x y = + ，若 2 2 x y + =1 ； (2) 2 2 f x y = + ，若 x y + − =1 0 ； (3) f x y z = − + 2 2 ，若 2 2 2 x y z + + =1 ； (4) 1 1 f x y = + ，若 x y + = 2 ； (5) f xyz = ，若 2 2 2 x y z + + =1， x y z + + = 0 ； (6) 2 2 f ax by hxy = + + 2 ，若 2 2 x y + =1 ；
(7)∫=x2+y2+2,若(x2+y2+2)2=a2x2+b2y2+c22,kx+my+n=0 2.求∫=x"y”=”在条件x+y+2=a,a>0,m>0,n>0,p>0 x>0,y>0,二>0之下的最大值 3.求函数2=(x"+y")在条件x+y=l(l>0,n≥1)之下的极值,并证明:当 a≥0,b≥0,n≥1时 +b a"+b 2 4.求表面积一定而体积最大的长方体 5.求体积一定而表面积最小的长方体 6.求圆的外切三角形中面积最小者 7.长为a的铁丝切成两段,一段围成正方形,另一段围成圆。这两段的长各为多少时, 它们所围正方形面积和圆面积之和最小 8.求原点到二平面a1x+by+c12+d1=0,a2x+b2y+c2=+d2=0的交线的最短距 9.求抛物线y=x2和直线x-y=1间的最短距离 10.求x>0,y>0,>0时函数∫(x,y,)=lnx+2lny+3lnz在球面 x2+y2+z2=6r2上的极大值明a,b,c为正实数时 a+b+ ab c 6 1].设函数∫(x,y,L,v),F(x,y,l,v),G(x,y,u,v)二阶可微,雅克比矩阵 FF FF GGGG 秩为2 L(x,y, u, v)=f(x,y, u,v)+1F(,,u, v)+2G(r, y, u, v) 若B(x,y。,4,v)是函数L的稳定点,证明:当d2L(P)>(<)0时,B是函数∫在约 束条件 F(x,y,a,v)=0,G(x,y,u,v)=0 下的条件极小(大)值点 第3页共3页
第 3 页 共 3 页 (7) 2 2 2 f x y z = + + ，若 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) x y z a x b y c z + + = + + ，lx my nz + + = 0 . 2． 求 m n p f x y z = 在条件 x y z a + + = ， a 0 ， m 0 ， n 0 ， p 0 ， x 0, y z 0, 0 之下的最大值. 3． 求函数 1 ( ) 2 n n z x y = + 在条件 x y l l n + = ( 0, 1) 之下的极值，并证明：当 a 0, b n 0, 1 时 2 2 n n n a b a b + + . 4． 求表面积一定而体积最大的长方体. 5． 求体积一定而表面积最小的长方体. 6． 求圆的外切三角形中面积最小者. 7． 长为 a 的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆。这两段的长各为多少时， 它们所围正方形面积和圆面积之和最小. 8． 求原点到二平面 1 1 1 1 a x b y c z d + + + = 0， 2 2 2 2 a x b y c z d + + + = 0 的交线的最短距 离。 9． 求抛物线 2 y x = 和直线 x y − =1 间的最短距离. 10． 求 x y z 0, 0, 0 时函数 f x y z x y z ( , , ) ln 2ln 3ln = + + 在球面 2 2 2 x y z + + 2 = 6r 上的极大值.明 abc , , 为正实数时， 6 2 3 108 6 abc ab c + + . 11． 设函数 f x y u v ( , , , ) ， F x y u v ( , , , ) ，G x y u v ( , , , ) 二阶可微，雅克比矩阵 x y u v x y u v F F F F G G G G 秩为 2. 1 2 L x y u v f x y u v F x y u v G x y u v ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) = + + ， 若 0 0 0 0 0 P x y u v ( , , , ) 是函数 L 的稳定点，证明：当 2 0 d L P( ) ( )0 时， P0 是函数 f 在约 束条件 F x y u v ( , , , ) 0 = ，G x y u v ( , , , ) 0 = 下的条件极小（大）值点