《线性代数》第二章 矩阵及其运算习题

第二章矩阵及其运算 11.求下列矩阵的逆矩阵: coS SIn sing cosB/, (3)34 5-4 5200 120 0004 2100 5) 0083 121 0052 (6) (a1a2…an≠0) 解 1)A =1 25 11 2×(-1),412=2×(-1),A2 41;A 212 5-2 5-2 故A (2)4=1≠0故A存在 Au=cos A2=sin 8 Au2 =-sin 8 Ax=cos cose sin 从而 6 (3)4=2,故A存在 A A1=2 而 13A2=6A A A 14 A 33

1 第二章 矩阵及其运算 11．求下列矩阵的逆矩阵： (1)         2 5 1 2 ； (2)         −     sin cos cos sin ； (3)           − − − 5 4 1 3 4 2 1 2 1 ; (4)               1 2 1 4 2 1 3 0 1 2 0 0 1 0 0 0 ; (5)               0 0 5 2 0 0 8 3 2 1 0 0 5 2 0 0 ; (6)             an a a 0  0 2 1 ( 0) a1 a2an  解 (1)         = 2 5 1 2 A A = 1 A11 = 5, A21 = 2  (−1), A12 = 2  (−1), A22 = 1         − − =        =  2 1 5 2 12 22 11 21 A A A A A −  = A A A 1 1 故         − − = − 2 1 5 2 1 A (2) A = 1  0 故 −1 A 存在 A11 = cos A21 = sin A12 = −sin A22 = cos 从而         − = −     sin cos cos sin 1 A (3) A = 2 , 故 −1 A 存在 A11 = −4 A21 = 2 A31 = 0 而 A12 = −13 A22 = 6 A32 = −1 A13 = −32 A23 = 14 A33 = −2

故 A 167-1 12 (4)A 0031 0 4=24A1=A3=A1=Ax2=A12=A13=0 A,,=24 A,,=12 10 120 A12=(-1)230=-12413=(-1)210=-12 120 100 (-15213=3 A2x=(-1)°2 121 00 00 4 13=-5 7120=-2 1 2 0 故A 8-I.-I乙 000 63 2412 (5)4=1≠0故A存在 而 AAA A21=-2A31=0 2A,=5A2,=0A,=0 0A,,=0A2,=2 A14=0A24=0A34=-544=8

2 故 −  = A A A 1 1           − − − − − = 16 7 1 2 1 3 2 13 2 1 0 (4)               = 1 2 1 4 2 1 3 0 1 2 0 0 1 0 0 0 A A = 24 A21 = A31 = A41 = A32 = A42 = A43 = 0 A11 = 24 A22 = 12 A33 = 8 A44 = 6 12 1 1 4 2 3 0 1 0 0 ( 1) 3 A12 = − = − 12 1 2 4 2 1 0 1 2 0 ( 1) 4 A13 = − = − 3 1 2 1 2 1 3 1 2 0 ( 1) 5 A14 = − = 4 1 2 4 2 1 0 1 0 0 ( 1) 5 A23 = − = − 5 1 2 1 2 1 3 1 0 0 ( 1) 6 A24 = − = − 2 1 2 1 1 2 0 1 0 0 ( 1) 7 A34 = − = − −  = A A A 1 1 故                   − − − − − = − 4 1 12 1 24 5 8 1 0 3 1 6 1 2 1 0 0 2 1 2 1 1 0 0 0 1 A (5) A = 1  0 故 −1 A 存在 而 A11 = 1 A21 = −2 A31 = 0 A41 = 0 A12 = −2 A22 = 5 A32 = 0 A42 = 0 A13 = 0 A23 = 0 A33 = 2 A43 = −3 A14 = 0 A24 = 0 A34 = −5 A44 = 8

从而A=/-250 0 002-3 00-58 1 (6)A 由对角矩阵的性质知x/1 0 2 12.解下列矩阵方程: ;(2)Ⅺ210 12 010(100(1-43 (4)100X001=20-1 00 010 1-20 解 3-54-6(2-23 (1)X 13)(21 12八21 08 1 (2) 210 23-2 3(43 330

3 从而               − − − − = − 0 0 5 8 0 0 2 3 2 5 0 0 1 2 0 0 1 A (6)             = an a a A  0 0 2 1 由对角矩阵的性质知                   = − an a a A 0 1 1 0 1 2 1 1  12．解下列矩阵方程： (1)         − =         2 1 4 6 1 3 2 5 X ; (2)         − =           − − 4 3 2 1 1 3 1 1 1 2 1 0 2 1 1 X ; (3)         − =        −         − 0 1 3 1 1 1 2 0 1 2 1 4 X ; (4)           − − − =                     1 2 0 2 0 1 1 4 3 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 X . 解 (1)         −         = − 2 1 4 6 1 3 2 5 1 X         −         − − = 2 1 4 6 1 2 3 5         − = 0 8 2 23 (2) 1 1 1 1 2 1 0 2 1 1 4 3 2 1 1 3 −           − −         − X =           − − −         − = 3 3 0 2 3 2 1 0 1 4 3 2 1 1 3 3 1         − − − = 3 2 5 3 8 2 2 1

12)(0-1八-11 12(30八12 0 010 (4)X=10020-1001 00 1-20人010 010/1-43Y100)(2-10 100‖20-1‖001|=13 001人1-20人010)(10-2 13.利用逆矩阵解下列线性方程组: x1+2x2+3x3=1, x1-x2-x3=2, (1){2x1+2x2+5x3=2 (2)2x1-x2-3x3=1, 3x1+5x,+x3=3; 3x1+2x2-5x3=0. 解(1)方程组可表示为225|x=2 3 3 故 2252|=0 35 从而有 100 (2)方程组可表示为 123 1-3 0 故 0 5)(0)(3

4 (3) 1 1 1 1 2 0 0 1 3 1 1 2 1 4 − −         −         −         − X =                 −         − = 1 2 1 0 0 1 3 1 1 1 2 4 12 1                 = 1 2 1 0 3 0 6 6 12 1         = 0 4 1 1 1 (4) 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 2 0 2 0 1 1 4 3 0 0 1 1 0 0 0 1 0 − −                     − − −           X =                     − − −           = 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 2 0 2 0 1 1 4 3 0 0 1 1 0 0 0 1 0           − − − = 1 0 2 1 3 4 2 1 0 13．利用逆矩阵解下列线性方程组: (1)      + + = + + = + + = 3 5 3; 2 2 5 2, 2 3 1, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x (2)      + − = − − = − − = 3 2 5 0. 2 3 1, 2, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 解 (1) 方程组可表示为           =                     3 2 1 3 5 1 2 2 5 1 2 3 3 2 1 x x x 故           =                     =           − 0 0 1 3 2 1 3 5 1 2 2 5 1 2 3 1 3 2 1 x x x 从而有      = = = 0 0 1 3 2 1 x x x (2) 方程组可表示为           =                     − − − − − 0 1 2 3 2 5 2 1 3 1 1 1 3 2 1 x x x 故           =                     − − − − − =           − 3 0 5 0 1 2 3 2 5 2 1 3 1 1 1 1 3 2 1 x x x

5 故有 0 3 14.设A=O(k为正整数证明 (E-A)=E+A+A2+…+A 证明方面,E=(E-A)(E-A) 另一方面,由A=O有 E=(E-A)+(4-A2)+A2-…-A-+(4--A) =(E+A+A2+…+A-)(E-A 故(E-)(E-A)=(E+A+A2+…+A)E-A) 两端同时右乘(E-A) 就有(E-A)-=E+A+A2 15.设方阵A满足A2-A-2E=O,证明A及A+2E都可逆并求A 及 (A+2E) 证明由A2-A-2E=O得A2-A=2E 两端同时取行列式:42-4=2 即A4A-E=2故4≠0 所以A可逆而A+2E=A2 A+2E=4 ≠0 故A+2E也可逆 由A2-A-2E=O→A(A-E)=2E →AA(A-E)=2AE→A=(A-E) 2 又由A2-A-2E=O→(A+2E)-3(+2E)=-4E (A+2E)(A-3E)=-4E (A+2E)(A+2E)(-3E)=-4(A+2E) (A+2E)=(3E-A 033 16.设A=110,AB=A+2B,求B. 123

5 故有      = = = 3 0 5 3 2 1 x x x 14．设 A O k = ( k 为正整数),证明 1 2 1 ( ) − − − = + + + + k E A E A A  A . 证明 一方面， ( ) ( ) 1 E = E − A E − A − 另一方面，由 A O k = 有 ( ) ( ) ( ) 2 2 k 1 k 1 k E = E − A + A − A + A − − A + A − A  − − ( )( ) 2 1 E A A A E A k = + + + + −  − 故 ( ) ( ) 1 E − A E − A − ( )( ) 2 1 E A A A E A k = + + + + −  − 两端同时右乘 1 ( ) − E − A 就有 1 2 1 ( ) − − − = + + + + k E A E A A  A 15．设方阵 A 满足 A − A − 2E = O 2 ,证明 A 及 A+ 2E 都可逆,并求 −1 A 及 1 ( 2 ) − A+ E . 证明 由 A − A − 2E = O 2 得 A A 2E 2 − = 两端同时取行列式: 2 2 A − A = 即 A A − E = 2 ,故 A  0 所以 A 可逆,而 2 A+ 2E = A 2 0 2 2 A + E = A = A  故 A+ 2E 也可逆. 由 A − A− 2E = O 2  A(A− E) = 2E A A A E A E 1 1 ( ) 2 − −  − = ( ) 2 1 1  A = A − E − 又由 A − A − 2E = O 2  (A+ 2E)A− 3(A+ 2E) = −4E  (A+ 2E)(A− 3E) = −4E 1 1 ( 2 ) ( 2 )( 3 ) 4( 2 ) − −  A+ E A+ E A− E = − A+ E (3 ) 4 1 ( 2 ) 1  A + E = E − A − 16．设           − = 1 2 3 1 1 0 0 3 3 A , AB = A+ 2B ,求 B

解由AB=A+2B可得(A-2E)B=A 233033 033 故B=(A-2E)A=1-10110|=-123 17.设PAP=A,其中P= 求A. 解PAP=A故A=PAP所以AH=PAP P|=3P 10 10 而A 02 021 4 故4=/-1-4 10 27312732 683-684 19.设n阶矩阵A的伴随矩阵为A°,证明 (1)若4=0,则A=0; 证明 (1)用反证法证明.假设A≠0则有A(4)=E 由此得A=A'(A)=4E(A)=0∴A=0 这与A≠0矛盾,故当A=0时 有A|=0 (2)由于4=A,则A'=4E 取行列式得到44=4 若A≠0则A=4 若A=0由(1)知A=0此时命题也成立 故有A”=|4m

6 解 由 AB = A+ 2B 可得 (A− 2E)B = A 故 B A E A 1 ( 2 ) − = −           −           − − − = − 1 2 3 1 1 0 0 3 3 1 2 1 1 1 0 2 3 3 1           = − 1 1 0 1 2 3 0 3 3 17．设 =  − P AP 1 ,其中         − − = 1 1 1 4 P ,         −  = 0 2 1 0 ,求 11 A . 解 =  − P AP 1 故 −1 A = PP 所以 11 11 −1 A = P P P = 3         − =  1 1 1 4 P         − − = − 1 1 1 4 3 1 1 P 而         − =         −  = 11 11 11 0 2 1 0 0 2 1 0 故             − −         −         − − = 3 1 3 1 3 4 3 1 0 2 1 0 1 1 1 4 11 11 A         − − = 683 684 2731 2732 19．设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵为  A ，证明： (1) 若 A = 0 ,则 = 0  A ; (2)  −1 = n A A . 证明 (1) 用反证法证明．假设  0  A 则有 A A = E   −1 ( ) 由此得 A = AA A = A E A = O   −1  −1 ( ) ( )  A = O  这与  0  A 矛盾，故当 A = 0 时 有 = 0  A (2) 由于 −  = A A A 1 1 , 则 AA = A E  取行列式得到: n A A = A  若 A  0 则  −1 = n A A 若 A = 0 由(1)知 = 0  A 此时命题也成立 故有  −1 = n A A

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