第七章微积分应用 §7.1定积分的几何应用 1.平面图形的面积 定积分的应用,关键是把问题写成「f(x)bx的形式,这时关键是把f(x)dr=dF(x) 的意义搞清楚,这个观点称为微元法。 比如要求以x=a,x=b(a<b),y=f(x),y=g(x)所围图形的面积,其中 ∫(x),g(x)连续,且∫(x)≥g(x)。我们考虑从x到x+dx这个微元,它的面积可看成 个矩形,高近似地取∫(x)-g(x),其面积=(f(x)-g(x)dx=d4(x)。所以所围图形面 积为[(x)-g(x)]x。 如果函数由极坐标给出,我们要求向径=a,6=B(α<B)和函数r=r(0)围成 的面积(如右上图)。考虑从O到O+dO这个微元,它近似地可看成是个扇形,面积微元 d()=r2(0)d0,所以总面积r(d0。 例1求曲线y2=-4(x-1)与y2=-2(x-2)围成的图形面积 解画图如下,恰如“月上柳梢头,人约黄昏后”的一弯新月,切记做这类问题都要 画图,一是便于理解掌握,二是“诗配画”的意境是一个整体,绝不是单单几个公式一个答 案所能涵盖的。 这里把y2=-4x-1)写成x=1(4-y2),y2=-2x-2)写成x=1(4-y),它 们是有两个交点y=±2的两条抛物线。 152
152 第 七 章 微 积 分 应 用 §7.1 定积分的几何应用 1． 平面图形的面积 定积分的应用，关键是把问题写成 ò b a f (x)dx 的形式，这时关键是把 f (x)dx = dF( x) 的意义搞清楚，这个观点称为微元法。 比如要求以 x = a ， x = b (a < b)， y = f (x)， y = g( x) 所围图形的面积，其中 f (x) ，g (x) 连续，且 f (x) ³ g (x)。我们考虑从 x 到 x + dx 这个微元，它的面积可看成一 个矩形，高近似地取 f (x) - g( x) ，其面积 = ( f ( x) - g (x))dx = dA( x) 。所以所围图形面 积为 [ ] ò - b a f (x) g(x) dx 。 α 如果函数由极坐标给出，我们要求向径q = a ，q = b (a < b ) 和函数r = r(q) 围成 的面积（如右上图）。考虑从q 到q + dq 这个微元，它近似地可看成是个扇形，面积微元 dA q r (q )dq 2 1 ( ) 2 = ，所以总面积 ò b a r (q )dq 2 1 2 。 例 1 求曲线 4( 1) 2 y = - x - 与 2( 2) 2 y = - x - 围成的图形面积。 解 画图如下，恰如“月上柳梢头，人约黄昏后”的一弯新月，切记做这类问题都要 画图，一是便于理解掌握，二是“诗配画”的意境是一个整体，绝不是单单几个公式一个答 案所能涵盖的。 这里把 4( 1) 2 y = - x - 写成 (4 ) 4 1 2 x = - y ， 2( 2) 2 y = - x - 写成 (4 ) 2 1 2 x = - y ，它 们是有两个交点 y = ±2 的两条抛物线
S 1 2 (4-y2)-1(4 1(4-y2)-1(4-y2) x=-(4-y2) 例2求双纽线r2=a2co20所围成的图形面积。 解作图如右上。S=4.「a2cos20d0=a 例3求心脏线r=a(1+cos0)(a>0)围成的面积。 ∫=a(1+cos) S=2号a0+cs9)3 =a(1+2 cos0 +cos 0)de 1+cos 20 =a.(1+2 cos0+ )d6 2 n a 由参数方程 =x(t) (a)=x(B) (a≤t≤B), y=y(1) v(a)=1()围成的封闭图形,选点
153 S y y dy ò- úû ù êë é = - - - 2 2 2 2 (4 ) 4 1 (4 ) 2 1 [ ] 3 8 (4 ) 4 1 (4 ) 2 1 2 2 0 2 2 = - - - = ò y y dy 。 (4 ) 2 1 2 x = - y 4 p (4 ) 4 1 2 x = - y 例 2 求双纽线 cos 2q 2 2 r = a 所围成的图形面积。 解 作图如右上。 4 2 0 2 cos2 2 1 S = 4× a d = a ò p q q 。 例3 求心脏线r = a(1+ cosq ) (a > 0) 围成的面积。 f a = + (1 cos ) q ò = × + p q q 0 2 2 (1 cos ) 2 1 S 2 a d ò = + + p q q q 0 2 2 a (1 2 cos cos )d ò + = + + p q q q 0 2 ) 2 1 cos2 a (1 2cos d 2 2 3 = p a 。 由参数方程 ( ) ( ) ( ) a £ £ b î í ì = = t y y t x x t ， î í ì = = ( ) ( ) ( ) ( ) a b a b y y x x 围成的封闭图形，选点 x y 0 2a
(0.0),(x,y),(x+ax,y+dy)围成的三角形作为微元,其面积 +dx y+dy 所以S=x-yk=2xoy(-y(x(o]t y (0,0) 例4求旋轮线 a(t y=a1-co)(0≤t≤2n)与x轴围成的面积 解s=5[x(y(0)-yox(o x(1)=1 y(1)=0 S lx(y(-y(x'(o]dr x=a(t-sin 1) a(1-cost) a2(1-cost)2dt-L a2(t-sin d)sin te n a 2体积,弧长,侧面积 设一物体位于平面x=a和x=b之间(a<b),如果对任何x:a≤x≤b,垂直于x 轴的平面与该物体相交的截面积A(x)为已知,考虑从x到x+ax微元,其体积微元为
154 (0,0) ，( x, y) ，( x + dx, y + dy) 围成的三角形作为微元，其面积 ( ) 2 1 2 1 1 1 0 0 1 2 1 xdy ydx dx dy x y x dx y dy dS x y = = - + + = 。 所以 [ ] ò ò = - = ¢ - ¢ b a b a S xdy ydx x(t) y (t) y(t)x (t) dt 2 1 2 1 。 y (x+△x,y+△y) (x,y) (0,0) x 例 4 求旋轮线 î í ì = - = - (1 cos ) ( sin ) y a t x a t t (0 £ t £ 2p ) 与 x 轴围成的面积。 解 [ ] ò = ¢ - ¢ 2p 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 S x t y t y t x t dt ÷ ÷ ø ö ç ç è æ = = ( ) 0 ( ) y t x t t [ ] ò - ¢ - ¢ 2p 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 x t y t y t x t dt ÷ ÷ ø ö ç ç è æ = - = - (1 cos ) ( sin ) y a t x a t t ò ò = - - - p 2p 0 2 2 0 2 2 ( sin )sin 2 1 (1 cos ) 2 1 a t dt a t t t dt 2 = 3p a 。 2 体积，弧长，侧面积 A(x) a b x 设一物体位于平面 x = a 和 x = b之间(a < b) ，如果对任何 x : a £ x £ b ，垂直于 x 轴的平面与该物体相交的截面积 A( x) 为已知，考虑从 x 到 x + dx 微元，其体积微元为
A(x)ax,故A=4(x)d。 y=f(x) A(x)= 如果有一曲边梯形,沿x轴转360°,得一旋转体,其体积微元πf2(x)dx,故 A=丌f2(x)dx。若该曲边曲线由参数方程 ∫x=x() y=y(1) (a≤【≤β)给出,则 A=Ty(dx(0=T["(x'(dt 考虑一段从(x,y)到(x+ax,y+d)弧长微元,勾股定理给出ds2=dx2+d2故弧长 特别地,曲线由y=f(x)给出时,S≈+f(x)2atx 由参数方程 定义的一段曲线,绕x轴旋转一周所得的旋转体,其表面积 y=y() 微元2丌yds,故表面积P= x(2+y(1)2d 若曲线由y=f(x)定义,则旋转体侧表面积P=2r丁f(x)1+/(x)2d 若曲线由极坐标方程r=r(0)定义,则旋转体侧表面积 155
155 A( x)dx ，故 ò = b a A A(x)dx 。 y=f(x) 2 A(x) = py 如果有一曲边梯形，沿 x 轴转 o 360 ，得一旋转体，其体积微元 f (x)dx 2 p ，故 ò = b a A f (x)dx 2 p 。若该曲边曲线由参数方程 ( ) ( ) ( ) a £ £ b î í ì = = t y y t x x t 给出，则 ò ò = = ¢ b a b a A p y (t)dx(t) p y (t)x (t)dt 2 2 。 y ds dy dx O x 考虑一段从( x, y) 到( x + dx, y + dy) 弧长微元，勾股定理给出 2 2 2 ds = dx + dy 故弧长 ò ò = + = ¢ + ¢ b a b a S dx dy x t y t dt 2 2 2 2 ( ) ( ) 。 特别地，曲线由 y = f (x)给出时， ò = + ¢ b a S f x dx 2 1 ( ) 。 由参数方程 î í ì = = ( ) ( ) y y t x x t 定义的一段曲线，绕 x 轴旋转一周所得的旋转体，其表面积 微元 2p y ds ，故表面积 ò = ¢ + ¢ b a P p y t x t y t dt 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 。 若曲线由 y = f (x)定义，则旋转体侧表面积 ò = + ¢ b a P f x f x dx 2 2p ( ) 1 ( ) 。 若曲线由极坐标方程r = r(q) 定义，则旋转体侧表面积
P=2r[r0)sin 0 r(0)'+r(0)de x=r(e)cos 8 这是因为这时可看成参数方程 ly=r(e)sin e x'(0)2+y(0)2=r(0)2+r(0)2。 例5求两个半径相等,其轴垂直相交的圆柱面x2+y2=a2与x2+z2=a2所围成 的立体的体积 解在八个卦限中立体是对称的,我们只要在第一卦限中体积再乘以8即可。过点 (x,0,0)作垂直于x轴的平面,它于该立体在第一卦限所截图形为一正方形,边长 =a-x2,其面积为P(x)=a2-x2,故体积为S=8a2-x)=16 例6求抛物面2a2=x2+y2与上半球面x2+y2+22=3a2(a>0),z>0所围 成的立体的体积 解两曲面都是绕z轴旋转体,两曲面交线是一个圆。位于z=a平面上,由 x+y-+2-=30 z2+2a=3a2,(z+a)2=(2a)2,z>0
156 ò = + ¢ b a P p r q q r q r q dq 2 2 2 ( )sin ( ) ( ) 。 这是因为这时可看成参数方程 î í ì = = q q q q ( )sin ( )cos y r x r ， 2 2 2 2 x¢(q ) + y¢(q ) = r(q) + r¢(q ) 。 例 5 求两个半径相等，其轴垂直相交的圆柱面 2 2 2 x + y = a 与 2 2 2 x + z = a 所围成 的立体的体积。 z a x a a x y 解 在八个卦限中立体是对称的，我们只要在第一卦限中体积再乘以 8 即可。过点 ( x , 0, 0) 作垂直于 x 轴的平面，它于该立体在第一卦限所截图形为一正方形，边长 2 2 = a - x ，其面积为 2 2 P(x) = a - x ，故体积为 3 0 2 2 3 16 S 8 (a x )dx a a = - = ò 。 例 6 求抛物面 2 2 2az = x + y 与上半球面 2 2 2 2 x + y + z = 3a (a > 0) ， z > 0所围 成的立体的体积。 z a O y x 解 两曲面都是绕z 轴旋转体，两曲面交线是一个圆。位于 z = a 平面上，由 ïî ï í ì + = + + = x y az x y z a 2 3 2 2 2 2 2 2 ， 2 2 z + 2az = 3a ， 2 2 (z + a) = (2a) ， z > 0 得 z = a
I=丌|2aa+r (3a2-z2 n a 63-5)。 =a(t-sin t) 例7求旋轮线 y=al-cosr) (0≤t≤2r)之弧长。 #f x'(t)=a(1-cost), y'(t)=asin t -t dt 1-cost)dt 例B求星形线(铜钱线)1x=a0的弧长 y=asin t 解考虑1:0→,x(t)=-3 a cos t sin t,y(t)=3asn2 t cOS t。 19a2cos'tsin21+9a2sin+ t cost dt 12a 2 costsin tdt =12a 2 sin td sin t 例9求椭圆 0≤t≤2x周长 #f x'( =-asin t, y(o=boost S=4
157 ò ò = + - a a a V azdz a z dz 3 2 2 0 p 2 p (3 ) (6 3 5) 3 3 = - p a 。 例 7 求旋轮线 î í ì = - = - (1 cos ) ( sin ) y a t x a t t (0 £ t £ 2p ) 之弧长。 解 x¢(t) = a(1 - cost) ， y¢(t) = a sin t ， ò = - + 2p 0 2 2 2 2 S a (1 cost) a sin t dt ò = - 2p 0 a 2(1 cost) dt dt a t a 8 2 2 sin 2 0 = = ò p 。 例8 求星形线（铜钱线） ïî ï í ì = = y a t x a t 3 3 sin cos 的弧长。 y O a x 解 考虑 2 :0 p t ® ， x (t) 3a cos t sin t 2 ¢ = - ， y (t) 3asin t cost 2 ¢ = 。 ò = 2 + 0 2 4 2 2 4 2 4 9 cos sin 9 sin cos p S a t t a t t dt ò = 2 0 12 cos sin p a t tdt ò = 2 0 12 sin sin p a t d t 6asin t 2 6a 0 2 = = p 。 例9 求椭圆 î í ì = = y b t x a t sin cos 0 £ t £ 2p 周长。 解 x¢(t) = -a sin t ， y¢(t) = b cost ， ò = 2 + 0 2 2 2 2 4 sin cos p S a t b t dt
4a vi-2 cost dt 其中g=1a2-b2是椭圆的离心率,它是“椭圆积分”,不能用初等方法积出来。考虑 f(0)="-2cos2dh,其反函数称为“椭圆函数”,在数论中具有基本的重要性 椭圆的面积:x= a cos t,y= bsin t 例0求旋轮线{x=(迎 (0≤1≤2丌)绕x轴旋转所得旋轮体的侧表面积 y=a(1-cost) 解d=2asin2dt, P=2ra(1-c0s)·2 4ra2(I-cost)sin =dt 87a dt 16 ∫(1-cos2n) d cosu 16ra (cos u-) u) 例11求旋转椭圆体的表面积 解设椭圆体是由二+ ab31(a>b)绕x轴旋转而得,这时 b2 b b2,b1 及 y√1+y2=√y2+(y)2 158
158 ò - = - 2 0 2 2 2 2 4 1 cos p t dt a a b a ò = 2 - 0 2 2 4 1 cos p a e t dt 。 其中 1 2 2 a b a e = - 是椭圆的离心率，它是“椭圆积分”，不能用初等方法积出来。考虑 ò = - q q e 0 2 2 f ( ) 1 cos t dt ，其反函数称为“椭圆函数”，在数论中具有基本的重要性。 椭圆的面积： x = acost ， y = b sin t ， t t dt ab ab S xdy ydx p p p = - = + = ò ò 2 0 2 2 2 0 (cos sin ) 2 2 1 。 例10 求旋轮线 î í ì = - = - (1 cos ) ( sin ) y a t x a t t (0 £ t £ 2p ) 绕 x 轴旋转所得旋轮体的侧表面积 解 dt t ds a 2 = 2 sin ， ò = - × p p 2 0 2 2 (1 cos ) 2 sin dt t P a t a ò = - p p 2 0 2 2 4 (1 cos )sin dt t a t ò = p p 2 0 2 3 2 8 sin dt t a ò = p p 0 2 3 16 a sin udu ò = - - p p 0 2 2 16 a (1 cos u)d cosu 2 0 3 3 2 1 3 64 16pa (cosu cos u) pa p = - - = 。 例 11 求旋转椭圆体的表面积。 解 设椭圆体是由 1 2 2 2 2 + = b y a x (a > b) 绕 x 轴旋转而得，这时 2 2 2 2 2 x a b y = b - ， x a b yy 2 2 ¢ = - 及 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) x a b x a b y + y¢ = y + yy ¢ = b - +
b 其中=Na2-b2 为椭圆的离心率 P=2r2°√a2-82x2dt 4r va2-e2x dx 4 arcsin 2rb(b+-arcsin 8) E 如果此椭圆绕y轴旋转,则 P x x2 dx b 2 b b 2-b2 n b a2-b2 2丌aa In a2-b §7.2定积分的物理应用 1.曲率 设计铁路转弯时,里外两轨要有一定高度差,这由设计车速和曲率来决定,所以计算 曲线曲率是很重要的一件工作 令a表示曲线斜率正切对应的角度,S表弧长,则曲率定义为k=|hm△a/ X=X 如果曲线由参数方程 由lg () a =arcing y=y() x() 159
159 2 2 2 2 2 2 2 2 a x a b x a a b a a b = - e - = - 。 其中 a a b 2 2 - e = 为椭圆的离心率。 ò- = - a a a x dx a b P 2 2 2 2p e ò = - a a x dx a b 0 2 2 2 4p e a a a x x a x a b 0 arcsin ) 2 2 1 4 ( 2 2 2 2 e e = p - e + 2 ( arcsin e ) e p a = b b + 。 如果此椭圆绕 y 轴旋转，则 ò- = + ¢ b b P x x dx 2 1 2p 1 ò- - = + b b x dx a a b b b a 2 2 2 2 2 2p b x b a b x b a b x b a b x b a b a b b b a 0 ln 1 2 1 2 4 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 3 ú ú û ù + - + - + ê ê ë é + - - - = p ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - + - = + b a b a a b b a a 2 2 2 2 2 2p ln 。 §7.2 定积分的物理应用 1．曲率 设计铁路转弯时，里外两轨要有一定高度差，这由设计车速和曲率来决定，所以计算 曲线曲率是很重要的一件工作。 令a 表示曲线斜率正切对应的角度， s 表弧长，则曲率定义为 s k s D D = D ® a 0 lim 。 如果曲线由参数方程 î í ì = = ( ) ( ) y y t x x t 给出， dt ds dt d k a = ，由 ( ) ( ) x t y t tg ¢ ¢ a = ， ( ) ( ) x t y t arctg ¢ ¢ a =
及 dt k 山凼山 如果曲线由y=(x)给出,则k=-① 如果曲线由极坐标厂=r(0)给出,则k=2+2r2 率的倒数,R=k,称为曲线在该点的曲率半径,过该点与曲线有相同一阶,二阶 导数的圆周C称为曲率圆。 2质心(重心) 平面简单曲线 y=y((asx≤B),如果其上定义一个线密度p(),则曲线r 的质量公式M=(yx(03+y(odh 曲线r对y轴和x轴的静力矩是 ()x()yx()2+y()2dt ∫po)y(x(+y(n3t F的质心 xMM(n)x(x()2+y(0)2d, y=M =MP(y(Vx(+yode 特别地,当曲线质量是均匀分布的,不妨设p(1)=1,则
160 及 2 2 x (t) y (t) dt ds = ¢ + ¢ ，得 2 3 ( ) 1 ' 2 2 2 2 2 x y x y x y x y x y x y dt ds dt d k ¢ + ¢ ¢ ¢¢ - ¢¢ ¢ = ¢ + ¢ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ÷ ø ö ç è æ ¢ ¢ + ÷ ø ö ç è æ ¢ ¢ = = a 。 如果曲线由 y = f (x)给出，则 2 3 2 (1 y ) y k + ¢ ¢¢ = 。 如果曲线由极坐标r = r(q) 给出，则 2 3 2 2 2 2 ( ) 2 r r r r rr k + ¢ + ¢ - ¢¢ = 。 曲率的倒数， k R 1 = ，称为曲线在该点的曲率半径，过该点与曲线有相同一阶，二阶 导数的圆周C 称为曲率圆。 R M 2 质心（重心） 平面简单曲线 î í ì = = ( ) ( ) y y t x x t (a £ x £ b ) ，如果其上定义一个线密度 r(t) ，则曲线G 的质量公式 ò = ¢ + ¢ b a M r t x t y t dt 2 2 ( ) ( ) ( ) 。 曲线G 对 y 轴和 x 轴的静力矩是 ò = ¢ + ¢ b a M r t x t x t y t dt y 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ， ò = ¢ + ¢ b a M r t y t x t y t dt x 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 。 G 的质心 ò = = ¢ + ¢ b a r t x t x t y t dt M M M x y 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ， ò = = ¢ + ¢ b a r t y t x t y t dt M M M y x 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 。 特别地，当曲线质量是均匀分布的，不妨设 r (t) = 1，则
xd,y=打 由最后一式可得 2t yI=2T L yds 古鲁金定理平面曲线绕此平面上不与其相交的轴旋转一周,生成的旋转体侧面积等 于此曲线的质心绕同一轴旋转所产生的圆周长乘以该曲线的弧长 =f(x) 例:求x2+(y-a)2=R2(a>R)绕x轴转动所成圆环侧面积 S=2ma·2nR=4丌2aR 现考虑平面图形的质心 质量微元 d=ff(x-g(xld 关于y轴的静力矩微元 dM=xf(x)-g(x)]d 关于x轴的静力矩微元 dM, =lf(x)+(x)I[f(x)-g(x)]du 2(x)-g"(x)dr 所以平面图形质心的坐标为: xf(x)-g(x)ldx ff(x)-g(xld x[∫2(x)-82(x)k 1(x)-g(x) 由上式,我们得2兀y(x)-8(x)=xJU(x)-g2(x)d,即2xyS=。 其中S是平面图形的面积,V是该平面图形绕x轴旋转所得立体的体积
161 ò = l xds l x 0 1 ， ò = l yds l y 0 1 。 由最后一式可得 ò = l yl yds 0 2p 2p 。 古鲁金定理 平面曲线绕此平面上不与其相交的轴旋转一周，生成的旋转体侧面积等 于此曲线的质心绕同一轴旋转所产生的圆周长乘以该曲线的弧长。 y y=f(x) y=g(x) O x x+dx x 例：求 ( ) ( ) 2 2 2 x + y - a = R a > R 绕 x 轴转动所成圆环侧面积。 S a R aR 2 = 2p × 2p = 4p 现考虑平面图形的质心。 质量微元 dM = [ f ( x) - g( x)]dx， 关于 y 轴的静力矩微元 dM x f x g x dx y = [ ( ) - ( )] ， 关于 x 轴的静力矩微元 dM f x g x f x g x dx x [ ( ) ( )][ ( ) ( )] 2 1 = + - [ f (x) g (x)]dx 2 2 2 1 = - 。 所以平面图形质心的坐标为： ò ò - - = = b a b y a f x g x dx x f x g x dx M M x [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] ； ò ò - - = = b a b a x f x g x dx x f x g x dx M M y [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] 2 1 2 2 由上式，我们得 ò ò - = - b a b a 2 y [ f (x) g(x)]dx [ f (x) g (x)]dx 2 2 p p ，即2p y × S =V 。 其中 S 是平面图形的面积，V 是该平面图形绕 x 轴旋转所得立体的体积