第八章曲线积分和曲面积分 我们前面已学过定积分和重积分,当一个函数定义在空间的曲线或曲面时,则要求我们 计算曲线积分或曲面积分。由于物理背景的不同,我们还须区别曲线或曲面的方向性,因此 我们要分别研究两种不同类型的积分 S1第一型曲线积分与曲面积分 1.第一型曲线积分 我们研究如下的一个理想问题,给定空间的一条曲线物体L,L上每点有线密度,现在 我们要求它的质量。 我们对此问题作如下限制,设L是空间的可求长曲线,端点为A和B,密度函数 f∫(xw,z)在L上定义。为了求质量,象定积分一样,我们对L作一分割 A=A,4,…,A=B(4,j=1,2,…,n,在L上),这样我们就将L分成n小段,设每段的 长度为囗s。在每段弧长上任取一点(51,n,5),作和式 以此作为L质量的近似值。最后我们令=max口s,}→0,即可得到L质量的精确值M, M=lim∑f(5,n51知s 由此我们可得到以下定义 定义设L是空间可求长曲线,fxy,z)在L上连续,L的两个端点为AB,依次用分 点A=A0,A1;…,A=B将L分成n小段。每小段弧及弧长均记为囗s,在口S上任取一点 P=(5,y,5),作和式 f(, ns,p 如果当=max{s}→>0时,上述和式的极限存在,且不依赖于L的分法及P的选取, 则称这一极限值为f(y)在L上的第一型曲线积分,记作fy 第一型曲线积分也有类似于定积分的一些性质,如关于被积函数的线性及关于曲线的可
第八章 曲线积分和曲面积分 我们前面已学过定积分和重积分，当一个函数定义在空间的曲线或曲面时，则要求我们 计算曲线积分或曲面积分。由于物理背景的不同，我们还须区别曲线或曲面的方向性，因此 我们要分别研究两种不同类型的积分。 §1 第一型曲线积分与曲面积分 １． 第一型曲线积分 我们研究如下的一个理想问题，给定空间的一条曲线物体 L，L 上每点有线密度，现在 我们要求它的质量。 我们对此问题作如下限制，设 L 是空间的可求长曲线，端点为 A 和 B，密度函数 fxyz (,,) 在 L 上定义 。 为了求质量 ， 象定积分一样， 我们对 L 作一分割 ， 0 1 , , , ,( , 1,2, , , ) A A= A L L An j = = B A j n L 在 上 ，这样我们就将 L 分成 n 小段，设每段的 长度为 j Vs 。在每段弧长上任取一点 xhV （ jjj , , ），作和式 , 1 ( , ) n j j j j j f s x h V = å V 以此作为 L 质量的近似值。最后我们令 1 max{}0 j j n l s £ £ = ® V ，即可得到 L 质量的精确值 M， 即 , 0 1 lim ( , ) n j j j j j M f s l x h V ® = = å V 由此我们可得到以下定义 定义 设 L 是空间可求长曲线， fxyz (,,) 在 L 上连续，L 的两个端点为 A,B，依次用分 点 0 1 ,,, A A= = A L A B n 将 L 分成 n 小段。每小段弧及弧长均记为 j Vs ，在 j Vs 上任取一点 (,,) Pj jjj = xhV ，作和式 , 1 ( , ) n j j j j j f s x h V = å V 如果当 1 max{}0 j j n l s £ £ = ® V 时，上述和式的极限存在，且不依赖于 L 的分法及 Pj 的选取， 则称这一极限值为 fxyz (,,) 。在 L 上的第一型曲线积分，记作 (,,) L fxyz ds ò 。 第一型曲线积分也有类似于定积分的一些性质，如关于被积函数的线性及关于曲线的可
加性,它与定积分的一个差别是第一型曲线积分与曲线的方向无关。希望读者能注意到这 点 关于第一型曲线积分,我们有以下定理。称一条曲线L:x=x(m),y=y(1),z=2(1), (a≤t≤b)是光滑的,如果x(0,y(1),z(1)∈Ca,b],且对t∈[a,b] x2(t)+y2(t)+z2()≠0 X= 定理1设L:{y=y(),(a≤1≤b),光滑曲线,函数∫(xy,)在L上连续,则 z=z(1) ∫/p)=(x0,y(0,)F=(0+y(0)+=( 证:由弧长公式,我们有 ()=.y=0+y2(0+2(0d 有S()=y√x2(1)+y2()+2(1)>0,从而)是[ab]上严格递增的连续函数,且记 l=s(b),则s(1)将[a,b]一一地映成[0,,s=s(1)存在反函数t=l(s)。令x=x((s) y=y((s),从而得到以弧长为参数的曲线L的方程,因此对L的任一分割得到的和式 ∑∫(5,n5S=∑f(x(3)y((3,=(5)s 由于右边是连续函数f(x(1(s),y(1(s)2(1(s))在[0,4上的 Riemann和,从而当 λ=max口s,}→0时,右边趋向它在[O.上的定积分,从而有 对上式右端作积分变量替换s=s(1),即得 「/p)=f(x1)y0.0)yx=0+y2(0+=(0t 例1计算第一性曲线积分I +y ds, L: x+y=ax o 解:曲线的参数方程:x=2+ -coSt,y= -sint,(0≤7≤2x)。因
加性，它与定积分的一个差别是第一型曲线积分与曲线的方向无关。希望读者能注意到这一 点。 关于第一型曲线积分，我们有以下定理。称一条曲线 L： x === x(t), y y(t),z z t( ) ， ( ) atb £ £ 是光滑的，如果 (1) x( )t , y(t),z(t) ÎC [,] a b ，且对t Î[,] a b ， 222 x¢¢¢ (t) ++¹ y (t) z t( ) 0 定理 1 设 L： ( ) ( ) ( ) x x t y y t z z t ì = ï í = ï î = ，( ) atb £ £ ，光滑曲线，函数 fxyz (,,) 在 L 上连续，则 222 (,, ) ( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ) ( ) b L a fxyz ds = f x t y t z t x¢¢¢ t + + y t z t dt ò ò 证：由弧长公式，我们有 222 ( ) ( ) ( ) ( ) t a s t = x¢¢¢ t + + y t z t dt ò 有 222 S¢(t) = x¢¢¢ (t) ++> y (t) z t( ) 0 ，从而 s t( ) 是[,] a b 上严格递增的连续函数，且记 l = s b( ) ，则 s t( ) 将[,] a b 一一地映成[0, ]l ， s = s t( ) 存在反函数t = t s( ) 。令 x = xts ( ( )) ， y = yts ( ( )) ，从而得到以弧长为参数的曲线 L 的方程，因此对 L 的任一分割得到的和式 , 1 1 ( , ) ( ( ( ), ( ( ), ( ( ))) n n j j j j j j j j j j f x h V s f x t s y t s z t s s = = å å V V = 由于右边是连续函数 f ((( x t s)), y t( (s)),zts ( ( ))) 在 [0, ]l 上 的 Riemann 和 ， 从而当 1 max{}0 j j n l s £ £ = ® V 时，右边趋向它在[0, ]l 上的定积分，从而有 0 (,, ) ((( )), ( ( )), ( ( ))) l L fxyz ds fxt s y t s z t s ds ò ò 对上式右端作积分变量替换 s = s t( ) ，即得 222 (,, ) ( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ) ( ) b L a fxyz ds = f x t y t z t x¢¢¢ t + + y t z t dt ò ò 例1 计算第一性曲线积分 2 2 L I = + x y ds ò ，L： 2 2 x y + = ax 。 解 ： 曲线的参数方程 ： cos 2 2 a a x t = + ， sin 2 a y t = ， (0 £ £t 2 ) p 。 因
ds=(sin32+(cos)dt=-dt,所以 x2+0.ra a(1+ cost Icos-Wt=2a cos tdt=2a 例2设L为球面x2+y2+z2=a2与平面x+y+z=0的交线,试求 I=「x2ds 解法1先求L的参数方程,为此考虑正交变换 x+y 在坐标系On中L的参数方程为5= acos t,n=asin,s=0,(0≤1≤27),所以在坐标系 O中L的参数方程为: x=- cost cosI+rSnt,二= sint,(0≤t≤2r),应用公式 得 ×asmn)amh=xd。 解法2由对称性知 「x=Jyd=」=d 所以 a ds=2ra==ra2。 2.第一型曲面积分 为了定义第一型曲面积分,我们首先要解决曲面的面积问题。回忆一下,在求曲线长度 时,我们是用曲线的内接折线或外接折线的长度来逼近曲线的长度的。对于空间的曲面,我 们现在能够直接计算的只有平面图形的面积,因此我们希望用多面形的面积来逼近曲面的面
2 2 ( sin ) ( cos ) 2 2 2 a a a ds t = + = t dt dt ，所以 2 2 2 0 2 2 2 2 2 0 0 (1 cos ) 2 2 |cos | 2 cos 2 2 2 L a a t I x y ds dt a t dt a tdt a p p p + = + = = = = ò ò ò ò 例2 设 L 为球面 2222 xyza ++= 与平面 xyz ++= 0 的交线，试求 2 L I = x ds ò 解法 1 先求 L 的参数方程，为此考虑正交变换 1 ( ) 2 1 ( 2 ) 6 1 ( ) 3 x y x y z xyz x h V ì = - ï ï ï í = + - ï ï ï = + + î 在坐标系OxhV 中 L 的参数方程为x h = = a cost, a sin t t ,V p = 0,(0 £ £ 2 ) ，所以在坐标系 Oxyz 中 L 的参数方程为： 2 cos sin , cos sin , sin 2 6 2 6 6 a a a a a x t = + t y = - t + t z t = - ，(0 £ £t 2 ) p ，应用公式 得 2 2 3 0 2 ( cos sin ) 2 6 3 a a I t t adt a p =+= p ò 。 解法 2 由对称性知 222 LLL x ds = = y ds z ds òòò 所以 2 2 1 2 2 2 2 2 ( ) 2 3 L L 333 a a I = x y + + z ds === ds p p a a ò ò g 。 2． 第一型曲面积分 为了定义第一型曲面积分，我们首先要解决曲面的面积问题。回忆一下，在求曲线长度 时，我们是用曲线的内接折线或外接折线的长度来逼近曲线的长度的。对于空间的曲面，我 们现在能够直接计算的只有平面图形的面积，因此我们希望用多面形的面积来逼近曲面的面
积 一个最自然的方法是用曲面的内接多面形的面积逼近曲面的面积。遗憾的是这种方法是 行不通的。 Schwarz曾对圆柱面这一简单曲面作过研究,他证明了圆柱面的内接三角形面积 和的极限依赖于三角形高与低的比例。若我们选取的小三角形与圆柱切面几乎垂直时,则三 角形面积和可以趋于无穷。因此,我们不能用这种方法来逼近曲面的面积 仔细分析以上的例子,我们发现出现这种情况的主要问题是构造的平面与切平面的角度 不保持一致。这也启发我们用小块切平面来近似曲面的面积。这时曲面与近似的平面保持方 向一致。因此分割很细时,它们的面积和将近似于曲面的面积 我们先来求光滑曲面S (x,y)∈D 的面积。这里我们对此曲面作如下假定:D是又光滑函数曲线围成的区域,fx,,在D连 续。由此,我们知道曲面每一点的切平面都存在 任给曲面一个分割,我们相应地得到D的一个分割。反之亦然。因此,我们从D的一 个分割着手。设D有一个分割口D(=1,2…m)。这样我们得到S的一个分割 口S(i=1,2…n)。为了近似地求出口S的面积,我们在囗S任取一点(,,f(21),作 曲面过该点的切平面,去切平面与囗S具有相同的投影区域的部分为G,。因此我们得到了 曲面S的一个近似面积 由于曲面在P(5,1,(1,n)处的法向为 ((5,),,(5,)-1) 从而S在P处的方向余弦( cosa,cos B,cosy)中的cosy满足 cosy= ∫(5,)+∫(5,7 因此S的面积可以近似地表示成连续函数F(x,y)=√+f2(x,y)+f2(x,y)在区域D内 的 Riemann和。由假定,当λ=max{D,的直径}→>0时,我们有 S=im∑F(,nnD ∫√h+f:(x,y)+f(x x, y)dxdy
积。 一个最自然的方法是用曲面的内接多面形的面积逼近曲面的面积。遗憾的是这种方法是 行不通的。Schwarz 曾对圆柱面这一简单曲面作过研究，他证明了圆柱面的内接三角形面积 和的极限依赖于三角形高与低的比例。若我们选取的小三角形与圆柱切面几乎垂直时，则三 角形面积和可以趋于无穷。因此，我们不能用这种方法来逼近曲面的面积。 仔细分析以上的例子，我们发现出现这种情况的主要问题是构造的平面与切平面的角度 不保持一致。这也启发我们用小块切平面来近似曲面的面积。这时曲面与近似的平面保持方 向一致。因此分割很细时，它们的面积和将近似于曲面的面积。 我们先来求光滑曲面 S： z = fxy ( , ) (,) x y D Î 的面积。这里我们对此曲面作如下假定： D 是又光滑函数曲线围成的区域， , x y f f 在 D 连 续。由此，我们知道曲面每一点的切平面都存在。 任给曲面一个分割，我们相应地得到 D 的一个分割。反之亦然。因此，我们从 D 的一 个分割着手 。 设 D 有一个分割 ( 1,2 ) Di V L i n = 。 这样我们得到 Ｓ 的一个分割 ( 1,2 ) Si V L i n = 。为了近似地求出 VSi 的面积，我们在 VSi 任取一点(,,(, )) i i i i x h f x h ，作 曲面过该点的切平面，去切平面与VSi 具有相同的投影区域的部分为Vsi 。因此我们得到了 曲面Ｓ的一个近似面积 1 n i i S s = »åV 由于曲面在 (,,(, )) P f j j j j j x h x h 处的法向为 ((, ), ( , ), 1) x j j yjj ± - f f x h x h 从而 S 在Pj 处的方向余弦(cosabg ,cos ,cos ) 中的cosg 满足 2 2 1 |cos | 1 ( , ) (,) x j j yjj f f g x h x h = + + 因此Ｓ的面积可以近似地表示成连续函数 2 2 ( , ) 1 ( , ) ( , ) F x x y y = + + f x y f x y 在区域Ｄ内 的 Riemann 和。由假定，当 1 max j n l £ £ = ｛ Dj 的直径｝® 0 时，我们有 0 1 2 2 lim (,) 1 ( , ) ( , ) n i i i i x y D S F D f x y f x y dxdy l x h ® = = = + + å òò V
这样我们就得到了曲面S的面积计算公式。从微元法的观点,我们有以下的面积微元表达式 =n dxdy coSy 前一表达式我们从以上推导得到,后一表达式我们可以这样来理解,任取曲面一点 f(,,二),作以平面x=x0及y=y与曲面的交得到两条曲线,这两条曲线在f的切方 向为=(1,0,Jx)及2=(10,J,),它们张成的小平行四边形的面积即为 ×万d=1+f2+2 利用这种思路,我们可以用微元法求一般参数方程所确定的曲面的面积 设空间曲面S方程为: x=x(u, v),y=y(u, v),2=(u,v), U,vED 其中D是有界闭区域。函数x,y,二在D具有连续偏导,且 Jacobi矩阵 u ouou ax 在D的每一点的秩为2。因此我们推出曲面每点都存在两个线性无关的切向量 从而该点的法向量 万=/(y,2)(=,x)x,y) (a(u,n)2(u,y)(u,) i j k ay ac =±(元×)≠0 现记 A (y,2)n_O(,x)_( a(2v)
这样我们就得到了曲面Ｓ的面积计算公式。从微元法的观点，我们有以下的面积微元表达式， | | |cos | dxdy ds n dxdy g = = r 前一表达式我们从以上推导得到，后一表达式我们可以这样来理解，任取曲面一点 0000 Pxyz (,,) ,作以平面 0 x x = 及 0 y y = 与曲面的交得到两条曲线，这两条曲线在P0 的切方 向为 1 (1,0, )x r f = r 及 2 (1,0, )y r f = r ，它们张成的小平行四边形的面积即为 2 2 1 2 | | 1 x y r r ´ dxdy =++ f f dxdy r r 利用这种思路，我们可以用微元法求一般参数方程所确定的曲面的面积。 设空间曲面Ｓ方程为： x = = x u( ,v y ), y u( ,v z ), = Î z u( , v), (,) u v D 其中 D 是有界闭区域。函数 xyz , , 在 D 具有连续偏导，且 Jacobi 矩阵 xyz uuu xyz vvv æ ö ¶¶¶ ç ÷ ¶¶¶ ç ÷ ¶¶¶ ç ÷ è ø ¶¶¶ 在 D 的每一点的秩为２。因此我们推出曲面每点都存在两个线性无关的切向量 ( ) ( ) u v xyz r uuu xyz r vvv ¶¶¶ = ¶¶¶ ¶¶¶ = ¶¶¶ r r 从而该点的法向量 ( , ) ( , ) (,) , , ( , ) ( , ) (,) ( u v ) 0 y z z x x y n u v u v u v i j k xyz uuu xyz vvv r r æ ö ¶¶¶ = ± ç ÷ è ø ¶¶¶ ¶¶¶ = ± ¶¶¶ ¶¶¶ ¶¶¶ = ±´¹ r r r r r r 现记 ( , ) ( , ) (,) , , ( , ) ( , ) (,) y z z x x y ABC u v u v u v ¶¶¶ === ¶¶¶
我们有 (A, B, C) 由前面关于曲面=f(x,y)的面积的讨论,我们推知,现在的曲面的面积微元为 ds=√f2+B2+Camh 若我们令 E x+122 rux, tyy 则A2+B2+C2=EG-F2 从而我们有 ∫√+B2 √EG-F2dhuh 有了以上准备,我们可以给出第一型曲面积分的定义 定义设S是可求面积的连续曲面,f(xyz)在S上有定义,对S作分割囗S12…S (DS2的面积仍记为囗S)。记λ=max{S的直径},在S上任取一点M1=(1,n,s;)。 如果存在不依赖于分划及M,的选取的极限 =lim∑(5ns,)S 则称为∫(xy,z)在S上的第一型曲面积分,记作 I=‖f(xy,=)ds 以下的定理给出了第一型曲面积分的计算公式 定理设S是光滑曲面,其参数方程为 x=x(u,v),y=y(u, v)===(u,v), u,vED 再设fxy,)在S上连续,则积分(xy,=)ds存在,且
我们有 n = ±(,,) ABC r 由前面关于曲面 z = fxy ( , ) 的面积的讨论，我们推知，现在的曲面的面积微元为 222 ds = A B+ +C dudv 若我们令 222 222 uuu vvv u v u v u v E xyz G xyz F x x y y z z =++ ¢¢¢ =++ ¢¢¢ =++ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ （＊） 则 2 2 2 2 ABC ++=- EG F 从而我们有 222 2 D D S A B C dudv EG F dudv = + + = - òò òò 有了以上准备，我们可以给出第一型曲面积分的定义。 定义 设 S 是可求面积的连续曲面， fxyz (,,) 在 S 上有定义，对Ｓ作分割 1 , , VS S L V n （VSi 的面积仍记为VSi ）。记 1 max i n l £ £ = ｛ Si 的直径｝，在VSi 上任取一点 (,,) Mi iii = xhV 。 如果存在不依赖于分划及 Mi 的选取的极限 , 0 1 lim ( , ) n i i i i i IfS l x h V ® = = å V 则称 I 为 fxyz (,,) 在 S 上的第一型曲面积分，记作 (,,) S I = fxyz ds òò 以下的定理给出了第一型曲面积分的计算公式。 定理 设 S 是光滑曲面，其参数方程为 x = = x u( ,v y ), y u( ,v z ), = Î z u( , v), (,) u v D 再设 fxyz (,,) 在 S 上连续，则积分 (,,) S fxyz ds òò 存在，且
∫yxy:)=』/k(,1)1(uh 其中A,B,C见() 定理的证明可以由定义得到。略 例1.计算x2+y2+2=R2被x2+y2≤Rx所截出的曲面面积。 解:对球面方程求偏导得 a x az ax)(oy)√R2-x2-y2 设所求面积为S,则有 R S " 2R|2d0 IR2 2R 2(R-RIsine Dde x-1)R2 例2.计算曲面积分 其中S:x2+y2+z2=a2。 解法一由对称性,容易看出 ∫rx4s=jyds=」ds 所以 =(x2+y2+)d==d 解法二S的参数式为 x=acos e sin, y= asine sin ==acos p D={(q):0≤6≤2丌,0≤q≤丌} E=a' sin F=0,G=a
(,, ) [(, ),(, ),(, )] S D fxyz ds = fxu v y u v zuv dudv òò òò 其中 ABC , , 见（＊）。 定理的证明可以由定义得到。略。 例１． 计算 2 2 2 2 xyzR ++= 被 2 2 x y + £ Rx 所截出的曲面面积。 解：对球面方程求偏导得 z x x z ¶ = - ¶ ， z y y z ¶ = - ¶ 2 2 222 1 z z R x y Rxy æ ö ¶ ¶ æ ö ++= ç ÷ ç ÷ è ø ¶ ¶è ø - - 设所求面积为 S，则有 2 2 222 cos 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 ( |sin |) 4( 1) 2 x y Rx R R S dxdy Rxy rdr R d R r R R R d R p q p p p q q q p + £ - - = - - = - = - = - òò ò ò ò 例２． 计算曲面积分 2 S I = z dS òò 其中 S： 2222 xyza ++= 。 解法一 由对称性，容易看出 222 SSS x dS = = y dS z dS òò òò òò 所以 2 2 2 2 4 4 ( ) 3 3 S S a I = x y + + z dS == = dS a p òò ò 解法二 S 的参数式为 cos sin , sin sin , cos {( , ) : 0 2 , 0 } x a y a z a D q j q j j q j q p j p === = £ £ £ £ 因 2 2 2 E = a sin j, F = = 0, G a
所以 f do=asing 4 1= de a cos (la sinodo 3?y 例3.计算曲面积分 其中S是曲面x2+y2+z2=a2被平面z=h(0R),所 以A点的单层位势为: W(0,0,a)= S的参数方程为 x=rcosesin y= Rsine sin -=Rcos op D={(0,):0≤0≤2,0≤q≤r},dS=R2 singed0dq 所以
所以 2 2 dS = EG - = F dq dj a sinjqj d d ， 2 2 2 2 4 0 0 4 cos sin 3 I d a a d a p p = = q j j j p ò ò g 例３． 计算曲面积分 1 S I dS z = òò 其中 S 是曲面 2222 xyza ++= 被平面 z h = （0 ），所 以 A 点的单层位势为： 2 2 2 (0,0, ) S ( ) dS W a x y z a r = ++- òò S 的参数方程为 2 cos sin , sin sin , cos {( , ) : 0 2 , 0 }, sin x R y R z R D dS R d d q j q j j q j q p j p jqj === = £ £ £ £ = 所以
W(,0,a)=pR2 R2-2 Ra coso+a 2np812.R-2a9+ 2丌pR 4T Rp,0R 结果表明:在均匀球层里面,它的位势为一常数:在球层外面,相当于把球层的全部质 量集中于球心时所产生的位势一样 求球层时A(0,0,a)点的引力,由对称性知F=F,=0, 0R 结果表明:在球层里面的单位质量,都不受球层的任何引力;在球层外面的单位质量, 相当于把球层的质量集中到球心时所受到的引力一样 §2第二型曲线积分和曲面积分 1.第二型曲线积分 我们观察以下的物理问题。设空间一质点在变力F(x,y,z)的作用下沿光滑曲线L从点 A运动到了点B。现在要求我们计算F(x,y,2)所做的功W 我们知道常力F作用质点沿力的方向从A移到B时的功为W=FLAB。现在的问题是 变力F(x,y,z)的大小及方向都在变化。为此我们使用积分中的惯用方法。 从A到B给曲线L一个划分: A=M. M 其中M=(x,y2,)∈L,HM的弧长记为S,并记=maxS}。在显M,上任取 (51,n,s;)。当λ很小,并且F(xy,)性质很好时,我们可以将9HM1近似的看成 M,M1,而将F(x,y,2)在显M1上近似地看作F(5,,5)。由此我们得到W的一个近 似值
2 2 0 0 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 0 2 2 sin (0,0, ) 2 cos 1 ( 2 cos ) 2 2 2 cos 2 2 cos 4 , 0 2 4 , d W a R d R Ra a d R Ra a R aR R Ra a R R Ra a a R a R R RaRa R a a R a p p p p j j r q j j pr j pr j p r p r p r = - + é ù - + = ê ú ê - + ú ë û = - + ì ï î ò ò ò g 结果表明：在均匀球层里面，它的位势为一常数；在球层外面，相当于把球层的全部质 量集中于球心时所产生的位势一样。 求球层时 A a (0,0, ) 点的引力，由对称性知 0, F F x y = = 2 2 0 , 0 (0,0, ) 4 , x a a R W F R a R a x x p r x = ì ï î 结果表明：在球层里面的单位质量，都不受球层的任何引力；在球层外面的单位质量， 相当于把球层的质量集中到球心时所受到的引力一样。 §2 第二型曲线积分和曲面积分 １．第二型曲线积分 我们观察以下的物理问题。设空间一质点在变力 Fxyz (,,) r 的作用下沿光滑曲线 L 从点 A 运动到了点 B。现在要求我们计算 Fxyz (,,) r 所做的功Ｗ。 我们知道常力 F r 作用质点沿力的方向从Ａ移到Ｂ时的功为W = F AB r g 。现在的问题是 变力 Fxyz (,,) r 的大小及方向都在变化。为此我们使用积分中的惯用方法。 从 A 到 B 给曲线Ｌ一个划分： 0 1 ,,, A M= = M L M B n 其中 º 1 (,, ) , Mi i i i i i = Î x y z L M M- 的弧长记为VSi ，并记 1 max{ }i i n l S £ £ = V 。在 ºM Mi i -1 上任取 (,,) iii xhV 。当 l 很小，并且 Fxyz (,,) r 性质很好时，我们可以将 ºM Mi i -1 近似的看成 M Mi i -1 ，而将 Fxyz (,,) r 在 ºM Mi i -1 上近似地看作 (,,) F iii xhV r 。由此我们得到Ｗ的一个近 似值
W≈∑F( MM 当λ→0时,若上式存在不依赖于分划及(ξ,s;)选取的极限时,该极限即为W的精确值 (x,y,z)=(P(x,y,=),Q(x,y,2),R(x,y,=) 1M=(xy2口=)=(x W=lim2 n, s,Ix,+O(5, n, s, Dy +R(5, n, s,[z 由此我们引入以下定义 定义设函数P(x,y,)在空间光滑曲线L=9B上有定义,从A到B给L一个分划: A=M0,M1…;Mn=B,其中M=(x,31,)∈L,记MM1的弧长为S 囗x=x-x1及=maxS},任取(n,5)∈显M1,作和式 ∑f(5n5)x 若当λ→0时,若上式存在不依赖于分划及(,n,s;)选取的极限I,则称为函数∫沿有 向曲线L对x的第二型曲线积分,记为=/y:)=[y 同理我们可以定义 f(xy,)和」(xy,=)d 回到关于功的计算,我们有 W= P(x, =dx+h(x, = dy +R(x,y, =) 若记d=(dx,dv,d),则 W= F(x,y,=)ds 第二型曲线积分与第一型曲线积分的区别之一是第二型曲线积分具有方向性。换句话说,我 们有以下等式 [。P2+Qb+贴=,Pd+Qb+R 以后我们还会遇到闭曲线L的积分。我们有以下记号
1 1 (,,) n i i iii i W F xhV M M- = » å r 当l ® 0 时，若上式存在不依赖于分划及(,,) iii xhV 选取的极限时，该极限即为Ｗ的精确值。 记 Fxy (,,z) ( = Pxy (,,z),Qxy (,,z),(,, Rxyz)) r 1 111 (,, ) (,,) Mi Mi i i i iiiiii x y z xxyyzz - = VVV = --- --- ,,, 0 1 lim ( , ) ( , ) ( , ) n i i i i i i i i i i i i i W P x Q y R z l x h V x h V x h V ® = = å VVV + + 由此我们引入以下定义 定义 设函数 Pxyz (,,) 在空间光滑曲线 ª L = AB 上有定义，从Ａ到Ｂ给Ｌ一个分划： 0 1 ,,, A M= = M L M B n ， 其 中 (,,) Mi iii = Î x y z L ， 记 ºM Mi i -1 的弧长为 VSi ， iii 1 xxx V = - - 及 1 max{ }i i n l S £ £ = V ，任取 º 1 (,,) i i i M Mi i xhV Î - ，作和式 , 1 ( , ) n i i i i i f x x h V = å V 若当l ® 0 时，若上式存在不依赖于分划及(,,) iii xhV 选取的极限 I ，则称 I 为函数 f 沿有 向曲线Ｌ对 x 的第二型曲线积分，记为 ª (,, ) (,,) L AB I = = fxyz dx fxyz dx ò ò 同理我们可以定义 (,,) L fxyz dy ò 和 (,,) L fxyz dz ò 回到关于功的计算，我们有 (,, ) (,, ) (,,) LLL W =++ Pxyz dx Qxyz dy Rxyz dz òòò 若记ds = (,,) dx dy dz v ，则 (,,) L W = Fxyz ds ò v v 第二型曲线积分与第一型曲线积分的区别之一是第二型曲线积分具有方向性。换句话说，我 们有以下等式 ª ª AB BA Pdx + + Qdy Rdz = - Pdx + + Qdy Rdz ò ò 以后我们还会遇到闭曲线Ｌ的积分。我们有以下记号