第十四章傅里叶级数 §1三角级数与傅里叶级数 证明 (1) sin T,sin2x,…,sinx,…是[0,r上的正交系 (2)snr,sin3r,…,sin(2n+1)x,…是0.,型上的正交系; (3)1,cosx,cos2r,…, coS n T,…是[0,上的正交系; (4)1,sinx,sin2x,…,sinn,…不是0,π上的正交系 2.求下列周期为2丌的函数的傅里叶级数: (1)三角多项式Pn(x)=∑( ai cos 2r+ b sin ix); (2)f(x)=x3(-丌<x<丌); (3)f(a)=cos 2: (4)f(x)=cn(-丌<x<丌) (5)f(x)=|sinx(-丌<x<丌) (6)f(x)= ar cos r(-丌<x<丌); (7)f(x)= ,-丌<x<0 0,0≤x<丌 (8)f(x)=2-r2(-丌<x<π) (9)f(a)=sgn cos r (10)f(x)=2(0<x<2x)
第十四章 傅里叶级数 §1 三角级数与傅里叶级数 1．证明 (1) sin x，sin 2x，· · ·，sin nx，· · ·是[0, π]上的正交系； (2) sin x，sin 3x，· · ·，sin (2n + 1) x，· · ·是[0, π 2 ]上的正交系； (3) 1，cos x，cos 2x，· · ·，cos nx，· · ·是[0, π]上的正交系； (4) 1，sin x，sin 2x，· · ·，sin nx，· · ·不是[0, π]上的正交系； 2．求下列周期为2π的函数的傅里叶级数： (1) 三角多项式Pn (x) = Pn i=0 (ai cosix + bi sin ix)； (2) f (x) = x 3 (−π < x < π)； (3) f (x) = cos x 2； (4) f (x) = e ax (−π < x < π)； (5) f (x) = |sin x| (−π < x < π)； (6) f (x) = x cos x (−π < x < π)； (7) f (x) = x, − π < x < 0 0, 0 ≤ x < π ； (8) f (x) = π 2 − x 2 (−π < x < π)； (9) f (x) = sgn cos x； (10) f (x) = π−x 2 (0 < x < 2π). 1
3.设f(x)以2π为周期,在[-π,n绝对可积,证明 (1)如果函数f(x)在-丌,满足f(x+丌)=f(x),则 a2m-1=b2m-1=0,m=1,2, (2)如果函数f(x)在-丌,满足f(x+)=-f(x),则 1.2. 2傅里叶级数的收敛性 将下列函数展成傅里叶级数,并讨论收敛性: (1)f(x)= .r sin rr∈[-丌,丌]; 0,7 ∫(x) x∈一丌 由展开式 r=2∑(-1)x+1sinm (-丌<x<丌 (1)用逐项积分法求x2,x3,x4在(-丌,)中的傅里叶展开式 (2)求级数∑(,∑是的和 3.(1)在(-丌,m)内,求f(x)=c的傅里叶展开式 (2)求级数 的和 n=1 4.设f(x)在[-丌,丌上逐段可微,且f(-丌)=f(r).an,b为f(x)的傅 里叶系数,an,矶是f(x)的导函数f(x)的傅里叶系数,证明: do=0an=nbnb
3．设f(x)以2π为周期，在[−π, π]绝对可积，证明： (1) 如果函数f(x)在[−π, π]满足f (x + π) = f (x)，则 a2m−1 = b2m−1 = 0, m = 1, 2, · · · (2) 如果函数f(x)在[−π, π]满足f (x + π) = −f (x)，则 a2m = b2m = 0, m = 1, 2, · · · . §2 傅里叶级数的收敛性 1．将下列函数展成傅里叶级数，并讨论收敛性： (1) f (x) = x sin x x ∈ [−π, π]； (2) f (x) = x 2 , x ∈ [0, π] 1, x ∈ [−π, 0) ； 2．由展开式 x = 2X∞ n=1 (−1)n+1 sin nx n (−π < x < π) (1) 用逐项积分法求x 2，x 3，x 4在(−π, π)中的傅里叶展开式； (2) 求级数 P∞ n=1 (−1)n+1 n4 ， P∞ n=1 1 n4的和. 3．(1) 在(−π, π)内，求f (x) = e x的傅里叶展开式； (2) 求级数 P∞ n=1 1 1+n2的和. 4．设f(x)在[−π, π]上逐段可微，且f (−π) = f (π). an，bn为f(x)的傅 里叶系数，a 0 n，b 0 n是f(x)的导函数f 0 (x)的傅里叶系数，证明： a 0 0 = 0a 0 n = nbnb 0 n = −nan ( n = 1, 2, · · ·). 2
5.证明:若三角级数 中的系数an,bn满足关系 max{n3anl,n3bn|}≤M 其中M为常数,则上述三角级数收敛,且其和函数具有连续的导函数 6.设Tn(x)=+∑( ak cos kz+ bk sin k),求证: Tn (a) Tn(r+t in(n+2)t dt 7.设f(x)以2为周期,在(0,2π)上单调递减,且有界,求证:bn 8.设f(x)以2为周期,在(0,2x)上导数f(x)单调上升有界.求 ≥0(n>0) 9.证明:若f(x)在x点满足a阶的利普希茨条件,则f(x)在xo点连续 给出一个表明这论断的逆命题不成立的例子 设f(x)是以2π为周期的函数,在-π,丌绝对可积,又 设Sn(x)是f(x)的傅里叶级数的前n项部分和 ∑( ar cos kz+ bk sin ha) 则sn(x)=是031+20+(=2Dn(2)d, 其中Dn(t)是狄利克雷核 11.设f(x)是以2π为周期,在(-∞,∞)连续,它的傅里叶级数在xo点 收敛.求证 Sn(xo)→f(xo)(n→+∞) 3
5．证明：若三角级数 a0 2 + X∞ n=1 (an cos nx + bn sin nx) 中的系数an，bn满足关系 max ©¯¯n 3 an ¯ ¯ , ¯ ¯n 3 bn ¯ ¯ ª ≤ M 其中M为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数具有连续的导函数. 6．设Tn (x) = a0 2 + Pn k=1 (ak cos kx + bk sin kx)，求证： Tn (x) = 1 2π Z π −π Tn (x + t) sin ¡ n + 1 2 ¢ t sin t 2 dt. 7．设f(x)以2π为周期，在(0, 2π)上单调递减，且有界，求证：bn ≥ 0 (n > 0). 8． 设f(x)以2π为 周 期 ， 在(0, 2π)上 导 数f 0 (x)单 调 上 升 有 界. 求 证：an ≥ 0 (n > 0). 9．证明：若f(x)在x0点满足α阶的利普希茨条件，则f(x)在x0点连续. 给出一个表明这论断的逆命题不成立的例子. 10． 设f(x)是 以2π为 周 期 的 函 数 ， 在[−π, π]绝 对 可 积 ， 又 设Sn (x)是f(x)的傅里叶级数的前n项部分和 Sn (x) = a0 2 + Xn k=1 (ak cos kx + bk sin kx) 则Sn (x) = 4 π R π 2 0 f(x+2t)+f(x−2t) 2 Dn (2t) dt， 其中Dn (t)是狄利克雷核. 11．设f(x)是以2π为周期，在(−∞,∞)连续，它的傅里叶级数在x0点 收敛. 求证： Sn (x0) → f (x0) (n → +∞). 3
12.设f(x)是以2π为周期、连续,其傅里叶系数全为0,则f(x)≡0 13.设f(x)是以2为周期,在[-丌,m绝对可积.又设xo∈(-丌,π)满足 f(x0+t)+f(x0-t) L t→0+ 存在.证明lmon(xo)=L.进一步,若f(x)在xo点连续,则imon(xo) f(xo),其中 sSK x)=n+ 3任意区间上的傅里叶级数 1.将下列函数在指定区间上展开为傅里叶级数,并讨论其收敛性 (1)在区间(0,2)展开 A,0<x<l, f(a) 0.l 2l: (2)f(x)= T cos L,(一吾,2); (3)f(x)=x,(0,D) x,0≤x≤1, (4)f(x)={1,1<x< 3-x,2<x≤3 2.求下列周期函数的傅里叶级数 (1)f(a)=cos r[: (2)f(x)=x-{x 3.把下列函数在指定区间上展开为余弦级数:
12．设f(x)是以2π为周期、连续，其傅里叶系数全为0，则f (x) ≡ 0. 13．设f(x)是以2π为周期，在[−π, π]绝对可积. 又设x0 ∈ (−π, π)满足 lim t→0+ f (x0 + t) + f (x0 − t) 2 = L 存在. 证明 limn→∞ σn (x0) = L. 进一步，若f(x)在x0点连续，则 limn→∞ σn (x0) = f (x0)，其中 σn (x) = 1 n + 1 Xn k=0 Sk (x). §3 任意区间上的傅里叶级数 1．将下列函数在指定区间上展开为傅里叶级数，并讨论其收敛性： (1) 在区间(0, 2l)展开 f(x) = A, 0 < x < l, 0, l ≤ x < 2l; (2) f(x) = x cos x, ¡ − π 2 , π 2 ¢； (3) f(x) = x, (0, l)； (4) f(x) = x, 0 ≤ x ≤ 1, 1, 1 < x < 2, 3 − x, 2 ≤ x ≤ 3. 2．求下列周期函数的傅里叶级数： (1) f(x) = |cos x|； (2) f(x) = x − [x]. 3．把下列函数在指定区间上展开为余弦级数： 4
(1)f(x)=sinx,0≤x≤丌; (2)f(x) 1-x,0<x≤2, x-3.2<x<4. 4.把下列函数在指定区间上展开为正弦级数: (1)∫(x)=cos,0≤x≤丌 (2)f(x)=x2,0≤x≤2 5.把函数f(x)=(x-1)2在0,1)上展开成余弦级数,并推出 61++5+ 6.将函数f(x)分别作奇延拓和偶延拓后,求函数的傅里叶级数,其 f(ar) < 7.应当如何把给定在区间(0)的可积函数延拓到区间(-丌,丌)内,使 得它在(-,m)中对应的傅里叶级数为: (1)f(x)~∑a2n-1c0s(2n-1)x; (2)f(r)w 2 b2n-1 sin(2n-1)a §4傅里叶级数的平均收敛性
(1) f(x) = sin x, 0 ≤ x ≤ π； (2) f(x) = 1 − x, 0 < x ≤ 2, x − 3, 2 < x < 4. 4．把下列函数在指定区间上展开为正弦级数： (1) f(x) = cos x 2 , 0 ≤ x ≤ π (2) f(x) = x 2 , 0 ≤ x ≤ 2. 5．把函数f(x) = (x − 1)2在(0, 1)上展开成余弦级数，并推出 π 2 = 6 µ 1 + 1 2 2 + 1 3 2 + · · ·¶ . 6．将函数f(x)分别作奇延拓和偶延拓后，求函数的傅里叶级数，其 中 f(x) = 1, 0 < x < π 2 , 1 2 , x = π 2 , 0, π 2 < x ≤ π. 7．应当如何把给定在区间¡ 0, π 2 ¢的可积函数延拓到区间(−π, π)内，使 得它在(−π, π)中对应的傅里叶级数为： (1) f (x) ∼ P∞ n=1 a2n−1 cos (2n − 1) x； (2) f (x) ∼ P∞ n=1 b2n−1 sin (2n − 1) x. §4 傅里叶级数的平均收敛性 5
1.若f(x)g(x)以2为周期,在丌,]平方可积, )~+∑(a an cos n bn sin n c) g(a)No+>(an cos nz+Bn sin nr) 广D0)=2+(a+ 2.设f(x)在0,4上平方可积,求证: /P=+ 其中 f(ar) cos-
1．若f(x),g(x) 以2π为周期，在[−π, π]平方可积， f(x) ∼ a0 2 + X∞ n=1 (an cos nx + bn sin nx), g(x) ∼ α0 2 + X∞ n=1 (αn cos nx + βn sin nx), 则 1 π Z π −π |f(x)g(x)|dx = a0α0 2 + X∞ n=1 (anαn + bnβn). 2．设f(x)在[0, l]上平方可积，求证： 2 l Z l 0 f 2 (x)dx = 1 2 a 2 0 + X∞ n=1 a 2 n 其中 an = 2 l Z l 0 f(x) cos nπx l dx. 6