第四章导数和微分 §41导数定义和某些初等函数的导数 定义设y=f(x)在(a,b)上定义,x∈(a,b),若极限 lim y= lim /(x+4x)-f() x+△x∈(a,b) 存在,则称f(x)在x点可导,称极限值为函数在x点的导数,记作 f(x)=lim ∫(x ∫ 若f(x)在(a,b)上每一点都有导数,则∫(x)也是一个函数,它是由f(x)导出的新函 数,称为∫(x)的导函数,简称导数 记号d 或 (Leibniz d x d x y或∫(x0)( Lagrange) Dy或Df(x)( Cauchy) 改或改x0)( Newton) 今后在本课程里常用f(x0)或f(x)=,力学中用成或产) 几何背景 x+△x,△x=x f(x)-f(x0=19表示割线pP 的斜率,当x→x0时(Ax→0),割线p0P趋向于一个极限位置,为曲线在Po的切线,其
63 第 四 章 导 数 和 微 分 §4.1 导数定义和某些初等函数的导数 1． 定义 设 y = f (x)在(a, b)上定义， x Î (a,b) , 若极限 x f x x f x x y x x D + D - = D D D ® D ® ( ) ( ) lim lim 0 0 , x + Dx Î(a, b) 存在，则称 f (x) 在 x 点可导，称极限值为函数在 x 点的导数，记作 x f x x f x f x x D + D - ¢ = D ® ( ) ( ) ( ) lim 0 。 若 f (x) 在(a, b)上每一点都有导数，则 f ¢( x) 也是一个函数，它是由 f (x) 导出的新函 数，称为 f (x) 的导函数，简称导数。 记号 dx dy 或 dx df (x ) 0 （Leibniz） y¢ 或 ( ) 0 f ¢ x (Lagrange) D y 或 ( ) 0 D f x (Cauchy) y& 或 ( ) 0 y&x (Newton) 今后在本课程里常用 ( ) 0 f ¢ x 或 0 ( )| x x f x = ¢ ，力学中用 y&或 f&(t) 。 几何背景 x = x + Dx 0 ， 0 Dx = x - x , tga x x f x f x = - - 0 0 ( ) ( ) 表示割线 p0 p 的斜率，当 0 x ® x 时(Dx ® 0) , 割线 p0 p 趋向于一个极限位置，为曲线在 p0的切线，其 p p 0 0 x y
斜率g0=f(x)即为f(x)在x点导数 gao= lim tga= lm f∫(x)-f(x0) =f(x0) 物理背景y=f(),t表时间,y表质点运动位移,Mt表时间增量:t→t+△r; △y表位移增量:f()→>f()+△y=∫(t+△),Δy=f(t+△)-f(t),这样 表示【→【+△t时间内平均速度, mA=f(o)表示(O)在时刻的即时速度 v()=f(1)也是时间的函数,我们还可对它求导,v(t)=a()称为加速度,如此下去还有 加加速度,A。比如自由落体S=812,v(1)=s0)=lm8(+△)2-+g im (gI+2847)=8t. a=v=lim &(t+A)-g(=go 命题可导必连续,反之不一定 证如果f(x)在x点可导,当 0时 f(+Ax)=f(x)+Ar /(x+ Ax)-f(x) →f(x)+0·f(x)=f(x) 所以如果∫(x)在x点可导,它在该点必连续。 反过来,我们举一个反例, f()1.当x=0时连峡,但O+4)/0=Ax= x>0 1△x<0 当Ax→0时,极限不存在,故不可导 上述反例中定义导数的双侧极限不存在,但单侧极限是存在的,我们称之为单侧导数。 般地我们可以定义 左导数f(x0-0)=Im「(xn+Ax)-/f(x) 右导数f(x0+0)=m(x+Ax)-/(x) f∫(x)在xo可导充要条件是左右导数存在且相等 x有理数 例1 Dirichlet函数D(x) 10,x无理数。 讨论下列函数在x=0连续性,可导性
64 斜率 ( ) 0 0 tga = f ¢ x 即为 f (x) 在 0 x 点导数, ( ) ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 0 f x x x f x f x tg tg x x x x = ¢ - - = = ® ® a a 。 物理背景 y = f (t) ，t 表时间， y 表质点运动位移，Dt 表时间增量：t ® t + Dt ； Dy 表位移增量： f (t) ® f (t) + Dy = f (t + Dt)，Dy = f (t + Dt) - f (t) ，这样 t y D D 表示t ® t + Dt 时间内平均速度， lim ( ) 0 f t t y t = ¢ D D D ® 表示 f (t) 在t 时刻的即时速度。 v(t) = f ¢(t)也是时间的函数，我们还可对它求导，v¢(t) = a(t) 称为加速度，如此下去还有 加加速度，L 。比如自由落体 2 2 1 s = g t ， t g t t g t v t s t t D + D - = ¢ = D ® 2 2 2 1 2 1 0 ( ) ( ) ( ) lim g t g t g t t + D = D ® lim ( ) 2 1 0 。 g t g t t g t a v t = D + D - = ¢ = D ® ( ) ( ) lim 0 。 命题 可导必连续，反之不一定对。 证 如果 f (x) 在 x 点可导，当Dx ® 0时 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x f x x f x x f x f x x f x x ® + × ¢ = D + D - + D = + D × ， 所以如果 f (x) 在 x 点可导，它在该点必连续。 反过来，我们举一个反例， f (x) = x ，当 x = 0时连续，但 î í ì - D = D = D + D - 1 0 1 0 sgn (0 ) (0) x x x x f x f ， 当Dx ® 0时，极限不存在，故不可导。 上述反例中定义导数的双侧极限不存在，但单侧极限是存在的，我们称之为单侧导数。 一般地我们可以定义 左导数 x f x x f x f x x D + D - ¢ - = D ® - ( ) ( ) ( 0) lim 0 0 0 0 0 ， 右导数 x f x x f x f x x D + D - ¢ + = D ® + ( ) ( ) ( 0) lim 0 0 0 0 0 。 f (x) 在 0 x 可导充要条件是左右导数存在且相等。 例 1 Dirichlet 函数 î í ì = ， 。 ， 无理数 有理数 x x D x 0 1, ( ) 讨论下列函数在 x = 0连续性，可导性
(1)D(x),(2)xD(x),(3)x2D(x)。 解(1)D(x)在x=0间断,是第二类间断点。 (2)xD(x)在x=0连续,但不可导。AxDx)=D△x)当Ax→0时不存 在极限。 (3)x2D(x)在x=0连续,且可导,导数为 (△x)2.D(Ax)-0 △x·D(△x)→>0 △x 例2S(x) x≠0 1)S(x)在x=0间断,是第二类间断点。 (2)xS(x)在x=0连续,不可导,甚至单侧导数也不存在。 (3)x2S(x)在x=0连续,可导,导数为0。 某些基本初等函数的导数 先证三个重要极限: 1)lim log (1+x)= e 证1)注意到log。y在y>0连续,我们有 2)令a-1=y,当x→0时,有y→0,作变量替换x=logn(1+y),我们 10 x y*0 log, (1+y) log,e
65 （1） D(x) ， （2）xD( x) ， （3） ( ) 2 x D x 。 解 （1）D(x) 在 x = 0间断，是第二类间断点。 （2）xD( x) 在 x = 0连续，但不可导。 ( ) ( ) D x x x D x = D D D × D 当Dx ® 0时不存 在极限。 （3） ( ) 2 x D x 在 x = 0连续，且可导，导数为 ( ) 0 ( ) ( ) 0 2 = D × D ® D D × D - x D x x x D x 。 例 2 ï î ï í ì = ¹ = 0 , 0 , 0 1 sin ( ) x x S x x （1） S( x) 在 x = 0间断，是第二类间断点。 （2） xS(x) 在 x = 0连续，不可导，甚至单侧导数也不存在。 （3） ( ) 2 x S x 在 x = 0连续，可导，导数为0 。 2． 某些基本初等函数的导数 先证三个重要极限： 1） e x x a a x log log (1 ) lim 0 = + ® ， 2） a x a x x ln 1 lim 0 = - ® ， 3） m m = + - ® x x x (1 ) 1 lim 0 。 证 1）注意到 y a log 在 y > 0连续，我们有 x e x x a x x a a x log lim (1 ) log log (1 ) lim 1 0 0 = + = + ® ® 。 2）令a y x -1 = ，当 x ® 0时，有 y ® 0，作变量替换 x log (1 y) = a + ，我们 有 a y e y x a a a y x x ln log 1 log (1 ) lim 1 lim 0 0 = = + = - ® ®
3)令(1+x)4-1=y,当x→0时,有y→>0,在公式(+x)“=1+y中,取 对数,得μ·ln(1+x)=ln(1+y),这样 (1+x)“-1y In(1 +x) →μ,当x→>0时 x In( 1+ y) 1.常数函数f(x)=c,则∫(x)=0。 2.幂函数f(x)=x“(定义域与a有关,对任何α,x>0总有定义),f(x)=ax“-。 ∫(x+Ax)-f(x)(x+△x)y-xa xr1.(1+)2-1 a·x-,当△x→0时。 特别 3.指数函数∫(x)=a2(a>0,-∞0时。 4.对数函数f(x)= log x(00时。 Ax 特别地,(x)y=1,这里看出自然对数血x确确实是“自然的” 5.Si函数,f(x)=sinx,f(x)=cosx n(x+△x)-sinx2cos(x+仝)sin →cosx,当Δx→0时。 6.Cos函数,f(x)=cosx,f(x)=-snx。 cos(x+△x)-cosx-2sn(x+翌)sin受 →-sinx,当Δx→0时 §4.2导数的四则运算
66 3）令(1+ x) -1 = y m ，当x ® 0时，有 y ® 0，在公式(1+ x) = 1+ y m 中，取 对数，得 m × ln(1+ x) = ln(1+ y)，这样 m m m ® + × × + = = + - x x y y x y x x ln(1 ) ln(1 ) (1 ) 1 ，当x ® 0时。 1．常数函数 f (x) = c ，则 f ¢( x) = 0 。 2．幂函数 a f (x) = x （定义域与a 有关，对任何a ，x > 0总有定义）， 1 ( ) - ¢ = × a f x a x 。 1 1 ( ) ( ) ( ) (1 ) 1 - D D - ® × + - = × D + D - = D + D - a a a a a a x x x x x x x f x x f x x x x x ，当Dx ® 0时。 特别： ( 0) 1 ( ) 2 1 ¢ = - ¹ - x x x ， ( 0) 2 1 ( )¢ = x > x x 。 3．指数函数 f (x) = a (a > 0, - ¥ < x < +¥) x ， f x a a x ¢( ) = ×ln 。 a a x a a x a a x x x x x x ln 1 ® D - = D - +D D ，当Dx ® 0时。 4．对数函数 f (x) = log x (0 < a ¹ 1, 0 < x < +¥) a ， x e f x a log ¢( ) = 。 e x x x x x x a x x x x a a a log log ( ) log 1 log (1 ) 1 ® + = × D + D - D D ，当Dx ® 0时。 特别地， x x 1 (ln )¢ = ，这里看出自然对数ln x 确确实实是“自然的”。 5． Sin函数， f (x) = sin x， f ¢( x) = cos x 。 x x x x x x x x x cos sin( ) sin 2cos( 2 )sin 2 ® D + = D + D - D D ，当Dx ® 0时。 6．Cos函数， f (x) = cos x ， f ¢( x) = - sin x 。 x x x x x x x x x sin cos( ) cos 2sin( 2 )sin 2 ® - D - + = D + D - D D ， 当Dx ® 0时。 §4.2 导数的四则运算
定理1设f(x),g(x)在x点可导,则 1)[f(x)±g(x=∫(x)±g'(x)(求导是线性运算) 2)[f(x)·g(x]=f(x)·g(x)+∫(x)·g'(x)(它导它不导,它不导它导,然后加 起来 ∫(x)|_f(x)·g(x)-f(x)·g(x) (x) 证1)令y(x)=∫(x)+g(x) △y[f(x+△x)+g(x+△x)-[f(x)+g(x △x f(x+Ax)-f(x) g(x+Ax)-g(x) △x →f(x)+g(x)当△x→>0时 2)令y(x)=f(x)·g(x) f(x+△x):g(x+△x)-f(x)·g(x) (分子-∫(x)·g(x+Ax)+f(x)·g(x+△x) f(x+△x)-f(x) (x+△x)+f(x) g(x+△x)-g(x) →f(x)·g(x)+f(x)g'(x)当Ax→O时。 Ax△r[g(x+△)g(x)」 g(x+△x)-g(x)1 g(x+△x)g(x g(x) g(x)当Ax→0时。 f(x) =f(x) 给出(3)。 g(x) 推论1)[cf(x)=cf(x)
67 1．定理 1 设 f (x) ， g (x) 在 x 点可导，则 1） [ f (x) ± g( x)]¢ = f ¢( x) ± g¢( x) （求导是线性运算） 2） [ f (x) × g( x)]¢ = f ¢( x) × g( x) + f ( x)× g¢(x) （它导它不导，它不导它导，然后加 起来） 3） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 g x f x g x f x g x g x f x ¢ × - × ¢ = ¢ ú û ù ê ë é 。 证 1）令 y(x) = f (x) + g( x) ( ) ( ) 当 0 时。 ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] ® ¢ + ¢ D ® D + D - + D + D - = D + D + + D - + = D D f x g x x x g x x g x x f x x f x x f x x g x x f x g x x y 2） 令 y(x) = f ( x) × g (x) 当 时。 分子 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ® ¢ × + × ¢ D ® D + D - × + D + D + D - = - × + D + × + D D + D × + D - × = D D f x g x f x g x x x g x x g x g x x f x x f x x f x f x g x x f x g x x x f x x g x x f x g x x y 3） 令 ( ) 1 ( ) g x y x = 当 0时。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 1 2 D ® ¢ ® - + D × D + D - = - ú û ù ê ë é - + D × D = D D x g x g x x g x x g x g x x g x x x g x x g x y ( ) 1 ( ) ( ) ( ) g x f x g x f x = × 给出（3）。 推论 1） [c f ( x)]¢ = c f ¢( x)
(x)=∑fx f(x) K(x), K,(x)=f(x)A N(x)A f,(x) 例tg函数 coS x+ sin ( x) sec x COS x COS X COS x cos x-sin x (ctg x) =-CSc x sIn x §43求导的几种技巧 1.复合函数微分法 定理设f(u0)与g'(x)存在,l0=g(x0),则复合函数F(x)=fg(x)在x0点 可导,且F(x0)=f[g(x0)·g(x) 注若∫(u)的定义域包含u=g(x)的值域,两函数在各自的定义域上可导,则复合 函数F(x)=「8g(x)在g(x)的定义域上可导,且 F'(x)=∫[g(x)g(x)(怀中抱月) 或y=yl2 dy dy du 定理的证明定义函数 f(u)-f(uo) ll≠1o0 f(uo) A(u)在u点连续,lmA(u)=A(l)=f(ab) 由恒等式,f(u)-f(l0)=A(u)u-0),我们有 F(x)-F(xo) f[g(x)]-fig(xo) A8(x)28(x)-g(cn)
68 2） å å = = = ¢ ¢ ú û ù ê ë é n i i n i i f x f x 1 1 ( ) ( ) 。 3） ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 f x K x K x f x f x f x k k n n k k n j i = = L ¢ L ¢ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ Õ å = = 。 例 tg 函数 x x x x x x x tg x 2 2 2 2 2 sec cos 1 cos cos sin cos sin ( ) = = + = ¢ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¢ = x x x x x x x ctg x 2 2 2 2 2 csc sin 1 sin cos sin sin cos ( ) = - - = - - = ¢ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¢ = 。 §4.3 求导的几种技巧 1． 复合函数微分法 定理 设 ( ) u0 f ¢ 与 ( ) 0 g¢ x 存在， ( ) 0 0 u = g x ，则复合函数 F( x) = f[g(x)] 在 0 x 点 可导，且 ( ) [ ( )] ( ) 0 0 0 F¢ x = f ¢ g x × g¢ x 。 注 若 f (u) 的定义域包含 u = g (x) 的值域，两函数在各自的定义域上可导，则复合 函数 F( x) = f[g(x)] 在 g (x) 的定义域上可导，且 F¢( x) = f ¢[g( x)]× g¢( x) （怀中抱月） 或 x u ux y¢ = y¢ × ¢ ， dx du du dy dx dy = × 。 定理的证明 定义函数 ï î ï í ì ¢ = ¹ - - = 0 0。 0 0 0 ( ) , , , ( ) ( ) ( ) f u u u u u u u f u f u A u A(u) 在u0 点连续， lim ( ) ( ) ( ) 0 0 0 A u A u f u u u = = ¢ ® 由恒等式， ( ) ( ) ( )( ) u0 A u u u0 f u - f = - ，我们有 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( ) [ ( )] [ ( )] x x g x g x A g x x x f g x f g x x x F x F x - - = × - - = - -
令x→x,得F(x0)=f[g(x0)g1(x0)。 我们引进A()是为了避免再直接写表达式 F(x)-F(xo) f(u-f(uo)g(x)-g(o) 中当x≠x0时,可能会出现=l0情况 例解 求 y2=-(1-x2)2(1-x2) (1-x2)2(-2x) 例2y=sinx2,求y 解 例3y=sin(sinx3),求y 解y'= cos(sin x3)·cosx3:(x3)’=3x2cosx3cos(sinx3)。 例4y=ln ),求y 解 J'=(r+1+xii ta x+vI+x 例解 5y=h|x|,求y x>0时,y= rx<0时,y=(h(-x)=-(-/ ,∴x≠0时 (ln|x|)= 例解 6 ),求y。 2 cos(2x)
69 令 0 x ® x ，得 ( ) [ ( )] ( ) 0 0 0 F¢ x = f ¢ g x × g¢ x 。 我们引进 A(u) 是为了避免再直接写表达式 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x g x g x u u f u f u x x F x F x - - × - - = - - 中当 0 x ¹ x 时，可能会出现 u = u0 情况。 例 1 2 y = 1- x ，求 y¢ 。 解 。2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 (1 ) ( 2 ) 2 1 (1 ) (1 ) 2 1 x x x x y x x - = - = - - ¢ = - - ¢ - - 例 2 2 y = sin x ，求 y¢ 。 解 2 2 2 y¢ = cos x × (x )¢ = 2x cos x 。 例 3 sin(sin ) 3 y = x ，求 y¢ 。 解 cos(sin ) cos ( ) 3 cos cos(sin ) 3 3 3 2 3 3 y¢ = x × x × x ¢ = x x x 。 例 4 ln( 1 ) 2 y = x + + x ，求 y¢ 。 解 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 1 ( 1 ) x x x x x x x x x y + = + + + + = + + + + ¢ ¢ = 。 例 5 y = ln | x | ，求 y¢ 。 解 x > 0 时， x y 1 = ； x < 0 时， x x x y x 1 ( ) 1 ¢ = (ln( - ) )¢ = - - ¢ = ， \ x ¹ 0 时， x x 1 ( ln | |)¢ = 。 例 6 y = ln sin( 2x) ，求 y¢ 。 解 sin( 2 ) 2cos(2 ) cos(2 ) sin( 2 ) 2 x x x x y¢ = =
2.隐函数微分法 若可微函数y=y(x)满足方程F(x,y)=0,则其导数可以从F(x,y)=0求出。 个方程F(x,y)=0何时能唯一决定一个可微函数y=y(x),留待日后解决,现在我们通常 假定能唯一决定一个可微函数,考虑如何求出导函数问题。 例7x2+y2=a2,求过点(x0,y)(y≠0)的切线方程 解对方程x2+y2=a2求导,心中记住y=y(x)是x的函数,得 y y 0 y'(x) 在(x,y)点上,y(x)=-3,过(xny)切线方程为 (x-x0) xx 3.对数微分法 我们结合例子研究对数微分法 例8y 解函数定义域(-∞0)和(a,+∞),取对数hy-2 hn|x|--ln|x-a|,两边对 y=y(x)求导,采用隐函数微分法,得y=3.1_1.1_2x-3 所以 2x(x-a) 2x(x-a) 例9y=u",u=u(x),"=v(x),求y 解取对数,得hy=y·hu,两边求导,得 In u+ v
70 2． 隐函数微分法 若可微函数 y = y(x) 满足方程 F( x, y) = 0，则其导数可以从 F(x, y) = 0 dx d 求出。一 个方程 F( x, y) = 0何时能唯一决定一个可微函数 y = y(x) ，留待日后解决，现在我们通常 假定能唯一决定一个可微函数，考虑如何求出导函数问题。 例 7 2 2 2 x + y = a ，求过点( , ) 0 0 x y ( 0) y0 ¹ 的切线方程。 解 对方程 2 2 2 x + y = a 求导，心中记住 y = y(x) 是 x 的函数，得 2x + 2 y × y¢ = 0 y x y¢(x) = - 在( , ) 0 0 x y 点上， 0 0 0 ( ) y x y¢ x = - ，过( , ) 0 0 x y 切线方程为 ( ) 0 0 0 0 x x y x y - y = - - ， 2 0 2 0 0 0 xx + yy = x + y ， 即 2 0 0 xx + yy = a 。 3． 对数微分法 我们结合例子研究对数微分法 例 8 ( 0) 3 > - = a x a x y ，求 y¢ 。 解 函数定义域(-¥,0) 和 (a,+¥) ，取对数 ln | | 2 1 ln | | 2 3 ln y = x - x - a ，两边对 y = y(x) 求导，采用隐函数微分法 ，得 2 ( ) 1 2 3 2 1 1 2 3 x x a x a y x x a y - - = - = × - × ¢ ，所以 x a x x x a x a y - - - ¢ = 3 2 ( ) 2 3 。 例 9 v y = u ，u = u(x)，v = v(x) ，求 y¢ 。 解 取对数，得ln y = v ×ln u ，两边求导，得 u u v u v y y = ¢ × + × × ¢ ¢ 1 ln
y=y(-+vIn u=u(-+v Inu) 如 x(1+In x) 4.反函数求导 定理设x=0(y)在区间(c,d)上连续,严格上升,在yo∈(c,d)点可导,且 q(y0)≠0,x0=φ(y0)。则反函数y=∫(x)在x0点可导,且 f(x)= (y)91/(x0) 注若x=9(y)在(c,d)可导,导数>0(或0(或0,a≠1),求y。 解x=log。y,(a2 hna,反过来,如 (log。y) V=a
71 ( ln ) ( v lnu ) u vu v u u u vu y y v + ¢× ¢ + ¢× = ¢ ¢ = 。 如 x y = x ， y x (1 ln x) x ¢ = + 。 4． 反函数求导 定理 设 x =j( y) 在区间 (c, d ) 上连续，严格上升，在 ( , ) y0 Î c d 点可导，且 j¢( y0 ) ¹ 0， ( ) 0 0 x = j y 。则反函数 y = f (x)在 0 x 点可导，且 [ ( )] 1 ( ) 1 ( ) 0 0 0 y f x f x j j ¢ = ¢ ¢ = 。 注 若x =j( y) 在(c, d ) 可导，导数> 0 (或 0 (或 0, a ¹ 1) x ，求 y¢ 。 解 x y a = log ， a x a x e y a y x y y a a a a x ln (log ) log 1 ( ) = = = = ¢ ¢ = ，反过来，如
果(a)已知,也可求(ogax)= (a) a" na y 例 x,求 解 In 例12y= arcsin x,求y 解 arcsin x )= y=arcsin x cos(arcsin x 例13y= arccos x,求y'。 解 (arccos x) (cos y) y=arccos x sin(arccos x) 例14y=arcx,求y 解 ( arct x)’= ()'y=arct x (arct x) 同理可得( arcata x)= 1+x 5.双曲函数及其反函数之导数 y=shx=(e-e), hx=(e2+e-3)
72 果( )¢ x a 已知，也可求 y e a x a y a a x a a x x log ln 1 ( ) log 1 (log ) = = ¢ = ¢ = 。 例 11 a y = x ，求 y¢ 。 解 x y e a ln = ， ln -1 ¢ = = × a a a a x x e x y 。 例 12 y = arcsin x ，求 y¢ 。 解 x = sin y ， 。2 1 1 cos(arcsin ) 1 (sin ) arcsin 1 (arcsin ) x x y y x x - = = ¢ = ¢ = 例 13 y = arccos x，求 y¢ 。 解 。2 1 1 sin(arccos ) 1 (cos ) arccos 1 (arccos ) x x y y x x - = - = - ¢ = ¢ = 例 14 y = arctg x ，求 y¢ 。 解 2 。 2 1 1 sec ( ) 1 ( ) 1 ( ) x arctg x y arctg x tg y arctg x + = = ¢ = ¢ = 同理可得 2 1 1 ( ) x arcctg x + ¢ = - 。 5． 双曲函数及其反函数之导数 ( ) 2 1 x x y sh x e e - = = - ， ( ) 2 1 x x y ch x e e - = = +