《线性代数》第三章 矩阵的初等变换与线性方程组

第三章矩阵的初等变换与线性方程组 2在秩是r的矩阵中有没有等于0的r-1阶子式有没有等于0的r阶 子式? 解在秩是r的矩阵中可能存在等于0的r-1阶子式也可能存在等 于0的r阶子式 1000 0100 例如,a=0010 0000 0000 R(a)=3同时存在等于0的3阶子式和2阶子式 3.从矩阵A中划去一行得到矩阵B,问A,B的秩的关系怎样? 解R(A)≥R(B) 设R(B)=r,且B的某个r阶子式D≠0矩阵B是由矩阵A划去一行 得 到的,所以在A中能找到与D,相同的r阶子式D,由于D,=D,≠0, 故而R(4)≥R(B) 5.求下列矩阵的秩并求一个最高阶非零子式: 3102 1-3 (2)2-131-3 705-1-8 21837 2-307 3) 3-2580 10320

1 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 2．在秩是 r 的矩阵中,有没有等于 0 的 r −1 阶子式?有没有等于 0 的 r 阶 子式? 解 在秩是 r 的矩阵中,可能存在等于 0 的 r −1 阶子式,也可能存在等 于 0 的 r 阶子式. 例如，                 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0  R() = 3 同时存在等于 0 的 3 阶子式和 2 阶子式. 3．从矩阵 A 中划去一行得到矩阵 B ,问 A,B 的秩的关系怎样? 解 R(A)  R(B) 设 R(B) = r ，且 B 的某个 r 阶子式 Dr  0.矩阵 B 是由矩阵 A 划去一行 得 到的，所以在 A 中能找到与 Dr 相同的 r 阶子式 Dr ，由于 Dr = Dr  0， 故而 R(A)  R(B). 5．求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式： (1)           − − − 1 3 4 4 1 1 2 1 3 1 0 2 ; (2)           − − − − − − − 7 0 5 1 8 2 1 3 1 3 3 2 1 3 1 ； (3)               − − − 1 0 3 2 0 3 2 5 8 0 2 3 0 7 5 2 1 8 3 7

102 rr2 解(1)|1-12-1 3102 4 04 65 04-65秩为 04-65 0000 二阶子式 32-1-3-2 r1"r2 r2-2r (2)2-13 0-7119 5 705-1-8)-7r0-213327-15 4-4 r3-3r207119-5秩为 00000 二阶子式/32 2 2-307-5 n 0-3-63-5 3) 3-2580 0-2-420 10320 r3-3F4 10320 r分>r2 012-17 10320 r2+3r 000016 012-17 秩为3 r3+2r 000014 r+140000 10320 ÷16(00000 n-3 0 三阶子式580= =70≠0 6.求解下列齐次线性方程组:

2 解 (1)           − − − 1 3 4 4 1 1 2 1 3 1 0 2 r 1 r 2 ~            − − − 1 3 4 4 3 1 0 2 1 1 2 1           − − − − − − 0 4 6 5 0 4 6 5 1 1 2 1 ~ 2 1 3 1 3 r r r r 2 0 0 0 0 0 4 6 5 1 1 2 1 ~ 3 2 秩为           − − − r −r 二阶子式 4 1 1 3 1 = − − ． (2)           − − − − − − − 7 0 5 1 8 2 1 3 1 3 3 2 1 3 2           − − − − − − − − − 0 21 33 27 15 0 7 11 9 5 1 3 4 4 1 ~ 2 7 2 1 1 2 3 1 r r r r r r 2 0 0 0 0 0 0 7 11 9 5 1 3 4 4 1 3 ~ 3 2 秩为           − − − − r − r . 二阶子式 7 2 1 3 2 = − − ． (3)               − − − 1 0 3 2 0 3 2 5 8 0 2 3 0 7 5 2 1 8 3 7 3 4 2 4 1 4 3 2 2 ~ r r r r r r − − −               − − − − − − 1 0 3 2 0 0 2 4 2 0 0 3 6 3 5 0 1 2 1 7 3 1 2 1 2 3 ~ r r r r + +               − 1 0 3 2 0 0 0 0 0 14 0 0 0 0 16 0 1 2 1 7 4 3 4 3 4 1 1 2 16 14 ~ r r r r r r r r −                   − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 1 7 1 0 3 2 0 秩为 3 三阶子式 70 0 3 2 5 8 5 3 2 0 5 8 0 0 7 5 = − =  − ． 6．求解下列齐次线性方程组:

+x,+2. 0 x1+2x2+x3-x4=0, (1){2x1+x2+x3-x1=0,(2)13x+6x2-x3-3x;=0, +2 x2+x3+2x4=0; 5x1+10x,+ x3 5x4=0; 2x1+3x2-x3+5x4=0, 3x1+4x2-5x3+7x4=0, 3x1+x,+2x3-7x4=0, 2x1-3x2+3x3-2x4=0, (4) x1+x2-3x3+6x4=0, 4x,+11x,-13x2+16x,=0 x,-2r,+4 7 4 0; 7x1-2x,+x2+3x1=0. 解(1)对系数矩阵实施行变换: 10-10 3x 211-1~013-1即得 221 故方程组的解为 (2)对系数矩阵实施行变换: x1=-2x,+x 120 0010即得 0 5101 0000 故方程组的解为 0/*石/0 0 (3)对系数矩阵实施行变换:

3 (1)      + + + = + + − = + + − = 2 2 2 0; 2 0, 2 0, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x (2)      + + − = + − − = + + − = 5 10 5 0; 3 6 3 0, 2 0, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x (3)        − + − = + − + = + + − = + − + = 2 4 7 0; 4 3 6 0, 3 2 7 0, 2 3 5 0, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x (4)        − + + = + − + = − + − = + − + = 7 2 3 0. 4 11 13 16 0, 2 3 3 2 0, 3 4 5 7 0, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x 解 (1) 对系数矩阵实施行变换:           − − 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1             − − − 3 4 0 0 1 0 1 3 1 1 0 1 0 ~ 即得          = = = − = 4 4 3 4 2 4 1 4 3 4 3 3 4 x x x x x x x x 故方程组的解为                 − =               1 3 4 3 3 4 4 3 2 1 k x x x x (2) 对系数矩阵实施行变换:           − − − − 5 10 1 5 3 6 1 3 1 2 1 1           − 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 0 1 ~ 即得        = = = = − + 4 4 3 2 2 1 2 4 0 2 x x x x x x x x 故方程组的解为               +               − =               1 0 0 1 0 0 1 2 1 2 4 3 2 1 k k x x x x (3) 对系数矩阵实施行变换:

1000 x,=0 0100 即得 00 0 1-24-7)(0001 =0 故方程组的解为 (4)对系数矩阵实施行变换 313 10 1920 01 411-1316 1717 0000 3 13 17 20 即得 17 17 故方程组的解为 19 k1 7.求解下列非齐次线性方程组: 2x+3y+x=4, 4x1+2x2-x3=2, x-2y+4x=-5, (1){3x1-1x2+2 0, (2) 3x+8y-2x=13, 1lx1+3x2=8; 4x-y+9z=-6;

4               − − − − − 1 2 4 7 4 1 3 6 3 1 2 7 2 3 1 5               0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 ~ 即得        = = = = 0 0 0 0 4 3 2 1 x x x x 故方程组的解为        = = = = 0 0 0 0 4 3 2 1 x x x x (4) 对系数矩阵实施行变换:               − − − − − 7 2 1 3 4 11 13 16 2 3 3 2 3 4 5 7                 − − 0 0 0 0 0 0 0 0 17 20 17 19 0 1 17 13 17 3 1 0 ~ 即得          = = = − = − 4 4 3 3 2 3 4 1 3 4 17 20 17 19 17 13 17 3 x x x x x x x x x x 故方程组的解为                 − − +                 =               1 0 17 20 17 13 0 1 17 19 17 3 1 2 4 3 2 1 k k x x x x 7．求解下列非齐次线性方程组: (1)      + = − + = + − = 11 3 8; 3 1 2 10, 4 2 2, 1 2 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x (2)        − + = − + − = − + = − + + = 4 9 6; 3 8 2 13, 2 4 5, 2 3 4, x y z x y z x y z x y z

「2x+y-z+=1, 2x+y-x+w=1, (3){4x+2y-2z+w=2, (4)13x-2y+z-3w=4 2x+y-x-=1; x+4y-3乙+5形=-2; 解()对系数的增广矩阵施行行变换有 42-12 13 3-8 3-1210~0-101134 11308 000-6 R(A)=2而R(B)=3,故方程组无解 (2)对系数的增广矩阵施行行变换: 5 01-12 38-213 0000 4-19-6 0000 即得{y=z+2亦即y=k1+ Z=Z 0 (3)对系数的增广矩阵施行行变换 1-11 242 21 1-1-1 00000 y+=z+ 即得{y=y 即=k1+k2|0 v=0 (4)对系数的增广矩阵施行行变换 111 231 21-34 01 00000

5 (3)      + − − = + − + = + − + = 2 1; 4 2 2 2, 2 1, x y z w x y z w x y z w (4)      + − + = − − + − = + − + = 4 3 5 2; 3 2 3 4, 2 1, x y z w x y z w x y z w 解 (1) 对系数的增广矩阵施行行变换,有         − − − −           − − 0 0 0 6 0 10 11 34 1 3 3 8 11 3 0 8 3 1 2 10 4 2 1 2 ~ R(A) = 2 而 R(B) = 3 ,故方程组无解． (2) 对系数的增广矩阵施行行变换:               − − − − − 4 1 9 6 3 8 2 13 1 2 4 5 2 3 1 4               − − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 1 0 2 1 ~ 即得      = = + = − − z z y z x z 2 2 1 亦即           − +           − =           0 2 1 1 1 2 k z y x (3) 对系数的增广矩阵施行行变换:           − − − − 2 1 1 1 1 4 2 2 1 2 2 1 1 1 1           − 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 1 1 1 1 ~ 即得         = = = = − + + 0 2 1 2 1 2 1 w z z y y x y z 即                 +                 +                 − =               0 0 0 2 1 0 1 0 2 1 0 0 1 2 1 k1 k2 w z y x (4) 对系数的增广矩阵施行行变换:           − − − −           − − − − − 0 0 0 0 0 7 5 7 9 7 5 0 1 1 4 3 5 2 1 4 3 5 2 3 2 1 3 4 2 1 1 1 1 ~

10 000 9-70 0 x=-z+-M十 6-757 6 59 即得{y=77 - 即 ,=|+k Z=Z WE w 0 8.九取何值时非齐次线性方程组 x1+x2+x3=1 x1+孔x2+x3=, +x2+x3=22 (1)有唯一解;(2)无解;(3)有无穷多个解? 元1 解(1)11≠0,即A≠1,2时方程组有唯一解 (2)R(A)<R(B) 111 B=1元1元 0a-1 1-元 (1-) 11x2)(00(1-4)(2+)(1-4)(+1)2 由(1-4)(2+4)=0,(1-4)(1+4)2≠0 得元=-2时,方程组无解. (3)R(4)=R(B)<3,由(1-4(2+4)=(1-4)1+)2=0 得孔=1时,方程组有无穷多个解 9.非齐次线性方程组

6                 − − − − 0 0 0 0 0 7 5 7 9 7 5 0 1 7 6 7 1 7 1 1 0 ~ 即得          = = = − − = + + w w z z y z w x z w 7 5 7 9 7 5 7 6 7 1 7 1 即                 + −                 + −                 =               0 0 7 5 7 6 1 0 7 9 7 1 0 1 7 5 7 1 1 2 k k w z y x 8．  取何值时,非齐次线性方程组      + + = + + = + + = 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 , 1,      x x x x x x x x x (1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解? 解 (1) 0 1 1 1 1 1 1     ,即   1,−2 时方程组有唯一解. (2) R(A)  R(B)           = 2 1 1 1 1 1 1 1      B         − + − + − − − 2 2 0 0 (1 )(2 ) (1 )( 1) 0 1 1 (1 ) 1 1 ~           由 (1 )(2 ) 0,(1 )(1 ) 0 2 −  +  = −  +   得  = −2 时,方程组无解. (3) R(A) = R(B)  3 ,由 (1 )(2 ) (1 )(1 ) 0 2 −  +  = −  +  = , 得  = 1 时,方程组有无穷多个解. 9．非齐次线性方程组

2x1+x2+x3=-2, x1-2x2+x3=1, +x2-2x3=x 当x取何值时有解?并求出它的解. 211 解B= 21 01 22 000(-1)(+2) 方程组有解,须(1-)(+2)=0得=1,元=-2 当A=1时方程组解为x2|=k1+0 当=-2时方程组解为x2=k1+2 0 (2-)x1+2x2-2x3=1, 10.设{2x1+(5-4)x2-4x3=2, 2x1-4x2+(5-)x3=-元-1, 问λ为何值时,此方程组有唯一解、无解或有无穷多解?并在有无穷多 解 时求解 2-2 2 解 25--4 2 45---1 初等行变搠15-2 (1-)10-)(1-)(4-4) 2 当/42≠0,即(-)(10-) ≠0∴元≠1且A≠10时,有唯一解 当口10-4 =0且 (1-(4-) ≠0,即孔=10时,无解

7      + − = − + = − + + = − 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 , 2 2,   x x x x x x x x x 当  取何值时有解？并求出它的解． 解             − + − − − −           − − − − = 0 0 0 ( 1)( 2) ( 1) 3 2 0 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 ~ 2      B  方程组有解，须 (1 − )( + 2) = 0 得  = 1, = −2 当  = 1 时,方程组解为           +           =           0 0 1 1 1 1 3 2 1 k x x x 当  = −2 时,方程组解为           +           =           0 2 2 1 1 1 3 2 1 k x x x 10．设      − − + − = − − + − − = − + − = 2 4 (5 ) 1, 2 (5 ) 4 2, (2 ) 2 2 1, 1 2 3 1 2 3 1 2 3     x x x x x x x x x 问  为何值时,此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多 解 时求解． 解           − − − − − − − − − 2 4 5 1 2 5 4 2 2 2 2 1     初等行变换 ~               − − − − − − − − − 2 (1 )(4 ) 2 (1 )(10 ) 0 0 0 1 1 1 2 1 2 5 1         当 A  0 ,即 0 2 (1 ) (10 ) 2  −  −     1 且   10 时，有唯一解. 当 0 2 (1 )(10 ) = −  −  且 0 2 (1 )(4 )  −  −  ，即  = 10 时，无解

当(-2)(104)=0且-2)4-)=0,即=1时,有无穷多解 12-2 此时,增广矩阵为0000 0000 原方程组的解为x2|=k11|+k0+0(k,k2∈R) 0 0 1.试利用矩阵的初等变换,求下列方阵的逆矩阵: 3-20 32 1-2-3-2 323 21 321100 321100 解(1)315010~0-14-110 323001 002-10 320 300 2 0-1011 9-22 002-10 00 23 100 001 故逆矩阵为-1-12

8 当 0 2 (1 )(10 ) = −  −  且 0 2 (1 )(4 ) = −  −  ，即  = 1 时，有无穷多解. 此时，增广矩阵为           − 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 1 原方程组的解为           +           +          − =           0 0 1 1 0 2 0 1 2 1 2 3 2 1 k k x x x ( k1 , k2  R ) 11．试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵： (1)           3 2 3 3 1 5 3 2 1 ; (2)               − − − − − 0 1 2 1 1 2 3 2 0 2 2 1 3 2 0 1 . 解 （1）           0 0 1 0 1 0 1 0 0 3 2 3 3 1 5 3 2 1           − − − 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 2 0 1 4 3 2 1 ~               − − − − 1 0 1 1 1 2 2 1 0 2 3 0 0 2 0 1 0 3 2 0 ~               − − − − 2 1 0 2 1 1 1 2 2 9 2 2 7 0 0 1 0 1 0 3 0 0 ~               − − − − 2 1 0 2 1 1 1 2 2 3 3 2 6 7 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ~ 故逆矩阵为               − − − − 2 1 0 2 1 1 1 2 2 3 3 2 6 7

(2 30101000 22一 010000 0 000 2 2 2 3 2 0000010001000 0 301 I0(0I0 2 000 100 3 2 2 010 0 2 00010001 0 1000100011 0 0 2 362 0 200-1 2 0 0 0 6 0 0 01000 0 0010 6 0 0 2 12 6 0 0 故逆矩阵为 1 2 6 12.(1)设A=221B=22,求X使AX=B;

9 (2)               − − − − − 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 2 1 1 2 3 2 0 2 2 1 3 2 0 1               − − − − 0 1 0 0 1 0 3 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 2 2 1 0 4 9 5 0 1 2 1 1 2 3 2 ~               − − − − − − − − 0 1 0 2 1 0 3 4 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0 1 1 0 1 2 1 1 2 3 2 ~               − − − − − − − 2 1 6 10 1 0 3 4 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 2 1 1 2 3 2 ~               − − − − − − − − − − 2 1 6 10 1 1 3 6 0 1` 0 1 1 1 2 2 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 2 0 0 ~               − − − − − − − 2 1 6 10 1 1 3 6 0 1 0 1 1 1 2 4 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 ~ 故逆矩阵为               − − − − − − − 2 1 6 10 1 1 3 6 0 1 0 1 1 1 2 4 12．(1) 设           − − =           − − = 3 1 2 2 1 3 , 3 1 1 2 2 1 4 1 2 A B ,求 X 使 AX = B ;

021 (2)设A=2-13B 求X使XA=B 解 41-21-3)初等行变换100102 )(4B)= 010-15-3 31-13 001124 ∴X=A-B 15-3 100 2 初等列变挽0 10 33 001 B 123 2-31 474 2-1 X=BA

10 (2) 设         − =           − − = − 2 3 1 1 2 3 , 3 3 4 2 1 3 0 2 1 A B ,求 X 使 XA = B. 解 (1) ( )           − − − − = 3 1 2 2 1 3 3 1 1 2 2 1 4 1 2 A B 初等行变换 ~           − − 12 4 15 3 10 2 0 0 1 0 1 0 1 0 0            = = − − − 12 4 15 3 10 2 1 X A B (2)                     − − − −  =      2 3 1 1 2 3 3 3 4 2 1 3 0 2 1 B A 初等列变换 ~                     − − − 4 7 4 2 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0         − − −  = = − 4 7 4 2 1 1 1 X BA ．