第一章函数 §1.初等函数 数学分析的研究对象是函数。初等数学中我们已经初步地接触到初等函数。首先我们 回顾一下初等函数,用严厉和好奇的目光,看一看定义上它们有什么不完善的地方,性质上 它们还有哪些深刻的东西尚不为认识,为了进一步认识这些性质,需要什么样的新工具 这里讲的初等函数基本上是最基本的初等函数,即常数函数,单项式函数,多项式函数,有 理函数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数,反三角函数,我们还将介绍双曲函数及 其反函数。 常数函数y=c对所有x,-∞<x<+∞.这里-∞,+∞分别表示负无穷大和正无 穷大。也就是说常数函数的定义域为整个实数轴。下面是y=1的函数图形,它是一条与 x轴平行的直线。如果y表示质点运动的速度,这函数表示匀速直线运动。那么从时刻x0 到时刻x1的路程S=c(x1-x)就是图中阴影部分的面积(见下图)。 单项式函数y=x2,k=1,2,3A,对所有x,-<x<+∞。下面是y=x,x2, x3,x4的图形
1 第 一 章 函 数 §1.1 初等函数 数学分析的研究对象是函数。 初等数学中我们已经初步地接触到初等函数。首先我们 回顾一下初等函数, 用严厉和好奇的目光, 看一看定义上它们有什么不完善的地方, 性质上 它们还有哪些深刻的东西尚不为认识, 为了进一步认识这些性质, 需要什么样的新工具。 这里讲的初等函数基本上是最基本的初等函数, 即常数函数, 单项式函数, 多项式函数, 有 理函数, 幂函数, 指数函数, 对数函数, 三角函数, 反三角函数, 我们还将介绍双曲函数及 其反函数。 常数函数 y = c 对所有 x ,- ¥ < x < +¥ . 这里- ¥ ,+ ¥ 分别表示负无穷大和正无 穷大。也就是说常数函数的定义域为整个实数轴。下面是 y = 1 的函数图形, 它是一条与 x 轴平行的直线。 如果 y 表示质点运动的速度, 这函数表示匀速直线运动。那么从时刻 0 x 到时刻 1 x 的路程 ( ) 1 0 S = c x - x 就是图中阴影部分的面积(见下图 )。 0 x0 x1 1 y=1 x y 单项式函数 y = x , k = 1,2,3,L k , 对所有 x ,- ¥ < x < +¥ 。下面是 y = x , 2 x , 3 x ， 4 x 的图形。 x y y=x y=x2 0 0 x y y=x3 0 x y y=x4
从图中我们可以看到y=x2,k=12,3,A,是关于y轴镜面对称的,这样的函数称为偶 函数。 定义实数轴上一个子集XcR称为关于原点对称的,如果对任意的x∈X,都有 定义函数y=f(x)定义在关于原点对称的子集X上,如果对于任意x∈X,有 f∫(x)=f(-x),则称之为偶函数 y=x24,k=12,3,A,是关于原点(0,0)中心对称的,这样的函数称为奇函数 定义函数y=f(x)定义在关于原点对称子集X上,如果对于任意x∈X,有 f∫(-x)=-f(x),则称之为奇函数 这里我们看到,对于单项式函数,奇偶性恰与它的次数的奇偶性相吻合 y y=2X 切线 如果y=2x表示质点运动速度,那么它是匀速直线运动,从时刻x=0到时刻x它走 过的路程是图中阴影三角形面积,等于x2,恰为二次单项式函数。函数y=x2表示了匀速 直线运动的路程,取x时刻函数图形对应点的斜率,表示该时刻质点的瞬时速度,它恰好为 2x。这两个函数之间关系是很深刻和重要的。一个是积分,一个是微分(或导数),构成微 积分的基本研究对象。 多项式函数y=anx”+an1x21+…+a1x+a0 (an≠0),它是有限个单项式函数的线性组合。 y y=a, X+a,yfa y=a2x2+a1x+a0(a2≠0) 给出所有抛物线。在多项式函数中最高次数n称为多项式 函数的次数。奇数次多项式至少有一个根 x,f(x0)=0。为什么?你能给出证明吗? 2
2 从图中我们可以看到 k y x 2 = ，k = 1,2,3,L , 是关于 y 轴镜面对称的，这样的函数称为偶 函数。 定义 实数轴上一个子集 X Ì R 称为关于原点对称的, 如果对任意的 x Î X , 都有 - x Î X 。 定义 函数 y = f (x) 定义在关于原点对称的子集 X 上, 如果对于任意 x Î X ,有 f (x) = f (-x) , 则称之为偶函数。 2 +1 = k y x , k = 1,2,3,L , 是关于原点(0,0)中心对称的, 这样的函数称为奇函数。 定义 函数 y = f (x) 定义在关于原点对称子集 X 上, 如果对于任意 x Î X , 有 f (-x) = - f (x) , 则称之为奇函数。 这里我们看到, 对于单项式函数, 奇偶性恰与它的次数的奇偶性相吻合。 如果 y = 2x 表示质点运动速度, 那么它是匀速直线运动, 从时刻 x = 0 到时刻 x 它走 过的路程是图中阴影三角形面积，等于 2 x ，恰为二次单项式函数。 函数 2 y = x 表示了匀速 直线运动的路程, 取 x 时刻函数图形对应点的斜率, 表示该时刻质点的瞬时速度, 它恰好为 2x 。 这两个函数之间关系是很深刻和重要的。一个是积分,一个是微分(或导数),构成微 积分的基本研究对象。 多项式函数 1 0 1 1 y a x a x ... a x a n n n = n + + + + - - ( an ¹ 0 )，它是有限个单项式函数的线性组合。 1 0 2 2 y = a x + a x + a ( a2 ¹ 0 ) 给出所有抛物线。在多项式函数中最高次数 n 称为多项式 函数的次数 。 奇数次多项式至少有一个根 0 x , f (x0 ) = 0。 为什么？ 你能给出证明吗？ 0 x y y=2x 0 x y y=x2 切线 y=a2 x 2+a1 x+a0 y 0 x
多项式函数有个重要代数性质:两个多项式函数之积仍为一多项式函数,再加上它的 加法运算,它构成一个环,是交换代数研究的对象。 有理函数y P)’P(x),Q(x)都是多项式函数,通常我们假定P(x)和Q(x) 没有非零次的公因式。由于零不能做分母,有理函数的定义域要在实数集中除去分母的零 有理函数的图形一般是比较复杂的,下面是y=x一的图形,想一想是怎样画出 来的。 2500 5000 有了计算机以后,现在很多数学软件,比如 Mathematica, Maple等,用它们画图是 很容易的。打开 Mathematica窗口,用如下命令就可画出上面图形 Plot ly=x2/(x-1)^3,{x,0,2}, Plotrange->{-7500,7500}] 然后同时按 Shift和 Enter键,就大功告成了 但是请君不要忘记,软件是人编的,数学理论和方法才是软件的灵魂! 幂函数y=x2,0<x<+∞,a≠0。如果α=1,2,3,…,它就是单项式函数的 半,这里我们研究一般的α≠0,它甚至可以是无理数。细想一下这个函数并不简单,比 如√2如何定义都很难说清楚,要等到第三册才能给出严格定义,其实√2本身的定 义也需建立实数理论以后才能说清楚。现在可以用进小数逼近来描述它:√2可被1,1,4, 41,1.414,任意逼近,π可被3,3.1,3.14,3.141,,,任意逼近,而13,1431 141314,141414是可以定义的,它们可以任意地逼近一个实数,我们把这个实数理解为 下面图中给出y=x,x2,x+,x四个幂函数的图形。(见下页)
3 多项式函数有个重要代数性质： 两个多项式函数之积仍为一多项式函数， 再加上它的 加法运算，它构成一个环，是交换代数研究的对象。 有理函数 ( ) ( ) P x Q x y = , P( x) ， Q(x) 都是多项式函数， 通常我们假定 P( x) 和Q(x) 没有非零次的公因式。由于零不能做分母，有理函数的定义域要在实数集中除去分母的零 点。 有理函数的图形一般是比较复杂的，下面是 3 2 ( -1) = x x y 的图形， 想一想是怎样画出 来的。 0.5 1 1.5 2 -7500 -5000 -2500 2500 5000 7500 有了计算机以后，现在很多数学软件， 比如 Mathematica，Maple 等，用它们画图是 很容易的。 打开 Mathematica 窗口，用如下命令就可画出上面图形 Plot[y=x^2/(x-1)^3,{x, 0,2},PlotRange->{-7500,7500}] 然后同时按 Shift 和 Enter 键, 就大功告成了。` 但是请君不要忘记，软件是人编的， 数学理论和方法才是软件的灵魂！ 幂函数 a y = x , 0 < x < +¥ ,a ¹ 0 。如果a = 1,2,3,..., 它就是单项式函数的一 半，这里我们研究一般的 a ¹ 0，它甚至可以是无理数。细想一下这个函数并不简单，比 如 p 2 如何定义都很难说清楚， 要等到第三册才能给出严格定义，其实 2 本身的定 义也需建立实数理论以后才能说清楚。 现在可以用进小数逼近来描述它： 2 可被 1,1.4, 1.41, 1.414,...任意逼近，p 可被 3, 3.1, 3.14, 3.141,...任意逼近，而 3 1 , 3.1 1.4 , 3.14 1.41 , 3.141 1.414 是可以定义的，它们可以任意地逼近一个实数，我们把这个实数理解为 p 2 。 下面图中给出 y = x , 2 x , 2 1 x , -1 x 四个幂函数的图形。（见下页）
y 0 它们的上升,下降,凸凹性质是很值得研究的。 当α>0时,y=x在[0,+∞)严格上升,a>1时凸函数(从下往上看,严格定义 以后再讲),00,a≠1) y=a(a1时在(-∞,+∞)严格上升。 a<1时在(-∞,+∞)严格下降。 引进一个无理数e=271828..,以后我们还要详细的研究。y=e是一个理论和实 用上都非常重要的函数。 对数函数y=lg。x,它与指数函数y=a2互为反函数,即如果(x,y)满足 y= log,x,则一定x=a”,所以y= log x的图形恰为y=a的图形沿对角线y=x 翻转180°。 logx=lgx称为常用对数,它在工程中比较常用。log。x=hx称为自然对数,e 称为自然对数的底,它在理论研究中常用。为什么称它“自然”对数,要待日后方知
4 它们的上升，下降，凸凹性质是很值得研究的。 当a > 0时， a y = x 在[0,+¥) 严格上升， a >1时凸函数 (从下往上看， 严格定义 以后再讲)，0 0 , a ¹1). a >1 时在(-¥,+¥) 严格上升。 a 1) x (a<1) y x
y=log x(a>l) 三角函数y=snx(-∞0,使得对x∈(-∞,+∞)
5 1 x y y = log x (a > 1) a y = log x (a 0，使得对 "x Î(-¥,+¥) , 0 0
有∫(x+1)=∫(x),称∫(x)为周期函数,/是∫(x)的一个周期,l是,k都是。最小周 期简称为周期。 但也有的函数没有最小周期,想一想,你能找一个这样的例子吗? 双曲函数 y=sh(x) =ch(r)=e+e-r 悬链线 y=th(x) sh(x)e ch(x)e+e 性质ch2(x)-sh2(x)=1 对照 cosx+sin - x=1 ch(x)+sh"(x)=ch(2x) cos x-sin x=cos(2x) sh(2x)=2sh(x )ch(x) sin( 2x)=2 sin xcos x 令X=ch(x),Y=sh(x),则它们满足双曲方程X2-y2=1,这是双曲函数名称 的由来的原因之一。在单位圆盘上的非欧几何一一双曲几何(俄国人称为罗巴切夫几何 西方称为 Poincare几何)。双曲函数是基本的函数论工具。 反双曲函数反双曲正弦:y=sh-x 反双曲余弦:y=ch-x,只在右半平面上存在 反双曲正切:y=thx
6 有 f (x + l) = f ( x) ，称 f (x) 为周期函数， l 是 f (x) 的一个周期， l 是， kl 都是。 最小周 期简称为周期。 但也有的函数没有最小周期，想一想，你能找一个这样的例子吗？ 双曲函数 2 ( ) x x e e y sh x - - = = 2 ( ) x x e e y ch x - + = = 悬链线 x x x x e e e e ch x sh x y th x - - + - = = = ( ) ( ) ( ) 性质 ( ) ( ) 1 2 2 ch x - sh x = 对照 cos sin 1 2 2 x + x = ( ) ( ) (2 ) 2 2 ch x + sh x = ch x cos sin cos(2 ) 2 2 x - x = x sh(2x) = 2sh(x)ch( x) sin( 2x) = 2 sin x ×cos x 令 X = ch(x) , Y = sh(x) , 则它们满足双曲方程 1 2 2 X -Y = ，这是双曲函数名称 的由来的原因之一。 在单位圆盘上的非欧几何——双曲几何（俄国人称为罗巴切夫几何， 西方称为 Poincaré几何）。双曲函数是基本的函数论工具。 反双曲函数 反双曲正弦: y sh x -1 = 反双曲余弦： y ch x -1 = , 只在右半平面上存在 反双曲正切： y th x -1 = x y 0 0 x y 0 x y
基本初等函数看来并不简单,很多性质有待于我们进一步研究。一般的函数,其内涵更 为丰富。我们仅举一例 q2x-q3, 当其判别式△=q2-27q2≠0时,它可以看成两个函数y=√4x3-92x-q3和 y=-√4x3-q2x-q3拼起来的,而每一个函数,比如y=√4x3-q2x-q3又可看成 个多项式函数二=4x3-q2x-q3和一个幂函数y=2+复合起来的。它的图形如下 这里一条代数曲线,其中学问可谓大矣。由此展开的数学构成代数数论的基本框架, Fermat大定理的证明就源于此,可参考陆洪文的书“模形式和数论”。 §1.2函数的一般概念 设X是实数集的一个子集合,XcR,X中元素也称为变量,它可以表示力学 物理,工程乃至社会人文科学中的对象。一个变量的变化常常会引起另一个变量的变化, 这个关系通常用函数来表示。这一节中的函数是上一节初等函数的一般化。 定义给定X∈R,如果存在某种对应法则∫,使得对于X中任一元素x∈X,都 唯一确定的数y∈R与之对应,则称∫是从X到R的一个函数,记作∫:X→R。函 数∫在x点的值记作y=f(x),X称为函数∫的定义域,x称为自变量,y称为因变 量。从概念上讲,∫(即对应法则)是函数,∫(x)是函数值,两者是不同的。但它们是 相互决定的,今后在大部分场合,不加区分。但有些场合,如微分和微分形式概念中,必 需加以区分。 函数定义有两个要素(X,f),即定义域和对应法则。函数定义一经给定,其值域 f(X)={f(x):x∈H}R也就决定了,求函数的值域成为研究函数的第一个任务。 函数定义域应该是定义中给定的,无需去求。但习惯上,往往先有一个对应法则(通 常由一个公式给出),如无特殊要求,将使这个对应法则(公式)有意义的自变量范围理解 成定义域,这时就产生一个求函数定义域的问题,当然我们不能拒绝它。求函数定义域时 两条基本原则,即零不能做分母和负数不能开平方是要切记的。 7
7 基本初等函数看来并不简单，很多性质有待于我们进一步研究。一般的函数，其内涵更 为丰富。 我们仅举一例 2 3 2 3 y = 4x - q x - q , 当其判别式 27 0 2 3 3 D = q2 - q ¹ 时 , 它可以看成两个函数 2 3 3 y = 4x -q x -q 和 2 3 3 y = - 4x - q x - q 拼起来的，而每一个函数， 比如 2 3 3 y = 4x -q x -q 又可看成一 个多项式函数 2 3 3 z = 4x - q x - q 和一个幂函数 2 1 y = z 复合起来的。 它的图形如下 这里一条代数曲线，其中学问可谓大矣。 由此展开的数学构成代数数论的基本框架， Fermat 大定理的证明就源于此， 可参考陆洪文的书“模形式和数论”。 §1.2 函数的一般概念 设 X 是实数集的一个子集合， X Í R， X 中元素也称为变量， 它可以表示力学， 物理，工程乃至社会人文科学中的对象。 一个变量的变化常常会引起另一个变量的变化， 这个关系通常用函数来表示。 这一节中的函数是上一节初等函数的一般化。 定义 给定 X Í R，如果存在某种对应法则 f ，使得对于 X 中任一元素 x Î X ，都 唯一确定的数 y Î R 与之对应，则称 f 是从 X 到 R 的一个函数，记作 f : X ® R。函 数 f 在 x 点的值记作 y = f (x) ， X 称为函数 f 的定义域， x 称为自变量， y 称为因变 量。从概念上讲， f （即对应法则）是函数， f (x) 是函数值，两者是不同的。 但它们是 相互决定的，今后在大部分场合，不加区分。 但有些场合，如微分和微分形式概念中，必 需加以区分。 函数定义有两个要素(X , f ) , 即定义域和对应法则。 函数定义一经给定，其值域 f (X) = { f (x) : x Î X} Í R 也就决定了，求函数的值域成为研究函数的第一个任务。 函数定义域应该是定义中给定的，无需去求。 但习惯上，往往先有一个对应法则（通 常由一个公式给出），如无特殊要求，将使这个对应法则（公式）有意义的自变量范围理解 成定义域，这时就产生一个求函数定义域的问题， 当然我们不能拒绝它。 求函数定义域时 两条基本原则，即零不能做分母和负数不能开平方是要切记的
上一节的初等函数都是用公式给出的,这是函数表示最常用的方法,但不是唯一的方 法,实际工作中还有穷举法,描述法,列表法和图形法。 定义平面R2上的点集E={(x,f(x):x∈H}称为函数f(x)的图形 例1绝对值函数y=x| 1x>0 例2符号函数y=g(x)={0x=0, 我们常有sgnx·x=x|。 例3Gaus取整函数y=[x],[x表示不超过x的最大整数,其图形是黄山路上 的百步云梯 比如:[3.5]=3,[3]=3,[-3.5]=-4 常有[x]≤x<[x]+1,及0≤x-[x]<1。它是计算机中将浮点数变为整点数的基本方 法,不妨在计算机上试一试。用它还可写出四舍五入的取整函数,不妨试一试。与此有关 一个的函数∫(x)=x-[x]的图形是一条大锯,画出图看一看 例4公民交纳个人所得税数额由他每月收入决定 800<x≤1300 y=500 +(x-1300) 25+150+(x-80×15280×580 例5 Dirichlet函数 8
8 上一节的初等函数都是用公式给出的， 这是函数表示最常用的方法， 但不是唯一的方 法，实际工作中还有穷举法，描述法，列表法和图形法。 定义 平面 2 R 上的点集 E = {( x, f ( x)) : xÎ X}称为函数 f (x) 的图形。 例 1 绝对值函数 y =| x |。 例 2 符号函数 y = sgn( x) = ï î ï í ì - 1 0 0 0 1 0 x x x ， 我们常有 sgn x × x =| x |。 例 3 Gauss 取整函数 y = [ x] , [ x] 表示不超过 x 的最大整数，其图形是黄山路上 的百步云梯。 比如： [3.5]=3, [3]=3, [-3.5]=-4。 常有 [ x] £ x < [x]+1, 及0 £ x -[x] <1。它是计算机中将浮点数变为整点数的基本方 法，不妨在计算机上试一试。 用它还可写出四舍五入的取整函数，不妨试一试。与此有关 一个的函数 f (x) = x - [x]的图形是一条大锯，画出图看一看。 例 4 公民交纳个人所得税数额由他每月收入决定 ï ï ï î ï ï ï í ì + + - ´ < £ ´ + - ´ < £ - ´ < £ £ £ = 2800 5800 100 15 25 150 ( 2800 ) 1300 2800 100 10 ( 1300 ) 100 5 500 800 1300 100 5 ( 800 ) 0 0 800 x x x x x x x y 例 5 Dirichlet 函数 0 0 y 0 x y=|x|
为有理数 y=D(x) 0x为无理数 这是一个病态函数,很有用处,却无法画出它的图形。它是周期函数,但却没有最小周 期,事实上任一有理数都是它的周期 几个常用的经济学函数 需求函数:需求量Q一般与商品的价格P、社会需求与心理、季节有关,当然最重 要的是价格因素,所以最简单的Q=f(P),而且一般是P的下降函数。其反函数 P=P(Q),称为价格函数,一般它也是下降函数,需求越少,价格越贵,曲高和寡 成本函数:成本主要的是产量的函数,最简单的模型是C=C(x)=ax+b,其中b 为固定成本,a为可变成本,x是产品产量,C(x)表示生产x件(或其它度量单位,如 吨,立方米等)产品的总成本。C(x)=(+ 称为单位成本或平均成本 销售收入函数:R=p·x=p(x)·x,其中x为销售量,p=p(x)为价格 利润函数:L(x)=R(x)-C(x) 函数的有界性对函数f:X→R,若存在M>0,对任意x∈x,有f(x)≤M,则 称f(x)在X上有界 如y=sinx,y=cosx,y=D(x)都是有界函数:y=x2在X=[-2,2]是有界 的,但在(-∞,+∞)是无界的 逻辑符号:彐存在,V任意,它们是一对,互为否命题。 f R有界:彐M>0,使得∨x∈X,有f(x)≤ 无界:Wn=123A,3xn∈X,使得f(xn (x)=-在[0,1]无界 函数的单调性X是一区间([a,b]闭区间,(a,b)开区间,(a,b],[a,b)半开半闭区 间,(-∞,a],[a,+∞),(-∞,+∞)无穷区间),f:X→R。如果Vx1,x2∈X
9 î í ì = = 为无理数 为有理数 x x y D x 0 1 ( ) 这是一个病态函数，很有用处，却无法画出它的图形。 它是周期函数，但却没有最小周 期，事实上任一有理数都是它的周期。 几个常用的经济学函数 需求函数： 需求量Q 一般与商品的价格 P 、社会需求与心理、季节有关，当然最重 要的是价格因素，所以最简单的 Q = f (P) ，而且一般是 P 的下降函数。 其反函数 P = P(Q) ，称为价格函数，一般它也是下降函数，需求越少，价格越贵，曲高和寡。 成本函数： 成本主要的是产量的函数，最简单的模型是 C = C(x) = ax + b ，其中 b 为固定成本，a 为可变成本， x 是产品产量，C(x) 表示生产 x 件（或其它度量单位，如 吨，立方米等）产品的总成本。 x C x C x ( ) ( ) = 称为单位成本或平均成本。 销售收入函数： R = p × x = p( x) × x ，其中 x 为销售量， p = p(x) 为价格。 利润函数： L( x) = R(x) - C( x)。 函数的有界性 对函数 f : X ® R, 若存在 M > 0 , 对任意 x Î X , 有 f (x) £ M ，则 称 f (x) 在 X 上有界。 如 y = sin x ， y = cos x , y = D( x) 都是有界函数； 2 y = x 在 X = [-2,2] 是有界 的，但在 (-¥,+¥) 是无界的。 逻辑符号： $ 存在，" 任意，它们是一对，互为否命题。 f : X ® R 有界：$M > 0 , 使得 "xÎ X , 有 f (x) £ M 。 f : X ® R 无界："n = 1,2,3L , $xn Î X , 使得 f (xn ) > n 。 如： x f x 1 ( ) = 在[0，1] 无界。 函数的单调性 X 是一区间（[a, b] 闭区间， (a, b) 开区间，(a, b]，[a, b) 半开半闭区 间，(-¥, a]，[a, + ¥) ，(-¥, + ¥) 无穷区间）, f : X ® R。如果 1 "x , x2 Î X
x,则称∫(x)在X严格单调上升或下降 如:y=x3,y=[x]在(-∞,+∞)单调上升,且前者严格单调上升 例题证明∫:X→R有界的充要条件为:彐M,m,使得对x∈X m≤f(x)≤M。 证明如果f:X→R有界,按定义彐M>0,Wx∈X有|fx)≤M,即 M≤f(x)≤M,取m=-M,M=M即可 反之如果彐M,m使得Vx∈X,m≤f(x)≤M,令M0=max(M|+1mn), 则|f(x)M0,即彐M0>0,使得对x∈X,有f(x)M0,即∫:X→R有 界。 函数的延拓和限制 AcX,∫:X→R,q:A→R,o(x)=f(x),Ⅵx∈A,则为函数∫在 A的限制,记做f∫称为到X上的延拓。 对延拓可加各种合理的要求,以满足人们的需求。在信号处理或图象处理中,如果滤 波器较长,用它来对信号或图象进行变换时,就需对信号或图象进行延拓,通常可采用周 期延拓,奇延拓或偶延拓等。 §1.3复合函数和反函数 对函数可以实行加减法运算和乘法运算∫(x)+8(x),∫(x)-g(x),∫(x)·g(x),也 可以实行除法运算少(x,这时要特别小心,要除去g(x)=0的点。这节中我们研究另外 两种重要的运算一—复合和反函数。 复合函数
10 1 2 x ， 则称 f (x) 在 X 严格单调上升或下降。 如： 3 y = x ， y = [ x] 在 (-¥ , +¥ ) 单调上升，且前者严格单调上升。 例 题 证 明 f : X ® R 有界的充要条件为 ： $ M , m ， 使得对 "xÎ X , m £ f ( x) £ M 。 证 明 如果 f : X ® R 有界，按定义 $ M >0， "xÎ X 有 f (x) £ M ，即 - M £ f ( x) £ M , 取m = -M , M = M 即可。 反之如果 $ M ,m 使得 "xÎ X , m £ f ( x) £ M ，令 max(| | 1,| |) M0 = M + m ， 则 0 | f (x) |£ M ， 即 $ M0 > 0 ，使得对"xÎ X , 有 0 | f (x) |£ M ，即 f : X ® R 有 界。 函数的延拓和限制 A Ì X , f : X ® R，j : A ® R， j (x) = f ( x) , "xÎ A, 则 j 为函数 f 在 A 的限制，记做 A f ， f 称为 j 到 X 上的延拓。 对延拓可加各种合理的要求，以满足人们的需求。 在信号处理或图象处理中， 如果滤 波器较长，用它来对信号或图象进行变换时， 就需对信号或图象进行延拓， 通常可采用周 期延拓，奇延拓或偶延拓等。 §1.3 复合函数和反函数 对函数可以实行加减法运算和乘法运算 f (x) + g( x) ， f (x) - g( x) , f (x)× g(x) ，也 可以实行除法运算 ( ) ( ) g x f x ，这时要特别小心，要除去 g (x) = 0 的点。这节中我们研究另外 两种重要的运算——复合和反函数。 1.复合函数