第四章微商与微分 §1微商概念及其计算 1.求抛物线y=x2在A(1,1)点和B(-2,4)点的切线方程和法线方程. 2.若S g2,求 (1)在t=1,t=1+△t之间的平均速度(设△t=1,0.,0.01); (2)在t=1的瞬时速度 3.试确定曲线y=lx在哪些点的切线平行于下列直线: x2,x>3 4.设f(x) x+b,x<3, 试确定a,b的值,使f(x)在x=3处可导 5.求下列曲线在指定点P的切线方程和法线方程 子,P P(0,1) 6.求下列函数的导函数 2)f(x) x<0;
第四章 微商与微分 §1 微商概念及其计算 1．求抛物线y = x 2在A(1, 1)点和B(−2, 4)点的切线方程和法线方程． 2．若S = vt − 1 2 gt2，求 （1）在t = 1, t = 1 + ∆t之间的平均速度（设∆t = 1, 0.1, 0.01）； （2）在t = 1的瞬时速度． 3．试确定曲线y = ln x在哪些点的切线平行于下列直线： （1）y = x − 1； （2）y = 2x − 3． 4．设f(x) = x 2 , x ≥ 3 ax + b, x < 3, 试确定a, b的值，使f(x)在x = 3处可导． 5．求下列曲线在指定点P的切线方程和法线方程： （1）y = x 2 4 , P(2, 1)； （2）y = cos x, P(0, 1)． 6．求下列函数的导函数. （1）f(x) = |x| 3 ； （2）f(x) = x + 1, x ≥ 0, 1, x < 0; 1
7.设函数f(x) rn sin1,x≠0 (m为正整数) 试问:(1)m等于何值时,f(a)在x=0连续; (2)m等于何值时,f(x)在x=0可导 (3)m等于何值时,f(x)在x=0连续 设g(0)=g(0 f(a) g(x)im1,x≠ 0, 0. 求f(0) 9.证明:若f(xo)存在,则 f(xo+△x)-f(xo-△x) △r→0 f(ao) 10.设f(x)是定义在(-∞,+∞)上的函数,且对任意x1,x2∈(-∞,+∞), 若f(0)=1,证明任意x∈(-∞,+∞),有f(x)=f(x) 11.设f(x)是偶函数,且f(0)存在,证明:f(0)=0 12.设f(x)是奇函数,且f(xo)=3,求f(-xo). 13.用定义证明:可导的偶函数的导函数是奇函数,可导的奇函数 的导函数是偶函数 14.求下列函数的导函数: (1)y=x sinc (3)y=rtan c-7r+6;
7．设函数f(x) = x m sin 1 x , x 6= 0 0, x = 0 （m为正整数）． 试问：（1）m等于何值时，f(x)在x = 0连续； （2）m等于何值时，f(x)在x = 0可导； （3）m等于何值时，f 0 (x)在x = 0连续． 8．设g(0) = g 0 (0) = 0，f(x) = g(x) sin 1 x , x 6= 0, 0, x = 0. 求f 0 (0)． 9．证明：若f 0 (x0)存在，则 lim ∆x→0 f(x0 + ∆x) − f(x0 − ∆x) 2∆x = f 0 (x0) 10．设f(x)是定义在(−∞, +∞)上的函数，且对任意x1, x2 ∈ (−∞, +∞)， 有 f(x1 + x2) = f(x1)f(x2). 若f 0 (0) = 1，证明任意x ∈ (−∞, +∞)，有f 0 (x) = f(x)． 11．设f(x)是偶函数，且f 0 (0)存在，证明：f 0 (0) = 0． 12．设f(x)是奇函数，且f 0 (x0) = 3，求f 0 (−x0). 13．用定义证明：可导的偶函数的导函数是奇函数，可导的奇函数 的导函数是偶函数． 14．求下列函数的导函数： （1）y = x 2 sin x； （2）y = x cos x + 3x 2； （3）y = x tan x − 7x + 6； 2
(4)y=e sin r-7 x+5 x2 (5)y=4√x+1-2r3 6)y=3x+ (8)y=1+x+xi (9)y=(1-x)(2-) (10) 1)y=1 (12) 13)y (14) (15)y=(x+1)ln (16)y L COS T-In r (17)y=x+cos 2 (18)y=xs rsin t+cosar sin r-cos r i (20) cSin ln r 15.求下列复合函数的导函数: (1)y=(x3-4) 3
（4）y = e x sin x − 7 cos x + 5x 2； （5）y = 4√ x + 1 x − 2x 3； （6）y = 3x + 5√ x + 7 x3； （7）y = 1+x 2 1−x2； （8）y = 1 1+x+x2； （9）y = x (1−x)(2−x)； （10）y = 1 1+√ x − 1 1− √ x； （11）y = 1+√ x 1− √ x； （12）y = 1 3 √ x + √3 x； （13）y = x 3 ln x − 1 n x n； （14）y = cos x x4 ln 1 x； （15）y = (x + 1 x ) ln x； （16）y = x cos x−ln x x+1 ； （17）y = 1 x+cos x； （18）y = x sin x+cos x x sin x−cos x； （19）y = xex−1 sin x ； （20）y = x sin x ln x． 15．求下列复合函数的导函数： （1）y = (x 3 − 4)3； 3
(3)y=√a2 (4)y= (5) )y=是lm|a+ (7)y=ln(x+va2+x2); (9)y=cos(cs√x); (10)y=cos r-cos 3 c; (11y=-32; (12)y=arcsin(sin r cos c); (14) y=e-z+2 (15)y=nv (16)y=e2sin3x+号; (17)y=出(k,u为常数; (18)y=xVa2-x2+、ax (19)y=sin" cos nz: (20) In
（2）y = x(a 2 + x 2 ) √ a 2 − x 2； （3）y = √ x a 2−x2； （4）y = 3 q 1+x3 1−x3； （5）y = ln(ln x)； （6）y = 1 2 ln ¯ ¯a+x a−x ¯ ¯； （7）y = ln(x + √ a 2 + x 2)； （8）y = ln tan x 2； （9）y = cos(cos √ x)； （10）y = cos3 x − cos 3x； （11）y = √ 1 2π e −3x 2； （12）y = arcsin(sin x cos x)； （13）y = arctan 2x 1−x2； （14）y = e −x 2 +2x； （15）y = ln q(x+2)(x+3) x+1 ； （16）y = e 2x sin 3x + x 2 2 ； （17）y = e −kx sin ωx 1+x (k, ω为常数； （18）y = x √ a 2 − x 2 + √ x a 2−x2； （19）y = sinn x cos nx； （20）y = ln √ 1+x− √ √ 1−x 1+x+ √ 1−x． 4
16.用对数求导法求下列函数的导函数 (1) (2)y=÷ (5) (x>0) (6)y (1+x)2,(x>0); (7)y=rtant, (a>0); (8)y=asnx,(a>0) 17.设f(x)是对x可求导的函数,求出 1)y=f(x2) (2)y= f(e e (3)y=f(f(f(x) l8.设y(x)和(x)是对x可求导的函数,求: √p2(x)+2(x); (2)y= arctan par(v(a)+O) (3)y=yv(x)(v(x)>0,y(x)≠0 )(v(x)>0.,y(x)>0.,y(x)≠1) 19.求下列函数的导函数
16．用对数求导法求下列函数的导函数： （1）y = x q1−x 1+x； （2）y = x 2 1−x q 1+x 1+x+x2； （3）y = (x + √ 1 + x 2) n； （4）y = x x ,(x > 0)； （5）y = x ln x ,(x > 0)； （6）y = (1 + x) 1 x ,(x > 0)； （7）y = x tan x ,(x > 0)； （8）y = a sin x ,(a > 0)． 17．设f(x)是对x可求导的函数，求dy dx： （1）y = f(x 2 )； （2）y = f(e x )e f(x)； （3）y = f(f(f(x)))． 18．设ϕ(x)和ψ(x)是对x可求导的函数，求dy dx： （1）y = p ϕ2(x) + ψ2(x)； （2）y = arctan ϕ(x) ψ(x) (ψ(x) 6= 0)； （3）y = ϕ(xp) ψ(x)(ψ(x) > 0, ϕ(x) 6= 0)； （4）y = logϕ(x) ψ(x) (ψ(x) > 0, ϕ(x) > 0, ϕ(x) 6= 1)． 19．求下列函数的导函数： 5
(1) (2)y=r arctan -In(1+ t arctan Irz (4)y=arctan(tan2) (5)y=(#)()(a)(a,b>0); (6)y=2Va2-x2+2 arcsin (a>0); 2Va2+x2+2In a+ (8)y=In(arccos y) (a>0); 2微分概念及其计算 1.求下列函数在指定点的微分: (1) 求dy(0,dy(1) (2)y=sex+tanx,求dy(0),dy()和dy(x); (3)y=d arctan yidy(0), dy(a) (4)y=1+是,求d(0.1),d0.01) 2.求下列函数的微分: (2)
（1）y = e ax(cos bx + sin bx)； （2）y = x arctan x − 1 2 ln(1 + x 2 )； （3）y = arctan √ 1−x2−1 x + arctan 2x 1−x2； （4）y = arctan(tan2 x)； （5）y = (a b ) x ( b x ) a ( x a ) b (a, b > 0)； （6）y = x 2 √ a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a (a > 0)； （7）y = x 2 √ a 2 + x 2 + a 2 2 ln ¯ ¯ ¯ x + √ a 2 + x 2 ¯ ¯ ¯(a > 0)； （8）y = ln(arccos √ 1 x )； （9）y = x a a + a x a + a a x (a > 0)； （10）y = 1 6 ln (x+1)2 x2−x+1 + √ 1 3 arctan 2x√−1 3 ． §2 微分概念及其计算 1．求下列函数在指定点的微分： （1）y = anx n + an−1x n−1 + · · · + a1x + a0 ，求dy(0), dy(1)； （2）y = sec x + tan x，求dy(0), dy( π 4 )和dy(π)； （3）y = 1 a arctan x a，求dy(0), dy(a)； （4）y = 1 x + 1 x2，求dy(0.1), dy(0.01)． 2．求下列函数的微分： （1）y = x 1−x2； （2）y = x ln x − x； 6
+Inc-e (5)y=sina 6)y= In tan(+哥)小 3.设u,是x的可微函数,求dy: + 4.求下列函数的微分dy: nt, t=In(3 +1): (2)y=ln(3t+1),t x3-2x+5 (4)y=arctan u, u=(Int)2, t=1+r2-cotr §3隐函数与参数方程微分法 1求下列隐函数的导数 +=1(a,b为常数 (2)y2=2pr(P为常数); (3)x2+xy+y2=a2(a为常数) 7
（3）y = √ x + ln x − √ 1 x； （4）y = arcsin √ 1 − x 2； （5）y = e sin x 2； （6）y = ln ¯ ¯tan(x 2 + π 4 ) ¯ ¯． 3．设u, v是x的可微函数，求dy： （1）y = arctan u v； （2）y = ln √ u 2 + v 2； （3）y = ln sin(u + v)； （4）y = √ 1 u2+v 2． 4．求下列函数的微分dy： （1）y = sin2 t, t = ln(3x + 1)； （2）y = ln(3t + 1), t = sin2 x； （3）y = e 3u , u = 1 2 ln t, t = x 3 − 2x + 5； （4）y = arctan u, u = (ln t) 2 , t = 1 + x 2 − cot x． §3 隐函数与参数方程微分法 1.求下列隐函数的导数dy dx： （1）x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1(a, b为常数)； （2）y 2 = 2px(p为常数)； （3）x 2 + xy + y 2 = a 2 (a为常数)； 7
(5)y=x+ (6)x3+y3=a3(a为常数) (7)y=cos(a +y) (8)y=r+ arctan 1-In(a +y) (10)arctan=Invx2+y 2.求下列参数方程的导数 (2) e cos In tan 2 +cos t) y=asin t 3.求函数y=y(a)在指定点的导数: COS 号siny,(受,0) (2)yer+lny=1,(0,1) r=t- sin t 在t=,丌处;
（4）x 3 + y 3 − xy = 0； （5）y = x + 1 2 sin y； （6）x 2 3 + y 2 3 = a 2 3 (a为常数)； （7）y = cos(x + y)； （8）y = x + arctan y； （9）y = 1 − ln(x + y) + e y； （10）arctan y x = ln p x 2 + y 2． 2．求下列参数方程的导数： （1） x = t 1+t y = 1−t 1+t ； （2） x = sin2 t y = cos2 t ； （3） x = e 2t cos2 t y = e 2t sin2 t ； （4） x = a(ln tan t 2 + cost) y = a sin t ． 3．求函数y = y(x)在指定点的导数： （1）y = cos x + 1 2 sin y,( π 2 , 0)； （2）yex + ln y = 1,(0, 1)； （3） x = t − sin t, y = 1 − cost, 在t = π 2 , π处； 8
1 (4) 处 y t3, 4.一个圆锥型容器,深度为10m,上面的顶圆半径为4m (1)灌入水时,求水的体积V对水面高度h的变化率 (2)求体积V对容器截面圆半径R的变化率. 设 t, y (1)求y/(t) (2)证明曲线的切线被坐标轴所截的长度为一个常数 6.证明:曲线 =a(cost+tsint) 上任一点的法线到原点的距离 cost 恒等于c §4高阶微商与高阶微分 1求下列函数在指定点的高阶导数: (1)f(x)=3x3+4x2-5x-9,求(1),P"(1,f(4(1); ④x,求fO,(1,-1) 2.求下列函数的高阶导数: lnx,求y" 求y"; )y=x2e2n,求y 求y
（4） x = 1 − t 2 , y = t − t 3 , 在t = √ 2 2 , √ 3 3 处． 4．一个圆锥型容器，深度为10m，上面的顶圆半径为4m. （1）灌入水时，求水的体积V对水面高度h 的变化率； （2）求体积V对容器截面圆半径R的变化率． 5．设x = a cos3 t, y = a sin3 t． （1）求y 0 (t)； （2）证明曲线的切线被坐标轴所截的长度为一个常数． 6．证明：曲线 x = a(cost + tsin t) y = a(sin t − t cost) 上任一点的法线到原点的距离 恒等于a. §4 高阶微商与高阶微分 1.求下列函数在指定点的高阶导数： （1）f(x) = 3x 3 + 4x 2 − 5x − 9，求f 00(1), f000(1), f(4)(1)； （2）f(x) = √ x 1+x2 ,求f 00(0), f00(1), f00(−1)． 2．求下列函数的高阶导数： （1）y = x ln x，求y 00 ； （2）y = e −x 2，求y 000 ； （3）y = x 2 e 2x ,求y (n)； （4）y = arcsin √ x 1−x2 ，求y (n)； 9
(5)y=x5cosx,求y/( (6)y=x3 求 3.求下列函数的n阶导数 l 4.求下列函数的n阶导数: (2) (3)y=xl=s; (6)y=2InT 5.设f(x)的各阶导数存在,求"及y". f(x2) 2)y=f( (3)y=f(e-); (4)y=f(nx); (5)y=f(f(x) 6.若(以)c点,x≠0 证明f(n)(0) 0.x=0
（5）y = x 5 cos x，求y (50)； （6）y = x 3 e x−e −x 2 ，求y (30)． 3．求下列函数的n阶导数： （1）y = a x； （2）y = ln x． 4．求下列函数的n阶导数： （1）y = 1 x(1−2x)； （2）y = sin2 x； （3）y = 1 x2−2x−8； （4）y = e x x ； （5）y = ln x+2 1−x； （6）y = 2x ln x． 5．设f(x)的各阶导数存在，求y 00及y 000． （1）y = f(x 2 )； （2）y = f( 1 x )； （3）y = f(e −x )； （4）y = f(ln x)； （5）y = f(f(x))． 6．若f(x) = e − 1 x2 , x 6= 0 0, x = 0 ，证明f (n) (0) = 0． 10