第七章定积分 81定积分的概念 1.已知下列函数在指定区间上可积,用定义求下列积分: (1)∫dx(00) 2.设f(x)在a+cb+q可积,证明f(x+c)在a,b上可积,且 f(a+c)d.c= f(a)d 设 1,x=c,c∈ f(x)= 0,x∈a,c)∪(c,b 求证Cf(x)dx=0 4.若函数f(x)在[a,b上可积,其积分是,今在a,内有限个点上改 变f(x)的值使它成为另一函数f*(x),证明f(x)也在a,b上可积,并且积 分仍为Ⅰ §2定积分的基本性质 1.设f(x)在[a,b连续,f(x)≥0,f(x)不恒为零,证明
第七章 定积分 §1 定积分的概念 1. 已知下列函数在指定区间上可积，用定义求下列积分： (1) R b a xdx(0 0). 2．设f(x)在[a + c, b + c]可积，证明f(x + c)在[a, b]上可积，且 Z b a f(x + c)dx = Z b+c a+c f(x)dx. 3．设 f(x) = 1, x = c, c ∈ (a, b), 0, x ∈ [a, c) ∪ (c, b], 求证R b a f(x)dx = 0. 4．若函数f(x)在[a, b]上可积，其积分是I，今在[a, b]内有限个点上改 变f(x)的值使它成为另一函数f ∗ (x)，证明f ∗ (x)也在[a, b]上可积，并且积 分仍为I. §2 定积分的基本性质 1. 设f(x)在[a, b]连续，f(x) ≥ 0，f(x)不恒为零，证明 Z b a f(x)dx > 0. 1
2.设f(x)在{a,连续,∫f2(x)dx=0,证明f(x)在a,上恒为零 3.举例说明f2(x)在a,b可积,但f(x)在[a,b不可积 4.比较下列各对定积分的大小 ra (2)J2 5.证明下列不等式(设所给的积分存在); (1)1≤/edr≤e; 1≤J2 ≤盘 (3)≤ √ (4)3E≤J0 证明 (1)im/ 2)lim o sin"dx=0 n→00 7.设f(x),g(x)在{a,b连续,证明 in∑∫(s)9(0)△n;=/fa)(a)dx 其中a rn=b,△x;=x 5,B1∈[x-1,xl](i 1,2,…,n),A=max{△r}
2. 设f(x)在[a, b]连续，R b a f 2 (x)dx = 0，证明f(x)在[a, b]上恒为零. 3. 举例说明f 2 (x)在[a, b]可积，但f(x)在[a, b]不可积. 4. 比较下列各对定积分的大小： (1) R 1 0 xdx , R 1 0 x 2dx； (2) R π 2 0 xdx, R π 2 0 sin xdx； (3) R −1 −2 ( 1 3 ) xdx, R 1 0 3 xdx . 5．证明下列不等式（设所给的积分存在）； (1) 1 ≤ R 1 0 e x 2 dx ≤ e； (2) 1 ≤ R π 2 0 sin x x dx ≤ π 2； (3)π 2 6 R π 2 0 √ dx 1− 1 2 sin2 x 6 √π 2 ； (4) 3√ e ≤ R 4e 0 ln √ xdx x ≤ 6. 6．证明： (1) limn→∞ R 1 0 x n 1+x dx = 0； (2) limn→∞ R π 2 0 sinn xdx = 0. 7．设f(x), g(x)在[a, b]连续，证明 lim λ→0 Xn i=1 f(ξi)g(θi)∆xi = Z b a f(x)g(x)dx 其中a = x0 < x1 < · · · < xn = b, ∆xi = xi − xi−1, ξi , θi ∈ [xi−1, xi ](i = 1, 2, · · · , n), λ = max 1≤i≤n {∆xi}. 2
8.设f(x)在{a,b连续,且f(a)=0,求证 f(a)dr≤ max 9.设00,求证: f()f(a)dx 14.设y=y(x)(x≥0)是严格单调增加的连续函数,y(0) o(y)是它的反函数,证明 y(x)d+/o()y2ab(a≥0b≥0 3
8. 设f 0 (x)在[a, b]连续，且f(a) = 0，求证： ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Z b a f(x)dx ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ (b − a) 2 2 max a≤x≤b ¯ ¯f 0 (x) ¯ ¯ . 9. 设0 0，求证： Z 1 0 1 f(x) dx ≥ 1 R 1 0 f(x)dx . 14. 设y = ϕ(x)(x ≥ 0)是严格单调增加的连续函数，ϕ(0) = 0, x = φ(y)是它的反函数，证明 Z a 0 ϕ(x)dx + Z b 0 φ(y)dy ≥ ab(a ≥ 0, b ≥ 0). 3
15.用一致连续定义验证 (1)f(x)=在0.,1上是一致连续的; (2)f(x)=sinx在(-∞,+∞)上是一致连续的; (3)f(x)=x2在a,上一致连续,但在(-∞,+∞)上不一致连续; (4)f(x)=sinx2在(-∞,+∞)上不一致连续 s3微积分基本定理 计算下列定积分 (1)J (2)Jo Va-sd. (3)J (4)/=3 (5)Jnd.c (6)∫|nxdx; 2.求下列极限: (1)lim (2)im(+m+…+); (3)lm∑ ∞k=1 (4)lim1v/n(n+1)…(2n+1) 3.若f(x)连续,求F(x):
15. 用一致连续定义验证： (1) f(x) = √3 x在[0, 1]上是一致连续的； (2) f(x) = sin x在(−∞, +∞)上是一致连续的； (3) f(x) = x 2在[a, b]上一致连续，但在(−∞, +∞)上不一致连续； (4) f(x) = sin x 2在(−∞, +∞)上不一致连续. §3 微积分基本定理 1. 计算下列定积分： (1) R π 0 cos2 xdx； (2) R a 0 √ a − xdx； (3) R π 0 p 1 − sin2 xdx； (4) R −3 −4 dx x √ x2−4； (5) R 2 1 ln x x dx； (6) R e 1 e |ln x|dx； 2．求下列极限： (1) limn→∞ Pn k=1 1 n sin kπ n ； (2) limn→∞ ¡ 1 n + 1 n+1 + · · · + 1 2n ¢； (3) limn→∞ Pn k=1 k n2； (4) limn→∞ 1 n pn n(n + 1)· · ·(2n + 1)； 3．若f(x)连续，求F 0 (x)： 4
(1)F(x)=J0f(t)d; (2)F(a)=f(t)dt (3)F(x)=/cot; 4.求下列极限: (1)lim 2)lim 5.设f(x)在0,+∞)连续且单调递增,求证:函数 F(r) f(t)dt 在(0,+∞)上连续且单调递增。 §4定积分的计算 1.计算下列定积分 1)2(+3d (2)升 (3)∫:xV2-5dm; ()∫(√+) (5)0√4-x2d sin nm r cos n rdar (8)5
(1) F(x) = R x 2 0 f(t)dt； (2) F(x) = R b x f(t)dt； (3) F(x) = R x 3 x e t 2 dt； 4．求下列极限： (1) limn→∞ R x 0 cos t 2 dt x ； (2) limn→∞ ³R x 0 e t 2 dt´2 R x 0 e 2t2 dt ； 5．设f(x)在[0, +∞)连续且单调递增，求证：函数 F(x) = 1 x Z x 0 f(t)dt 在(0, +∞)上连续且单调递增。 §4 定积分的计算 1. 计算下列定积分 (1) R 2 1 (x+1)(x 2−3) 3x2 dx； (2) R 1 0 x 2+1 x4+1 dx； (3) R 1 5 − 1 5 x √ 2 − 5xdx； (4) R 9 4 ( √ x + √ 1 x )dx； (5) R 1 0 √ 4 − x 2dx； (6) R a 0 x 2 √ a 2 − x 2dx； (7) R π 2 0 sin mx cos nxdx； (8) R 1 0 dx (x2−x+1)3/2； 5
(10)04a(x+va)dx; (1)1m2dx; (12)Jo ever: (13)Jo a arctan cd. (14)Jo.cos cdz (15) I a2cos2cdc d (17)J_ sin m. cos ncdc; (18)2Va+d(a>0 (19) (20)Jx3(1-5x2)0d 2.计算下列定积分 (1)∫2 sin xdx; (2)J (4)Jo cos'adr (5)J0(a2-x2)d; (6)0(1-x2a
(9) R 3 0 xdx 1+√ 1+x； (10) R 4 0 x(x + √ x)dx； (11) R π 2 1 cos x 1+sin2 x dx； (12) R 1 0 e √ xdx； (13) R 1 0 x arctan xdx； (14) R 2π 0 x 2 cos2 xdx； (15) R π −π x 2 cos2 xdx； (16) R √ ln 2 0 x 3 e −x 2 dx； (17) R π −π sin mx cos nxdx； (18) R a 0 x 2 qa−x a+x dx(a > 0)； (19) R 2a 0 √ x2−a 2 x4 dx； (20) R √1 5 0 x 3 (1 − 5x 2 ) 10dx ； 2．计算下列定积分 (1) R π 2 0 sin9 xdx； (2) R π 0 sin5 xdx； (3) R 2π 0 cos6 xdx； (4) R 3π 2 0 cos7 xdx； (5) R a 0 (a 2 − x 2 ) ndx ； (6) R 1 0 (1 − x 2 ) 6dx； 6
3.证明连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数,连续的偶函数的原 函数中有且只有一个为奇函数 4.设f(x)在所示区间上是连续函数,证明 1)J0 f(sin )d x=Jo f(cos )d.c: (2)Jo f(sin z)dr= 2Jo f(sin )dr (3)/f(x2+s)=(x+) (4)Jorf(a d x=2Jo af(a)dc(a>0) 5.计算积分Jaos出 i da 6.利用分部积分法证明: f(u)(a-u)du=/(f(r)da)du 7.设f"(x)在[a,连续,且f(a)=f(b)=0,求证: (1)Sf()dr=2Jo r"(a)(ar-a)(a-b)dr (2) f()de s(r2 max I"(a)l 8.设f(x)在>0时连续,对任意a,b>0,积分值 f(a)d 与a无关,求证:f(x)=(c为常数) 9.设f(x)在任一有限区间上可积分,且 m f(ar) 求证: lim f(t)dt=l 7
3．证明连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数，连续的偶函数的原 函数中有且只有一个为奇函数. 4．设f(x)在所示区间上是连续函数，证明： (1) R π 2 0 f(sin x)dx = R π 2 0 f(cos x)dx； (2) R π 0 xf(sin x)dx = π 2 R π 0 f(sin x)dx； (3) R a 1 f(x 2 + a 2 x2 ) dx x = R a 2 1 f(x + a 2 x ) dx 2x； (4) R a 0 x 3 f(x 2 )dx = 1 2 R a 2 0 xf(x)dx(a > 0)； 5．计算积分R π 2 0 sin x cos x+sin x dx. 6．利用分部积分法证明： Z b a f(u)(x − u)du = Z x 0 ( Z u 0 f(x)dx)du. 7. 设f 00(x)在[a, b]连续，且f(a) = f(b) = 0，求证： (1) R b a f(x)dx = 1 2 R b a f 00(x)(x − a)(x − b)dx； (2) ¯ ¯ ¯ R b a f(x)dx ¯ ¯ ¯ ≤ (b−a) 3 12 max a≤x≤b |f 00(x)|； 8．设f(x)在x > 0时连续，对任意a, b > 0，积分值 Z ab a f(x)dx 与a无关，求证：f(x) = c x（c为常数）. 9．设f(x)在任一有限区间上可积分，且 limx→∞ f(x) = l 求证： limx→∞ 1 x Z x 0 f(t)dt = l 7
5定积分在物理中的应用初步 1.有一薄版三+≤1a>b),长轴沿铅直方向一半浸入水中,求水 对板的压力 2.修建大桥桥墩时要先下围囹。设一圆柱形围囹的直径为20m,水 深27m,围囹高出水面3m,要把水抽尽,计算克服重力所作的功。 3.某水库的闸门是一梯形,上底6m,下底2m,高10m,求水灌满时 闸门所要的力。设水的比重为100039/m 4.半径为r的球沉入水中,它与水面相接,球的比重为1,现将球从 水中取出,要作多少功? 5.把弹簧拉长所需的力与弹簧的伸长成正比。已知1kg的力能使弹簧 伸长1cm,问把弹簧拉长10cm要作多少功? 6.有一长为a的细棒,它在各点处的线密度与相距某一端点的距离平 方成正比,求此细棒的平均密度 §6定积分的近似计算 1.已知=,试把积分区间01分成10等分,分别用梯形公式 和抛物线公式计算π的近似值,精确到小数点后三位 2.把积分区间10等分,用抛物线公式计算下列积分的近似值,精确 到小数点后三位: (1)J√1-xdr;(2)
§5 定积分在物理中的应用初步 1. 有一薄版x 2 a 2 + y 2 b 2 ≤ 1(a > b)，长轴沿铅直方向一半浸入水中，求水 对板的压力. 2. 修建大桥桥墩时要先下围囹。设一圆柱形围囹的直径为20m，水 深27m，围囹高出水面3m，要把水抽尽，计算克服重力所作的功。 3. 某水库的闸门是一梯形，上底6m，下底2m，高10m，求水灌满时 闸门所要的力。设水的比重为1000kg/m3 . 4. 半径为r的球沉入水中，它与水面相接，球的比重为1，现将球从 水中取出，要作多少功？ 5. 把弹簧拉长所需的力与弹簧的伸长成正比。已知1kg的力能使弹簧 伸长1cm，问把弹簧拉长10cm要作多少功？ 6. 有一长为a的细棒，它在各点处的线密度与相距某一端点的距离平 方成正比，求此细棒的平均密度. §6 定积分的近似计算 1. 已知R 1 0 dx 1+x2 = π 4，试把积分区间[0, 1]分成10等分，分别用梯形公式 和抛物线公式计算π的近似值，精确到小数点后三位. 2. 把积分区间10等分，用抛物线公式计算下列积分的近似值，精确 到小数点后三位： (1) R 1 0 √ 1 − x 3dx；(2) R 2 1 dx x . 8