第五章不定积分 §5.1原函数 考虑质点沿直线运动,已知位移S=S(1),求即时速度:v()=s'(1)是求导运算;反过 来,如果知道每个时刻的即时速度v(t),求位移s(1),则是个逆运算,即要找一个函数s(n), 使得s(1)=v(t)。这个s(1)就是v(1)的不定积分,也称为原函数。 定义在区间I上给定函数f(x),若存在F(x)使得F(x)=f(x),x∈或 dF(x)=f(x)dx,x∈l,则称F(x)是f(x)的一个原函数,f(x)的全部原函数称为f(x) 的不定积分,记作∫(x),若f(x)存在原函数,称f(x)可积 定理设F(x)是f(x)的一个原函数,则 f(x)dx= F(x)+C 其中C为任意常数。 注我们只要找到∫(x)的一个原函数,那么它的不定积分就有形式F(x)+C,即任二 个原函数之间仅相差一个常数。 证由(F(x)+C)’=F(x)=f(x),即对任何常数C,F(x)+C都是f(x)的原函数 再证它们是全部原函数。设G(x)为f(x)另一原函数,G(x)=f(x),那么 [F(x)-G(x=f(x)-f(x)=0,我们得到G(x)=F(x)+C。 几何上看是明显的,曲线F(x)+C1和F(x)+C2在点x有相同切线斜率。 F(X)+C
107 第 五 章 不 定 积 分 § 5.1 原函数 考虑质点沿直线运动，已知位移s = s(t) ，求即时速度：v(t) = s¢(t) 是求导运算；反过 来，如果知道每个时刻的即时速度v(t) ，求位移s(t) ，则是个逆运算，即要找一个函数 s(t) ， 使得 s¢(t) = v(t) 。这个 s(t) 就是v(t) 的不定积分，也称为原函数。 定义 在区间 I 上 给定函数 f (x) ，若存在 F( x) 使得 F¢( x) = f ( x) ， x Î I 或 dF(x) = f (x)dx ，x Î I ，则称 F( x) 是 f (x) 的一个原函数，f (x) 的全部原函数称为 f (x) 的不定积分，记作 ò f (x)dx ， 若 f (x) 存在原函数，称 f (x) 可积。 定理 设F( x) 是 f (x) 的一个原函数，则 f x dx = F x + C ò ( ) ( ) 其中C 为任意常数。 注 我们只要找到 f (x) 的一个原函数，那么它的不定积分就有形式 F(x) + C ，即任二 个原函数之间仅相差一个常数。 证 由(F( x) + C)¢ = F¢( x) = f (x) ，即对任何常数C ，F(x) + C 都是 f (x) 的原函数， 再证它们是全部原函数。设G( x) 为 f (x) 另一原函数，G¢( x) = f ( x) ，那么 [ ( ) ( )] = ( ) - ( ) = 0 ¢ F x - G x f x f x ，我们得到G( x) = F(x) + C 。 几何上看是明显的，曲线 1 F(x) +C 和 2 F(x) + C 在点 x 有相同切线斜率。 y F(x)+C2 F(x)+C1 x
实际问题中,加上某些初值条件(如F(x)=a)可以把常数C确定下来 不定积分既然是求导逆运算,从求导数的表我们可以导出如下不定积分表,它是我们计 算不定积分的基础,务必牢记 In x +C x edx=e+c xdx dx tgx+C s2 x shx= chx+C ∫chx=shx+C thx +C chi In -Arch(=x+C(x<-I) dx 1 Arthx+C (xk1 +c Arth-+C(x卜1) 性质1设f(x),g(x)可积,则f(x)±g(x)也可积,且 ∫U(x)+g(x)lx=(x)士g(x)h 性质2设f(x)可积,则kf(x)可积,且 kf(x)x=kf(xx(k≠0)
108 实际问题中，加上某些初值条件（如F(x0 ) = a ）可以把常数C 确定下来。 不定积分既然是求导逆运算，从求导数的表我们可以导出如下不定积分表，它是我们计 算不定积分的基础，务必牢记。 ( 1) 1 1 1 + ¹ - + = + ò a a a a x dx x C x C x dx = + ò ln | | ò e dx = e + C x x ò cos xdx = sin x + C ò sin xdx = - cos x + C tgx C x dx = + ò 2 cos arctgx C x dx = + + ò 2 1 x C x dx = + - ò arcsin 1 2 ò shx = chx + C ò chx = shx + C thx C ch x dx = + ò 2 Arshx C x x C x dx = + = + + + + ò ln( 1) 1 2 2 î í ì - - + = + - + = - ò ( ) ( 1) ( 1) ln| 1 | 1 2 2 Arch x C x Archx C x x x C x dx ï î ï í ì + > + < + = - + = - ò (| | 1) 1 (| | 1) 1 1 ln 2 1 1 2 C x x Arth Arthx C x C x x x dx 性质 1 设 f (x), g( x) 可积，则 f (x) ± g( x) 也可积，且 ò ò ò [ f (x) ± g(x)]dx = f (x)dx ± g(x)dx 。 性质 2 设 f (x) 可积，则k f (x)可积，且 ò ò k f (x)dx = k f (x)dx (k ¹ 0)
注这两条性质说明不定积分是一种线性运算,即与加法和数乘可交换。 我们只给出性质1的证明,另一个可用同样方法证明:令 ∫/(x)d=F(x)+C或F(x)=f(x) g(x)dx=G(x)+C E G'(x)=f(x) 则[F(x)±G(x)=f(x)±g(x)。所以[(x)±g(x)dx=F(x)土G(x)+C。 §5.2换元法 21第一换元法 定理1如果∫()n=F(n)+C,又n=(x)是x可微函数,则 ∫n(x)v(x)dk=F[x)+C 证由条件,我们有dF(u)=f(l)d,一阶微分有不变性 dFLu(x)=flu(x]du(x)=flu(x)Ju(x )dx 所以」f[(x)n(x)dx=F(x)+C 例1 x+b 解 dx =In ax+b +C +b 例2 解 1+(基 rcig 例3∫(ax+b)d 解 C(n≠-1)。 a(n+1) 总结(1)复合函数求导:(H[(x))=F1(x)1(x)是直接的,在不定积分换元法 中应用的是同一原理,但现在是倒着走,即要把被积函数人为地拆成∫[(x)与a(x)乘积
109 注 这两条性质说明不定积分是一种线性运算，即与加法和数乘可交换。 我们只给出性质 1 的证明，另一个可用同样方法证明：令 ò f (x)dx = F(x) + C 或 F¢( x) = f ( x) ò g(x)dx = G(x) +C 或 G¢( x) = f ( x) 则 [F( x) ± G( x)]¢ = f ( x) ± g( x) 。所以 ò [ f (x) ± g(x)]dx = F(x) ± G(x) + C 。 § 5.2 换元法 2.1 第一换元法 定理 1 如果 ò f (u)du = F(u) +C ，又u = u(x)是 x 可微函数，则 ò f [u(x)]× u¢(x)dx = F[u(x)] + C 。 证 由条件，我们有 dF(u) = f (u)du ，一阶微分有不变性： dF[u( x)] = f [u(x)]du( x) = f[u( x)]u¢( x)dx ， 所以 ò f [u(x)]u¢(x)dx = F[u(x)] + C 。 例1 ò + dx ax b 1 解 ò + dx ax b 1 ò + + = ax b d ax b a 1 ( ) ax b C a = ln | + | + 1 。 例 2 ò + 2 2 a x dx 解 C a x arctg a d a x a dx a x a x = + + = + ò ò 1 1 ( ) 1 ( ) 2 2 2 。 例 3 ò ax + b dx n ( ) 解 ( 1)。 ( 1) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 + ¹ - + + = + = + + + ò ò C n a n ax b ax b d ax b a ax b dx n n n 总结 （1）复合函数求导：(F[u(x)]) = F¢[u(x)]u¢(x) ¢ 是直接的，在不定积分换元法 中应用的是同一原理，但现在是倒着走，即要把被积函数人为地拆成 f [u(x)] 与u¢( x) 乘积
如何拆,要灵活掌握,目标是往已知积分表里的公式靠。 (2)若u=ax+b,则adx=d(ax+b)是一种常用换元 (3)在实际运算中不必一定写出u=u(x)这步代换,自己看清就行了。 例4 解 +x 另一种解法: d x I rd(x+a) Ird(a-x) +c 例5 dx 解 x d I rd(x+2x+3) x2+2x+32x2+2x+3x2+2x+3 2x+3) 例6 dx 解= 又一解 d(√3 I 110
110 如何拆，要灵活掌握，目标是往已知积分表里的公式靠。 （2）若u = ax + b ，则a dx = d (ax + b) 是一种常用换元。 （3）在实际运算中不必一定写出u = u(x)这步代换，自己看清就行了。 例 4 ò - 2 2 a x dx 解 C。 a x a x a C a d a x a dx a x a x a x a x + - + = + - + = - = - ò ò ln 2 1 1 1 ln 2 1 1 ( ) 1 ( ) 2 2 2 另一种解法： C。 a x a x a a x d a x a x a d x a a dx a x a a x a x dx + - + = - - - + + = - + + = - ò ò ò ò ln 2 1 ( ) 2 ( ) 1 2 1 ] 1 1 [ 2 1 2 2 例 5 ò + 2 + 3 2 x x xdx 解 C x x x arctg x x dx x x d x x x x x dx + + = + + - + + - + + + + = + + ò ò ò 2 1 2 1 ln( 2 3) 2 1 2 3 2 3 ( 2 3) 2 1 2 3 2 2 2 2 2 例 6 ò - - = 3 2 1 2 x x dx I 解 C x x dx x x I + + - = ú û ù ê ë é - - + = - ò 3 1 1 ln 4 1 1 1 3 1 3 4 1 。 又一解法： C x x C x x x d x I + + - = + - - = - - - = + - ò 3 1 1 ln 4 1 3 3 ln 4 1 ( 3 ) ( 3 ) 3 1 3 2 3 1 3 2 3 1 3 4 3 1 3 1 2
例7I dx d() 解 例81 解= = arcsin(2x-1)+C。 =2 arcsin√x+C √1- 事实上这两个答案恰相差一个常数。 例9=gxd 解 d cos x__In coS x+C 例10n=jg”xdo 解 In=g 1g CoS x 1g 这个递推公式非常有用,比如 I3=itg'x-tgrdx=tgx+In | cos x|+C 1 4=51gx-tg xdx=stg r X 例111=「 解 1+sin x
111 例 7 ( 0) 2 2 > - = ò a a x dx I 解 C a x d I a x a x = + - = ò arcsin 1 2 ( ) ( ) 。 例 8 ò - = x(1 x) dx I 解 x C x dx I = - + - - = ò arcsin( 2 1) ( ) 2 2 1 4 1 。 又一解法： x C x d x x x dx I = + - = × - = ò ò 2arcsin 1 ( ) 2 1 2 事实上这两个答案恰相差一个常数。 例 9 ò I = tgx dx 解 x C x d x I = - = - + ò ln | cos | cos cos 。 例 10 ò I = tg xdx n n 解 1 2 。 2 2 2 2 2 1 1 cos 1 cos - - - - - - - = = - - = ò ò ò n n n n n n tg x I n dx tg x dtgx tg xdx x x I tg x 这个递推公式非常有用，比如 I = tg x - ò tgxdx = tg x + ln | cos x | +C 。 2 1 2 1 2 2 3 tg x tgx x C。 I tg x tg xdx tg x tgx dx = - + + = - = - + ò ò 3 3 2 3 4 3 1 1 3 1 3 1 例 11 ò = x dx I cos 解 C x x x d x x xdx I + - + = - = = ò ò 1 sin 1 sin ln 2 1 1 sin sin cos cos 2 2
又一解法: (1-1g2) d(gn) 1g hg(+号)+C 例12 1+x 1+x 解 dh dx C Ⅰ-J =hl|1+x|-h1+x|+C。 所以1=-arcg ln|1+x|-h|1+x3|+C 2x-11 ln|1+x|+ln|1+x|+C。 2.第二换元法 flu(x)] u(x)dx= f(u) du (u=u(x) 已知Ⅱ求I,是第一换元法 已知I求Ⅱ,是第二换元法 定理2设x=x0)在开区间上导数>0或0,又如果nxO)x(=(+C, 则∫(x)d=o(x月+C,其中1=(x)为x=x0)的反函数 证已知G(t)=∫[x()]x(t),又x(t)≠0,所以x(1)连续,严格单调,因此反函数 112
112 C x tgx C 。 x x + = + + + = ln sec cos 1 sin ln 2 1 2 又一解法： ò ò - = - = cos (1 ) ( ) 2 cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x tg dx d I tg C 。 C tg tg tg d tg x x x x x = + + + - + = - = ò ln ( ) 1 1 ln (1 ) ( ) 2 2 4 2 2 2 2 2 p 例 12 ò ò + = + = 3 3 1 , 1 x xdx J x dx I 解 C 。 x arctg x dx x x dx dx x x I J + - = - + = - + = + + + = ò ò ò 3 2 1 3 2 1 1 ( ) 1 4 2 3 2 3 2 1 x x C 。 x x dx x dx dx x x I J = + - + + + - + = + - - = ò ò ò ln |1 | ln |1 | 1 1 1 1 3 3 1 3 2 3 所以 x x C 。 x I arctg + + - + + - = ln |1 | 6 1 ln |1 | 2 1 3 2 1 3 1 3 x x C 。 x J arctg - + + + + - = ln |1 | 6 1 ln |1 | 2 1 3 2 1 3 1 3 2．第二换元法 f [u(x)]× u¢(x)dx = f (u)du (u = u(x)) ò ò Ⅰ Ⅱ 已知Ⅱ求Ⅰ，是第一换元法； 已知Ⅰ求Ⅱ，是第二换元法。 定理 2 设x = x(t) 在开区间上导数> 0或<0，又如果 f x t x¢ t dt = G t + C ò [ ( )] ( ) ( ) ， 则 ò f (x)dx = G[t(x)] +C ，其中t = t( x) 为 x = x(t) 的反函数。 证 已知G¢(t) = f [x(t)]x¢(t) ，又 x¢(t) ¹ 0 ，所以 x(t) 连续，严格单调，因此反函数
=1(x)存在,也连续,严格单调,且(x) x14x)°于是 (G(x)=G[x)(x)=f(x)x(x)(x)=f(x), 所以[f(x)x=(r(x+C 第二换元法主要用来求含有√的积分。 例13I 解令x= asin t,| I=a cost dt=t+ 4 sn 2t+C +c 例14I > a 解令x= a sec t(0a进行的,对于x<-a同样方法 x 例15I 解令x=ash 113
113 t = t( x) 存在，也连续，严格单调，且 [ ( )] 1 ( ) x t x t x ¢ ¢ = 。于是 (G[t(x)]) = G¢[t(x)]t¢(x) = f (x)x¢[t(x)]t¢(x) = f (x) ¢ ， 所以 ò f (x)dx = G[t(x)] +C 。 第二换元法主要用来求含有 的积分。 例 13 ò I = a - x dx 2 2 解 令x = asin t ， 2 p t 0, x > a ) 解 令 sec (0 ) 2 p x = a t a 进行的，对于 x 0) 解 令x = a sht
I=t+C=Arcsh-+C=hn(x+Vx2+a2+C 例161 +wx 解令x=t° 6t dt =6,d=m 21-3t2+6-6ln|1+l|+C 2x-3x+6x-6h|1+yx|+C §5.3分部积分法 定理设x),v(x)可导,若[u(x)(x)dx存在,则 )v(x)-v(x)u(x)dx 证由(y='v+uy’,我们有ny’=()-w',右端两项原函数存在,左端项原 函数也存在,且ax=lnv-|v'ax 注公式也常写成「udh=n-[vh 用分部积分法求不定积分之步骤:1.把被积函数拆成’,将v放入d后面成d,通 常v'=e+x,sinx,cosx,x",shx,chx等:2.用公式;3.把uv积出来,如积不出来,设 法建立函数方程来求解 例1 解令=hx,dh=x3dx=dx,即v Inx--x'dx=-x'hnx 16 例2I 解 I=xarctgx-lx darctgx=x arctgx- 1+ xarctgx-5In(1+x)+C 114
114 C (x x a ) C a x I = t + C = Arcsh + = + + + 2 2 ln 。 例 16 ò + = 3 x x dx I 解 令 6 x = t t t t t C dt t dt t t t t t t t dt I = - + - + + + = - + - + = + = ò ò ò 2 3 6 6ln |1 | ] 1 1 6 [ 1 1 6 6 3 2 2 3 3 2 5 = 2 x - 3 3 x + 6 6 x - 6 ln |1+ 6 x | +C 。 §5.3 分部积分法 定理 设u(x) ，v(x) 可导，若 ò u¢(x)v(x)dx 存在，则 ò ò u(x)v¢(x)dx = u(x)v(x) - v(x)u¢(x)dx 证 由(uv)¢ = u¢v + uv¢，我们有uv¢ = (uv)¢ - vu¢，右端两项原函数存在，左端项原 函数也存在，且 ò ò uv¢dx = uv - vu¢dx 。 注 公式也常写成 ò ò udv = uv - vdu 。 用分部积分法求不定积分之步骤：1．把被积函数拆成uv¢，将v¢放入 d 后面成dv ，通 常v e x x x shx chx x n ,sin , cos , , , ± ¢ = 等；2．用公式；3．把 u¢v 积出来，如积不出来，设 法建立函数方程来求解。 例 1 ò I = x ln xdx 3 解 令u = ln x ， 4 4 3 x dv = x dx = d ，即 4 4 x v = ，则 I = x x - x dx = x x - x + C ò 4 3 4 4 16 1 ln 4 1 4 1 ln 4 1 。 例 2 ò I = arctgxdx 解 x arctgx x C 。 x xdx I xarctgx x darctgx x arctgx = - + + + = - = - ò ò ln(1 ) 1 2 2 1 2
例3=「x2 sin xdx 解 I=-[x'd cos x=-x2cos.+cosxdx +2」xds xcoS x+ 2xsin x-2 sin xdx x cos x+2xsin x+2 cosx+C 例41=|√x2- 解 d√x2-1 x2-1 -ldx x2-1-mx+ 所以I x2-1|+C 又一解法:令x=ch I=sh'tdtrch2t -dt =-sh2t--t+C 例51=∫ ecos badr,J=je"snbt 解= e d sin bx= b J=-eadcos brs_l ar cos br+aI e“( acos bx+ bsin bx) +c a-+b (asin bx- cos bx) 例6Kn=[ cos"xdx 115
115 例 3 ò I = x sin xdx 2 解 x x x x x C 。 x x x x xdx x x xd x I x d x x x xdx = - + + + = - + - = - + = - = - + ò ò ò ò cos 2 sin 2cos cos 2 sin 2 sin cos 2 sin cos cos cos 2 2 2 2 2 2 例 4 ò I = x -1dx 2 解 x x x x I x dx x x x dx dx x x I x x xd x x x = - - + - - - = - - - - - = - - - = - - ò ò ò ò 1 ln 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 所以 I = x x - - ln x + x -1 + C 2 1 1 2 1 2 2 。 又一解法：令 x = cht ， x x x x C 。 dt sh t t C ch t I sh t dt = - - + - + = - + - = = ò ò ln 1 2 1 1 2 1 2 1 2 4 1 2 2 1 2 2 2 例 5 ò I = e bxdx ax cos ， ò J = e bxdx ax sin 解 J b a e bx b e d bx b I ax ax = = - ò sin 1 sin 1 I b a e bx b e d bx b J ax ax = - = - + ò cos 1 cos 1 ïî ï í ì - = + = aI bJ e bx bI aJ e bx ax ax cos sin C ， a b e a bx b bx I ax + + + = 2 2 ( cos sin ) C。 a b e a bx b bx J ax + + - = 2 2 ( sin cos ) 例 6 ò K = xdx n n cos
解 K,=cos xd sin x= sin xcos-lx-sin xd cos"-x sin xcos"x+(n-1lsin xcos"-xdx sin xcos-x+(n-D cos"-2xdx-(n-D]cos"xdx sin xcos-x+(n-DKn-,-(n-DK 所以Kn=- sin x cos-x+-Kn2 例 d x 解 x +a 2) (x2+a + 2n -2na l (x2+a2) 所以Fn+1= 特别地1-J arcte-+ 初等函数都是可积的,如果其原函数仍为初等函数,我们称为能积出来,如果其原函数 不再是初等函数,我们称之为积不出来 cOS x 积不出来的有 dx dx ∫ sin x dx, jcosx'dr 「(a+b)2=t其中p,q,P+q非整数,再有椭圆积分 ∫R(x,√ax3+bx2+cx+d)和JRx,a+A+e)d 都是积不出来的 §5.4有理函数积分 有理函数R(x)=P(x) 是两个多项式之比,理论上它一定可以积出来 O(x) 有理函数可分为真分式和假分式,真分式是指分子次数小于分母次数:假分式是分子次 数大于或等于分母次数,用除法,假分式=多项式+真分式 真分式总可以写成最简真分式之和,后者是形如 Bx +C (m>1)和 k>1) x"+ px +g (x+px+q 116
116 解 n n n n n n n n n n n n x x n K n K x x n x dx n xdx x x n x xdx K xd x x x xd x sin cos ( 1) ( 1) sin cos ( 1) cos ( 1) cos sin cos ( 1) sin cos cos sin sin cos sin cos 2 1 1 2 1 2 2 1 1 1 = + - - - = + - - - = + - = = - - - - - - - - - - ò ò ò ò ò 所以 2 1 1 sin cos 1 - - - = + n n n K n n x x n K 。 例 7 ò + = n n x a dx I ( ) 2 2 解 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 ( ) + + + - + = + + + = ò n n n n n n nI na I x a x dx x a x n x a x I 所以 n n n I na n na x a x I 1 2 2 2 2 2 2 1 2 ( ) - + + + = 。 特别地 C a x arctg x a a x x a a dx I + + + = + = 2 ò 2 2 2 2 2 2 3 2 1 2 1 ( ) 。 初等函数都是可积的，如果其原函数仍为初等函数，我们称为能积出来，如果其原函数 不再是初等函数，我们称之为积不出来。 积不出来的有： ò - e dx x 2 , ò dx x sin x , ò dx x cos x , ò x dx ln , x dx ò 2 sin , x dx ò 2 cos , a bz z dz p q ò ( + ) 其中 p , q , p + q 非整数，再有椭圆积分 R(x , ax bx cx d )dx 3 2 ò + + + 和 R(x , ax e )dx 4 ò +L + 都是积不出来的。 § 5.4 有理函数积分 有理函数 ( ) ( ) ( ) Q x P x R x = 是两个多项式之比，理论上它一定可以积出来。 有理函数可分为真分式和假分式，真分式是指分子次数小于分母次数；假分式是分子次 数大于或等于分母次数，用除法，假分式=多项式+真分式。 真分式总可以写成最简真分式之和，后者是形如 x a A - ， m x a A ( - ) (m > 1) 和 x px q Bx C + + + 2 ， k x px q Bx C ( ) 2 + + + (k > 1)