第二章极限 §2.1序列极限定义 定义域为N的函数也称为序列,记为f(),f(2),A,f(n),A,习惯上记为 x1,x2,A,xn,A,或简单地记为{xn}。其中xn称为通项,它可由公式给出,也可由其它法 则给出。 n 3,3.1,3.14,3.141,3.1415 在信号处理和图像处理中,计算机无法处理连续变量的函数,都要通过采样来处理, 元函数经采样后就得到一个序列。 这里我们关心的是当n越来越大时,序列xn的行为特点,如1,,,A,一,A,当n越 来越大时,工越来越接近于0。我们称它以0为极限。 描述定义给定序列{xn},当n无限增大时,xn无限地接近于a,称a为当n趋向无 穷时序列{xn}的极限,记作 x→a(n→+0 lmx=a。 例1x.=14(-1) xn→1(n→>∞)。 例2xn=(-1)",没极限 如何精确地刻画“无限接近”这一概念,我们用“误差”方法。而“误差”是用绝对值 刻画的
19 第 二 章 极 限 §2.1 序列极限定义 定义域为 N 的函数也称为序列， 记为 f (1), f (2),L , f (n), L ，习惯上记为 x1 , x2 ,L , xn ,L ，或简单地记为{ }n x 。其中 n x 称为通项，它可由公式给出，也可由其它法 则给出。 如： L ,L 1 , , 3 1 , 2 1 1, n 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, ... 在信号处理和图像处理中，计算机无法处理连续变量的函数，都要通过采样来处理，一 元函数经采样后就得到一个序列。 这里我们关心的是当n 越来越大时，序列 n x 的行为特点，如 L ,L 1 , , 3 1 , 2 1 1, n ，当n 越 来越大时， n 1 越来越接近于 0。我们称它以 0 为极限。 描述定义 给定序列{ }n x ，当n 无限增大时， n x 无限地接近于a ，称a 为当n 趋向无 穷时序列{ }n x 的极限，记作 x ® a (n ® +¥) n 或 x a n n = ®+¥ lim 。 例 1 , 1 ( 1) 1 ® - = + n n n x n x (n ® ¥) 。 例 2 n n x = (-1) , 没极限。 如何精确地刻画“无限接近”这一概念，我们用“误差”方法。而“误差”是用绝对值 刻画的。 0 x y 1
定义 xx0, 0,彐N∈N,使得当n>N时,有x-d+∞)。 几何意义称{x:|x-d<e}=(a-E,a+E)为a的E一邻域,imxn=a是指对a 的任何E一邻域,序列{xn}在这一E一邻域外只有有限项。 例1求证imq”=0,(0<q<1)
20 定义 î í ì - 0, x 0, $ N ÎN，使得当n > N 时，有 x - a < e , 则称序列{ }n x 的极限为 a ，记作 x a n n = ®+¥ lim 或 x ® a (n ® +¥) n 。 几何意义 称{x : x - a < e} = (a - e,a +e ) 为a 的e -邻域， x a n n = ®+¥ lim 是指对 a 的任何e -邻域，序列{ }n x 在这一e -邻域外只有有限项。 例 1 求证 lim = 0 , (0 < < 1) ®¥ q q n n
证VE>0,不妨设EN时,就有 Ig q lg q 例2求证lmna=1(a>0) 证法1先设a>1,VvE>0,要使|-1=4-111 取N= 1+6)/,当n>N时,就有阳a-E,即ma=1。对 0mhn,00,要使=b,具要2=,取N-2]只要2,或有 1) 证因为 a=2.g.A.a..-A.0,要使,-0 N,就 n! 有-0<E,即lim 总结用定义求极限或证明极限的关键是适当放大不等式,关键的追求有两点,一是 把隐性表达式变成显性表达式,在重锁迷雾中看清庐山真面目,二是抓住主要矛盾,舍去次 要矛盾:要取舍合理,不能放大得过份。 §2.2序列极限的性质和运算
21 证 "e > 0 , 不妨设e 。 取 ú û ù ê ë é = q N lg lg e ，则当 n > N 时，就有 - 0 0) ®¥ a a n n 。 证法 1 先设a >1，"e > 0 ，要使 - 1 = -1 a n 。 取 úû ù êë é + = lg(1 ) lg e a N ， 当 n > N 时，就有 - 1 nh ， n a h 0 0 , 要使 - = N ，就有 - 1 ®¥ a n a n n 。 证 因 为 ) [ ]! ( ! 1 2 [ ] [ ] 1 [ ]! [ ] [ ] a a c n a c n a a a n a a a a a a a n a n a a × × 0 ， 要使 - = N ，就 有 - 0 < e n! a n ，即 0 ! lim = ®¥ n a n n 。 总结 用定义求极限或证明极限的关键是适当放大不等式，关键的追求有两点，一是 把隐性表达式变成显性表达式，在重锁迷雾中看清庐山真面目，二是抓住主要矛盾，舍去次 要矛盾；要取舍合理，不能放大得过份。 §2.2 序列极限的性质和运算
象四则运算一样,我们把求极限也看成是一种运算,但这种运算是施加在无穷序列上, 取值是一个实数,如果存在的话,但还有大量不存在极限的序列 定理1(唯一性)若序列的极限存在,则极限值唯 (a+b)2 b 证反证法,如果不然,至少有两个不等的极限值,设为a和b,a0,由极限定义,彐N1,使得当n>N1时,有 +b x N2时,有 a+b ma(N1,N2)时,有 a+b 0,使得x|≤M,Vn,则称{xn}有界。 定理2(有界性)若序列{xn}有极限,则{xn}有界。 证设lnxn=a,取Eo=1,按定义,彐N,使得当n>N时,有 Ix-a< xn≤|d+xn-dl<d+1。 令M=mal+1|xA,x),则对vn∈N,有x≤M,故{xn}有界。 下面定理表明求极限这种运算与四则运算可交换。 定理3(四则运算)设lmxn=a,lmyn=b,则 1)m(xn±yn)=a±b =a
22 象四则运算一样，我们把求极限也看成是一种运算，但这种运算是施加在无穷序列上， 取值是一个实数，如果存在的话，但还有大量不存在极限的序列。 定理 1（唯一性）若序列的极限存在，则极限值唯一。 证 反证法，如果不然，至少有两个不等的极限值，设为a 和b ，a - = b a e ，由极限定义，$ N1，使得当n > N1时， 有 0 x - a N2时，有 则当 max( , ) n > N1 N2 时，有 n n x a b x 0，使得 xn £ M ，" n ，则称 { }n x 有界。 定理 2（有界性）若序列{ }n x 有极限，则{ }n x 有界。 证 设 x a n n = ®¥ lim ，取 e0 =1，按定义，$ N ，使得当n > N 时，有 x - a < e n ， xn £ a + xn - a < a +1 。 令 max( 1, , , ) 1 N M = a + x L x ，则对" n Î N ，有 xn £ M ，故{ }n x 有界。 下面定理表明求极限这种运算与四则运算可交换。 定理 3（四则运算） 设 x a n n = ®¥ lim ， y b n n = ®¥ lim ，则 1） x y a b n n n ± = ± ®¥ lim ( ) 2） x y a b n n n × = × ®¥ lim ( ) n n b x a b x b = - < + - < 0 0 2 e , e ( ) ( ) b a (a+b)/2 x n
3)若b≠0,yn≠0,则m()=1 b 证:1)>0,由x,=a,3N,使得当n>N时,有,N2时,有。-bN (xn±y)-±b (a,b) Lm-a+y,-bI (a,) 即im(xn±yn)=a±b。 n→, 2)分析 I, y,-ab=,.yn-yn a+ ym.a-a.b pyxn-a+叫yn-b 加一项,减一项称为插项方法,是一个至关重要的方法 由有界性定理,彐M1>0,n,川≤M1。令M=maN(M1,|)>0,VE>0 由lmxn=a,N,使得当n>M时,有,-lN2时,有yn-bN时,有 2M Lxmyn-a.bsbymlxm-a+albym-bl (rn -al+vm-bp) ≤M( 2M 即im(xnyn)=a·b。 3)由2),只要证m11 y,b 分析 ly,-b. vn 当n充分大时
23 3）若 b ¹ 0, yn ¹ 0，则 b a y x n n n = ®¥ lim ( ) 。 证：1）"e > 0 ，由 x a n n = ®¥ lim ，$ N1，使得当n > N1时，有 2 e xn - a N2时，有 2 e yn - b N 时，有 e 。 e e £ + = £ - + - ± - ± 2 2 ( ) x a y b x y a b n n n n 即 x y a b n n n ± = ± ®¥ lim ( ) 。 2） 分析 y x a a y b x y a b x y y a y a a b n n n n n n n n n £ - + - × - × = × - × + × - × 加一项，减一项称为插项方法，是一个至关重要的方法。 由有界性定理，$ M1 > 0 ，" n ， M1 yn £ 。令 M = max( M1 , a ) > 0 ， " e > 0 ， 由 x a n n = ®¥ lim ，$ N1 ，使得当n > N1时，有 M x a n 2 e - N2时，有 M y b n 2 e - N 时，有 xn × yn - a×b £ yn xn - a + a yn -b ) . 2 2 ( ( ) e e e £ + = £ - + - M M M M x a y b n n 即 x y a b n n n × = × ®¥ lim ( ) 。 3） 由 2），只要证 y b n n 1 1 lim = ®¥ 。 分析 y b y b b y b y b n n n n £ - - - = 2 1 1 2 , 2 b yn ³ 当n 充分大时。 (a,b) (a,y n (x ) n ,y n )
由myn=b,令E0=>0,N1,使当n>N时,有n-b0,由圆=b,三N,使得当刀>N2时,和m-外6 2 取N=max(N1,N2),则当n>N时,有 即lm 用归纳法,可得有限个序列的四则运算 lim x m∏=m 但将上述N换成O,一般不成立。事实上∑或∏本身也是一种极限,两种极限交换次 序是个非常敏感的话题,是高等分析中心课题,一般都不能交换,在一定条件下才能交换, 具体什么条件,到第三册我们会系统研究这个问题 下面定理表明求极限是保序的运算。 定理4给定两个序列{xn},{yn},若Ⅴn,xn≤yn且lxn=a,lmyn=b, n→① 则a≤b 证反证法,如若不然,a>b,取s。o a-b ,由lmxn=a,彐N1,使得当n>N 时,有 -aN2时,有 lyn-b<Eo, 6+
24 由 y b n n = ®¥ lim ，令 0 1 0 , 2 N b e = > $ ，使当n > N1时，有 0 y - b 0 , 由 y b n n = ®¥ lim ，$ N2 ，使得当n > N2时，有 e 2 2 b yn - b N 时，有 e 2 2 2 1 1 2 b b b n y b n y b n y £ × × - - = ， 即 y b n n 1 1 lim = ®¥ 。 用归纳法，可得有限个序列的四则运算： å å= ®¥ = ®¥ = N k k n n N k k n n x x 1 ( ) 1 ( ) lim lim ， Õ Õ= ®¥ = ®¥ = N k k n n N k k n n x x 1 ( ) 1 ( ) lim lim 。 但将上述 N 换成¥ ，一般不成立。事实上å ¥ k=1 或Õ ¥ k=1 本身也是一种极限，两种极限交换次 序是个非常敏感的话题，是高等分析中心课题，一般都不能交换，在一定条件下才能交换， 具体什么条件，到第三册我们会系统研究这个问题。 下面定理表明求极限是保序的运算。 定理 4 给定两个序列{ }n x ，{ }n y ，若" n ， n n x £ y 且 x a n n = ®¥ lim ， y b n n = ®¥ lim ， 则a £ b 。 证 反证法，如若不然，a > b ，取 2 0 a - b e = ，由 x a n n = ®¥ lim ，$ N1，使得当n > N1 时，有 0 x - a - e = 又由 y b n n = ®¥ lim ， $ N2 ，使得当n > N2时，有 0 y - b < e n ， 2 0 a b y b n + < + e =
当n>maxM,N2)时,有x、a+b 2~yn,矛盾 定理5(两边夹或逼夹定理)给定序列{xn},{yn}和{n},满足vn,xn≤zn≤y 且mxn=a=myn,则imzn=a 证E>0,由imxn=a,彐N1,使得当n>N1时,有 xn-dN2时,有 EN时,有a-E1) 在证明中,令h,=a-1>0,a=(1+h,)”,得0<h<,由此推出hn→0。 由此例也看出由xn<n<y和lmxn=a=lmyn,也推出im=n=a。 定义极限为0的变量称为无穷小量。 推论 1)xn→0kxl→0,无穷小量加绝对值仍为无穷小量 2)xn→0,pyl≤M→xnyn→0,无穷小量与有界变量的积仍为无穷小量。 3)xn→a分yn=xn-a→0,(xn=a+y)变量有极限a的充要条件为它 可分解为a加一个无穷小量。 4n2+6n+1 例2求极限lim n3n2+n+9 解 如4n2+6n+1=m3 _4 3n2+n+9 3+1+93 例3求极限m(1+a+A+a")(0<a<1) 解lm(1+a+A+d")=m1-a"1
25 当 max( , ) n > N1 N2 时，有 n n y a b x > + > 2 ， 矛盾。 定理 5（两边夹或逼夹定理）给定序列{ }, { } n n x y 和{ }n z ，满足" n ， n n n x £ z £ y 且 n n n n x a y ®¥ ®¥ lim = = lim ，则 z a n n = ®¥ lim 。 证 " e > 0 ，由 x a n n = ®¥ lim ，$ N1，使得当n > N1时，有 x - a N2时，有 y - a N 时，有 a - e 1) ®¥ a a n n 在证明中, 令 = -1> 0 n hn a ， n n a = (1+ h ) ，得 n a h 0 < n < ，由此推出hn ® 0。 由此例也看出由 n n n x < z < y 和 n n n n x a y ®¥ ®¥ lim = = lim , 也推出 z a n n = ®¥ lim 。 定义 极限为0 的变量称为无穷小量。 推论 1） xn ® 0 Û xn ® 0，无穷小量加绝对值仍为无穷小量。 2） xn ® 0, yn £ M Þ xn × yn ® 0 ，无穷小量与有界变量的积仍为无穷小量。 3） xn ® a Û yn = xn - a ® 0，( ) n n x = a + y 变量有极限a 的充要条件为它 可分解为a 加一个无穷小量。 例 2 求极限 3 9 4 6 1 lim 2 2 + + + + ®¥ n n n n n 解 3 4 3 4 lim 3 9 4 6 1 lim 2 2 1 9 6 1 2 2 = + + + + = + + + + ®¥ ®¥ n n n n n n n n n n 。 例 3 求极限 lim (1+ + + ) (0 < <1) ®¥ a a a n n L 。 解 a a a a a n n n n - = - - + + + = ®¥ ®¥ 1 1 1 1 lim (1 L ) lim
例4设a,b>0,证明m√a”+b"=max(a,b) 证maa,b)= v/max( a,b)"≤a"+b"≤y2maxa,b)→max(a,b)。 例5证明ImV厅n= 证令 hn non n=(1+hn)=1+mhn+ h-+A+ (n-1) hn(n>3), 2 00,即乳n→1。 §2.3确界与单调有界序列 决定一个序列是否有极限,目前我们只能用定义判定,但那必须先知道极限值a,这就 是说定义不能解决极限存在问题。事实上,这是个很深刻的问题,这一节我们给出一个极 限存在的判定定理,但需到第三册才能证明它,这里将给出能够令人接受的说明。用它我们 可以定义一个新的无理数e,在讲指数函数和对数函数时我们己经使用过它 定义EcR,如果彐M,使得对Vx∈E,有x≤M,则称M是E的一个上界。 有没有最小上界?何谓最小上界,且看下面的定义。 定义EcR,数M若满足 1)M是E的上界 2)M"是E任一上界,必有M≤M 则称M是E的最小上界或上确界,记作M=SupE或M=supx 定理1M=SupE充要条件 1)M是E上界 2)VE>0,彐x’∈E使得x'>M-E。 证必要性,用反证法。设2)不成立,则彐E0>0,使得Ⅴx∈E,均有x≤M-E 与M是上确界矛盾 充分性,用反证法。设M不是E的上确界,即彐M是上界,但M>M′。令 E=M-M>0,由2),彐x'∈E,使得x'>M-E=M,与M'是E的上界矛盾
26 例 4 设a , b > 0 ，证明 lim a b max( a ,b) n n n n + = ®¥ 。 证 max( a , b) max( a ,b) a b 2max( a , b) max( a ,b) = n n £ n n + n £ n n ® 。 例 5 证明 lim = 1 ®¥ n n n 。 证 令 n n n =1+ h , ( 3) 2 ( 1) 2 ( 1) (1 ) 1 2 2 > - + + ³ - = + = + + h n n n h h n n n h nh n n n n n n n L ， 1 2 0 - 0, $ x¢ÎE 使得 x¢ > M - e 。 证 必要性，用反证法。设 2）不成立，则 0, $ e 0 > 使得" x ÎE ，均有 0 x £ M - e ， 与 M 是上确界矛盾。 充分性， 用反证法。设 M 不是 E 的上确界，即 $ M¢ 是上界，但 M > M¢ 。令 e = M - M ¢ > 0，由 2），$ x¢ÎE ，使得 x¢ > M - e = M ¢ ，与 M ¢是 E 的上界矛盾
定义2EcR,m满足 1)m是下界, 2)m是E的任意下界,必有m≤m。 则称m为E的下确界或最大下界。记作:nfE或ifx 定理2一个非空的,有上(下)界的集合,必有上(下)确界 该定理要到第三册方能证明。这里我们给一个可以接受的说明。EcR,E非空 彐x∈E,我们可以找到一个整数p,使得p不是E上界,而p+1是E的上界。然后我们 遍查p1,p2,A,p9和p+1,我们可以找到一个q0,0≤q≤9,使得Pq0不是E上 界,P(q0+1)是E上界,如果再找第二位小数q1,A,如此下去,最后得到Pq0qq2A, 它是一个实数,即为E的上确界。 定义{xn}称为单调上升的,若x1≤x2≤x3≤A≤xn≤A {xn}称为单调下降的,若x1≥x2≥x3≥A≥xn≥A。 定理3若序列{xn}单调上升(下降),有上(下)界,则序列存在极限。 证设{xn}单调上升,即x1≤x2≤x3≤A≤xn≤A,有上界,即彐M,使得 考虑集合E={xn|n∈N},它非空,有界,定理2推出它有上确界,记为a= sup x。 我们验证a=lmxn。 VE>0,由上确界的性质,彐N,使得a-EN时,由序列单调上升得 a-E<xN≤xn,再由上确界定义,xn≤a<a+E,有a-E<x<a+E,即 n-d<E,也就是说mxn=a=spxn。 同理可证若{xn}单调下降,有下界,也存在极限,且lmxn= inf x。 例1证明m(1+-)存在 n 证令xn=(1+-)”,先证它单调上升
27 定义 2 E Í R，m 满足 1） m 是下界， 2） m'是 E 的任意下界，必有m'£ m。 则称m 为 E 的下确界或最大下界。记作：inf E 或 x xÎE inf 。 定理 2 一个非空的，有上（下）界的集合，必有上（下）确界。 该定理要到第三册方能证明。这里我们给一个可以接受的说明。 E Í R， E 非空， $ x Î E ，我们可以找到一个整数 p ，使得 p 不是 E 上界，而 p +1是 E 的上界。然后我们 遍查 p.1 , p.2 ,L , p.9 和 p +1，我们可以找到一个q0 ，0 £ q0 £ 9 ，使得 0 p.q 不是 E 上 界， .( 1) p q0 + 是 E 上界，如果再找第二位小数q1，L , 如此下去，最后得到 p.q0 q1q2L ， 它是一个实数，即为 E 的上确界。 定义 { }n x 称为单调上升的，若 x1 £ x2 £ x3 £L £ xn £ L 。 { }n x 称为单调下降的，若 x1 ³ x2 ³ x3 ³L ³ xn ³L 。 定理 3 若序列{ }n x 单调上升（下降），有上（下）界，则序列存在极限。 证 设{ }n x 单调上升 ，即 x1 £ x2 £ x3 £L £ xn £ L ，有上界，即 $ M ，使得 xn £ M 。 考虑集合 E {x | n N} = n Î ，它非空，有界，定理 2 推出它有上确界，记为 n n N a x Î = sup 。 我们验证 n n a x ®¥ = lim 。 " e > 0 ，由上确界的性质，$ N ，使得 N a - e N 时，由序列单调上升得 N n a - e < x £ x ， 再由上确界定义 ， x £ a < a + e n ， 有 a - e < x < a + e n ， 即 x - a < e n ，也就是说 n n N n n x a x Î ®¥ lim = = sup 。 同理可证若{ }n x 单调下降，有下界，也存在极限，且 n n N n n x x ®¥ Î lim = inf 。 例 1 证明 n n n ) 1 lim (1+ ®¥ 存在。 证 令 n n n x ) 1 = (1+ , 先证它单调上升
力2+4+n(n-1)A1 )+A+-(1 2! )A(1-—) )(1 再证它有界 x.≤1+1+-+A+ 2! 1+1 A 由定理3,知imxn存在,值记为e,它是一个无理数e=27182818A 称logx=hx为自然对数,何以称为“自然”,下章将见分晓。 §2.4确界存在定理与区间套定理 2.4.1确界存在定理 我们曾引入有界数集的确界概念,今证明它的存在性(记号a、b、c表示实数) 定理1非空有上界的数集E必存在上确界。 证明设E={x}非空,有上界b:x∈E,x≤b。 (1)若E中有最大数x0,则x0即为上确界 (2)若E中无最大数,用下述方法产生实数的一个分划:取E的一切上界归入上类 B,其余的实数归入下类A,则(A|B)是实数的一个分划 1°A、B不空。首先b∈B。其次x∈E,由于x不是E的最大数,所以它不是E 的上界,即x∈A。这说明E中任一元素都属于下类A °A、B不漏性由A、B定义即可看出
28 n n n n n n n n n n n x 1 ! 1 ( 1) 1 2! ( 1) 1 1 ) 1 (1 2 L L - + + - = + + = + ) 1 ) (1 1 (1 ! 1 ) 1 (1 2! 1 1 1 n n n n n - = + + - +L + - L - ， n n x n n n n n n n n n x > + - + - + + + - - + + + - + + = + + - ) 1 ) (1 1 1 (1 ( 1)! 1 ) 1 1 ) (1 1 1 (1 ! 1 ) 1 1 (1 2! 1 1 1 1 L L L 再证它有界 1 3 2 1 2 1 1 1 ! 1 2! 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 = + < £ + + + + £ + + + + - - - n n n n x L L 由定理 3，知 n n x ®¥ lim 存在，值记为e ，它是一个无理数 e = 2.7182818L 。 称 x x e log = ln 为自然对数，何以称为“自然”，下章将见分晓。 §2.4 确界存在定理与区间套定理 2.4.1 确界存在定理 我们曾引入有界数集的确界概念，今证明它的存在性（记号a 、b 、c 表示实数） 定理 1 非空有上界的数集E 必存在上确界。 证明 设E = {x} 非空，有上界b ： "x Î E ， x £ b。 （1） 若E 中有最大数 0 x ，则 0 x 即为上确界； （2） 若E 中无最大数，用下述方法产生实数的一个分划；取 E 的一切上界归入上类 B ，其余的实数归入下类 A ，则(A | B) 是实数的一个分划。 o 1 A 、B 不空。首先bÎ B 。其次 "x Î E ，由于 x 不是 E 的最大数，所以它不是 E 的上界，即 x Î A。这说明 E 中任一元素都属于下类 A ； o 2 A 、 B 不漏性由 A 、 B 定义即可看出；