第五章微分中值定理及应用 §1微分中值定理 1.证明:(1)方程x3-3x+c=0(c是常数)在区间[0,1内不可能 有两个不同的实根; (2)方程xn+px+q=0(n为正整数,p,q为实数)当n为偶数时至多 有两个实根;当n为奇数时至多有三个实根 2.设f(x)=rn(1-x)n,m,n为正整数,x∈[0,1,则存在∈(0,1),使 3.应用拉格朗日中值定理证明下列不等式 (1)|sinx-siny≤|r-yl,x,y∈(-∞,+∞); (2)|x≤|tanr,x∈(-2,),等号成立当且仅当x=0; (3)ex>1+x,x≠0; (4)y二x0 4.设函数在点a具有连续的二阶导数,证明 lmfa+b)+/-b)=210=r" 5.设limf"(x)=a,求证:任意T>0,有 lim +T 6.函数f(x)在{a,b可导,其中a>0,证明:存在∈(a,b),使得 2f(b)-f(a]=(b2-a2)f()
第五章 微分中值定理及应用 §1 微分中值定理 1．证明：（1）方程x 3 − 3x + c = 0（c是常数）在区间[0, 1] 内不可能 有两个不同的实根； （2）方程x n + px + q = 0（n为正整数，p, q为实数）当n为偶数时至多 有两个实根；当n为奇数时至多有三个实根。 2．设f(x) = x m(1−x) n , m, n为正整数，x ∈ [0, 1]，则存在ξ ∈ (0, 1)，使 m n = ξ 1 − ξ 3．应用拉格朗日中值定理证明下列不等式： （1）|sin x − sin y| 6 |x − y|, x, y ∈ (−∞, +∞); （2）|x| 6 |tan x|, x ∈ (− π 2 , π 2 ), 等号成立当且仅当x = 0； （3）e x > 1 + x, x 6= 0; （4）y−x y 0. 4．设函数在点a具有连续的二阶导数，证明 lim h→0 f(a + h) + f(a − h) − 2f(h) h 2 = f 00(a). 5．设 lim x→+∞ f 0 (x) = a ，求证：任意T > 0 ，有 lim x→+∞ [f(x + T) − f(x)] = T a 6. 函数f(x)在[a, b]可导，其中a > 0 ，证明：存在ξ ∈ (a, b) ，使得 2ξ[f(b) − f(a)] = (b 2 − a 2 )f 0 (ξ). 1
7.设f(x)在(a,+∞)上可导,且imf(x)=limf(x)=A,求证:存 在(a,+∞),使f(5)=0 8.设f(x)可导,求证:f(x)在两零点之间一定有f(x)+f(x)的零点 9.设函数f(x)在r0附近连续,除x点外可导,且limf"(x)=A, 求证:f(x)存在,且f(x)=A 10.若f(x)在(a,b)可导,且f(a)≠f(b),k为介于f(a)和f(b)之间 的任一实数,则至少存在一点∈(a,b),使f(5)=k 11.设函数f(x)在(a,b)内可导,且f(x)单调,证明f(x)在(a,b)连 续 12.若函数f(x),g(x)和h(x)在{a,b连续,在(a,b)可导,证明存在 (a,b),使得 f(a)ga h(a) f(b)9(b)h(b)=0 f(5)g(5)h() 再从这个结果导出拉朗日中值定理和柯西中值定理。 13.设f(x)在(∞,+∞)连续,且im=+∞,证明:f(x)在(∞,+∞) 上取到它的最小值 14.设f(x)在{a,b)连续,limf(x)=B (1)若存在r∈{a,b),使f(x1)>B,则f(x)在a,b)上达到最大值 (2)如果存在r∈a,b),使f(x1)=B,能否断言f(x)在{a,b)上达到 最大值? 15.设f(x)在[a,+∞)有界,f"(x)存在,且imf(a)=b求证b=0 16.求证: arctan c+ arccos T=2(≤1)
7．设f(x)在(a, +∞) 上可导，且 lim x→a+ f(x) = lim x→+∞ f(x) = A , 求证：存 在ξ(a, +∞) ，使f 0 (ξ) = 0 。 8．设f(x)可导，求证：f(x) 在两零点之间一定有f(x) + f 0 (x) 的零点. 9．设函数f(x) 在x0 附近连续，除x0 点外可导，且 limx→x0 f 0 (x) = A ， 求证：f 0 (x) 存在，且f 0 (x) = A . 10．若f(x) 在(a, b) 可导，且f 0 (a) 6= f 0 (b) ，k 为介于f 0 (a) 和f 0 (b) 之间 的任一实数，则至少存在一点ξ ∈ (a, b) ，使f 0 (ξ) = k . 11．设函数f(x) 在(a, b) 内可导，且f 0 (x) 单调，证明f 0 (x) 在(a, b) 连 续. 12．若函数f(x), g(x) 和h(x) 在[a, b] 连续，在(a, b) 可导，证明存在ξ ∈ (a, b) ，使得 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ f(a) g(a) h(a) f(b) g(b) h(b) f 0 (ξ) g 0 (ξ) h 0 (ξ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 0 再从这个结果导出拉朗日中值定理和柯西中值定理。 13．设f(x) 在(∞, +∞) 连续，且 lim x→±∞ = +∞ ，证明：f(x) 在(∞, +∞) 上取到它的最小值. 14．设f(x) 在[a, b) 连续， lim x→b− f(x) = B . （1）若存在x ∈ [a, b) ，使f(x1) > B ，则f(x) 在[a, b) 上达到最大值； （2）如果存在x ∈ [a, b) ，使f(x1) = B ，能否断言f(x) 在[a, b) 上达到 最大值？ 15．设f(x) 在[a, +∞) 有界，f 0 (x) 存在，且 lim x→+∞ f 0 (x) = b .求证b = 0 . 16．求证：arctan x + arccos x = π 2 (|x| 6 1) . 2
2微分中值定理及其应用 求下列待定型的极限 (1)lim如m (2) lim sinr (3)lim (4) lim tanr-z a-0 -sin r (5)im(1 ); (6)x-0 mn是= (7) m-); (9) lim(T-r)tan 5 (10)lim (11)limc(a,b>0) x→+∞ (12)lim arctan ar x→+ (13) lim n7(b, c>0) (14)lim2(.c>0) (15) lim l-2sing (16)lit 3
§2 微分中值定理及其应用 1．求下列待定型的极限： （1）lim x→0 tan ax sin bx ; （2）lim x→0 1−cos x 2 x3 sin x ; （3）lim x→0 ln(1+x)−x cos x−1 ; （4）lim x→0 tan x−x x−sin x ; （5）lim x→0 ( 1 x − 1 e x−1 ); （6）lim x→0 ln cos ax ln sin bx ; （7） lim x→π 2 tan x−6 sec x+5 ; （8）lim x→1 ( 1 ln x − 1 x−1 ); （9）limx→π (π − x) tan x 2 ; （10）lim x→1 x 1 1−x ; （11） lim x→+∞ x b e ax (a, b > 0); （12） lim x→+∞ π 2 −arctan x sin 1 x ; （13） lim x→+∞ lnc x xb (b, c > 0); （14） lim x→0+ lnc x xb (b, c > 0); （15） lim x→π 6 1−2 sin x cos 3x ; （16） lim x→0+ ln x cot x ; （17）lim x→0 (1+x) 1 x −e x ; 3
(18) lin (19)lim(ln)2; (20)im(nx) (21)lim( (22) lim sin r In x 2.对函数f(x)在0,习上应用拉格朗日中值定理有 f(x)-f(0)=f(6ax)x,b∈(0,1) 试证对下列函数有lm=l (1)f(x)=ln(1+x); 设f(x)二阶可导,求证 lim f(a+ 2h)-2f(a+h)+f=f() 4.下列函数不能用洛必达法则求极限 Im二m; (2) lim I+sine (3)1ima2+ (4)lim 1) +Sin §3函数的升降、凸性和函数作图 1.应用函数的单调性证明下列不等式:
（18） lim x→0+ x sin x ; （19） lim x→0+ (ln 1 x ) x ; （20）lim x→0 ( tan x x ) 1 x2 ; （21）lim x→0 ( 1 x2 − 1 sin2 x ); （22） lim x→0+ sin x ln x. 2．对函数f(x) 在[0, x] 上应用拉格朗日中值定理有 f(x) − f(0) = f 0 (θx)x, θ ∈ (0, 1). 试证对下列函数有 lim x→0+ θ = 1 2 ： （1）f(x) = ln(1 + x); （2）f(x) = e x . 3．设f(x) 二阶可导，求证： lim h→0 f(x + 2h) − 2f(x + h) + f(x) h 2 = f 00(x). 4．下列函数不能用洛必达法则求极限： （1）lim x→0 x 2 sin 1 x sin x ; （2） limx→∞ x+sin x x−cos x ; （3） limx→∞ 2x+sin 2x (2x+sin x)e sin x ; （4）lim x→1 (x 2−1) sin x ln(1+sin π 2 x) . §3 函数的升降、凸性和函数作图 1．应用函数的单调性证明下列不等式： 4
(1)0 (4) tanz >x (0 (5)2v>3-1,x<0 2.确定下列函数的单调区间: (2)y=√2x- (3)y=2x2-lnx; (5) (6)y=xe-x; 3.求下列函数的极值: (1)y=x-ln(1+x) (2)y=;x+; 4+5x (5) (6)y=arctan r-2In(1+r
（1）2 π x 0; （4）tan x > x + x 3 3 , x ∈ (0, π 2 ); （5）2 √ x > 3 − 1 x , x < 0. 2．确定下列函数的单调区间： （1）y = x 3 − 6x; （2）y = √ 2x − x 2; （3）y = 2x 2 − ln x; （4）y = x 2−1 x ; （5）y = 2x 2 − sin x; （6）y = x n e −x ; 3．求下列函数的极值： （1）y = x − ln(1 + x); （2）y =; x + 1 x ; （3）y = √ 1+3x 4+5x2 ; （4）y = (ln x) 2 x ; （5）y = 2x 3 − x 4 ; （6）y = arctan x − 1 2 ln(1 + x x ); 5
4.设f(x)= ≠0 (1)证明:x=0是函数的极小值点; (2)说明在∫的极小值点x=0处是否满足极值的第一充分条件或第 二充分条件 5.证明:若函数f(x)在点x0处有f(x0)0,则xo为f 的极大值点 6.设f(x)=almx+bx2+x在x1=1,x2=2处都取的极值,试定出a 和b的值;并问这时∫在x1和x2是取得极大值还是极小值 7(1)求函数f(x)=ax-lnx在x>0上的极值; (2)求方程ax=lnx有两个正实根的条件 8设f(x),g(x)在实轴上连续可微,且 f(ar) g(a) c) 求证:f(x)的两实根之间一定有g(x)=0的根 9.确定下列函数的凸性区间与拐点: (1)y=3 (3)y=ln(1+x2); (4)y=√ 10证明曲线y=有位于同一直线上的三个拐点
4．设f(x) = x 4 sin2 1 x , x 6= 0, 0, x = 0. （1）证明：x = 0 是函数的极小值点； （2）说明在f 的极小值点x = 0处是否满足极值的第一充分条件或第 二充分条件. 5．证明：若函数f(x) 在点x0 处有f 0 +(x0) 0 ，则x0 为f 的极大值点. 6．设f(x) = a ln x + bx2 + x 在x1 = 1, x2 = 2 处都取的极值，试定出a 和b 的值；并问这时f 在x1 和x2 是取得极大值还是极小值； 7.(1) 求函数f(x) = ax − ln x 在x > 0 上的极值； (2) 求方程ax = ln x 有两个正实根的条件. 8.设f(x) ，g(x) 在实轴上连续可微，且 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ f(x) g(x) f 0 (x) g 0 (x) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ > 0 求证：f(x) 的两实根之间一定有g(x) = 0 的根. 9.确定下列函数的凸性区间与拐点： （1）y = 3x 2 − x 3 ; （2）y = x 2 + 1 x ; （3）y = ln(1 + x 2 ); （4）y = √ 1 + x 2; 10.证明曲线y = x+1 x2+1有位于同一直线上的三个拐点. 6
1问a,b为何值时,点(1,3)为曲线y=ax3+bx2的拐点? 12证明 (1)若f(x)为下凸函数,A为非负实数,则入f(x)为下凸函数; (2)若f(x)、g(x)均为下凸函数,则f(x)+g(x)为下凸函数; (3)若f(x)为区间I上的下凸函数,g(x)为J上的下凸递增函 数,f(1)CJ,则gof(x)为Ⅰ上的下凸函数 13设f(x)为区间I上严格上凸函数,证明:若xo∈I为f(x)的极小值 点,则x为f(x)在I上唯一的极小值点 14应用下凸函数概念证明如下不等式 1)对任意实数a,b,有 e0,方能使曲线 h-12x2 在x=±a(a>0)为给定的常数)处有拐点 16求y=的极值及拐点,并求拐点处的切线方程 17作出下列函数的图形 (1)y=x3-6x; (2)y=e-(x-1)2 7
11.问a, b 为何值时，点(1, 3) 为曲线y = ax3 + bx2 的拐点？ 12.证明： (1) 若f(x) 为下凸函数，λ 为非负实数，则λf(x) 为下凸函数； (2) 若f(x)、g(x) 均为下凸函数，则f(x) + g(x) 为下凸函数； (3) 若f(x) 为 区 间I 上 的 下 凸 函 数 ，g(x) 为J 上 的 下 凸 递 增 函 数，f(I) ⊂ J ，则g ◦ f(x) 为I 上的下凸函数. 13.设f(x) 为区间I 上严格上凸函数，证明：若x0 ∈ I 为f(x) 的极小值 点，则x0 为f(x) 在I 上唯一的极小值点. 14.应用下凸函数概念证明如下不等式： (1) 对任意实数a, b, 有 e a+b 2 6 1 2 (e a+e b ) . (2) 对任何非负函数a, b, 有 2 arctan a + b 2 > arctan a + arctan b. 15.如何选择参数h > 0 ，方能使曲线 y = h √ π e −h 2x 2 在x = ±σ(σ > 0) 为给定的常数）处有拐点. 16.求y = x 2 x2+1 的极值及拐点，并求拐点处的切线方程. 17.作出下列函数的图形： （1）y = x 3 − 6x; （2）y = e −(x−1)2 ; 7
(3)y=r (4)y=In (5)y=r-2 arctan r (7)y=2=2x13 §4函数的最大值最小值问题 1.求下列函数在指定区间上的最大值与最小值 (1)y=x5-5x4+5x3 (2)y=2 tan -tan2, I E(0, 2) (3)y=√x; )y=|x2-3x+2| (5)y=er=3,[-5,5]; 2.给定长为l的线段,试把它分成两段,使以这两段为边所围成的 矩形面积为最大 3设用某仪器进行测量时,读得n次实验数据为a1,a2,…,an,问以怎 样的数值α表达所要测量的真值,才能使它与这n个数之差的平方和为最 小 4求内接于椭圆+=1而边平行于坐标轴的面积最大的矩形
（3）y = 1 x2−1 ; （4）y = ln 1+x 1−x ; （5）y = x − 2 arctan x; （6）y = xe−x ; （7）y = x 2−2x−3 x2+1 ; （8）y = (x−1)3 (x+1)3 ; （9）y = x 4 (1+x) 3 . §4 函数的最大值最小值问题 1．求下列函数在指定区间上的最大值与最小值 （1）y = x 5 − 5x 4 + 5x 3 + 1; （2）y = 2 tan x − tan2 x, x ∈ (0, π 2 ); （3）y = √ x ln x; （4）y = |x 2 − 3x + 2|; （5）y = e |x−3| , [−5, 5]; 2．给定长为l 的线段，试把它分成两段，使以这两段为边所围成的 矩形面积为最大. 3.设用某仪器进行测量时，读得n 次实验数据为a1, a2, · · · , an, 问以怎 样的数值x 表达所要测量的真值，才能使它与这n 个数之差的平方和为最 小. 4.求内接于椭圆x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 而边平行于坐标轴的面积最大的矩形. 8
5点M(p,q)到抛物线y2=2px最短距离 6.做一个圆柱形锅炉,已知起容积为V,两端面材料的每单位面积价 格为α元侧材料的每单位面积价格为b元,问锅炉的直径与高的比等于多 少时,造价最省? 7某村计划修建一条断面面积为4m2的梯形渠道,侧面的坡度为 即底边与斜高间夹角 theta满足tan=),底边b与斜高l为多长时湿 周最小.(根据经验,湿周最小时渠道过水能力最大.) 8设炮口的仰角为α,炮弹的初速为om/s,炮口取作原点,发炮时 间取作t=0,不计空气阻力时,炮弹的运动方程为: a=tuo cos a y=tuo sina -ogt 若初速ω不变,问如何调整炮口的仰角α,使炮弹射程最远
5.点M(p, q) 到抛物线y 2 = 2px 最短距离. 6.做一个圆柱形锅炉，已知起容积为V ，两端面材料的每单位面积价 格为a 元.侧材料的每单位面积价格为b 元，问锅炉的直径与高的比等于多 少时，造价最省？ 7.某村计划修建一条断面面积为4m2 的梯形渠道，侧面的坡度为3 4 （即底边与斜高间夹角theta 满足tan θ = 3 4 ），底边b 与斜高l 为多长时湿 周最小.（根据经验，湿周最小时渠道过水能力最大.） 8.设炮口的仰角为α ，炮弹的初速为v0m/s ，炮口取作原点，发炮时 间取作t = 0 ，不计空气阻力时，炮弹的运动方程为： x = tv0 cos α y = tv0 sin α − 1 2 gt2 若初速v0 不变，问如何调整炮口的仰角α ，使炮弹射程最远. 9