第二十一章曲线积分与曲面积分 §1第一型曲线积分与曲面积分 1.对照重积分的基本性质写出第一型曲线积分和第一型曲面积分的 类似性质 2.计算下列第一型曲线积分 (1)J(x2+y2)ds,其中L是以(0,0),(2,0),(0,1)为顶点 的三角形 (2)J√2+yds,其中L是圆周x2+y2=ax; (3) Li ayzds,其中L为螺线x= acost,y= a sin t,2=b(0<a<b),0≤ t<2丌; (4)/1(x2+y2+2ds,其中L与(3)相同; (5)(x+y)d,其中L为内摆线r+y3=a3; (6)Jy2ds,其中L为摆线的一拱x=a(t-sint,y=a(1-cost),0≤t≤ (7) Gr ryds,其中L为球面x2+y2+2=a2与平面x+y+2=0的交线 (8)/1(xgy+y2+z)ds,其中L同(7); (9)xyd,其中L是曲线x=t,y=3V2,2=是2(0≤t≤1) (10)J√2y2+2ds,其中L是x2+y2+2=a2与x=y相交的圆周 3.计算下列第一型曲面积分: (1)J(x2+y2)ds,其中S是立体r2+y2≤z≤1的边界曲面;
第二十一章 曲线积分与曲面积分 §1 第一型曲线积分与曲面积分 1．对照重积分的基本性质写出第一型曲线积分和第一型曲面积分的 类似性质． 2．计算下列第一型曲线积分： (1) R L (x 2 + y 2 )ds，其中L是以（0，0），（2，0），（0，1）为顶点 的三角形； (2) R L p x 2 + y 2ds，其中L是圆周x 2 + y 2 = ax； (3) R L xyzds，其中L为螺线x = a cost, y = a sin t, z = bt(0 < a < b), 0 ≤ t ≤ 2π； (4) R L (x 2 + y 2 + z 2 )ds，其中L与(3)相同； (5) R L (x 4 3 + y 4 3 )ds，其中L为内摆线x 2 3 + y 2 3 = a 2 3； (6) R L y 2ds，其中L为摆线的一拱x = a(t − sin t), y = a(1 − cost), 0 ≤ t ≤ 2π； (7) R L xyds，其中L为球面x 2 + y 2 + z 2 = a 2与平面x + y + z = 0的交线； (8) R L (xy + yz + zx)ds，其中L同(7)； (9) R L xyzds，其中L是曲线x = t, y = 2 3 √ 2t 3, z = 1 2 t 2 (0 ≤ t ≤ 1)； (10) R L p 2y 2 + z 2ds，其中L是x 2 + y 2 + z 2 = a 2与x = y相交的圆周． 3．计算下列第一型曲面积分： (1) RR S (x 2 + y 2 )dS，其中S是立体p x 2 + y 2 ≤ z ≤ 1的边界曲面； 1
(2)Jx24,其中S为柱面x2+y2=P被平面z=0和2=H所截取的 部分 (3)|3y2ds,其中s为曲面z=x2+y2被z=1割下的部分; (4)∫2ds,其中S为螺旋面的一部分: r=c0v,y= u sin u,z=t(0≤≤a,0≤v≤2x) (5)∫(x2+y2)dS,S是球面x2+y2+2=R2. 4.设曲线L的方程为 x= e cos t,y=e'sint,z=e(0≤t≤t) 它在每一点的密度与该点的矢径平方成反比,且在点(1,0,1)处为1,求它 的质量 5.设有一质量分布不均匀的半圆弧x=rcos,y=rsin(0≤0≤丌), 其线密度p=a(a为常数),求它对原点(0,0)处质量为m的质点的引力 6.求螺线的一支L:x= acost,y= asin t,2=t(0≤t≤27)对x轴的 转动惯量Ⅰ=J(2+2)ds.设此螺线的线密度是均匀的. 7.求抛物面壳2=(x2+y2),0≤z≤1的质量.设此壳的密度p=2 8,计算球面三角形x2+y2+2=a2,x>0,y>0,2>0的围线的重心 坐标.设线密度p=1 9.求均匀球壳n2+y2+2=a2(z≥0)对轴的转动惯量 10.求均匀球面z=√a2-x2-y2(x≥0,y≥0,x+y≤a)的重心坐标 11.若曲线以极坐标给出:p=p(6)(1≤6≤62),试给出计 算∫f(x,y)ds的公式,并用此公式计算下列曲线积分:
(2) RR S dS x2+y 2，其中S为柱面x 2 + y 2 = R2被平面z = 0和z = H所截取的 部分； (3) RR S |x 3 y 2 z|dS，其中S为曲面z = x 2 + y 2被z = 1割下的部分； (4) RR S z 2dS，其中S为螺旋面的一部分： x = u cos v, y = u sin v, z = v (0 ≤ u ≤ a, 0 ≤ v ≤ 2π) (5) RR S (x 2 + y 2 )dS，S是球面x 2 + y 2 + z 2 = R2． 4．设曲线L的方程为 x = e t cost, y = e t sin t, z = e t (0 ≤ t ≤ t0) 它在每一点的密度与该点的矢径平方成反比，且在点(1,0,1)处为1，求它 的质量． 5．设有一质量分布不均匀的半圆弧x = r cos θ, y = r sin θ(0 ≤ θ ≤ π)， 其线密度ρ = aθ(a为常数)，求它对原点(0，0)处质量为m的质点的引力． 6．求螺线的一支L：x = a cost, y = a sin t, z = h 2π t(0 ≤ t ≤ 2π)对x轴的 转动惯量I = R L (y 2 + z 2 )ds．设此螺线的线密度是均匀的． 7．求抛物面壳z = 1 2 (x 2+y 2 )，0 ≤ z ≤ 1的质量．设此壳的密度ρ = z． 8．计算球面三角形x 2 + y 2 + z 2 = a 2，x > 0, y > 0, z > 0的围线的重心 坐标．设线密度ρ = 1． 9．求均匀球壳x 2 + y 2 + z 2 = a 2 (z ≥ 0)对z轴的转动惯量． 10．求均匀球面z = p a 2 − x 2 − y 2(x ≥ 0, y ≥ 0, x+y ≤ a)的重心坐标． 11． 若 曲 线 以 极 坐 标 给 出 ：ρ = ρ(θ)(θ1 ≤ θ ≤ θ2)， 试 给 出 计 算 R L f(x, y)ds的公式，并用此公式计算下列曲线积分： 2
(1)2ev2+yds,其中L是曲线p=a(0≤6≤); (2)Jxds,其中L是对数螺线p=ae0(k>0)在圆r=a内的部分 12.求密度p=p0的截圆锥面x= T COS Y,y= TsIn y,z=r(0≤y≤ 2丌,0<b≤r≤a)对位于曲面顶点0.00)的单位质点的引力.当b→0时, 结果如何? 13.计算F(t)=f(x,y,2)dS,其中S是一平面x+y+z=t,而 +y2+z2≤1 0, +y2+2 2第二型曲线积分与曲面积分 1.计算下列第二型曲线积分 (1)1(2a-y)dx+dy,其中L为摆线x=a(t-sint,y=a(1-cst),(0≤ t≤2r)沿t增加的方向 (2)=+yds,其中L为圆周x2+y2=a2依逆时针方向 (3)/xdx+ydy+2d2,其中L为从(1,1,1)到(2,3,4)的直线段 (4)/1(x2-2ry)dx+(y2-2xy)dy,L为y=2从(1)到(11); (5)/1dx-dy+(x2+y2)dz,L为曲线x=e at从(1,1,0)到(e,e-1,a) (6)(x2+y2)dx+(x2-y2)dy,L为以A(1,0),B(2,0),C(2,1),D(1,1)为 顶点的正方形沿逆时针方向 2.计算曲线积分 (y2-2)dx+(2-x2)dy+(x2-y2)d 3
(1) R L e √ x2+y 2 ds，其中L是曲线ρ = a(0 ≤ θ ≤ π 4 )； (2) R L xds，其中L是对数螺线ρ = aekθ(k > 0)在圆r = a内的部分． 12．求密度ρ = ρ0的截圆锥面x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = r(0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 1. . §2 第二型曲线积分与曲面积分 1．计算下列第二型曲线积分： (1) R L (2a − y)dx + dy，其中L为摆线x = a(t − sin t), y = a(1 − cost),(0 ≤ t ≤ 2π)沿t增加的方向； (2) R L −xdx+ydy x2+y 2 ds，其中L为圆周x 2 + y 2 = a 2依逆时针方向； (3) R L xdx + ydy + zdz，其中L为从（1,1,1）到（2,3,4）的直线段； (4) R L (x 2 − 2xy)dx + (y 2 − 2xy)dy，L为y = x 2从(1,1)到(-1,1)； (5) R L ydx − xdy + (x 2 + y 2 )dz，L为 曲 线x = e t , y = e −t , z = at从(1,1,0)到(e, e−1 , a)； (6) R L (x 2 + y 2 )dx + (x 2 − y 2 )dy，L为以A(1, 0), B(2, 0), C(2, 1), D(1, 1)为 顶点的正方形沿逆时针方向． 2．计算曲线积分 Z L (y 2 − z 2 )dx + (z 2 − x 2 )dy + (x 2 − y 2 )dz 3
(1)L为球面三角形x2+y2+2=1,x≥0,y≥0,2≥0的边界线,从球 的外测看去,L的方向为逆时针方向; (2)L是球面x2+y2+2=a2和柱面x2+y2=ax(a>0)的交线位于Ory平 面上方的部分,从轴上(,0,0)(b>a)点看去,L是顺时针方向 3.求闭曲线L上的第二型曲线积分 (1)L为圆x2+y2=a2,逆时针方向; 2)为椭圆三+=1,顺时针方向 3)L为以(0,0)为中心,边长为a,对边平行于坐标轴的正方形,顺时 针方向; (4)L是以(-1,-1),(,-1),(0,1)为顶点的三角形,顺时针方向 求力场F对运动的单位质点所作的功,此质点沿曲线L从A点运动 到B点: (1)F=(x-2xy2,y-2x2y),L为平面曲线y=x2,A(0,0),B(1,1) (2)F=(x+y,xy),L为平面曲线y=1-|1-x,A(0,0),B(2,0); (3)F=(x-y,y-2,2-x),L的矢量形式为r(t)=ti+t2i+ f3k,A(0,0,0),B(1,1,1); (4)F=(y2,2,x2),L的参数式为x= a cos t,y= Bsin t,z t(a,3,为正数),Aa,0,.0),B(a,0,2) 5.设P,Q,R在L上连续,L为光滑弧段,弧长为l,证明 Pdx+Qdy+hla≤Ml
(1) L为球面三角形x 2 + y 2 + z 2 = 1，x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0的边界线，从球 的外测看去，L的方向为逆时针方向； (2) L是球面x 2+y 2+z 2 = a 2和柱面x 2+y 2 = ax(a > 0)的交线位于Oxy平 面上方的部分，从x轴上(b, 0, 0)(b > a)点看去，L是顺时针方向． 3．求闭曲线L上的第二型曲线积分 I L ydx − xdy x 2 + y 2 (1) L为圆x 2 + y 2 = a 2，逆时针方向； (2) L为椭圆x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1，顺时针方向； (3) L为以(0,0)为中心，边长为a，对边平行于坐标轴的正方形，顺时 针方向； (4) L是以(−1, −1),(1, −1),(0, 1)为顶点的三角形，顺时针方向． 4．求力场F对运动的单位质点所作的功，此质点沿曲线L从A点运动 到B点： (1) F = (x − 2xy2 , y − 2x 2 y)，L为平面曲线y = x 2，A(0, 0), B(1, 1)； (2) F = (x + y, xy)，L为平面曲线y = 1 − |1 − x|，A(0, 0), B(2, 0)； (3) F = (x − y, y − z, z − x)，L的 矢 量 形 式 为r(t) = ti + t 2 j + t 3k，A(0, 0, 0), B(1, 1, 1)； (4) F = (y 2 , z2 , x2 )，L的 参 数 式 为x = α cost, y = β sin t, z = γt（α, β, γ为正数），A(α, 0, 0), B(α, 0, 2πγ)． 5．设P, Q, R在L上连续，L为光滑弧段，弧长为l，证明： | Z L P dx + Qdy + Rdz| ≤ Ml 4
其中M=max Er, y, EL(VP2+Q2+R 6.设光滑闭曲线L在光滑曲面S上,s的方程为z=f(x,y),曲 线L在Ory平面上的投影曲线为,函数P(x,y,z)在L上连续,证明: P(a,y,a)dr=f P(c, y, f(r, y)d. 7.计算I=yzd,其中L:x2+y2+2=1与y=z相交的圆,其方 向按曲线依次经过1,2,7,8卦限 8.计算下列第二型曲面积分: (1)Jy(x-2)dyd+x2ddx+(y2+x)dxdy,其中S为 y=z=a六个平面所围的正立方体的外测 (2)∥(x+9) )dydz+(y+a)ddx+(2+)drdy,其中S是以原点为中 心,边长为2的正立方体表面的外测 (3)mvd,s为++=1的上半部分的上测 (4) f zd dy+rdyd+ yazd,s为柱面x2+y2=1被平面z=0及z=3所 截部分的外测 (5) [dyde+vddx+rddy,s是由平面x=y=z=0和x+y+z 1所围的四面体表面的外测; (6)Jx3ydz+y2ddx+23dxdy,s为球面x2+y2+2=a2的外测; (7)Jx2dydz+y2ddx+2drdy,S是球面(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2= R2的外测 9.设某流体的流速为v=(k,y,0),求单位时间内从球面x2+y2+2 4的内部流过球面的流量
其中M = max (x,y,z)∈L np P2 + Q2 + R2 o ． 6． 设 光 滑 闭 曲 线L在 光 滑 曲 面S上 ，S的 方 程 为z = f(x, y)， 曲 线L在Oxy平面上的投影曲线为l，函数P(x, y, z)在L上连续，证明： I L P(x, y, z)dx = I l P(x, y, f(x, y))dx 7．计算I = R L xyzdz，其中L：x 2 + y 2 + z 2 = 1与y = z相交的圆，其方 向按曲线依次经过1,2,7,8卦限． 8．计算下列第二型曲面积分： (1) RR S y(x − z)dydz + x 2dzdx + (y 2 + xz)dxdy， 其 中S为x = y = z = 0，x = y = z = a六个平面所围的正立方体的外测； (2) RR S (x + y)dydz + (y + z)dzdx + (z + x)dxdy， 其 中S是 以 原 点 为 中 心，边长为2的正立方体表面的外测； (3) RR S yzdzdx，S为x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1的上半部分的上测； (4) RR S zdxdy + xdydz + ydzdx，S为柱面x 2+y 2 = 1被平面z = 0及z = 3所 截部分的外测； (5) RR S xydydz + yzdzdx + xzdxdy，S是由平面x = y = z = 0和x + y + z = 1所围的四面体表面的外测； (6) RR S x 3dydz + y 3dzdx + z 3dxdy，S为球面x 2 + y 2 + z 2 = a 2的外测； (7) RR S x 2dydz + y 2dzdx + z 2dxdy，S是球面(x − a) 2 + (y − b) 2 + (z − c) 2 = R2的外测． 9．设某流体的流速为v = (k, y, 0)，求单位时间内从球面x 2 + y 2 + z 2 = 4的内部流过球面的流量． 5
10.设流体的流速为v=(xy5,0,25x2),求穿过柱面x2+y2=a2(-h≤ z≤h)外测的流量
10．设流体的流速为v = (xy5 , 0, z5x x )，求穿过柱面x 2 + y 2 = a 2 (−h ≤ z ≤ h)外测的流量． 6