《数学分析》课程教学资源（试题集锦）第七章 实数的完备性

第七章实数的完备性 §1关于实数集完备性的基本定理 例1设函数f(x)定义在[ab]上,x∈[b]极限f(x)都存在证明f(x)在 ab上有界 分析函数∫在每点x∈[a小]处由函数极限的局部有界性,彐U(x,6,),在其中f有 界于是H={(x,,x∈[ab成为[a的一个无限开覆盖然后可用有限覆盖定理得结 论成立读者从本例中可以了解如何应用有限覆盖定理另外,本例可应用致密性定理通过反 证法来证明 证因为f(x)在[b]上每点存在极限,由函数极限的局部有界性 ∈[6]U(x,,)与M)0,使得vt∈U(x,,)f()≤M2所有这种领域的集合 (x)x∈[ab 成为[ab]的一个开覆盖由有限覆盖定理,存在b]的有限开覆盖 ={(x.)≤n}cH 若取M=的,则因覆盖了[,b]对[a中每一x,它必属于厅中某一领域U(x;,m), 于是 f(x)≤M,≤M 注1上面的证明与闭区间上连续函数的有界性的证明有相似之处(见后面2) 注2有限覆盖定理的作用在于当[b]能被有限个领域覆盖时,可以在有限个 M,(=1,2…,n)中求得一个最大的M 例2设{n}是有界发散数旬则存在{n}的两个子列趋向于不同的极限 分析由致密性定理,3n}={xnx=51,为了得到另一个收敛子列必须利用数列 xn}本身不收敛于5的条件 证因为{}是有界数列由致密性定理存在收敛子列}c{xn记

第七章 实数的完备性 §1 关于实数集完备性的基本定理 例 1 设函数 f (x) 定义在 a,b 上, x a,b  0  ,极限 ( ) lim 0 f x x x → 都存在.证明 f (x) 在 a,b 上有界. 分析 函数 f 在每点 xa,b 处由函数极限的局部有界性, ( ; ) x U x  ,在其中 f 有 界,于是 H = U(x; x ), xa,b 成为 a,b 的一个无限开覆盖.然后可用有限覆盖定理得结 论成立.读者从本例中可以了解如何应用有限覆盖定理.另外,本例可应用致密性定理,通过反 证法来证明. 证 因 为 f (x) 在 a,b 上 每 点 存 在 极 限 , 由 函 数 极 限 的 局 部 有 界 性 , x a,b  0  , ( ; ) x U x  与 Mx 0,使得 x M x t U(x; ), f (t)  .所有这种领域的集合 H = U(x; x ) xa,b 成为 a,b 的一个开覆盖;由有限覆盖定理,存在 a,b 的有限开覆盖  ( ; )1  . ~ H U x i n H i = i  x    若取 i M x M i n max =1  ,则因 H ~ 覆盖了 a,b,对 a,b 中每一 x ,它必属于 H ~ 中某一领域 ( ) k xk U x ; , 于是 f (x) M M. k  x  注 1 上面的证明与闭区间上连续函数的有界性的证明有相似之处(见后面  2 ). 注 2 有限覆盖定理的作用在于当 a,b 能被有限个领域覆盖时, 可以在有限个 ．．． M (i 1,2 ,n) i x =  中求得一个最大的 M . 例 2 设 xn 是有界发散数旬,则存在 xn 的两个子列趋向于不同的极限. 分析 由致密性定理,     1 lim   , → =  nk k x n n k x x ,为了得到另一个收敛子列,必须利用数列 xn 本身不收敛于 1  的条件. 证 因为 xn 是有界数列,由致密性定理,存在收敛子列    , n n x x k   记

由于{n}不收敛于51,因此在51的某一领域U(5;06)之外必有{xn}中的无穷多项对这 无穷多项再次应用致密性定理在其中又存在另一收敛子列n}c{记 显然5-别26即5≠52 例3设{an}为收敛数列证明{an}的上、下确界中至少有一个属于{n 证证法1设加2=a2若{n}是常数数列则结论是显然的若{n}不恒为常数不妨 设a1≠a对E0= N,当m)N0时an∈U(a6),而领域U(a,5)外必有{an}中的有 限项(至少anU(a)在这有限项中必存在{an}的最大项或最小项于是{an}的上、下确 界中至少有一个属于{n} 证法2因为{an}为收敛数列,所以{n}为非空有界集,由确界原理,存在 5=sp{an}n=nf{an}.若5=n,则{n}为常数列,于是5,n∈{n}若占≠,且 5g{an}H∈{a,则存在两个子列使{n}}使 limes=n 即{an}存在两个子列收敛于不同的极限,这与{an}为收敛数列相矛盾。由此可见{an}的上 下确界中至少有一个属于{an} 例4试利用区间套定理证明确界原理 证设S为一非空有上界M的数集因其非空故有an∈S,不妨设an不是S的上界(否则 a为S的最大元即为S的上确界记ab]=[n,M]将[b]二等分,其中必有一子区间 其右端点为S的上界但左端点不是S的上界记之为[a2b2]再将[a2b2]二等分,其中必有 子区间其右端点是S的上界而左端不是S的上界记之为[a3b3]依此类推得到一区间套 {an,bnJ,其中b恒为S的上界,an恒非S的上界且

1 lim → =  nk x k 由于 xn 不收敛于 1  ,因此在 1  的某一领域 ( ; ) U 1  之外必有 xn 中的无穷多项,对这 无穷多项再次应用致密性定理,在其中又存在另一收敛子列    , n' n x x k   记 2 lim ' → =  n k x k . 显然 1 − 2   ,即 1   2 . 例 3 设 an 为收敛数列,证明 an 的上、下确界中至少有一个属于 an 证 证法 1 设 2 lim a an n→ = .若 an 是常数数列,则结论是显然的;若 an 不恒为常数,不妨 设 a1  a 对 2 1 0 a − a  = , N0 ,当 n N0  时 ( ; ) 0 a U a  n  ,而领域 ( ; ) 0 U a  外必有 an 中的有 限项(至少 ( ; ) 0 a U a  n  ).在这有限项中必存在 an 的最大项或最小项,于是 an 的上、下确 界中至少有一个属于 an. 证 法 2 因 为 an 为收敛数列 , 所 以 an 为非空有界集 , 由确界原理 , 存 在  = supan, = inf an . 若  = , 则 an 为常数列 , 于 是 , an . 若    , 且  ,  ,   an   an ,则存在两个子列使    n k n k a ' a '' , 使 → =  n k x k ' lim ， → = n k x k '' lim ， 即 an 存在两个子列收敛于不同的极限，这与 an 为收敛数列相矛盾。由此可见 an 的上、 下确界中至少有一个属于 an. 例 4 试利用区间套定理证明确界原理. 证 设 S 为一非空有上界 M 的数集.因其非空,故有 ao S ,不妨设 o a 不是 S 的上界(否则 o a 为 S 的最大元,即为 S 的上确界),记 a ,b  a ,M  1 1 = 0 .将   1 1 a ,b 二等分,其中必有一子区间, 其右端点为 S 的上界,但左端点不是 S 的上界,记之为   2 2 a ,b ,再将   2 2 a ,b 二等分,其中必有一 子区间,其右端点是 S 的上界,而左端不是 S 的上界,记之为   3 3 a ,b .依此类推,得到一区间套 an ,bn ,其中 n b 恒为 S 的上界, n a 恒非 S 的上界,且

b (b1-a1) 由区间套定理,35∈[n,bn]h=1,2…),现证占即为supS:()因为vx∈S,x≤bn,令 n→>∞取极限,得x≤5,即5为S的上界(2)E)0,因为mm=5,故an)2-E;由于an不是S 的上界因此5-E更不是S的上界所以ξ是S的最小上界即supS 同理可证有下界的非空数集必有下确界 注本题证明中的关键是构造合适的区间套,使其公共点5正好是数集S的上确界,为此 使b为S的上界,而an不是S的上界由此读者可体会到构造区间套的思想方法 例5试用有限覆盖定理证明区间套定理 证设{anb为区间套,要证5,使an≤5≤b(n=12…)用反证法:倘若 x∈[a1]都不是{an,bnB的公共点,于是n,使得xg回n,b」,因而 6,)0,U(xE,)⌒n,bn」=φ设 H={(x,E2x∈[,b] 它是[]的无限开覆盖由有限覆盖定理,(x;5)=12…可=H,就能覆盖 4b]现取n)gn{n,]nUUx,)=,而∪U(x,)[a的]这 anbn][a1,h]相矛盾由此可知彐E,使an≤5≤bn,n=12 说明上面是另一种应用有限覆盖定理的方法,即用反证法构造开覆盖这种分析技巧值 得学习 §2闭区间上连续函数性质的证明 例1若函数f(x)在[ab]上无界则必存在[ab]上某点使得f(x)在该点的任意领域 内无界 证用反证法若Wx∈[ab]存在6)0,使得f(x)在U(x,)中有界则令 H={(x。∈[ab 它成为[ab]的一个无限开覆盖由有限覆盖定理存在

0( ). 2 ( ) 2 1 ( ) 2 1 1 0 1 1 1 1 1 → →  − − = − = − = − − − − n M a b a b a b a n n n n n n 由区间套定理,  a ,b (n =1,2, )  n n .现证  即为 sup S :(1) 因为 x  S, bn x  ,令 n → 取极限,得 x   ,即  为 S 的上界.(2)  0 ,因为 → =  an n lim ,故  − an ;由于 n a 不是 S 的上界,因此  −  更不是 S 的上界.所以  是 S 的最小上界,即 sup S =  . 同理可证有下界的非空数集必有下确界. 注 本题证明中的关键是构造合适的区间套,使其公共点  正好是数集 S 的上确界,为此 使 n b 为 S 的上界,而 n a 不是 S 的上界.由此读者可体会到构造区间套的思想方法. 例 5 试用有限覆盖定理证明区间套定理. 证 设 an ,bn  为区间套, 要 证  , 使 a   b (n =1,2) n  n . 用反证法 : 倘 若   1 1 x a ,b 都不是 an ,bn  的 公 共 点 , 于 是 x n , 使 得   nx nx x  a ,b , 因 而  x 0 ,   =  nx nx U(x; x ) a ,b .设 H = U(x; x ), xa1 ,b1 , 它是   1 1 a ,b 的无限开覆盖.由有限覆盖定理, U(x ; )i 1,2, ,n H, i  i  x =   就能覆盖   1 1 a ,b . 现 取       =  =     n i i n x n n i x i i n n a b U x 1 max 1 , , ( , ) , 而    n i U xi x a b i 1 1 1 ( , ) , =   这 与     1 1 an ,bn  a ,b 相矛盾.由此可知,  ,使 a   b ,n =1,2,  . n  n 说明 上面是另一种应用有限覆盖定理的方法,即用反证法构造开覆盖,这种分析技巧值 得学习. §2 闭区间上连续函数性质的证明 例 1 若函数 f (x) 在 a,b 上无界,则必存在 a,b 上某点,使得 f (x) 在该点的任意领域 内无界. 证 用反证法,若 xa,b,存在  x 0 ,使得 f (x) 在 ( ; ) x U x  中有界,则令 H = U(x; x ) xa,b, 它成为 a,b 的一个无限开覆盖由有限覆盖定理,存在

H={(x:,)和≤≤k 为[a6]的有限开覆盖由于f(x)在每上U(x;6)内有界因此f(x)在[b上 界这与f(x)在[ab]上的无界性相矛盾 例2设∫在[a小上连续,对任何x∈[a小f(x)0.试用有限覆盖定理证明必存在c>0, 使得对任何x∈[ab满足 f(x)≥c vx∈{a,因为f(x)0,由连续函数的局部保号性,于是 35)0,30)0,x∈U(x,6),/(r)(x)现令 H={(x)∈ab 它是[a,b]的一个无限开覆盖,由有限开覆盖定理,存在 H={(x6)≤i≤k)cH 为a]的有限开覆盖取 vx∈b]某个(1≤i≤k),使x∈U(x:)于是 (x)(x)2c 例3设函数∫对任何(a,b)内的x,存在62)0,使得∫在(x-62,x+6)内递增,试证∫在 整个(a,b)内亦递增 证a,a2,a(an(a2(b,设法证明f(a)f(a2)x∈[a,a2]由所设条件彐,)0,使得 ∫在(x-2,x+δ1)内递增因此 H={(x8x∈[1a2l 是[a1a2]后个无限开覆盖由有限覆盖定理存在 H={(x:6≤≤k}=H

H U x i k H i = ( i ; x )1   *  为 a,b 的有限开覆盖.由于 f (x) 在每上 ( ; ) i i x U x  内有界,因此 f (x) 在 a,b 上 界,这与 f (x) 在 a,b 上的无界性相矛盾. 例2 设 f 在 a,b 上连续,对任何 xa,b, f (x)0 .试用有限覆盖定理证明:必存在 c0 , 使得对任何 xa,b,满足 f (x)  c. 证 xa,b , 因 为 f (x)0 , 由 连 续 函 数 的 局 部 保 号 性 , 于 是  0,  x 0, ' ( ; ) x x   x U x  , 2 ( ) ( ') f x f x  .现令 H = U(x; x ) xa,b， 它是 a,b 的一个无限开覆盖，由有限开覆盖定理，存在 H U x i k H i = ( i ; x )1   *  为 a,b 的有限开覆盖,取 0, 2 min ( ) 1        =   i i k f x c xa,b,  某个（ 1 i  k ）,使 ( ; ) i i x x U x  ,于是 c f x f x i   2 ( ) ( ) . 例 3 设函数 f 对任何 (a,b) 内的 x ,存在  x 0 ,使得 f 在 ( , ) x x x − x +  内递增,试证 f 在 整个 (a,b) 内亦递增. 证 a1 ,a2 ,aa1 a2 b ,设法证明 ( ) ( ).  , , 1 2 a1 a2 f a  f a x 由所设条件  x 0 ,使得 f 在 ( , ) x x x − x +  内递增,因此 H = U(x; x ) xa1 ,a2  是   1 2 a ,a 后个无限开覆盖,由有限覆盖定理,存在 H U x i k H i = ( i ; x )1   * 

为[a1a]的有限开覆盖为叙述方便起见不妨设由U(x1:,),U(x2,8,)就能覆盖[n,a] 且设x(x 若a2∈U(x;6n),则因a1∈U(x;o3,),∫在U(x;n)中递增,故f(a1)≤f(a2);若 a2EU(x;6),则a2∈U(x2;2),且因V=U(xx)∩U(x:x)≠,故彐a∈V,使 a1(a(a2.于是又有 f(a1)≤f(a)≤∫(a2) 对k)2的有限情形可类似地证明由此可见,f(x)在(a,b)上递增 例4试用确界原理证明若函数f(x)在闭区间[ab]上连续则厂在[ab]上有界 分析设 S={f在[ax]上有界x∈(ab 因为由∫在点a的局部有界性,可知S是非空数集且以b为上界由确界原理存在supS.关 键在于证明b=supS并证b∈S,以使S=[ab]即∫在[ab]上有界 证 S={在[ax]上有界x∈(anb 由分析可知S为非空有上界数集于是由确界原理存在=supS.现用反证法证明 若ξ(b,由连续函数的局部有界性彐δ)0,f(x)在(5-,5+6)内有界,即彐)5,使 x∈S,而这与5=supS相矛盾,所以=b 再证函数∫在[ab]上有界因为∫在点b连续于是彐6)0,f在(b-6小]上有界再由 b=spS,可知∫在abd 中有界于是f在[ab]上有界 2 例5设f(x)为定义在限区间1上的函数对1内任何柯西列{x},{(xn}也是柯西列试 证∫是I上的一致连续函数

为   1 2 a ,a 的有限开覆盖,为叙述方便起见,不妨设由 ( ; ), ( ; ) 1 1 2 2 x x U x  U x  就能覆盖   1 2 a ,a , 且设 2 2 x x . 若 ( ; ) 2 1 1 x a U x  ,则因 ( ; ) 1 1 1 x a U x  , f 在 ( ; ) 1 1 x U x  中递增,故 ( ) ( ) 1 a2 f a  f ;若 ( ; ) 2 1 1 x a U x  , 则 ( ; ) 2 2 x2 a U x  , 且 因 V =U(x1 ; x1 )U(x2 ;x2 )  , 故 a V * , 使 2 * a1 a a .于是又有 ( ) ( ) ( ). 2 * f a1  f a  f a 对 k2 的有限情形可类似地证明.由此可见, f (x) 在 (a,b) 上递增. 例 4 试用确界原理证明:若函数 f (x) 在闭区间 a,b 上连续,则 f 在 a,b 上有界. 分析 设 S = x f 在 a, x 上有界, x(a,b. 因为由 f 在点 a 的局部有界性,可知 S 是非空数集,且以 b 为上界,由确界原理,存在 sup S .关 键在于证明 b = sup S ,并证 bS ,以使 S = a,b,即 f 在 a,b 上有界. 证 设 S = x f 在 a, x 上有界, x(a,b. 由分析可知,S 为非空有上界数集,于是由确界原理,存在  = sup S .现用反证法证明  = b . 若  b ,由连续函数的局部有界性  0 0, f (x) 在 ( , )  − 0  +  0 内有界,即  0  ,使 x0 S ,而这与  = sup S 相矛盾,所以  = b . 再证函数 f 在 a,b 上有界.因为 f 在点 b 连续,于是  0 0 , f 在 (b − ,b 上有界;再由 b = sup S ,可知 f 在    − 2 ,  a b 中有界,于是 f 在 a,b 上有界. 例5 设 f (x) 为定义在限区间 I 上的函数,对 I 内任何柯西列 xn,f (xn 也是柯西列.试 证 f 是 I 上的一致连续函数

用反证法若∫在1上不一致连续函数于是彐60)0,{ x',br"}=l,xn-x2水k,但 f(xn)-f(xn)≥E0 由致密性定理,对有界数列{xn}3{xn}c{xn)=5因为 xn-x"n→0k→∞),于是x=5这样数列 也收敛于5,因而是柯西列但因为f(xn)-f(x2m)≥6,使得 f(xn1)f(x'n),f(xn2),f(x"n2)…f(x2nk),f(x"nk)2 不是柯西列这与假设相矛盾 注1如何应用反证法证明结论是数学分析学习过程中的一个难点掌握好基本概 念的否定说法的正面陈述是其中的关键 注2不难证明本题中的条件不仅是充分的而且是必要的于是函数在有限区间上 一致连续的充分条件是对1上任何柯n}(x,)}也是柯西列 3上极限和下极限 、范例解析 例1设{n}是有界数列 (1)是否成立s甲{x}=m,mx}=m-x?为什么 n→ (2)若sup{xn}kg{xn}(nf{xn}丝{xn,证明 supx,)=mi,, (inf (,j lim xu) n→0 解(1)一般情况下是不对的如,1=1,=0,但 nf{xn}=0,但 n→∞=1 (2)若5=sup{x}≠{x},由数列极限理论可知存在递增子列 gn}ctn。x=5由于x;又因x≤5,于是m,x由此可得5=mx 同理可证若nf{xn}∈{n,则nftr} →0 注本例指出了上、下确界与上、下极限的区别与联系

用反证法.若 f 在 I 上不一致连续函数,于是     n x x I x x n n n n 1 0, ' , '' , ' '' 0    −  ,但 0 ( ' ) − ( '' )   n n f x f x . 由致密性定理 , 对 有 界 数 列  ' ,  '   ' , ; lim '   → =  nk x n nk n k x x x 因 为 x' −x'' →0(k →) nk nk ,于是 → =  nk x k lim ' .这样,数列 x' n1 , x'' n1 , x' n2 , x'' n2 , x' nk , x'' nk ,  也收敛于  ,因而是柯西列;但因为 0 ( ' ) − ( '' )   nk nk f x f x ,使得 f (x' n1 ), f (x'' n1 ), f (x' n2 ), f (x'' n2 ), f (x' nk ), f (x'' nk ), 不是柯西列,这与假设相矛盾. 注 1 如何应用反证法证明结论是数学分析学习过程中的一个难点,掌握好基本概 念的否定说法的正面陈述是其中的关键. 注 2 不难证明本题中的条件不仅是充分的,而且是必要的,于是函数在有限区间上 一致连续的充分条件是对 I 上任何柯 xn,f (xn ) 也是柯西列. 3 上极限和下极限 三、范例解析 例 1 设 xn 是有界数列。 （1）是否成立     ? lim sup ,inf lim n n x n n x n x x n →  = → = 为什么 （2）若 sup   ,(inf    ) n n n n x  x x  x ，证明：     ). lim sup ,(inf lim n n x n n x n x x n →  = → = 解（1）一般情况下是不对的。例如，   ,sup  1 1 =       n = n x n x ，但 0; lim → = n x n ，但   ,inf   0 1 1 =       n = − n x n x ，但 1. lim = →  n x n （ 2 ） 若  = supxnxn ，由数列极限理论可知存在递增子列     → = k k nk n n k x x x lim , .由于 ; lim n n x → 又因  , n x 于是 n n x lim → 由此可得 n n x lim  = → . 同理可证:若 inf xnxn,则  n  n x n x →  lim inf . 注 本例指出了上、下确界与上、下极限的区别与联系

例2用上、下极限理论证明若{}是有界发散数列则存在{xn}的两个子列收敛于两 个不同的极限 分析若{xn}是有界发散数列则由(31)可知加xn xn,再对最大(小聚点选 子列即可得证 证因为数列发散的充要条件是x2x,于是存在}的两个子列 使 即存在}的两个子列收敛于不同的极限 例3证明对任何有界数列{xn}{n, (xn+y、n→∞”n→0 n→0 分析需证 lim (xn +yu) ≤ n→)0 由 (-yn),即要证 于是由(34)就可完成证明 证由内容提要3°(i,得 ocken y (-yn) n→00 由(34)式,有 皿(x+y)-m(-y)≤m(x2+yn-y)=mx n→ n→0 于是 lim lim (xn+yn)≤ Vn n→0 n→ 例4设{x,{n}为界数列且x)0,y)0证明

例 2 用上、下极限理论证明:若 xn 是有界发散数列,则存在 xn 的两个子列收敛于两 个不同的极限. 分析 若 xn 是有界发散数列,则由(3.1)可知 n n n x n x →  →  lim lim ,再对最大(小)聚点选 子列即可得证. 证 因为数列发散的充要条件是 n n n x n x →  →  lim lim , 于是存在 xn 的两个子列   nk x' ,   nk x'' ,使 n n n n n n x x k x x k k k lim lim '' lim ' , lim → = → →  = →  , 即存在 xn 的两个子列收敛于不同的极限. 例 3 证明:对任何有界数列 xn,yn, . lim lim ( ) lim n n n n y n x n x y n →  + →  +  →  分析 需证 . lim ( ) lim lim n n n n n x n x y y n →  + −  →  → 由 ( ) lim lim n n n y n y − →  − → = ,即要证 . lim ( ) lim ( ) lim n n n n x n y n x y n →  −  →  + − →  于是由(3.4)就可完成证明. 证 由内容提要 3°(ⅲ),得 n yn n k nyk lim limsup − → = − →  = n→k n − yk liminf ( ) lim n y n − →  = . 由(3.4)式,有 . lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim n n n n n n n x n x y y n y n x y n →  + − = →  −  →  + − →  , 于是 . lim lim ( ) lim n n n n y n x n x y n →  + →  +  →  例 4 设 xn,yn 为界数列,且 xn 0, yn 0 .证明 ( ). lim lim lim n n n n n n x y x y n →  →  → 

lim xn=0,则等式显然成立 xn)0,则当n)N时,有xn)0 n→0 n→∞ 于是 lim 1 limsup lim n→0 k≥n xk)n→>∞x 由本节教材习题2(3),可得 x 于是有 x,y) 例5证明数列}与}有相同的聚点 分析应用5为数列}的聚点的充要条件为存在子列,m=n,=5 可以得证 证设是数列{}的聚点,则子列{n}={x},m一xn=5因为 k 所以也是{的聚点 反之又若n是的聚点则子列x→刀由于→1因此 →n, 于是7也是{xn}的聚点

证 若 0 lim = →  n x n ,则等式显然成立.若 0 lim  →  n x n ,则当 n N0  时,有 xn 0 . 于是   ) 1 ( lim 1 1 lim lim 1 limsup inf k n x n k n k n n n x n x x n k →  =       = →  = →  →   . 由本节教材习题 2(3),可得 n n n n n n n n n n n x x y x y x y 1 ) ( ) 1 ( lim lim lim lim → → → → =     , ( ) lim 1 ( ) lim n n n n n x y n x y →  =  → , 于是有 ( ). lim lim lim n n n n n n x y x y n →  →  →  *例 5 证明数列 xn 与   n xn n 有相同的聚点. 分析 应用  为数列 xn 的聚点的充要条件为存在子列, xnk xn , =  →  nk x k lim 可以得证. 证 设  是数列 xn 的聚点,则  子列 xnk xn , =  →  nk x k lim .因为 =  →  k k n n nk x k lim , 所以  也是   n xn n 的聚点. 反之,又若  是   n xn n 的聚点,则  子列 k → n n nk x .由于 1 1 → k n k n ,因此 = → k k n k n nk k nk n x n x , 于是  也是 xn 的聚点