第十七章隐函数存在定理 §1单个方程的情形 1.设函数F(x,y)满足 (1)在区域D:x0-a≤x≤x0+a,-b≤y≤v+b上连续; (2)F(x0,30)=0 (3)当x固定时,函数F(x,y)是y的严格单调函数; 则可得到什么结论?试证明之 2.方程x2+y+sin(xy)=0在原点附近能否用形如y=f(x)的方程表 示?又能否用形如x=g(y)的方程表示? 3.方程F(x,y) (1-x2)=0在哪些点的附近可唯一地确定单 值、连续、且有连续导数的函数y=f(x) 4.证明有唯一可导的函数y=y(x)满足方程sin+snhy=x,并求出 导数y(x),其中imhy=当=-. 5.方程xy+zlny+e=1在点P0(0,1,1)的某邻域内能否确定出某 个变量是另外两个变量的函数 6.设/是一元函数,试问∫应满足什么条件,方程 2f(ay)=f(ar)+f(y) 在点(1,1)的邻域内能确定出唯一的y为x的函数 7.设有方程:x=y+(y),其中p(0)=0,且当-a0,当-6<x<6时,存在唯一的 可微函数y=y(x)满足方程x=y+y(y)且y(0)=0
第十七章 隐函数存在定理 §1 单个方程的情形 1. 设函数F(x, y)满足 (1) 在区域D : x0 − a ≤ x ≤ x0 + a，y0 − b ≤ y ≤ y0 + b上连续； (2) F(x0, y0) = 0 (3) 当x固定时，函数F(x, y)是y的严格单调函数； 则可得到什么结论？试证明之. 2．方程x 2 + y + sin(xy) = 0在原点附近能否用形如y = f(x)的方程表 示？又能否用形如x = g(y)的方程表示？ 3．方程F(x, y) = y 2 − x 2 (1 − x 2 ) = 0在哪些点的附近可唯一地确定单 值、连续、且有连续导数的函数y = f(x). 4．证明有唯一可导的函数y = y(x)满足方程sin + sinh y = x，并求出 导数y 0 (x)，其中sinh y = e y−e −y 2 . 5．方程xy + z ln y + e xz = 1在点P0(0, 1, 1)的某邻域内能否确定出某一 个变量是另外两个变量的函数. 6．设f是一元函数，试问f应满足什么条件，方程 2f(xy) = f(x) + f(y) 在点(1,1)的邻域内能确定出唯一的y为x的函数. 7． 设 有 方 程 ：x = y + ϕ(y)， 其 中ϕ(0) = 0， 且 当−a 0，当−δ < x < δ时，存在唯一的 可微函数y = y(x)满足方程x = y + ϕ(y)且y(0) = 0. 1
§2方程组的情形 试讨论方程组 +y+2 在点P(1,-1,2)的附近能否确定形如x=f(z),y=9(2)的隐函数组 2.求下列函数组的反函数组的偏导数 (1)设u=xCos,U=xsin,求,需,m, (2)设u=cx+rsin,=c2-rosy,求‰,,m,物 3.设=是,U=共,=云,其中r=√2+y2+2 (1)试求以a,,c为自变量的反函数组; (2)计算aua 4.设f,y连续可微, 且F(1,…x)=1(91(n),92(2),…9p(n)=1,2,,n)求凯 5.据理说明:在点(,1)附近是否存在连续可微函数f(x,y)和g(x,y)满 足f(0,1)=1,g(0,1)=-1,且 Ff(a, g)+rg(r, y)-y=0, Ig(a,y)+gf(ar 6.设 u=f(a, y, a, t) 9(9, 2, t)=0, h(z,t)=0 在什么条件下u是x,y的函数?求器物
§2 方程组的情形 1．试讨论方程组 x 2 + y 2 = 1 2 z 2 , x + y + z = 2 在点P0(1, −1, 2)的附近能否确定形如x = f(z)，y = g(z)的隐函数组. 2．求下列函数组的反函数组的偏导数： (1) 设u = x cos y x , v = x sin y x，求∂x ∂u, ∂x ∂v , ∂y ∂u, ∂y ∂v； (2) 设u = e x + x sin y, v = e x − x cos y，求∂x ∂u, ∂x ∂v , ∂y ∂u, ∂y ∂v . 3．设u = x r 2，v = y r 2，w = z r 2，其中r = p x 2 + y 2 + z 2. (1) 试求以u, v, w为自变量的反函数组； (2) 计算∂(u,v,w) ∂(x,y,z) . 4．设fi , ϕi连续可微， 且Fi(x1, · · · xn) = fi(ϕ1(x1), ϕ2(x2), · · · ϕn(xn))(i = 1, 2,. . . n).求∂(F1,F2,···Fn) ∂(x1,x2,···xn) . 5．据理说明：在点(0,1)附近是否存在连续可微函数f(x, y)和g(x, y)满 足f(0, 1) = 1, g(0, 1) = −1，且 [f(x, y)]3 + xg(x, y) − y = 0, [g(x, y)]3 + yf(x, y) − x = 0. 6．设 u = f(x, y, z, t), g(y, z, t) = 0, h(z, t) = 0. 在什么条件下u是x, y的函数？求∂u ∂x, ∂u ∂y . 2
7.设函数u=u(x)由方程组 ∫(x,y,z) g(x,y,2)=0, h(x,y,z)=0 所确定,求,尝 8.设z=2(x,y)满足方程组 ∫(x,y,z,t)=0 g(a, y, a, t)=0 求dz 9.设 g(x,y,z)=0 求器物这时t是自变量还是因变量? 10.设(x0,30,30,0)满足方程组 ∫(x)+f(y)+f(x)=F(u) 9(x,)+9(y)+g(x)=G(u), h(x,)+h(y)+h(z)=H() 这里所有的函数假定有连续的导数 (1)说出一个能在该点的邻域内确定x,y,z作为u的函数的充分条件; (2)在f(x)=x,9(x)=x2,h(x)=x3的情形下,上述条件相当于什么? 11.设x=u,y=1um,2=m,取u,为新的自变量,c为新的因变 量,变换方程 y 3
7．设函数u = u(x)由方程组 u = f(x, y, z), g(x, y, z) = 0, h(x, y, z) = 0 所确定，求du dx, d 2u dx2 . 8．设z = z(x, y)满足方程组 f(x, y, z, t) = 0, g(x, y, z, t) = 0. 求dz. 9．设 u = f(x − ut, y − ut, z − ut), g(x, y, z) = 0. 求∂u ∂x, ∂u ∂y .这时t是自变量还是因变量？ 10．设(x0, y0, z0, u0)满足方程组 f(x) + f(y) + f(z) = F(u), g(x,) + g(y) + g(z) = G(u), h(x,) + h(y) + h(z) = H(u). 这里所有的函数假定有连续的导数. (1) 说出一个能在该点的邻域内确定x, y, z作为u的函数的充分条件； (2) 在f(x) = x, g(x) = x 2 , h(x) = x 3的情形下，上述条件相当于什么？ 11．设x = u, y = u 1+uv , z = u 1+uw，取u, v为新的自变量，w为新的因变 量，变换方程 x 2 ∂z ∂x + y 2 ∂z ∂y = z 2 . 3