*第九章 Grassmann代数与微分形式 上一章多重积分中,面积和体积微元是有方向性的,即与坐标顺序有关,但表达式 dxdy等并不反映它的方向性.在作变量替换时dxdh=(x,y 要出现一个 Jacobi行 a(,v) 列式,这显然也不能从通常的实数乘法推导出来这一章我们将用 Grassmann代数工具将这 乘法讲清楚.事实上面积微元dxdy应该用 grassmann代数中乘法(外积)来定义d?dy, 这样既解决了方向性问题:的?x=-dx?d,又能很自然地推出变量替换时的公式在 更高维数时它也适用 §7.1 Grassmann代数与微分形式 1.1 Grassmann代数 在n维线性空间中取定一组基g2…en},对任何两个向量x=xe1+…+x,en和 y=y1e+…+yen,我们定义一个乘法x?y,将n维线性空间扩张为一个代数为此我 们只要规定好基向量之间的乘法,它们由下面定义 1)e;?e1=0,i=1,2…,n 2)e?(e?ek)=(e?e)?ek;(结合律) 3)e1?…?en≠0,(非退化) 4)e?e,=-e?e;(非交换) 在这个线性运算和乘法下我们得到一个代数,称为 Grassmann代数,记为Gn 例1:G3中有基元素 e1,e2,e3 e1?e2,e1?e3,e2?e3 le,?e,? 它是23=8维的比如其中有两个元素c1e1+c2e2+c3e3和d1e1+d2e2+d3e3,它们的外 积
1 *第九章 Grassmann 代数与微分形式 上一章多重积分中, 面积和体积微元是有方向性的, 即与坐标顺序有关, 但表达式 dxdy 等并不反映它的方向性. 在作变量替换时 dudv u v x y dxdy ( , ) ( , ) ¶ ¶ = , 要出现一个 Jacobi行 列式, 这显然也不能从通常的实数乘法推导出来. 这一章我们将用 Grassmann 代数工具将这 一乘法讲清楚. 事实上面积微元dxdy 应该用 Grassmann 代数中乘法（外积）来定义dx? dy , 这样既解决了方向性问题: dy? dx = -dx? dy , 又能很自然地推出变量替换时的公式. 在 更高维数时它也适用. §7.1 Grassmann 代数与微分形式 1.1 Grassmann 代数 在 n 维线性空间中取定一组基 {e1 ,L, en }, 对任何两个向量 n n x = x e +L + x e 1 1 和 n n y = y e +L+ y e 1 1 , 我们定义一个乘法 x? y , 将n 维线性空间扩张为一个代数. 为此我 们只要规定好基向量之间的乘法, 它们由下面定义 1）e e 0, i 1,2, ,n; i ? i = = L 2） ( ) ( ; i j k i j k e ? e ? e = e ? e )? e （结合律） 3） 0; e1?L?en ¹ （非退化） 4） ; i j j i e ? e = -e ? e （非交换） 在这个线性运算和乘法下我们得到一个代数, 称为 Grassmann 代数, 记为Gn . 例 1: G3 中有基元素 ï ï î ï ï í ì . , , , , 1 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 e e e e e e e e e e e e ? ? ? ? ? 它是 2 8 3 = 维的. 比如其中有两个元素 1 1 2 2 3 3 c e + c e + c e 和 1 1 2 2 3 3 d e + d e + d e , 它们的外 积
(ea+c2e2+c3e2)?(d1e1+d2e2+d3e3) =(cd2-c2d1)e?e2+(c1d3-c3d1)e1?e3+(c2d3-c3d2)e2?e3 如果有三个元素a1e1+a2e2+a3e3,be1+b2e2+be3和ce1+c2e2+C3e3,它们三者的外 (a1e1+a2e2+a3e3)?(,e1+b2e2+be3)?(;e1+c2e2+ce3) 例2:Gn中有基向量2″个,分阶表示为 1维 维 A2:e?e2e?e3…en?enC2维 A.e.?e.?...? 1维 每个子空间A(称为k阶元素)维数为C,总维数为∑Ch=2”.显然有 A?ACA 即k阶元素与l阶元素的外积是k+l阶元素,如果k+l>n时,外积为0 Gn是个非交换、不可除但结合的代数,也称为外代数 1.2R"中微分形式 在R”的微分学中,我们有n个基本一阶微分元素dx1…,dxn令 dx d x 则所有R”中微分形式恰好形成一个 Grassmann代数Gn按Gn的结构,R"中的微分形式 分为n+1个不同阶的微分形式,分别称为0-形式1-形式,…,n-形式它们的基本形式分 别为 2
2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . 1 2 2 1 1 2 1 3 3 1 1 3 2 3 3 2 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 c d c d e e c d c d e e c d c d e e c e c e c e d e d e d e ? ? ? ? = - + - + - + + + + 如果有三个元素 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 a e + a e + a e , b e + b e + b e 和 1 1 2 2 3 3 c e + c e + c e , 它们三者的外 积 ( ) ( ) ( ) . 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 e e e c c c b b b a a a a e a e a e b e b e b e c e c e c e ? ? ? ? = + + + + + + 例 2: Gn中有基向量 n 2 个, 分阶表示为 维 维 维 维 1 1 : : , , , : , , , :1 2 1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1 0 n n n n n n C e e e e e e e e e e e e n ? ? ? ? ? ? L LLLLLLL L L L L L L - 每个子空间 k L （称为k 阶元素）维数为 k Cn , 总维数为 n n k k Cn 2 0 å = = . 显然有 l k +l L ? L Ì L k , 即k 阶元素与l 阶元素的外积是k +l 阶元素, 如果k + l > n 时, 外积为 0. Gn是个非交换、不可除但结合的代数, 也称为外代数. 1.2 n R 中微分形式 在 n R 的微分学中, 我们有n 个基本一阶微分元素dx dxn , , 1 L . 令 n n dx = e ,dx = e , ,dx = e 1 1 2 2 L , 则所有 n R 中微分形式恰好形成一个 Grassmann 代数Gn . 按Gn的结构, n R 中的微分形式 分为n +1个不同阶的微分形式, 分别称为 0-形式, 1-形式, L, n -形式. 它们的基本形式分 别为
A:dx,dx…,dx, A: dx, dx,, dx, dxa, .. dx,? dx dx1?dx2?…?dx 例如A中元素一般可写为 f,(xdx f (x)dx 它就是我们熟知的1阶(微分)形式,它有形式不变性,即在坐标变换下,形式不变A2中 元素一般可写为 ∑f(x)t?dx, 当n=3时,有一个数值函数∫(x)=∫(x1,x2,x),它就是一个0-形式;它的微分 f(x)kx1+f(x)dx2+f3(x)dx3是一个1-形式;再有一个向量值函数(P,Q,R),则 Pdx2?ax3+Qdx3?dx1+Rtx1?dx2就是一个2-形式,由它可生成一个3-形式 ("+Q2+Rk?2? 般地,两个微分形式 fsdx2?…?t n ∑gsa?…? 我们用 Grassmann中乘法?定义它们的外积ξ?n,它也是一个微分形式 1.3外微分 对于一个微分形式,我们可定义它的外微分 定义:令0=∑f(x)b,?…,?∈A,定义它的外微分如下 ,(x) dx?dx.?…?dx.eA 例1:在R”中f(x)∈A°,则 afr af
3 : . : , , , : , , , :1 1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1 0 n n n n n dx dx dx dx dx dx dx dx dx dx dx dx ? ? ? ? ? ? L LLLLLLL L L L L L L - 例如 1 L 中元素一般可写为 n dxn f (x)dx f (x) 1 1 +L+ , 它就是我们熟知的 1 阶（微分）形式, 它有形式不变性, 即在坐标变换下, 形式不变. 2 L 中 元素一般可写为 åi< j ij i j f (x)dx ?dx . 当 n = 3 时, 有一个数值函数 ( ) ( , , ) 1 2 3 f x = f x x x , 它就是一个 0-形式; 它的微分 1 1 2 2 3 3 f ¢(x)dx + f ¢(x)dx + f ¢(x)dx 是一个 1- 形式; 再有一个向量值函数 (P,Q,R) , 则 Pdx2? dx3 + Qdx3? dx1 + Rdx1? dx2就是一个 2-形式, 由它可生成一个 3-形式 ( ) 1 2 3 1 2 3 P Q R dx dx dx x ¢ + x ¢ + x ¢ ? ? . 一般地, 两个微分形式 { } { } { } { } , , , , 1,2, , , , 1,2, , 1 1 1 1 å å = Ì = Ì = = S i i n S i i S i i n S i i k k k k g dx dx f dx dx L L L L L L ? ? ? ? h x 我们用 Grassmann 中乘法? 定义它们的外积x?h , 它也是一个微分形式. 1.3 外微分 对于一个微分形式, 我们可定义它的外微分. 定义: 令 k i i i n i i i i k k k = å f x dx dx Î L £ < <L< £ L L 1 2 1 1 1 w ( ) ? ? , 定义它的外微分如下 1 1 1 2 1 1 ( ) + £ < < < £ Î L ¶ ¶ = å å k i i i n j i i j i i k k k dx dx dx x f x d L L w ? ? L? . 例 1: 在 n R 中 0 f (x)Î L , 则 n n n dx x f dx x f df x ¶ ¶ + + ¶ ¶ = 1 L 1 1 ( )
它就是通常的函数的一阶微分式,是个1-形式 例2:0=f(x)dx+…+fn(x)axn∈A,则 af dx,? dx dx. dx 它是一个2形式 例3:在R2中O=P(x,y)dhx+Q(x,y)∈N,则 dv? dx dx? dy ? ax ay 例4在R3中O=P(x,y,z)ax+Q(x,y,)dy+R(x,y,)d∈A,则 aR 00 ly? d=+oP OR ao aP d=? dx+ ?dy ay ax ay dy? dz d=? dx dx? dyl R 后一种表达式对R3是一种偶然,对一般R”没有这么简捷的表达式 例5:在R中O=P(x,y,z)dh?止+Q(x,y,zM?dx+R(x,y,z)d?∈A2,则 eP a0 aR dx? dv? dz 如果F=(P,QR是三维空间中的一个向量场,比如流体运动的速度场,电磁波中的 电场强度或磁场强度,或一个力场,用V aa表示向量微分算子则 000 OQ+ OR=vE 称为向量场的散度,也记为dF,它的物理意义是“源泉密度”.在流体力学中,dvF>0 表示该点是“源泉”(出水之处),divF0表示正电荷密度,dvF<0表示负电荷密度
4 它就是通常的函数的一阶微分式, 是个 1-形式. 例 2: 1 1 1 w = f (x)dx +L+ f n (x)dxn Î L , 则 , 1 2 1 1 1 1 1 1 1 å å å å - = = = = ¶ ¶ + + ¶ ¶ = - ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ + + ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ = n j j n j n n j j j n n j j j n n j j j dx dx x f dx dx x f dx dx x f dx dx x f d ? ? ? ? L w L 它是一个 2-形式. 例 3: 在 2 R 中 1 w = P(x, y)dx +Q(x, y)dy Î L , 则 dx dy y P x Q dx dy x Q dy dx y P d ? ? ? ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ - ¶ ¶ = ¶ ¶ + ¶ ¶ w = . 例 4: 在 3 R 中 1 w = P(x, y,z)dx + Q(x, y,z)dy + R(x, y,z)dz Î L , 则 . P Q R x y z dy dz dz dx dx dy dx dy y P x Q dz dx x R z P dy dz z Q y R d ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ - ¶ ¶ ÷ + ø ö ç è æ ¶ ¶ - ¶ ¶ + ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ - ¶ ¶ = ? ? ? w ? ? ? 后一种表达式对 3 R 是一种偶然, 对一般 n R 没有这么简捷的表达式. 例 5: 在 3 R 中 2 w = P(x, y,z)dy?dz + Q(x, y,z)dz?dx + R(x, y,z)dx?dy Î L , 则 dx dy dz. z R y Q x P d ? ? ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ w = 如果 F = (P,Q, R) v 是三维空间中的一个向量场, 比如流体运动的速度场, 电磁波中的 电场强度或磁场强度, 或一个力场, 用 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ Ñ = x y z , , 表示向量微分算子, 则 F z R y Q x P v = Ñ ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ 称为向量场的散度, 也记为 F v div , 它的物理意义是“源泉密度”. 在流体力学中, divF > 0 v 表示该点是“源泉”（出水之处）, divF 0 v 表示正电荷密度, divF < 0 v 表示负电荷密度
称为向量场的强度,它不是一个向量场,记为 curlE或rotF,它的物理意义是“旋涡密度” 个向量场F,若dvF=0,称为无源场,如静磁场就是,即熟知的不存在单独磁北 极或磁南极;若 curlE=0,称为无旋场,如静电场就是,即不存在封闭的静电力线 aFaF F(x,y,z)是一个数值函数,也称为一个数量场,VF= ay az 称为它的梯度 它是一个向量场,其方向表示F(x,y,z)增加最大的一个方向,大小表示在该方向上的变化 命题:外微分有如下性质: 1)d(4+O2)=do1+do2; 2)d(ko2)=kda 3)d(o?m)=do?n+(-1)o?dn,O∈M,n∈N; 4)O∈A,则d(do)=d2a=0. 证明:1),2)表明外微分是个线性运算,证明是简单的,从略 3)是微分中链锁法则的推广,我们只需对 O=a(x)dx?…?ax n=b(x)dx,?…?dx 来证明,一般情况结果1),2)线性性质可得到.按定义 0?n=a(x)b(x)x?…?dx,?n?…? 再由外微分定义 d(o?n)=∑M)(x)+(x)e) h,?dx?…?dx?n?…? a,,?在??hp(,…?h) +(-1)(x)dr,2?…?d dx dx dx do?n+(1)o?dn 4)如果a(x)∈A,则
5 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ Ñ × = y P x Q x R z P z Q y R F , , v 称为向量场的强度, 它不是一个向量场, 记为 F v curl 或 F v rot , 它的物理意义是“旋涡密度”. 一个向量场 F v , 若divF = 0 v , 称为无源场, 如静磁场就是, 即熟知的不存在单独磁北 极或磁南极; 若curlF = 0 v , 称为无旋场, 如静电场就是, 即不存在封闭的静电力线. F( x, y,z) 是一个数值函数, 也称为一个数量场, ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ Ñ = z F y F x F F , , 称为它的梯度, 它是一个向量场, 其方向表示 F( x, y,z) 增加最大的一个方向, 大小表示在该方向上的变化 率. 命题: 外微分有如下性质: 1） 1 2 1 2 d(w +w ) = dw + dw ; 2）d(kw2 ) = kdw ; 3） k k l d(w?h) = dw?h + (-1) w?dh, w Î L ,h Î L ; 4） k w Î L , 则 ( ) 0 2 d dw = d w = . 证明: 1）, 2）表明外微分是个线性运算, 证明是简单的, 从略. 3）是微分中链锁法则的推广, 我们只需对 l k j j i i b x dx dx a x dx dx ? ? ? ? L L 1 1 ( ) ( ) , = = h w 来证明, 一般情况结果 1）, 2）线性性质可得到. 按定义 k l i i j j ? a x b x dx ? L? dx ? dx ?L? dx 1 1 w h = ( ) ( ) . 再由外微分定义 ( ) ( ) ( 1) . ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 w h w h w h d d dx dx dx x b x a x dx dx dx dx dx dx dx x a x dx dx dx dx dx x b x a x x a x d b x k j j n s s s i i k j j n s s i i s n s s i i j j s s k l k l k l ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = + - ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ + - ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ + ¶ ¶ = å å å = = = L L L L L L 4）如果 0 a(x) Î L , 则
da=dda)=∑ a-4 ax ax a-aa-a ldx? dx Adda Oxp axq axp 定义:O∈A 1)若do=0,称为闭微分形式 2)若彐∈A,使得4=,称O为恰当形式或正合形式 显然,恰当形式→闭形式,因为do=d(dm)=0.但闭形式不一定是恰当形式,看反 例: R2{0,0)} 容易验证dO=0,但不存在n∈A,使得dn=O 如果Ω2=右半平面,令n= arct∈A,使得d=,表明这时是恰当形式 §7.2微分形式的拉回 2.1微分形式的拉回映射 设!cR为一区域,记上的r次正则的k-形式为A(2),即 0=∑a1,(x)?…?,a1(x)∈C(s) <l2<…<k≤n 设DcRm也是一区域,多元向量值函数 x=q(l):D→g2 微分形式O在x=Q(u)下的变量替换称为O的拉回,严格的定义如下 定义:给定x=(u):D→9(m≤n)g∈C(D,k≤m,则称微分形式
6 0. ( ) 2 2 1 1 2 1 2 = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ = = å åå å < = = = p q q p q p q p n p n q q p q p n p p p dx dx x x a x x a dx dx x x a dx x a d a d da d ? ? ? 定义: k w Î L , 1） 若dw = 0 , 称w 为闭微分形式; 2） 若 -1 $ Î L k h , 使得dh = w , 称w 为恰当形式或正合形式. 显然, 恰当形式Þ闭形式, 因为dw = d (dh) = 0 . 但闭形式不一定是恰当形式, 看反 例: , \ {(0,0)} 2 2 2 2 2 W = R + + + = - dy x y x dx x y y w . 容易验证dw = 0 , 但不存在 0 h ÎL , 使得dh = w . 如果W = 右半平面, 令 0 = arctg Î L x y h , 使得dh = w , 表明这时w 是恰当形式. §7.2 微分形式的拉回 2.1 微分形式的拉回映射 设 n W Ì R 为一区域, 记W 上的r 次正则的k -形式为L (W) k r , 即 ( ) , ( ) ( ) 1 1 2 1 1 1 = å Î W £ < < < £ r i i i i i n ai i x dxi dxi a x C k k k k L L w L ? L? . 设 m D Ì R 也是一区域, 多元向量值函数 x = j(u) : D ® W . 微分形式w 在 x =j (u) 下的变量替换称为w 的拉回, 严格的定义如下. 定义: 给定x u D m n C D k m r = ® W £ Î £ + ( ) : ( ), ( ), 1 j j , 则称微分形式
∑a1(q(u)don2…?d 1≤1<…<l≤n 是O经q的拉回 性质:拉回映射q*:A(D)→A(D)有如下性质 1)q*(o1+O2) ?dx,(k≤m),则 =a(()~ dn,?…?dlu, A(D),n∈A(D),k+l≤m,则 *(m 0*0)? 4)x=q()∈C(D)O∈/(D),r≥1,则 q*(do)=d(q*); ():GcR→DcR",v∈C(G ∈Cr+(D,l≤m≤ ∈AOD,k≤l, 证明:1)是平凡的 2)的证明.由定义 ax a((u) d du du.?…?dlt ∑∑-y hu.?…?d 1≤s1<2<…<≤m a du?…?dt 7
7 ( ) ( ( )) * ( ( )) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 D du u x du u x a u a u d d k r i i n m j j j i m j j j i i i i i n i i i i k k k k k k k k k Î L ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ = = å å å å £ < < £ = = £ < < £ L L L L L L ? ? ? ? j j w j j j 是w 经j 的拉回. 性质: 拉回映射 *: (D) (D) k r k j Lr ® L 有如下性质. 1） 1 2 * 1 * 2 j *(w +w ) = j w +j w ; 2） ( ) ( ) 1 a x dx dx k m k w = i ? L? i £ , 则 ( ) ( ) ; , , , , * ( ( )) 1 1 1 1 1 å£ < < £ ¶ ¶ = s i m s s s s i i k k k k du du u u x x a u L L L L j w j ? ? 3） D D k l m l r k w Î Lr ( ), h Î L ( ), + £ , 则 j * (w?h) = j *w?j *h ; 4） ( ) ( ), ( ), 1 1 = Î Î L ³ + x u C D D r k r r j w , 则 j * (dw) = d (j *w) ; 5） ( ) : , ( ), 1 u t G D C G l m r+ =y Ì R ® Ì R y Î ( ) : , ( ), , 1 x u D C D l m n n r = ® W Ì Î £ £ + j R j D k l k w Î Lr ( ), £ , 则 (j oy ) *w =y * (j *w). 证明: 1）是平凡的. 2） 的证明. 由定义 ( ) ( ) . , , , , ( ( )) ( ( )) ( 1) ( ( )) * ( ( )) 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( , , ) [ , , ] , , 1 1 1 k k k k k k k k k k k k k k k k k k s s s s s m s s i i s s s s s m j i j i j j j j m j j j j j i j i m j j j i m j j j i du du u u x x a u du du u x u x a u du du u x u x a u du u x du u x a u ? ? ? ? ? ? ? ? L L L L L L L L L L L L L å å å å å å £ < < < £ £ < < < £ = = = ¶ ¶ = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ = - ¶ ¶ ¶ ¶ = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ = j j j j w j
这里关键是用了线性代数中k×k行列式 展开式 3)的证明.不妨设 a(x)dx. ? dx, n=b(x)dx ? dx *(o?m)=a(()b(p(a)dpn?…?4?dn?…?n ?0* 4)的证明.当k=0时,O=f(x)是个函数,do= dx,就是通常的一阶微 af(o(u)) 0) d x ax (q(u) yo(o(u) du, =d(o*o) 这就是一阶微分形式不变性 当k>0时,令O=a(x)dx1?…?tx Q*o=a(p(a)ldon?…?d =a(o()(x.)…?d(x.p) ?(o*x)…?d(a*x,) d(o0)=4(0*a)?{4(o*x,)…?l*x, x (d)?p*ax,?…?q*dx n?ax.?…?a *(do) 5)的证明.设O=a(x)dx.?…?ax,由 )d(xn°p…?d(x.°) 8
8 这里关键是用了线性代数中k ´k 行列式 ( ) ( ) k k s s i i u u x x , , , , 1 1 L L ¶ ¶ 展开式 k k k k j i j i j j j j u x u x ¶ ¶ ¶ ¶ å - L L L 1 1 1 1 ( , , ) [ , , ] ( 1) . 3） 的证明. 不妨设 ( ) , ( ) , 1 k 1 l i i j j w = a x dx ?L? dx h = b x dx ? L? dx 则 * * . *( ) ( ( )) ( ( )) 1 1 j w j h j w h j j j j j j ? ? ? ? ? ? ? = = k l a u b u d i L d i d j L d j 4） 的证明. 当k = 0 时, w = f (x) 是个函数, å= ¶ ¶ = n j j j dx x f d 1 w 就是通常的一阶微 分. ( * ), ( ( )) ( ( )) ( ( )) * ( ) 1 1 1 1 1 j w j j j j w du d u f u du u x x f u du u x dx x f u d m s s s m s n j s s j j n j m s s s j j j = ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ ¶ = å åå å å = = = = = 这就是一阶微分形式不变性. 当k > 0 时, 令 ( ) , 1 k i i w = a x dx ? L? dx ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ] [ ] * ( ). * * ( ) * * * * * ( * ) ( * ) * * * * * , ( ( )) * ( ( )) 1 1 1 1 1 1 1 j w j j j j j j j j w j j j j j j j j j j w j j j d da dx dx da dx dx a d d x d x d d a d x d x a d x d x a u d x d x a u d d k k k k k k k i i i i i i i i i i i i i i = = = + = = = = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? L L L L L o L o L 5） 的证明. 设 k i i a x dx ?L? dx 1 w = ( ) , 由 j w oj ( oj ) L ( oj ) k i i a u d x ? ? d x 1 * = ( )( ) 得
v*(o*o)=[aoo)oved, op )oup a(ovo(ovl…?dk,(ov) 2.2重积分的换元公式 定义:g∈R"为定向区域,O=f(x)dx1?ax2?…?txn∈A(g),定义 a=[f(x)dx?ax2?…?d =+/(xtd…dh 换元公式:x=q(u):DcR”→ΩcR"为微分同胚变换(1-1对应,正、反变换都 光滑可微,即C),且取定D的定向,O∈A(),则 pp 例如:在R2中O=f(x,y)x?d, x=x(u, v) y(u, v) 是一个微分同胚变换,则 P*o=f(x(u, v), y(u, v)odu+ =f(x(u,v), y(u,1 du? dv au ay ay au 我们得到变量替换公式 与二重积分变量替换不同之点是,这里我们考虑的是有向区域Ω和D,微分形式 ∫(x,y)dx?d也是有方向定义的(反方向时∫(x,y地?dx=-f(x,y)dx?dy),所以 ax 1acb列式ac就不必取绝对值,它的正负号恰好与9,D和@的定向相协调 oyl 理在R3
9 [ ] [( ) ] [( ) ] [ ] [ ] [ ] ( )* . ( ) ( ) ( ) ( ) *( * ) ( ) ( ) 1 1 j y w j y j y j y y j w j y j y j y o o o o o L o o o o o o L o o = = = k k i i i i a t d x d x a t d x d x ? ? ? ? 2.2 重积分的换元公式 定义: n W Ì R 为定向区域, ( ) ( ) = 1 2 Î L0 W n n w f x dx ? dx ?L? dx , 定义 ( ) . ( ) 1 2 1 2 ò ò ò W W W = ± = n n f x dx dx dx f x dx dx dx L w ? ?L? 换元公式: n n x =j(u) : D Ì R ® W Ì R 为微分同胚变换（1–1 对应, 正、反变换都 光滑可微, 即 1 C ）, 且取定D 的定向, ( ) Î L0 W n w , 则 ò ò = W D w j *w . 例如: 在 2 R 中w = f (x, y)dx? dy , î í ì = = ( , ) ( , ) : y y u v x x u v j 是一个微分同胚变换, 则 ( ( , ), ( , )) . * ( ( , ), ( , )) du dv u y v x v y u x f x u v y u v dv v y du u y dv v x du u x f x u v y u v ? ? ÷ ø ö ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶ ¶ = ÷ ø ö ç è æ ¶ ¶ + ¶ ¶ ÷ ø ö ç è æ ¶ ¶ + ¶ ¶ j w = 我们得到变量替换公式 ( , ) ( ( , ), ( , )) . òò òò ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ = W D du dv v y u y v x u x f x y dx?dy f x u v y u v ? 与二重积分变量替换不同之点是 , 这里我们考虑的是有向区域 W 和 D , 微分形式 f (x, y)dx? dy 也是有方向定义的（反方向时 f (x, y)dy? dx = - f ( x, y)dx? dy ）, 所以 Jacobi 行列式 v y u y v x u x ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ 就不必取绝对值, 它的正负号恰好与W, D 和w 的定向相协调. 同理在 3 R 中
f(r,y, =)x? dy? d==l f(x(u,v,w),y(u,v,w),=(u, v,w) du?dv?du au ay a1 a az a 这里解释了面积微元和体积微元ac与dxdd的正确理解应该1)有定向的,2)其间 的乘法不是通常的乘积,而应该是 Grassmann代数中的乘积?.这样当作变量替换时,自然 地也就采用微分形式的拉回映射,出现的 Jacobi矩阵正是拉回映射性质2)中的矩阵 §7.3微分流形 先看一个最简单的例子:平面上的单位圆周T 我们想给它一个坐标系,之后就可以在上面定 义函数,以及微分形式从而可以求积分.但是无论 怎样做,不可能给出一个整体坐标通常用 0≤6≤2丌 y=sIn (0, →T:10) q是(0.2)与T:(10)}之间一个微分同胚我们可以把0∈(0,2)看作T!00)}上 个坐标.但找不到T与R上一个区间之间的微分同胚.我们可以退一步,我们可以用两块 大半弧复盖T,每一块是个开集,可以与(-δ,δ)建立微分同胚.这样我们就可以借助于 (-δ,δ)给出T的局部坐标.当然这须要在两大半弧相交之处,微分同胚应该具有一种协调 关系 定义:ScR”,如果存在局部坐标系{Ua,n),其中Ua是S的开集,且S=UUn, φn:U→(U,V=n(U)为R*中开集,k≤n,qn是微分同胚映射,则称S为 k维流形. k维流形是局部与R中开集微分同胚的集合S,它是R上的k维光滑超曲面.通常 我们设S是连通的φa=(x1,x2…,xA)x4称为局部坐标函数,qa:V→U为S的局
10 . ( , , ) ( ( , , ), ( , , ), ( , , )) du dv dw w z v z u z w y v y u y w x v x u x f x y z dx dy dz f x u v w y u v w z u v w D ? ? ? ? ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ = × òòò òòò W 这里解释了面积微元和体积微元dxdy 与dxdydz的正确理解应该 1）有定向的, 2）其间 的乘法不是通常的乘积, 而应该是 Grassmann 代数中的乘积? . 这样当作变量替换时, 自然 地也就采用微分形式的拉回映射, 出现的 Jacobi 矩阵正是拉回映射性质 2）中的矩阵. §7.3 微分流形 先看一个最简单的例子: 平面上的单位圆周T . 我们想给它一个坐标系, 之后就可以在上面定 义函数, 以及微分形式, 从而可以求积分. 但是无论 怎样做, 不可能给出一个整体坐标. 通常用 î í ì = = q q j sin cos : y x , 0 £q £ 2p . (0,2 ) \ {(1,0)} 1 1 T\ - 对应 ¬¾® j p . j 是(0, 2p ) 与 T\\ {(1,0)}之间一个微分同胚, 我们可以把q Î(0,2p ) 看作 T\\ {(0,0)}上一 个坐标. 但找不到 T 与 R 上一个区间之间的微分同胚. 我们可以退一步, 我们可以用两块 大半弧复盖T , 每一块是个开集, 可以与(-d ,d ) 建立微分同胚. 这样我们就可以借助于 (-d ,d ) 给出T 的局部坐标. 当然这须要在两大半弧相交之处, 微分同胚应该具有一种协调 关系. 定义: n S Ì R , 如果存在局部坐标系{(Ua ,ja )}, 其中Ua 是 S 的开集, 且 a a S = UU , : ( ), ( ) ja Ua ® ja Ua Va = ja Ua 为 k R 中开集, k £ n , ja 是微分同胚映射, 则称 S 为 k 维流形. k 维流形是局部与 k R 中开集微分同胚的集合 S , 它是 n R 上的 k 维光滑超曲面. 通常 我们设 S 是连通的. k k (x , x , , x ), x ja = 1 2 L 称为局部坐标函数, ja Va ®Ua - : 1 为 S 的局 y 1 0 1 x