《线性代数》第四章 向量组的线性相关性

第四章向量组的线性相关性 1.设v=(1,1,0)2,V2=(0,1,1),v 4,0)y, 求v1-v2及3v1+ 解v1-v2=(1,1,0)-(0,1,1 =(1-0,1-1,0-1)=(1,0,-1) 3v1+2v2-v3=3(1,1,0)+2(0,1, (3,4,0)7 (3×1+2×0-3,3×1+2×1-4,3×0+2×1-0 (0,1,2) 设3(a1-a)+2(a2+a)=5(a3+a)其中a1=(2,51,3) a2=(10,1,10),a3=(4,1,-1,1),求 解由3(a1-a)+2(a2+a)=5(a3+a)整理得 a=2(3a1+2a2-5a3)=3(23)+2(10,5,10)-5(4,,-1,1) (1,2,3,4) 3.举例说明下列各命题是错误的 (1)若向量组a1,a2…,an是线性相关的则a1可由a2,…an,线性表示 (2)若有不全为0的数λ,气2,…,n使 A1a1+…+nan+A1b1+…+nbn=0 成立,则a1…,an线性相关,b1,…bn亦线性相关 (3)若只有当1,2,…,无n全为0时等式 1a1+…+mm+b1+…+λnbm=0 才能成立则a1,…,an线性无关b1,…,bn亦线性无关 (4)若a1,…,an线性相关,b,…,bn亦线性相关则有不全为0的数, λ,,2,…,使a1+…+几nam=0,气b1+…+几bn 同时成立 解(1)设a1=e1=(1,0,0,…,0) a =( 满足a1,a2,…,an线性相关但a1不能由a2,…,an,线性表示 (2)有不全为零的数λ,2,…,n使 气a1+…+nam+A1b1+…+nbn=0 原式可化为

1 第四章 向量组的线性相关性 1．设 T T T v (1, 1, 0) , v (0, 1, 1) , v (3, 4, 0) 1 = 2 = 3 = , 求 1 2 v − v 及 3 1 2 2 3 v + v − v . 解 1 2 v − v T T = (1, 1, 0) − (0, 1, 1) T = (1 − 0, 1 − 1, 0 − 1) T = (1, 0, − 1) 3 1 2 2 3 v + v − v T T T = 3(1, 1, 0) + 2(0, 1, 1) − (3, 4, 0) T = (31 + 2 0 − 3, 31 + 21 − 4, 3 0 + 21 − 0) T = (0, 1, 2) 2．设 3( ) 2( ) 5( ) a1 − a + a2 + a = a3 + a 其中 T a (2,5,1,3) 1 = , T a (10,1,5,10) 2 = , T a (4,1, 1,1) 3 = − ,求 a 解 由 3( ) 2( ) 5( ) a1 − a + a2 + a = a3 + a 整理得 (3 2 5 ) 6 1 a = a1 + a2 − a3 [3(2,5,1,3) 2(10,1,5,10) 5(4,1, 1,1) ] 6 1 T T T = + − − T = (1,2,3,4) 3．举例说明下列各命题是错误的: (1)若向量组 a a am , , , 1 2  是线性相关的,则 1 a 可由 , , a2 am 线性表示. (2)若有不全为 0 的数    m , , , 1 2  使 1a1 ++ mam + 1b1 ++ mbm = 0 成立,则 a am , , 1  线性相关, b bm , , 1  亦线性相关. (3)若只有当    m , , , 1 2  全为 0 时,等式 1a1 ++ mam + 1b1 ++ mbm = 0 才能成立,则 a am , , 1  线性无关, b bm , , 1  亦线性无关. (4)若 a am , , 1  线性相关, b bm , , 1  亦线性相关,则有不全为 0 的数,    m , , , 1 2  使 1a1 ++ mam = 0,1b1 ++ mbm = 0 同时成立. 解 (1) 设 (1,0,0, ,0) a1 = e1 =  a2 = a3 == am = 0 满足 a a am , , , 1 2  线性相关,但 1 a 不能由 , , , a2  am 线性表示. (2) 有不全为零的数    m , , , 1 2  使 1a1 ++ mam + 1b1 ++ mbm = 0 原式可化为

A1(a1+b1)+…+n(am+bn)=0 取a b 其中e1,,en为单位向量,则上式成立而 a1,…,an,b1,…,b均线性相关 (3)由孔1a1+…+nan+1b1+…+见nbn=0(仅当1=…=n=0) →a1+b1,a2+b2…,an+b线性无关 取a = 0 取b,…,b为线性无关组 满足以上条件但不能说是a1,a2…,an线性无关的 (4)a1=(1,0)a2=(2,0)b=(0,3)b2=(0,4) λ1a1+2a2=0→A1=-2λ2 b+2b2=0→A子}→=2=0与题设矛盾 4.设b=a1+a2b2=a2+a3,b=a3+ab4=a4+a1,证明向量组 b1,b2,b3,b线性相关 证明设有x1,x2,x3,x使得 x,b,+x,b,+xb+x,,=0 y x1(a1+a2)+x2(2+a3)+x3(3+a)+x4(4+a1)=0 (x1+x4)1+(x1+x2)a2+(x2+x3)3+(x3+x4)4=0 (1)若a1,a2,a3,a线性相关则存在不全为零的数k1,k2,k3,k4, k1=x1+x4;k2=x1+x2;k3=x2+x3;k4=x3+x 由k1,k2,k3,k4不全为零知x1,x2,x3,x4不全为零,即b,b2,b,b线性相 关 +x4=0 001x (2)若a1,a2,a3,a线性无关则+x2=01100x2=0 +x3=00110x x2+x1=0(001 100 由 =0知此齐次方程存在非零解 0110 则b1,b2b3,b线性相关 综合得证

2 1 (a1 + b1 ) ++  m (am + bm ) = 0 取 m m bm a1 = e1 = −b1 ,a2 = e2 = −b2 ,  ,a = e = − 其中 m e , ,e 1  为单位向量,则上式成立,而 a am , , 1  , b bm , , 1  均线性相关 (3) 由 1a1 ++ mam + 1b1 ++ mbm = 0 (仅当 1 == m = 0 )  a + b a + b am + bm , , , 1 1 2 2  线性无关 取 a1 = a2 == am = 0 取 b bm , , 1  为线性无关组 满足以上条件,但不能说是 a a am , , , 1 2  线性无关的. (4) T a (1,0) 1 = T a (2,0) 2 = T b (0,3) 1 = T b (0,4) 2 =      + =  = − + =  = − 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 4 3 0 0 2         b b a a  1 = 2 = 0 与题设矛盾. 4．设 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 1 b = a + a ,b = a + a ,b = a + a ,b = a + a ,证明向量组 1 2 3 4 b ,b ,b ,b 线性相关. 证明 设有 1 2 3 4 x , x , x , x 使得 x1b1 + x2b2 + x3b3 + x4b4 = 0 则 x1 (a1 + a2 )+ x2 (a2 + a3 )+ x3 (a3 + a4 )+ x4 (a4 + a1 ) = 0 (x1 + x4 )a1 + (x1 + x2 )a2 + (x2 + x3 )a3 + (x3 + x4 )a4 = 0 (1) 若 1 2 3 4 a ,a ,a ,a 线性相关,则存在不全为零的数 1 2 3 4 k ,k ,k ,k , k1 = x1 + x4 ; k2 = x1 + x2 ; k3 = x2 + x3 ; k4 = x3 + x4 ; 由 1 2 3 4 k ,k ,k ,k 不全为零,知 1 2 3 4 x , x , x , x 不全为零,即 1 2 3 4 b ,b ,b ,b 线性相 关. (2) 若 1 2 3 4 a ,a ,a ,a 线性无关,则        + = + = + = + = 0 0 0 0 3 4 2 3 1 2 1 4 x x x x x x x x 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 4 3 2 1 =                              x x x x 由 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 = 知此齐次方程存在非零解 则 1 2 3 4 b ,b ,b ,b 线性相关. 综合得证

5.设b=a1,b2=a1+a2,…,b=a1+a2+…+a,且向量组 a1,a2,…,a,线性无关证明向量组b,b2,…,b,线性无关 证明设k1b1+k2b2+…+kb=0则 (k1+…+kn)a1+(k2+…+k,)a2+…+(kn+…+k,)n+…+k,an=0 因向量组a1,a2,…,a,线性无关故 k1+k2+…+k=0 k1)(0 k2+…+k=001 1‖k 0 k,=0 0 因为 =1≠0故方程组只有零解 0 则k1=k2=…=k=0所以b1,b2,…,b线性无关 8.设a1,a2…,an是一组m维向量已知n维单位坐标向量e1,e2…,en能 由它们线性表示证明a1,a2,…,an线性无关 证明n维单位向量e1,e2,…,en线性无关 不妨设 e1=k1a1+k12a2+…+k1na e2=k21+k2a2+…+k2nan kn1a1+kn242+…+k k,,k, k kk k 所以 两边取行列式,得 kuk 由|≠0 ≠0 即n维向量组a1,a2,…,an所构成矩阵的秩为n

3 5．设 b1 = a1 b2 = a1 + a2  br = a1 + a2 ++ ar , , , ,且向量组 a a ar , , , 1 2  线性无关,证明向量组 b b br , , , 1 2  线性无关. 证明 设 k1b1 + k2b2 ++ krbr = 0 则 (k1 ++ kr )a1 + (k2 ++ kr )a2 ++ (k p ++ kr )a p + + krar = 0 因向量组 a a ar , , , 1 2  线性无关,故        = + + = + + + = 0 0 0 2 1 2 r r r k k k k k k                   =                             0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 2 1           kr k k 因为 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 =          故方程组只有零解 则 k1 = k2 == kr = 0 所以 b b br , , , 1 2  线性无关 8．设 a a an , , , 1 2  是一组 n 维向量,已知 n 维单位坐标向量 n e ,e , ,e 1 2  能 由它们线性表示,证明 a a an , , , 1 2  线性无关. 证明 n 维单位向量 n e , e , , e 1 2  线性无关 不妨设: n n n nn n n n n n e k a k a k a e k a k a k a e k a k a k a = + + + = + + + = + + +     1 1 2 2 2 21 1 22 2 2 1 11 1 12 2 1 所以                             =               T n T T n n nn n n T n T T a a a k k k k k k k k k e e e          2 1 1 2 21 22 2 11 12 1 2 1 两边取行列式，得 T n T T n n nn n n T n T T a a a k k k k k k k k k e e e          2 1 1 2 21 22 2 11 12 1 2 1 = 由 0 0 2 1 2 1    T n T T T n T T a a a e e e   即 n 维向量组 a a an , , , 1 2  所构成矩阵的秩为 n

故a 12 ,an线性无关 9.设a1,a2…,an是一组m维向量证明它们线性无关的充分必要条件 是:任一n维向量都可由它们线性表示 证明设61,B2,…,En为一组m维单位向量,对于任意n维向量 kn)则有a=61k1+E2k2+…+Enkn即任一n维向量都 可由单位向量线性表示 必要性 →a1,a2,…,an线性无关,且a1,a2,…,an舶能由单位向量线性表示,即 k1E1+k1262+…+k1n a2=k21E1+k2E2+…+k2nE k.,E,+k,E,+…+k kk k k 故 kk 两边取行列式,得 ku k, k,k k, k k, k k,, k 由2|≠0 ≠0 . k ,,k. 令 k

4 故 a a an , , , 1 2  线性无关. 9．设 a a an , , , 1 2  是一组 n 维向量,证明它们线性无关的充分必要条件 是：任一 n 维向量都可由它们线性表示. 证明 设 n  , , , 1 2  为一组 n 维单位向量，对于任意 n 维向量 T a k k kn ( , , , ) = 1 2  则有 a k k nkn =  +  ++  1 1 2 2 即任一 n 维向量都 可由单位向量线性表示. 必要性  a a an , , , 1 2  线性无关，且 a a an , , , 1 2  能由单位向量线性表示，即 n n n nn n n n n n k k k k k k k k k             = + + + = + + + = + + +     1 1 2 2 2 21 1 22 2 2 1 11 1 12 2 1 故                             =               n T T T n n nn n n T n T T k k k k k k k k k a a a             2 1 1 2 21 22 2 11 12 1 2 1 两边取行列式，得 T n T T n n nn n n T n T T k k k k k k k k k a a a             2 1 1 2 21 22 2 11 12 1 2 1 = 由 0 0 1 2 21 22 2 11 12 1 2 1    n n nn n n T n T T k k k k k k k k k a a a         令                = n n nn n n n n k k k k k k k k k A        1 2 21 22 2 11 12 1 则

由 →A 即61,E2…,E都能由a1,a2,…,an线性表示,因为任一n维向量能由单 位向量线性表示,故任一n维向量都可以由a1,a2,…,an线性表示 充分性 =已知任一n维向量都可由a1,a2,…,an线性表示,则单位向量组 E1,62,…,En可由a1,a2…,an线性表示,由8题知a1,a2,…,an线性无关 10.设向量组A:a1,a2,…,a,的秩为r1向量组B:b1,b2,…,b,的秩r 向量组C:a1,a2,…,a,b1,b2,…,b的秩r3,证明 mx{r1,2}≤r3≤r1+n 证明设A,B,C的最大线性无关组分别为A,B,C,含有的向量个数 (秩)分别为r,r2,r2,则A,B,C分别与A,B,C等价易知A,B均可由C 线性表示,则秩(C)≥秩(A)秩(C)≥秩(B),即max{r1,r2}≤r 设A与B中的向量共同构成向量组D,则A,B均可由D线性表 示, 即C可由D线性表示,从而C'可由D线性表示,所以秩(C')≥秩(D) D为r+r2阶矩阵,所以秩(D)≤r+r2即r3≤F+n2 l证明R(4+B)≤R(4)+R(B) 证明:设A=(a1,a2…,an)B=(b,b2,…,bn) 且A,B行向量组的最大无关组分别为a,a2,…,arB,B,…,B 显然,存在矩阵A,B',使得 a B B a b ∴A+B= +B B atbr 因此R(4+B)≤R(4)+R(B)

5 由               =                              =               − T n T T T n T T T n T T T n T T a a a A A a a a           2 1 2 1 2 1 1 2 1 即 n  , , , 1 2  都能由 a a an , , , 1 2  线性表示，因为任一 n 维向量能由单 位向量线性表示，故任一 n 维向量都可以由 a a an , , , 1 2  线性表示. 充分性  已知任一 n 维向量都可由 a a an , , , 1 2  线性表示，则单位向量组： n  , , , 1 2  可由 a a an , , , 1 2  线性表示，由8题知 a a an , , , 1 2  线性无关. 10．设向量组 A : a a as , , , 1 2  的秩为 1 r ,向量组 B : b b bt , , , 1 2  的秩 2 r 向量组 C : a a as b b br , , , , , , , 1 2  1 2  的秩 3 r ,证明 1 2 3 1 2 max{r ,r }  r  r + r 证明 设 A,B,C 的最大线性无关组分别为 A ,B ,C ,含有的向量个数 (秩)分别为 1 2 2 r ,r ,r ,则 A,B,C 分别与 A ,B ,C 等价,易知 A,B 均可由 C 线性表示,则秩( C )  秩( A ),秩( C )  秩( B )，即 1 2 3 max{r ,r }  r 设 A 与 B 中的向量共同构成向量组 D ,则 A,B 均可由 D 线性表 示, 即 C 可由 D 线性表示,从而 C 可由 D 线性表示，所以秩( C )  秩( D ), D 为 1 2 r + r 阶矩阵，所以秩( D ) 1 2  r + r 即 3 1 2 r  r + r . 11.证明 R(A + B)  R(A) + R(B). 证明:设 T A a a an ( , , , ) = 1 2  T B b b bn ( , , , ) = 1 2  且 A,B 行向量组的最大无关组分别为 T r T T 1 , 2 ,  , T s T T  1 ,  2 ,  ,  显然,存在矩阵 A , B ,使得               =                T s T T T n T T A a a a      2 1 2 1 ,               =                T s T T T n T T B b b b      2 1 2 1               + + +  + = T n T n T T T T a b a b a b A B  2 2 1 1               +                =  T s T T T s T T A B         2 1 2 1 因此 R(A + B)  R(A) + R(B)

12.设向量组B:b…,b能由向量组A:a1,…,a,线性表示为 (b1,…b,)=(a1 )K 其中K为sxr矩阵,且A组线性无关。证明B组线性无关的充分必要 条 件是矩阵K的秩R(K)=r 证明→若B组线性无关 令B=(b1,…,b)A=(a1,…,a则有B=AK 由定理知R(B)=R(AK)≤mn{R(A,R(K)≤R(K) 由B组:b1,b2,…,b线性无关知R(B)=r,故R(K)≥r 又知K为r×s阶矩阵则R(K)≤min{r,s} 由于向量组B:b,b2,…b能由向量组A:a1,a2,…a,线性表示,则 r≤S ∴min{r,s}=r 综上所述知r≤R(K)≤r即R(K)=r ←若R(k)=r 令xb1+x2b2+…+xb=0,其中x为实数i=1,2…,r 则有(,b2,…):=0 又(b1,…,b)=(a1,…,a,)K,则(a1,…,a,)k 由于a,n2,…,a线性无关所以2=0 x k1x1+k21x2+…+kn1x1=0 k1,x1+k,,x,+…+k,x=0 即 (1) k,x,+k,x,+…+kx.=0 k1x1+k2x2+…+knxr=0 由于R(K)=r则(1)式等价于下列方程组:

6 12．设向量组 B : b br , , 1  能由向量组 A: a as , , 1  线性表示为 (b1 ,  ,br ) = (a1 ,  ,as )K ， 其中 K 为 s  r 矩阵，且 A 组线性无关。证明 B 组线性无关的充分必要 条 件是矩阵 K 的秩 R(K) = r. 证明  若 B 组线性无关 令 ( , , ) ( , , ) B = b1  br A = a1  as 则有 B = AK 由定理知 R(B) = R(AK)  min{ R(A), R(K)}  R(K) 由 B 组: b b br , , , 1 2  线性无关知 R(B) = r ，故 R(K)  r . 又知 K 为 r  s 阶矩阵则 R(K)  min{r,s} 由于向量组 B : b b br , , , 1 2  能由向量组 A : a a as , , , 1 2  线性表示,则 r  s min{r,s} = r 综上所述知 r  R(K)  r 即 R(K) = r ．  若 R(k) = r 令 x1b1 + x2b2 ++ xrbr = 0 ,其中 i x 为实数 i = 1,2,  ,r 则有 ( , , , ) 0 1 1 2 =           r r x x b b  b  又 (b1 ,  ,br ) = (a1 ,  ,as )K ,则 ( , , ) 0 1 1 =           r s x x a  a K  由于 a a as , , , 1 2  线性无关,所以 0 2 1 =                xr x x K  即          + + + = + + + = + + + = + + + = 0 0 0 0 1 1 2 2 1 1 2 2 12 1 22 2 2 11 1 21 2 1 s s rs r r r rr r r r r r k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x       （1） 由于 R(K) = r 则(1)式等价于下列方程组:

k1x1+k21x2+…+k1x=0 k1,x1+k,x,+…+k,x=0 k1x1+k2xx2+…+knx=0 kk 由于 k 所以方程组只有零解x1=x2=…=x=0所以b,b2,…,b线性无关, 证毕

7        + + + = + + + = + + + = 0 0 0 1 1 2 2 12 1 22 2 2 11 1 21 2 1 r r rr r r r r r k x k x k x k x k x k x k x k x k x     由于 0 1 2 12 22 2 11 21 1  r r rr r r k k k k k k k k k       所以方程组只有零解 x1 = x2 == xr = 0.所以 b b br , , , 1 2  线性无关, 证毕