《线性代数》第一章 行列式习题

第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: 20 b (1) (2) 183 (3) b (4) 十 J J 解(1) =2×(-4)×3+0×(-1)×(-1)+1×1×8 0×1×3-2×(-1)×8-1×(4)×(-1) 24+8+16-4 4 acb+ bac +cba-bbb-aaa- (3)ab +ca+a tb a2 b b) b-cc-a

1 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： （1） 1 8 3 1 4 1 2 0 1 − − − ； （2） c a b b c a a b c （3） 2 2 2 1 1 1 a b c a b c ； （4） x y x y y x y x x y x y + + + . 解 （1） = − − − 1 8 3 1 4 1 2 0 1 2(−4) 3 + 0(−1)(−1) + 118 − 01 3 − 2(−1) 8 − 1(−4)(−1) = − 24 + 8 + 16 − 4 = − 4 （2） = c a b b c a a b c acb + bac + cba − bbb − aaa − ccc 3 3 3 = 3abc − a − b − c （3） = 2 2 2 1 1 1 a b c a b c 2 2 2 2 2 2 bc + ca + ab − ac − ba − cb = (a − b)(b − c)(c − a)

x+1 (4)y x+yx t y x =x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yx-yo-(x+y)-x =3xy(x+y)-y 3-3x y-3yx 2(x+y) 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1234; (2)4132 (3)3421; (4)2413 (5)13 n 24 (2n); (2n-1)(2n)(2n-2) 解(1)逆序数为0 (2)逆序数为4:41,43,42,32 (3)逆序数为5:32,31,42,41,21 (4)逆序数为3:21,41,43 (5)逆序数为 n(n-1) 357 1个 2,54 2个 2,74,76 3个 (2n-1)2,(2n-1)4,(2n-1)6,…,(2n-1)(2n-2) n 个 (6)逆序数为m(n-1) 32 个 52,54 2个 (2n-1)2,(2n-1)4,(2n-1)6,…,(2n-1)(2n-2) n-1)个 42 1个 62,64 2个 (2n)2,(2n)4,(2n)6,…,(2n)(2n-2) (n-1)个

2 （4） x y x y y x y x x y x y + + + = x(x + y) y + yx(x + y) + (x + y) yx 3 3 3 − y − (x + y) − x 3 2 2 3 3 3 = 3xy(x + y) − y − 3x y − 3y x − x − y − x 2( ) 3 3 = − x + y 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … (2n − 1) 2 4 … (2n) ； （6）1 3 … (2n − 1) (2n) (2n − 2) … 2. 解（1）逆序数为 0 （2）逆序数为 4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为 5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为 3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为 2 n(n − 1) ： 3 2 1 个 5 2，5 4 2 个 7 2，7 4，7 6 3 个 ……………… … (2n − 1) 2，(2n − 1) 4，(2n − 1) 6，…， (2n − 1) (2n − 2) (n − 1) 个 （6）逆序数为 n(n − 1) 3 2 1 个 5 2，5 4 2 个 ……………… … (2n − 1) 2，(2n − 1) 4，(2n − 1) 6，…， (2n − 1) (2n − 2) (n − 1) 个 4 2 1 个 6 2，6 4 2 个 ……………… … (2n) 2，(2n) 4，(2n) 6，…， (2n) (2n − 2) (n − 1) 个

a1 a12 a13 3.写出四阶行列式 23a 中含有因子 a142 的项 0 a 解由定义知,四阶行列式的一般项为 (-1)a1na2a32an其中t为p1P2P3P4的逆序数.由于n1=1,P2=3 已固定,P1P2D3P4只能形如13口囗,即1324或1342对应的t分别为 0+0+1+0=1或0+0+0+2=2 .-a1a2a32a4和a1a23a3a2为所求

3 3.写出四阶行列式 41 42 43 44 31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 a a a a a a a a a a a a a a a a 中含有因子 a11a23 的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为 1 1 2 2 3 3 4 4 ( 1) p p p p t − a a a a ，其中 t 为 p1 p2 p3 p4 的逆序数．由于 p1 = 1, p2 = 3 已固定， p1 p2 p3 p4 只能形如 13 □□，即 1324 或 1342.对应的 t 分别为 0 + 0 + 1 + 0 = 1 或 0 + 0 + 0 + 2 = 2 − a11a23a32a44 和 a11a23a34a42 为所求.