第八章定积分的应用和近似计算 §1.平面图形的面积 1.求下列用极坐标表示的曲线所围图形的面积: (1)双纽线r2=a2cos2a (2)三叶玫瑰线r=asin3q (3)蚌线r= a cose+b(b≥a) 2.求下列各曲线所围成的图形面积: (1)y2=4(x+1),y2=4(1-x) (2)y=lnx,y=0(0.1≤x≤10 (3)y=x,y=x+sinx(0≤x≤x) y2=2 (5)y=x2,y=x+5 A 3.直线y=x把椭圆x+3y=6y的面积分成两部分4小的一块)和B的一块),g 之值 4.求下列用参数方程表示的曲线所围图形的面积: (1)x=21-t2,y=212-t3 (2)摆线x=a(t-sin1),y=a(1-cosn)(0≤t≤2丌)及x轴 (3)圆的渐开线x=a(cost+ tsint),y=a(sint- t cos t),(0≤t≤2x),及半直线 x=a(y≤0),其中a>0 5.求r=3c0s0和r=1+cosb所围的公共部分的面积 第1页共4页
第 1 页 共 4 页 第八章 定积分的应用和近似计算 §1. 平面图形的面积 1. 求下列用极坐标表示的曲线所围图形的面积： (1) 双纽线 2 2 r a = cos2 ; (2) 三叶玫瑰线 r a = sin 3 ; (3) 蚌线 r a b b a = + cos ( ). 2. 求下列各曲线所围成的图形面积： (1) 2 2 y x y x = + = − 4( 1), 4(1 ); (2) y x y x = = | ln |, 0 (0.1 10); (3) 2 y x y x x x = = + , sin (0 ); (4) 2 y x x = = 2 , 5; (5) 2 y x y x = = + , 5; (6) 2 2 2 3 3 3 x y a + = ; 3. 直线 y x = 把椭圆 2 2 x y y + = 3 6 的面积分成两部分 A(小的一块)和 B(的一块)， A B 之值． 4. 求下列用参数方程表示的曲线所围图形的面积： (1) 2 2 3 x t t y t t = − = − 2 , 2 ; (2) 摆线 x a t t y a t t = − = − ( sin ), (1 cos ) (0 2 ) 及 x 轴； (3) 圆的渐开线 x a t t t y a t t t t = + = − (cos sin ), (sin cos ), (0 2 ) ，及半直线 x a y = ( 0) ，其中 a 0． 5. 求 r = 3cos 和 r = +1 cos 所围的公共部分的面积．
§2.曲线的弧长 1.求下列曲线的弧长: 1)y=x2,0≤x≤1 (2)y=e,1≤x≤2; l; (4)星形线x=acos3ty=asin3t(0≤t≤2丌) (5)圆的渐开线x=a(cost+ tsint),y=a(sint- t cost),a>0,0≤t≤2丌; r=c asin (7)心脏线r=a(1+cosb),0≤≤2x,a>0 §3.体积 1.求下列旋转体的体积: (1)椭圆+2=1绕x轴 (2)y=sinx,y=0(0≤x≤丌) x (i)绕y轴; (3)旋轮线x=a(t-sin),y=a(1-cosn)(0≤t≤2),y=0 (i)绕x轴,(i)绕y轴,(in)绕直线y=2a )双曲 =1与直线x=±h所围的图形绕x轴旋转 2.已知球半径为R,试求高为h的球冠体积(h≤R) 3.求由下列各曲面所围成的几何体的体积: (1)求截锥体的体积,其上,下底皆为椭圆,椭圆的轴长分别等于A,B和 a,b,而高为h; (2)正圆台:其上下底分别是半径为a、b的圆,而其间的距离为h 第2页共4页
第 2 页 共 4 页 §2. 曲线的弧长 1. 求下列曲线的弧长： (1) 2 y x x = , 0 1; (2) 2 y e x = ,1 2; (3) x y + =1; (4) 星形线 3 3 x a t y a t t = = cos sin (0 2 ); (5) 圆的渐开线 x a t t t y a t t t a t = + = − (cos sin ), (sin cos ), 0, 0 2 ; (6) 3 sin ( 0); 3 r a a = (7) 心脏线 r a a = + (1 cos ), 0 2 , 0. §3. 体积 1. 求下列旋转体的体积： (1) 椭圆 2 2 2 2 1 x y a b + = 绕 x 轴； (2) y x y x = = sin , 0 (0 ) (i)绕 x 轴， (ii)绕 y 轴； (3) 旋轮线 x a t t y a t t y = − = − = ( sin ), (1 cos ) (0 2 ), 0 (i)绕 x 轴， (ii)绕 y 轴， (iii)绕直线 y a = 2 ; (4) 双曲线 2 2 2 2 1 y x b a − = 与直线 x h = 所围的图形绕 x 轴旋转. 2. 已知球半径为 R，试求高为 h 的球冠体积(h≤R)． 3. 求由下列各曲面所围成的几何体的体积： (1)求截锥体的体积，其上，下底皆为椭圆，椭圆的轴长分别等于 A，B 和 a，b，而高为 h； (2)正圆台：其上下底分别是半径为 a、b 的圆，而其间的距离为 h．
§4.旋转曲面的面积 1.求下列平面曲线绕轴旋转所得旋转曲面的面积: 0≤x≤丌绕x轴 (2)x=a(t-sint),y=a(1-cost),a>0,0≤≤2丌绕直线y=2a, 1(a>b)绕x轴 (4)x=acos3t,y=asin3t绕x轴: (5)r2=2a2cos2绕极轴 §5.质心 1.求下列曲线段的质心: (1)半径为r,弧长为专ma(a≤x)的均匀圆弧 (2)对数螺线r=ue(a>0,k>0)上由点(0,a)到点(,r)的均匀弧段 (3)以A(0,0),B(0,1),CO2,1),D(2,0)为顶点的矩形周界,曲线上任一点的密度 等于该点到原点距离的2倍 (4)x=a(t-sint),y=a(1-cost)0≤t≤2x,a>0,密度为常数 2.已知一抛物线段y=x2(-1≤x≤1),曲线段上任一点处的密度与该点到y轴的距 离成正比,x=1处密度为5,求此曲线段的质量 3.求半球0≤≤√R2-x2-y2的质心 4.求锥体√x2+y2≤二≤h的质心和绕z轴的转动惯量 5.轴长10m,密度分布为p(x)=(6+0.3x)kg/m,其中x为距轴的一个端点的距离 求轴的质量 §6.平均值、功 1.有一长为a的细棒,它在各点处的线密度与相距某一端点的距离平方成正比,求此 第3页共4页
第 3 页 共 4 页 §4. 旋转曲面的面积 1. 求下列平面曲线绕轴旋转所得旋转曲面的面积： (1) y x x = sin , 0 绕 x 轴； (2) x a t t y a t a t = − = − ( sin ), (1 cos ), 0, 0 2 绕直线 y a = 2 ; (3) 2 2 2 2 1 ( ) x y a b a b + = 绕 x 轴； (4) 3 3 x a t y a t = = cos , sin 绕 x 轴； (5) 2 2 r a = 2 cos 2 绕极轴． §5. 质心 1. 求下列曲线段的质心： (1) 半径为 r ，弧长为专 1 ( ) 2 的均匀圆弧； (2) 对数螺线 ( 0, 0) k r ae a k = 上由点 (0, ) a 到点 ( , ) r 的均匀弧段； (3) 以 A(0，0)，B(0，1)，C(2，1)，D(2，0)为顶点的矩形周界，曲线上任一点的密度 等于该点到原点距离的 2 倍； (4) x a t t y a t t a = − = − ( sin ), (1 cos ) 0 2 , ，密度为常数． 2. 已知一抛物线段 2 y x x = − ( 1 1) ，曲线段上任一点处的密度与该点到 y 轴的距 离成正比， x =1 处密度为 5，求此曲线段的质量． 3. 求半球 2 2 2 0 − − z R x y 的质心. 4. 求锥体 2 2 x y z h + 的质心和绕 z 轴的转动惯量． 5. 轴长 10m，密度分布为 ( ) (6 0.3 )kg/m x x = + ，其中 x 为距轴的一个端点的距离， 求轴的质量． §6. 平均值、功 1． 有一长为 a 的细棒，它在各点处的线密度与相距某一端点的距离平方成正比，求此
细棒的平均密度 2.某水库的闸门是一梯形,上底6m,下底2m,高10m,求水灌满时闸门所要的力 设水的比重为1000kg/n 3.有一薄版 a6s1(a>b),长轴沿铅直方向一半浸入水中,求水对板的压力 4.半径为r的球沉入水中,它与水面相接,球的比重为1,现将球从水中取出,要作 多少功? 5.修建大桥桥墩时要先下围囹。设一圆柱形围囹的直径为20m,水深27m,围囹高 出水面3m,要把水抽尽,计算克服重力所作的功。 6.把弹簧拉长所需的力与弹簧的伸长成正比。已知1kg的力能使弹簧伸长lcm,问 把弹簧拉长10cm要作多少功? §7.定积分的近似计算 把积分区间10等分,用抛物线公式计算下列积分的近似值,精确到小数点后三 ()∫=x:2) 已知1=4,试把积分区间分成10等分,分别用梯形公式和抛物线 公式计算丌的近似值,精确到小数点后三位 第4页共4页
第 4 页 共 4 页 细棒的平均密度. 2． 某水库的闸门是一梯形，上底 6m，下底 2m，高 10m，求水灌满时闸门所要的力。 设水的比重为 1000 3 kg m/ . 3． 有一薄版 2 2 2 2 1( ) x y a b a b + ，长轴沿铅直方向一半浸入水中，求水对板的压力. 4． 半径为 r 的球沉入水中，它与水面相接，球的比重为 1，现将球从水中取出，要作 多少功？ 5． 修建大桥桥墩时要先下围囹。设一圆柱形围囹的直径为 20m，水深 27m，围囹高 出水面 3m，要把水抽尽，计算克服重力所作的功。 6． 把弹簧拉长所需的力与弹簧的伸长成正比。已知 1 kg 的力能使弹簧伸长 1cm，问 把弹簧拉长 10cm 要作多少功？ §7. 定积分的近似计算 1． 把积分区间 10 等分，用抛物线公式计算下列积分的近似值，精确到小数点后三 位： (1) 1 3 0 1− x dx ； (2) 2 1 dx x . 2． 已知 1 2 0 1 4 dx x = + ，试把积分区间 [0,1] 分成 10 等分，分别用梯形公式和抛物线 公式计算 的近似值，精确到小数点后三位