《数学分析(1,2,3)》教案 第十六章隐函数存在定理、函数相关 §1隐函数存在定理 个方程F(x,y)=0的情形 在前面,我们是在假定从方程F(x,y)=0中可以确定y是x的可微函数的前提下,给出求导数∫(x)的方 法。然而需要指出的是:并不是任一方程都能确定出隐函数。因此,我们必须知道方程在什么情况下才能确 定隐函数? 例:设有方程F(x,y)=x2+y2-1=0,问在点(0.1),(0,-1),(1,0),(-1,0)的附近是否确定y为x的 函数? 定理1(隐函数存在定理)设二元函数F(x,y)满足下列条件: 1)在矩形区域D={(x,y)|x-x≤a,y-y|≤b内,有关于x,y连续偏导数 (3)F,(x,y)≠0 则(1)在(xy的某个领域内,由方程F(x,y)=0可以确定唯一的函数y=f(x) 也即,存在n>0,当x∈O(x0,m时有F(x,f(x)=0,并且y=f(x) (2)/在O(x0,n)内连续; (3)/在O(x,n内有连续的导数,即=F(x,y) (x,y) 注:(1)定理的几何意义:条件(1)表明曲面=F(x,y)是光滑的;条件(2)表明曲面和坐标平面=0有 个交点,条件(3)(不妨设F,(x0,y0)>0)表明在(x0,y0,0)的附近,对固定的x,设y为正向,曲面 是单调增加的。定理的结论是:在点(x,y20)的附近曲面和二=0有一条唯一的光滑交线.(2)定理的结论 是局部性的,即在点(x0,y)的某个邻域内由方程F(x,y)=0可以唯一确定一个可微的隐函数。例如: F(x,y)=x2+y2-1=0 在点(0,1)的某个邻域D内由方程x2+y2-1=0可以确定唯一的y=Ⅵ1-x2。在点(0-1)的某个邻域D2内 由方程x2+y2-1=0可确定唯一的y=-√1-x2.(3)定理的条件是充分的,非必要的。如上例中的函 数:F(x,y)=x2+y2-1=0在(-1,0)和(L,0)两点,F,=0,破坏了定理中的条件(3),从而定理 失效。从图中可以看出,对于一在右邻域或左邻域内的任何一个值x,将获得两个值y 唯一性条件破坏。 16-1
《数学分析（1，2，3）》教案 16-1 第十六章 隐函数存在定理、函数相关 §1 隐函数存在定理 一 一个方程 F(x, y) = 0 的情形 在前面，我们是在假定从方程 F x y ( , ) 0 = 中可以确定 y是x的可微函数 的前提下，给出求导数 ( ) ' f x 的方 法。然而需要指出的是：并不是任一方程都能确定出隐函数。因此，我们必须知道方程在什么情况下才能确 定隐函数？ 例：设有方程 ( ) 2 2 F x y x y , 1 0 = + − = ，问在点 (0,1) ，(0, 1− ) ，(1,0) ，(−1,0) 的附近是否确定 y 为 x 的 函数？ 定理 1 （隐函数存在定理） 设二元函数 F(x, y) 满足下列条件： 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (1) {( , ) | , } , (2) ( , ) 0 ; (3) ( , ) 0; (1) ( , ) ( , ) 0 ( ) 0 ( , ) ( , ( )) 0 ( ); (2) ( , ) (3) ( , ) y D x y x x a y y b x y F x y F x y x y F x y y f x x O x F x f x y f x f O x f O x = − − = = = = = 在矩形区域 内，有关于 的连续偏导数； 则 在 的某个领域内，由方程 可以确定唯一的函数 ， 也即，存在 ，当 时有 ，并且 在 内连续； 在 内有连续的导数 ( ) ( ) , ' , x y F x y y F x y ，且 = − 。 注： (1) 定理的几何意义：条件(1)表明曲面 z = F(x, y) 是光滑的；条件（2）表明曲面和坐标平面 z = 0 有 一个交点，条件（3）（不妨设 Fy (x0 , y0 ) 0 ）表明在 ( , ,0) 0 0 x y 的附近，对固定的 x ，设 y 为正向，曲面 是单调增加的。定理的结论是：在点 ( , ,0) 0 0 x y 的附近曲面和 z = 0 有一条唯一的光滑交线.（2）定理的结论 是局部性的，即在点 ( , ) 0 0 x y 的某个邻域内由方程 F(x, y) = 0 可以唯一确定一个可微的隐函数。例如： F(x, y) = 1 0 2 2 x + y − = 在点(0,1)的某个邻域 D1 内由方程 1 0 2 2 x + y − = 可以确定唯一的 2 y = 1− x 。在点(0,-1)的某个邻域 D2 内 由方程 1 0 2 2 x + y − = 可确定唯一的 1 . 2 y = − − x （3） 定理的条件是充分的，非必要的。如上例中的函 数： F(x, y) = 1 0 2 2 x + y − = 在（-1，0）和（1，0）两点， Fy = 0 ，破坏了定理中的条件（3），从而定理 失效。从图中可以看出，对于一在右邻域或左邻域内的任何一个值 x ，将获得两个值 y ： 2 y = 1− x ， 1 . 2 y = − − x 唯一性条件破坏
《数学分析(1,2,3)》教案 再如:y3+x2=0在(0,0)点只有F=0。不满足条件(3),但却有y=x 定理1中的方程是含有两个变量和的,对于3个变量,甚至于多个变量,也有类似的结果 多变量及方程组的情形 定理2设(1)F(x,y,u,v)和G(x,y,l,v)满足 (1)在点P(xn,ln,0)的一个邻域内对各个变元有连续的偏导数 (2)F(x0,yo,ll2,v)=0,G(x0,y,u2,v0)=0; (3)F,G关于u,v的 Jacobi矩阵 Fr, Fy, Fu, Fr G, GGG 则:(1)存在点P的一个邻域,在此邻域内由方程组F(x,y,u,v)=0,G(x,y,u,v)=0可以确定唯一的函 数:u=u(x,y),v=v(x,y)满足:F(x,y,l(xy(x刀)=0, G(,y, u(x,y),(x, y))=0; (2)(x,y)和v(x,y)在U内连续; (3)l(x,y)和v(x,y)在U内有关于x和y的连续偏导数 u-v+xy=0 例 。问:(1)由方程确定的u,是关于x和y的可微函数?(2)由方程确定 xty +u +v= 的a,v都是关于x和y的可微函数? 例:函数F(xy)=y2-x(1-x2)2=0在那些点近旁可唯一地确定胆汁连续,且又连续导数的函数 §2函数行列式的性质、函数相关 函数行列式的性质 函数行列式不仅在隐含数存在定理中起着重要作用,而且在其它分析问题和应用中,也是经常出现的,它有 以下主要性质 性质1设函数 y=∫(x,x2…x)(=12,…n) 定义于某一n维区域D中,且有关于一切变元的连续偏导数。又设 x=q(12;…,4)(=12,…n) 定义于某一n维区域D中,且有关于一切变元的连续偏导数。设x的值域包含在D中。则有 16-2
《数学分析（1，2，3）》教案 16-2 3 3 0 (0,0) 0 (3) . y 再如：y x F y x + = = = 在 点只有 。不满足条件 ，但却有 定理 1 中的方程是含有两个变量和的，对于 3 个变量，甚至于多个变量，也有类似的结果。 二 多变量及方程组的情形 定理 2 设 (1) ( , , , ) ( , , , ) F x y u v G x y u v 和 满足： 0 0 0 0 0 (1) ( , , , ) 在点P x y u v 的一个邻域内对各个变元有连续的偏导数； （2） F(x0 , y0 ,u0 ,v0 ) = 0，G(x0 , y0 ,u0 ,v0 ) = 0； （3） F，G 关于 u v, 的 Jacobi 矩阵 , , , 0 , , , x y u v x y u v F F F F G G G G 则：（1）存在点 P0 的一个邻域，在此邻域内由方程组 F x y u v G x y u v ( , , , ) 0 ( , , , ) 0 = = ， 可以确定唯一的函 数： u = u(x, y), v = v(x, y) 满足： ； ， ( , , ( , ), ( , )) 0 ( , , ( , ), ( , )) 0 = = G x y u x y v x y F x y u x y v x y （2） u x y v x y ( , ) ( , ) 和 在 U 内连续； （3） u x y v x y ( , ) ( , ) 和 在 U 内有关于 x 和 y 的连续偏导数。 例： + + + = − + = 1 0 2 2 2 2 x y u v u v xy 。问：（1）由方程确定的 u v, 是关于 x 和 y 的可微函数？ （2）由方程确定 的 u v, 都是关于 x 和 y 的可微函数？ 例：函数 ( ) ( ) 2 2 2 F x y y x x , 1 0 = − − = 在那些点近旁可唯一地确定胆汁连续，且又连续导数的函数 y y x = ( ) ？ §2 函数行列式的性质、函数相关 一 函数行列式的性质 函数行列式不仅在隐含数存在定理中起着重要作用，而且在其它分析问题和应用中，也是经常出现的，它有 以下主要性质： 性质 1 设函数 y f x x x i i n = ( 1 2 , , , ) (i n =1,2, , ) 定义于某一 n 维区域 D 中，且有关于一切变元的连续偏导数。又设 x t t t i n i i n = = ( 1 2 , , , 1,2, , )( ) 定义于某一 n 维区域 ~~ D 中，且有关于一切变元的连续偏导数。设 i x 的值域包含在 D 中。则有
《数学分析(1,2,3)》教案 D(yny,…y)D(yy2…y)D(x,x,…x) 12l2…,L)D( )D(1,l2…,tn) 注:这个性质可看成复合函数y=(.x=9()求导公式边=a的拓广 性质2设函数 f(x1,x2…x)(=1 定义于某一n维区域D中,且有关于一切变元的连续偏导数,并且它们的反函数 x=q(y1y2…,yn)(=L2 存在,且有关于一切变元的连续偏导数。则有 D(y,y2…y)D(x,x,…x)=1 xn)D(i,y2 16-3
《数学分析（1，2，3）》教案 16-3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , , , , , , , , , , , , , , , , , , n n n n n n D y y y D y y y D x x x D t t t D x x x D t t t = 。 注：这个性质可看成复合函数 y f x x t = = ( ), ( ) 求导公式 dy dy dx dt dx dt = 的拓广。 性质 2 设函数 y f x x x i i n = ( 1 2 , , , ) (i n =1,2, , ) 定义于某一 n 维区域 D 中，且有关于一切变元的连续偏导数，并且它们的反函数 x y y y i n i i n = = ( 1 2 , , , 1,2, , )( ) 存在，且有关于一切变元的连续偏导数。则有 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 , , , , , , 1 , , , , , , n n n n D y y y D x x x D x x x D y y y =