《数学分析(1,2,3)》教案 第一章变量与函数 §1函数的概念 ◆引言:关于函数概念,在中学数学中已有了初步的了解。为便于今后的学习,本节将对此作进一步讨论 变量 变量、常量、实数性质、区间表示 二函数 定义1设X,YcR,如果存在对应法则∫,使对x∈X,存在唯一的一个数y∈Y与之对应, 则称∫是定义在数集X上的函数,记作∫:X→Y(x→>y)也记作x>f(x)。习惯上称x自变量,y为 因变量。函数∫在点x的函数值,记为f(x),全体函数值的集合称为函数∫的值域,记作f(X)。即 f(X)={yly=f(x)x∈x} 2.注 (1)函数有三个要素,即定义域、对应法则和值域 例:1)f(x)=1x∈R,g(x)=1,x∈RN(}(不相同,对应法则相同,定义域不同) 2)(x)=x,x∈R,w(x)=√x,x∈R(相同,对应法则的表达形式不同)。 (2)函数的记号中的定义域D可省略不写,而只用对应法则∫来表示一个函数。即“函数y=f(x)” 或“函数∫”。 (3)“映射”的观点来看,函数∫本质上是映射,对于a∈D,f(a)称为映射∫下a的象。a称为f(a) 的原象 3.函数的表示方法 主要方法:解析法(分式法)、列表法和图象法 2可用“特殊方法”来表示的函数。 (1)分段函数:在定义域的不同部分用不同的公式来表示。 l,x>0 sgnx={0,x=0,(符号函数) (2)用语言叙述的函数。 例:1)y=[x](x的最大整数部分 2))=10当x为无理数,(Dm由 三函数的一些几何特性 l-1
《数学分析（1，2，3）》教案 1-1 第一章 变量与函数 §1 函数的概念 ◆ 引言：关于函数概念，在中学数学中已有了初步的了解。为便于今后的学习，本节将对此作进一步讨论。 一 变量 变量、常量、实数性质、区间表示 二 函数 １．定义１ 设 X Y R , ，如果存在对应法则 f ，使对 x X ，存在唯一的一个数 y Y 与之对应， 则称 f 是定义在数集 X 上的函数，记作 f X Y : → ( x y |→ ).也记作 x f x | ( ) → 。习惯上称 x 自变量， y 为 因变量。函数 f 在点 x 的函数值，记为 f x( ) ，全体函数值的集合称为函数 f 的值域，记作 f X( ) 。即 f X y y f x x X ( ) | ( ), = = 。 ２．注 （1） 函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域。 例：1） f x x R ( ) 1, , = g x x R ( ) 1, \ 0 . = （不相同，对应法则相同，定义域不同） 2） ( ) | |, , x x x R = 2 ( ) , . x x x R = （相同，对应法则的表达形式不同）。 （2）函数的记号中的定义域Ｄ可省略不写，而只用对应法则 f 来表示一个函数。即“函数 y f x = ( ) ” 或“函数 f ”。 （3）“映射”的观点来看，函数 f 本质上是映射，对于 a D ，f a( ) 称为映射 f 下 a 的象。 a 称为 f a( ) 的原象。 3. 函数的表示方法 1 主要方法：解析法（分式法）、列表法和图象法。 2 可用“特殊方法”来表示的函数。 （１） 分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示。 例： 1, 0 sgn 0, 0 1, 0 x x x x = = − ，（符号函数） （２）用语言叙述的函数。 例： １） y x = [ ] （ x 的最大整数部分） ２） 1, ( ) 0, x D x x = 当 为有理数, 当 为无理数, （Ｄirichlet） 三 函数的一些几何特性
《数学分析(1,2,3)》教案 1、单调函数 定义2设∫为定义在X上的函数,x,x2∈X,xf(x2),则称∫为X上的严格减函数 例:证明:y=x3在(-∞,+∞)上是严格增函数。 例:讨论函数y=[x]在R上的单调性。 注:单调性与所讨论的区间有关,区间必须关于原点对称 奇函数和偶函数 定义3设X为对称于原点的数集,∫为定义在X上的函数。若对每一个x∈X,有(1) f(-x)=-f(x),则称∫为D上的奇函数;(2)f(-x)=f(x),则称∫为X上的偶函数 注:(1)从函数图形上看,奇函数的图象关于原点对称(中心对称),偶函数的图象关于y轴对称; (2)奇偶性的前提是定义域对称 奇函数 (3)从奇偶性角度对函数分类 偶函数 非奇非偶函数 既奇又偶函数 3、周期函数 定义4设∫为定义在数集X上的函数,若存在T>0,使得对一切x∈T有f(x+7)=f(x),则称∫ 为周期函数,T称为∫的一个周期 注:(1)若T是f的周期,则n7(n∈N,)也是∫的周期,所以周期不唯一。(2)任给一个函数即使存在周 期也不一定有最小正周期,如:y=C(C为常数),任何正数都是它的周期。 §2复合函数和反函数 复合函数 1.引言 先考察一个例子 例:质量为m的物体自由下落,速度为v,则功率E为 l-2
《数学分析（1，2，3）》教案 1-2 1、单调函数 定义 2 设 f 为定义在 X 上的函数， 1 2 1 2 x x X x x , , , （１）若 1 2 f x f x ( ) ( ) ，则称 f 为 X 上的 增函数；若 1 2 f x f x ( ) ( ) ，则称 f 为 X 上的严格增函数。（２）若 1 2 f x f x ( ) ( ) ，则称 f 为 X 上的减函 数；若 1 2 f x f x ( ) ( ) ，则称 f 为 X 上的严格减函数。 例：证明： 3 y x = 在 ( , ) − + 上是严格增函数。 例：讨论函数 y x = [ ] 在Ｒ上的单调性。 注：单调性与所讨论的区间有关，区间必须关于原点对称。 2、奇函数和偶函数 定义 3 设 X 为对称于原点的数集， f 为定义在 X 上的函数。若对每一个 x X ，有（１） f x f x ( ) ( ) − = − ，则称 f 为Ｄ上的奇函数；（２） f x f x ( ) ( ) − = ，则称 f 为 X 上的偶函数。 注：（１）从函数图形上看，奇函数的图象关于原点对称（中心对称），偶函数的图象关于 y 轴对称； （２）奇偶性的前提是定义域对称； （３）从奇偶性角度对函数分类： 奇函数 偶函数 非奇非偶函数 既奇又偶函数 。 3、周期函数 定义 4. 设 f 为定义在数集 X 上的函数，若存在 T 0 ，使得对一切 x T 有 f x T f x ( ) ( ) + = ，则称 f 为周期函数， T 称为 f 的一个周期。 注：（1）若 T 是 f 的周期，则 nT n N ( ) + 也是 f 的周期，所以周期不唯一。（2）任给一个函数即使存在周 期也不一定有最小正周期，如： y C= （Ｃ为常数），任何正数都是它的周期。 §2 复合函数和反函数 一 复合函数 １．引言 先考察一个例子。 例：质量为 m 的物体自由下落，速度为 v ，则功率 E 为
《数学分析(1,2,3)》教案 E=5m=E=mgt 我们得到两个函数f()=m2,v=gt,把v代入∫,即得 f(v)=="I 这样得到的函数称为“复合函数”。 2.定义(复合函数)设有两个函数y=(u),u∈U,u=f(x),x∈X,若f(X)cU内,则对每一 个x∈X,通过∫对应U内唯一一个值u,而又通过q对应唯一一个值y,这就确定了一个定义在X上 的函数,它以x为自变量,y因变量,记作y=p(f(x),x∈X。这种函数成为复合函数 注:两个函数能复合,第一个函数的值域必须包含在第二个函数的定义域中 3.例子 例:讨论函数y=f()=,n∈[0,+∞)与函数n=g(x)=√-x2,x∈R能否进行复合 4说明 例:y=simn,u=V,y=1-x,复合成:y=sin1-x,x∈[-1, 2)不仅要会复合,更要会分解。 ① →y=2",=y2v=sinx 、反函数 1反函数概念 设函数y=f(x),x∈X。满足:对于值域f(X)中的每一个值y,X中有且只有一个值x,使得 (x)=y,则按此对应法则得到一个定义在f(X)上的函数,称这个函数为∫的反函数,记作 x=f-(y),y∈f(X) a)并不是任何函数都有反函数 b)函数∫与∫互为反函数,并有:∫(f(x)=x,x∈X,f((x)=y,y∈f(X) c),则函数∫的反函数∫通常记为 y=f(x),x∈f(X) 定理,设y=f(x),x∈X为严格增(减)函数,则∫必有反函数∫,且∫在其定义域f(X)上也是 严格增(减)函数
《数学分析（1，2，3）》教案 1-3 2 2 2 1 1 2 2 E mv E mg t v gt = = = . 我们得到两个函数 1 2 ( ) , 2 f v mv v gt = = ，把 v 代入 f ，即得 1 2 2 ( ) 2 f v mg t = . 这样得到的函数称为“复合函数”。 2． 定义（复合函数） 设有两个函数 y u u U u f x x X = = ( ), , ( ), ，若 f X U ( ) 内，则对每一 个 x X ，通过 f 对应 U 内唯一一个值 u ，而 u 又通过 对应唯一一个值 y ，这就确定了一个定义在 X 上 的函数，它以 x 为自变量， y 因变量，记作 y f x x X = ( ( )), 。这种函数成为复合函数。 注：两个函数能复合，第一个函数的值域必须包含在第二个函数的定义域中。 3. 例子 例： 讨论函数 y f u u u = = + ( ) , [0, ) 与函数 3 u g x x x R = = − ( ) 1 , 能否进行复合。 4 说明 例： 3 y u u v v x = = = − sin , , 1 ，复合成： 3 y x x = − − sin 1 , [ 1,1]. ２）不仅要会复合，更要会分解。 ① 2 sin 2 2 2 , , sin . x u y y u v v x = → = = = 二、反函数 １ 反函数概念 设函数 y f x x X = ( ), 。满足：对于值域 f X( ) 中的每一个值 y ， X 中有且只有一个值 x ，使得 f x y ( ) = ，则按此对应法则得到一个定义在 f X( ) 上的函数，称这个函数为 f 的反函数，记作 1 x f y y f X ( ), ( ) − = . 2 注： a) 并不是任何函数都有反函数； b) 函数 f 与 1 f − 互为反函数，并有: 1 f f x x x X ( ( )) , , − 1 f f x y y f X ( ( )) , ( ). − c) ，则函数 f 的反函数 1 f − 通常记为 1 y f x x f X ( ), ( ) − = . 定理．设 y f x x X = ( ), 为严格增（减）函数，则 f 必有反函数 1 f − ，且 1 f − 在其定义域 f X( ) 上也是 严格增（减）函数
《数学分析(1,2,3)》教案 S3基本初等函数 初等函数 1..基本初等函数(7类) 常量函数y=C(C为常数); 幂函数y=x(a∈R); 指数函数y=a(a>0.,a≠1); 对数函数y= log x(a>0,a≠1) 三角函数y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx; 反三角函数y= arcsinx,y= arccos,y= ar tan x,y= arc cot x 双曲函数shx= chx= +e 2.初等函数 定义3.由基本初等函数经过在有限次四则运算与有限次复合运算所得到的函数,统称为初等函数 Au: y=2sin x+cos'x,y=log,x+ 不是初等函数的函数,称为非初等函数。如 Dirichlet函数、 Riemann函数、取整函数等都是非初等 函数 例:求函数y=ln|sinx表为基本初等函数的复合
《数学分析（1，2，3）》教案 1-4 §3 基本初等函数 一 初等函数 1.．基本初等函数（7 类） 常量函数 y C= （Ｃ为常数）； 幂函数 y x R ( ) = ； 指数函数 ( 0, 1) x y a a a = ； 对数函数 log ( 0, 1) a y x a a = ； 三角函数 y x y x y x y x = = = = sin , cos , tan , cot ； 反三角函数 y x y x y ar x y arc x = = = = arcsin , arccos , tan , cot 。 双曲函数 2 x x e e shx − − = ， 2 x x e e chx − + = ， x x x x e e e e thx − − + − = ， x x x x e e e e cthx − − − + = ２．初等函数 定义３．由基本初等函数经过在有限次四则运算与有限次复合运算所得到的函数，统称为初等函数 如： sin 3 4 1 2sin cos , l g , | | . x a e y x x y o x y x x − = + = + = 不是初等函数的函数，称为非初等函数。如 Dirichlet 函数、Riemann 函数、取整函数等都是非初等 函数。 例：求函数 y x = ln | sin | 表为基本初等函数的复合