第四章第三节 协方差与相关系数
第四章第三节 协方差与相关系数
任意两个随机变量X和Y的协方差, 记为Cov(X,Y,定义为 COv,Y=EIIX-E(IIY-E( I (1) Cov(X, Y)=Cov(Y, X) (2)Cov(aX,bY= ab Cov(,Y)a,b是常数 (3)Cov(X+X2, Y)=Cov(X1, Y)+ Cov(X2,n)
任意两个随机变量X和Y的协方差, 记为Cov(X,Y), 定义为 ⑶ Cov(X1+X2 ,Y)= Cov(X1 ,Y) + Cov(X2 ,Y) ⑴ Cov(X,Y)= Cov(Y,X) 一、协方差 2.简单性质 ⑵ Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b是常数 Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} 1.定义
由协方差的定义及期望的性质,可得 COV(X,=EIX-E(XII-E( FE(XY-E(XE(Y-E(E(X+E(XE(n FE(XY-E(XE(Y COV(X,Y-E(XDE(E(Y 可见,若X与Y独立,Cov(X,Y)=0
Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y) 可见，若X与Y独立， Cov(X,Y)= 0 . 3. 计算协方差的一个简单公式 由协方差的定义及期望的性质，可得 Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y) 即
Var(X+r= var()+ Var(n+ 2Cov(X,y pr(∑X1)=∑am(x)+2∑∑Cov(X,X) 若X1,X2…,yX两两独立,上式化为 lar(x1)=∑am(X,)
若X1 ,X2 , …,Xn两两独立,，上式化为 Var(X+Y)= Var(X)+Var(Y)+ 2Cov(X,Y) 4. 随机变量和的方差与协方差的关系 ( ) ( ) 2 ( , ) 1 1 i j n i n i i j Var Xi Var Xi Cov X X = = = + = = = n i n i Var Xi Var Xi 1 1 ( ) ( )
协方差的大小在一定程度上反映了X和y 相互间的关系,但它还受X与Y本身度量单位 的影响.例如: Cov(kX, kr=k-Cov(X,n 为了克服这一缺点,对协方差进行标准化, 这就引入了相关系数
协方差的大小在一定程度上反映了X和Y 相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位 的影响. 例如： Cov(kX, kY)=k 2Cov(X,Y) 为了克服这一缺点，对协方差进行标准化， 这就引入了相关系数
定义:设W(X)>0,anr(Y)>0,称 Cov(A, Y √Var(X)ar(Y 为随机变量X和Y的相关系数 在不致引起混淆时,记Px为P
二、相关系数 为随机变量X和Y的相关系数. 定义: 设Var(X)>0, Var(Y)>0, ( ) ( ) ( , ) Var X Var Y Cov X Y XY = 称 在不致引起混淆时，记 XY 为
关于px的待号: 当pxy>0时,称X与Y为正相关 当px<0时,称X与Y为负相关 相关系数和协方差具有相同的符号,因此, 前面关于协方差的符号意义的讨论可以移到 这里.即 正相关表示两个随机变量有同时增加或同 时减少的变化趋势 负相关表示两个随机变量有相反的变化趋 势
关于XY的符号: 当 XY > 0时,称X与Y为正相关. 当 XY < 0时,称X与Y为负相关. 相关系数和协方差具有相同的符号,因此, 前面关于协方差的符号意义的讨论可以移到 这里. 即 正相关表示两个随机变量有同时增加或同 时减少的变化趋势. 负相关表示两个随机变量有相反的变化趋 势
相关系数的性质: 凵P图由方差r()是正的故必有 证:由方差 12≥0,所以|P≤1 对任意 OsVar(Y-bX)=b var(X)+ var(r-2b Cov(X,Y) 令b=Cx,2,则上式为 Var(X) Cov(X, YI Var(Y-bx)=var(r) Var(X) Var(rll ICov(A,DI =r(Y[1-p2] Var(XVar(r
相关系数的性质： 1. | | 1 证: 由方差的性质和协方差的定义知, 对任意实数b,有 0≤Var(Y-bX)= b 2Var(X)+Var(Y)-2b Cov(X,Y ) ( ) ( , ) Var X Cov X Y 令 b = ，则上式为 Var(Y- bX)= ( ) [ ( , )] ( ) 2 Var X Cov X Y Var Y − ] ( ) ( ) [ ( , )] ( )[1 2 Var X Var Y Cov X Y =Var Y − ( )[1 ] 2 =Var Y − 由方差Var(Y)是正的,故必有 1- 2 ≥ 0,所以 | |≤1
2.X和y独立时,P=0,但其逆不真 由于当X和Y独立时,Co(X,Y=0 故p Cov(X,Y 0 Var(Xvar( 但由p=0并不一定能推出X和Y独立 请看下例
2. X和Y独立时， =0，但其逆不真. 由于当X和Y独立时，Cov(X,Y)= 0. 故 ( ) ( ) ( , ) Var X Var Y Cov X Y = = 0 但由 = 0 并不一定能推出X和Y 独立. 请看下例
设(X,Y)服从单位圆域x2+y2≤1 上的均匀分布,证明:px=0。 (x,y)∈L f(x,y)= T 0(x,y)≠D E(X)=∫dxdy x2+y2≤1 XOX y=「0dy=0 T
证明: 例 1 设(X,Y)服从单位圆域x 2+y2≤1 上的均匀分布,证明: XY =0。 = 0 (x, y) D (x, y) D 1 f(x, y) xdx dy 0dy 0 1 dxdy x E(X) 1 1 1 1 1 y 1 y x y 1 2 2 2 2 = = = = − − − − − +