灰色系统理论及其应用 学分 Gtr Black tate 南京競窆茨大学经济管狸学院 精品程群建设组
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一般的抽象系统都包含有许多影响因素,多种因素共同作用的结果 决定了系统的发展态势。我们希望从众多的因素中判断出,哪些是 主要因素、哪些是次要因素。这些属于系统分析的内容,数理统计 中的回归分析、方差分析、主成分分析等都可以用来进行系统分析 这些方法的不足之处是: 1、要求有大量的数据。2、要求样本服从某一种典型概率分布, 各因素数据与系统特征数据之间呈线性关系且个因素之间彼此无关 3、计算量大, 4、可能出现量化结果与定性分析结果不符的情况
一般的抽象系统都包含有许多影响因素，多种因素共同作用的结果 决定了系统的发展态势。我们希望从众多的因素中判断出，哪些是 主要因素、哪些是次要因素。这些属于系统分析的内容，数理统计 中的回归分析、方差分析、主成分分析等都可以用来进行系统分析。 这些方法的不足之处是： 1、要求有大量的数据。 2、要求样本服从某一种典型概率分布， 各因素数据与系统特征数据之间呈线性关系且个因素之间彼此无关。 3、计算量大， 4、可能出现量化结果与定性分析结果不符的情况
灰色关联分析方法的基本思想是根据序列曲线几何形状的相 似程度来判断其联系是否紧密,曲线越接近,相应序列之间 的关联度就越大,反之就越小。 对一个抽象系统或现象进行分析,首先要选准反映系统行为 特征的数据序列。我们称之为找系统行为的映射量,用映射 量来间接地表征系统行为。比如: 国民平均受教育的年限_〉教育的发达程度 刑事案件的发案率)社会治安面貌和社会秩序 (教材P40-41的例子)
灰色关联分析方法的基本思想是根据序列曲线几何形状的相 似程度来判断其联系是否紧密，曲线越接近，相应序列之间 的关联度就越大，反之就越小。 对一个抽象系统或现象进行分析，首先要选准反映系统行为 特征的数据序列。我们称之为找系统行为的映射量，用映射 量来间接地表征系统行为。比如： 国民平均受教育的年限 教育的发达程度 刑事案件的发案率 社会治安面貌和社会秩序 （教材P40-41的例子） → →
4.1灰色关联因素和关联算子集 定义41.1设X为系统因素,其在序号k上的观测数据为 x(k),k=1,2,…,n 则称X1=(x1(1),x(2),…,xn(m)为因素X1的行为 序列:若k为时间序号,x(k)为因素X在时刻的观测数 据,则称X1=(x(1),x1(2),…,xn(m)为因素X的行 为时间序列:若k为指标序号,x()为因素X1关于第k个 指标的观测数据,则称X=(x1(1),x(2),…,xn(n) 为因素X的行为指标序列。若k为观测对象序号,x(k) 为因素关于第k个对象的观测数据,则称 1=(x1(1),x1(2),…,x2(m) 为因素X的行为横向序列
4.1 灰色关联因素和关联算子集 定义 4.1.1 设 为系统因素，其在序号k上的观测数据为 则称 为因素 的行为 序列；若k为时间序号， 为因素 在k时刻的观测数 据，则称 为因素 的行 为时间序列；若k为指标序号， 为因素 关于第k个 指标的观测数据，则称 为因素 的行为指标序列。若k为观测对象序号， 为因素关于第k个对象的观测数据，则称 为因素 的行为横向序列 Xi xi (k), k =1,2, ,n X (x (1), x (2), , x (n)) i = i i n Xi x (k) i Xi X (x (1), x (2), , x (n)) i = i i n Xi x (k) i Xi X (x (1), x (2), , x (n)) i = i i n x (k) i Xi X (x (1), x (2), , x (n)) i = i i n Xi
无论是时间序列数据、指标序列数据还是横向序列数据,都可 以用来做关联分析 定义412设X1=(x(1),x(2),…,xn(m)为因素X的 行为序列,D为序列算子,且 XD1=(x(1)d12x(2)d12…,x(n)d1)其中 x,(k)dl1=x(k)/x1(1);k=1,2,…,n 则称D为初值化算子,X为原像D1为X在初值化算子 D下的像,简称初值像
无论是时间序列数据、指标序列数据还是横向序列数据，都可 以用来做关联分析。 定义4.1.2 设 为因素 的 行为序列， 为序列算子，且 其中 则称 为初值化算子， 为原像， 为 在初值化算子 下的像，简称初值像。 X (x (1), x (2), , x (n)) i = i i n Xi D1 ( (1) , (2) , , ( ) ) 1 1 1 n d1 XD = x d x d x x k d x k x k n i i i ( ) ( )/ (1); 1,2, , 1 = = D1 Xi Xi D1 D1 Xi
定义414设X1=(x(),x1(2)…,xn(n)为因素X 的行为序列,D为序列算子,且 XD2=(x(1)d2x(2)d2…,x(m)d2)其中 x1(k)d2= x, (k) X=∑x()k=12,…,n 则称D为均值化算子,XD2为X在均值化算子D,下的像 ,简称均值像
定义 4.1.4 设 为因素 的行为序列， 为序列算子，且 其中 则称 为均值化算子， 为 在均值化算子 下的像 ，简称均值像。 X (x (1), x (2), , x (n)) i = i i n Xi D2 ( (1) , (2) , , ( ) ) 2 2 2 n d2 XD = x d x d x x k k n n X X x k x k d n i i i i i i ( ); 1,2, , 1 , ( ) ( ) 1 2 = = = = D2 Xi D2 Xi D2
定义414设X1=(x(1)x1(2)…,xn(m)为因素X的 为序列,D3为序列算子,且 XD3=(x(1)a32x(2)d3,…,x(mn)dl3)其中 x (k)d3= x, (k)-min x (k) ,k=1,2,…,n max x, (k)-min x, (k) 则称D2为区间化算子,XD3为区间值像 命题411初值化算子D1、均值化算子D2和区间值化算子D3 皆可以使系统行为序列无量纲化,且在数量上规一。一般地, D1D2D3不宜混合、重叠使用
定义 4.1.4设 为因素 的 行为序列， 为序列算子，且 其中 则称 为区间化算子， 为区间值像。 命题4.1.1 初值化算子 、均值化算子 和区间值化算子 皆可以使系统行为序列无量纲化，且在数量上规一。一般地， 不宜混合、重叠使用。 X (x (1), x (2), , x (n)) i = i i n Xi D3 ( (1) , (2) , , ( ) ) 3 3 3 n d3 XD = x d x d x k n x k x k x k x k x k d i i i i i , 1,2, , max ( ) min ( ) ( ) min ( ) ( ) 3 = − − = D3 Xi D3 D1 D2 D3 D1 D2 D3
定义4.1.5设 X1=(x1(1)2x(2)…,xn(m)2x(k)∈[0,1为 因素X的行为序列,D4为序列算子,且 XD4=(x(1)d42x(2)d42…,x(n)d4) 其中x(k)d4=1-x1();k=1,2,…,n 则称D为逆化算子,D4为X在逆化算子D4下的像 ,简称逆化像
定义 4.1.5 设 为 因素 的行为序列， 为序列算子，且 其中 则称 为逆化算子， 为 在逆化算子 下的像 ，简称逆化像。 X = (x (1), x (2), , x (n)); x (k)[0,1] i i i n i Xi D4 ( (1) , (2) , , ( ) ) 4 4 4 n d4 XD = x d x d x xi (k)d4 =1− xi (k); k =1,2, ,n D4 Xi D4 Xi D4
定义416设X1=(x(1)x1(2),…,x(n);为 因素X的行为序列,D为序列算子,且 XD5=(x(1)a5,x(2)d53…2x(n)d5) 其中 x(k)d3=1/x(k);k=1,2,…,n 则称D5为倒数化算子,X,D为倒数化像 命题4.1.3若系统因素X与系统主行为呈负相关关系,则 X1的逆化算子作用像XD4和倒数化作用像XD5与X0具有 正相关关系
定义 4.1.6 设 为 因素 的行为序列， 为序列算子，且 其中 则称 为倒数化算子， 为倒数化像。 命题4.1.3 若系统因素 与系统主行为 呈负相关关系，则 的逆化算子作用像 和倒数化作用像 与 具有 正相关关系。 X (x (1), x (2), , x (n)); i = i i n Xi D5 ( (1) , (2) , , ( ) ) 5 5 5 n d5 XD = x d x d x xi (k)d5 =1 xi (k);k =1,2, ,n D5 Xi D5 Xi 5 X0 Xi D4 Xi D Xi
4.3灰色关联公理与灰色关联度 定义431设序列X1=(x(1),x(2) x(n ) X={(6)+(-xk+1)-x(k)k=12…,n=1t∈kk+n} 称为序列X所对应的折线 命题43.1设系统特征行为序列X0为增长序列,X1为相关因 素行为序列,则有 X为增长序列时,X;与X0为正相关关系 2、当X,为衰减序列时,X1与X0为负相关关系。 由于负相关序列可以通过4.1节中定义的逆化算子或倒数化算 子作用转化为正相关序列,所以我们主要研究非负的相关关 系
4.3 灰色关联公理与灰色关联度 定义 4.3.1 设序列 ，则 称为序列X所对应的折线。 命题 4.3.1 设系统特征行为序列 为增长序列， 为相关因 素行为序列，则有 1、 当 为增长序列时， 与 为正相关关系； 2、当 为衰减序列时， 与 为负相关关系。 由于负相关序列可以通过4.1节中定义的逆化算子或倒数化算 子作用转化为正相关序列，所以我们主要研究非负的相关关 系。 X (x (1), x (2), , x (n)); i = i i n X = x(k) + (t − k)(x(k +1) − x(k) k =1,2, , n −1;t [k, k +1] X0 Xi Xi Xi Xi Xi X0 X0