第13次课 教学内容(或课题):§1.线性有界算子和线性连续泛函 目的要求:掌握线性有界算子和线性连续泛函 教学过程: 第七章线性有界算子和线性连续泛函 在这一章中,我们将研究从线性赋范空间X到另一个线性赋 范空间F中的映照,亦称算子.如果Y是数域,则称这种算子为泛 函.算子和泛函我们并不陌生.例如微分算子D=云就是从连续 可微函数空间C[an6]到Ca,b]E的算子,而黎曼积分(t)dt 就是连续函数空间Ca,b]上的泛函.如果说函数是数和数之间 的对应,那末算子可说是函数和函数之间的对应,不过这是更高 级的对应而巳,我钔这里主要讨论线性算子和线性泛函,关于 非线性算子和非线性泛函的问题已超出本书的范围了.在这一章 中,我们只讨论线性算子和线性泛函的一些基本性质,更进一步 的一些结放到第九章中讨论 §1.线性有界算子和线性连续泛函 Ⅰ.线性算子和线性泛函的定义 定义1设X和Y是两个同为实(或复)的线性空间,分是x的 线性子空间,T为奶到F中的映照,如果对任何x,张∈C,及数a 成立 T(a Fy)=Ta+Ty, (1) T' (ar)=aT'a, (2) 则称T为到Y中的线性算子,其中的称为T的定义域,记为 2(),T称为T的值城,记为(T),当T取值于实(或复)数域
44 第 13 次课 教学内容(或课题)： §1.线性有界算子和线性连续泛函 目的要求： 掌握线性有界算子和线性连续泛函. 教学过程：
时,就称T为实(或复)线性泛函 如果T为线性算子,在(2)中取a=0,立即可得T0=0,即 0∈(),其中(T)表示算子T的零空间 )={x;7x=0,x(T)} 下面举一些线性算子和线性泛函的例子 例1设X是线性空间,a是一给定的数,对任何x∈X,令 显然T是X到X中的线性算子,称为相似算子,特别当媒=1时,称 为恒等算子,记为lx或l,当a=0时,称为零算子,记为O 例2设[0,1]为0,区间上多项式全体,对每个x∈30[0, 1],定义 Tr(t)=ut(t) 由求导运算的线性性质,立即可知T是[0,1到5[0,1中的线 性算子,称为微分算子如果任取0∈[0,1,对任何x∈例L0,1, 定义 f(x)=x'(t), 则f是多[0,1上线性泛函 例3对每个t∈Ca,b,定义 Tx(t)= r(c)dt. 由积分的线性性质.可知T是C[a,b到C[a,b]中的线性算子 若令 f(r)= x(r)dr, 则∫是C[a,b]上线性泛函 例4对任何Oa,b],令 Ta(t)=x(t)
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易知T是线性算子,称为乘法算子,它在物理及算子谱论中是非 常有用的一种算子 例5设R是n维线性空间,在B中取一组基(e1,…,en}, 则对任何x∈R,x可以唯一地表示成x-25e,对每一个n×n 方阵(tn,),作B到P中算子T如下:当x=25e,时,令 r 其中3=tm,n=1,2,…,显然这样定义的T是线性算子, 这个算子在线性代数中称为线性变换.算子T显然由方阵(t)唯 确定,有时就记为T=(t) 反过来,设T是R到R中的线性算子,令 Te,= tiper+ t2,e2+…+ Cx,ea,y=1,2,…,n 则当x=∑5,e,时,由T的线性可得Tx=∑ye,这里郭,= ,即T是对应于方阵(tx)的算子, 由此可知,在有限维空间上,当基选定以后,线性算子与矩阵 是相对应的 设(a1,2,…an)是一组数,当x 时,定义 f(x)=∑a5 易知f为R"上线性泛函.反之,如果∫是R上线性泛函,记a =f(e,),=1,2,…,n,则当x=∑5,e,时,由∫的线性
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f(x)=∑f(e)=∑5n 由此可见n维线性空间上线性泛函与数组(a,a2,…,n)相对应 II.线性有界算子和线性连续泛函 定义2设X和Y是两个线性赋范空间,T是X的线性子空间 (T)到Y中的线性算子,如果存在常数o,使对所有x的(T),有 Tx"!≤c!z], 则称是②(m)到Y中的线性有界算子,当(们)=x时,称T为 X到F中的线性有界算子,简称为有界算子.对于不满足条件(3) 的算子,称为无界算子,本书主要讨论有界算子 线性算子由于具有可加性,所以它的连续性可用有界性来 描述 定理1设T是线性赋范空间X到线性赋范空间Y中的线性 算子,则T为有界算子的充要亲件为T是X上连续算子 证明若T有界,由(3)式,当x→时,因为 Txa-Tx"≤cl 所以肛 [n-T2>0,即Tx→Tx,因此T连续 反之,若T在X上连续,但T无界,这时在X中必有一列向量 使]zn!≠0,但 Txn|≥lxn 令孙“2/n=1,2,…,则l=→>0(a→∞),所以 由T的连续性,得到Ty-70=0,但由于T是线性算子,又可以得 到对一切自然数割,成立 ITy!=HT (ra/n=nd) =TEm/ngau>nEt/ninI=l, 这与Ty→0矛盾,所以T是有界算子:证毕 对于线性泛函,我们还有下面的定理
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定理2设X是线性赋范空间,f是X上线性泛函,那末∫是X 上连续泛函的充要条件为f的零空间(f)是X中的闭子空间 证明设f是连续线性泛函,当xn∈(f),n=1,2,…,并且 xa→>z时,由∫的连续性,有f(x)=lmf(xn)=0,因此x∈(f), 所以(∫)是闭集 反之,若、(f)是闭集,而f无界,则在X中存在一列向量x xnl÷0,n=1,2,…,使得对每个n,成立 f(xn)≥nxn! 令孙n=xn/lxn,则nl-1,且|f(y)≥,作 zn=yn/f(3n)-1/f(1), 那末f(zn)=0,因此,zn∈(f),然而由于 lyn/f(yn)!=I/f(n)≤→>0,(n→∞) 所以xx→>-孙1/f(31),但f(一3/f(3)=-1,即一y1/f(3:)∈ (f),这与(f是闭集的条件矛盾,因此∫是线性有界泛函 证毕 我们最感兴趣的是使(3)式对一切纸的(们)成立的“最小”的 数c为此引入下面的基本概念 定义3设T为线性空间X的子空闻(T)到线性赋范空间 Y中的线性算子,称 T|= (4) 为算子们在2()上的范数 显然若T是(T)上线性有界算子,则們是一有限数,反之, 当們<∞时,由T的线性,则有 !Tx|≤1Tlx!,x(T) (5) 引理1设得是多(T)上线性有界算子,那末成立
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T=sup!Tx】= sup Tr (6) 证明因为 ITI= sup iTr!!= sup 1- = sup z07 x39(T) x∈(T 令x,则!=1,且v∈(T),所以 T≤sup!T!≤up|Tx (7 反之,若r∈(T),x≤1,則由(5) Tx≤Tz≤:到, 所以 sup tr≤|r (8) 由(7)和(8)式,得知(6)式成立,证毕 II.线性有界算子和线性连续泛函的例子 例6线性赋范空间X上的相似算子Tx=ax是线性有界算 子,且!=|a|,特别Ix!=1,!O1=0 例7设X=C[0,13,K(,τ是矩形[0,1]×[0,1]上的二元 连装函数,对每个r∈C[0,门,定义 Tz(t)=K(t,τ)xr(r)dr 易知T是C[0,1]到C[0,1]中的线性算子,这个算子称为积分算 子,其中函数K(t,τ)称为T的核,又因为 a(t)≤max|x(t)|=!xl 所以 m2(4)x)m1(,)|x(a
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< Ik(t, t) dr xl 因此T是有界算子,可以明此时們]=max.1r(t,t)ldr 0≤t≤1」0 例8对任何fD[a,b],作 Tf(t)= f(r)dr, 则T为L[a,b到L[a,b中的线性算子,又因为 ∫(τ)dr!dt≤lf(x)drc ∫(r)!dr·1dt=(b-a)lf 所以≤b-a,另-方面,对任何使a+1<b的自然数n,作 函数 f2(t) 1 容易知道此时f:=1.而且 INfl fn(r)dr i d (t-a)d+:1d 所以≥ sup Tf1b-a,从而!Tl=b-a, 最后举一个无界算子的例子 例9考察例2中的微分算子Tx(t)=ax(t),若视3[0,1 为C[0,1]的子空间,令x(t)=t",则|xn=1,但|Txzl= max|ntx“4=n,所以!T≥;Tr。=靠,即T是无界算子
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§2线性算子空间和共轭空间 在这-节中,我们讨论线性赋范空间上线性有界算子全体和 线性连续泛函全体所成的空间 Ⅰ.线性有界算子全体所成空间 设X和Y是两个线性赋范空间,我以(X→Y)表示由X 到y中线性有界算子全体.当A和B属于图(x→1),是所讨论 数域中的数时,定义(x→Y)中加法运算及数乘运算如下:对任 何xK,令 (A+ B)x=ArF Bx, (aAE=aA 下面证明(X→Y)按土述线性运算及算子范数成为线性赋 范空间.事实上,如果A,B∈缃(X→>Y),则对任何x∈x,由算 子加法定义 l(A+B)x!=1Ax+Bx≤Ax+|Bxl≤|Az+Blr (A+BIze 由于A及B是有界算子,所以4·+B),并且成立不等式 1A+B≤A+1B 又对任何数a,显然有 JaAl= sup I(A)x=! sup aAa=|a sup Axh=lai 4 由此得到a4(X→>Y),且|aA=|a|A".最后A=0的充要 条件为对于任何x∈x,Ax=0,即A=0,因此(x→Y)按上述加 法及数乘运算和算子范数成为线性赋范空间 定理I当Y是 Banach空间时,图(→)也是 Banach空 证明设{n}-1为(X→Y)中的柯西点列,则由柯西点列
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定义,对任何正数e>0,存在自然数N,当n,m>N时, 4Tn…TmN时,成立 IT,r-Tma-A(TTn)xsITn-Tm11x1∞).作X到Y中算子T如下:对每个 x∈X,令 Ta:y= limT,r, 容易知道T是X到Y中的线性箅子,在(2)中,令m>如,由范数连 续性,得到:当n>N时,对X中所有x成立 Pnx-Trl≤lx, 由于ε不依赖于x,所以 T-Tl=sup(T-7)z|≤ (3) IyH=l 即T一T∈(X→Y),又因(X→Y)是线性空间,所以 T=T,÷(T一T.)∈(X→Y), 并由(3),知im一T=0,这就证明了闭(x→)是 Banach空 间,证毕 设、(Z→Y),B(X→>团),令 (AB)x=A(Bx),x∈X 显然AB是线性算子,称为B与A的乘积.又对每个∈X,因为 (AB)|="A(Bx)≤!A匮Br≤AB!x, 所以!AB≤A!!B<3,即AB∈(X→Y) 般,设X是线性赋范空间,如果在X中定义了两个向量的乘 积,并且满足 则称X是赋范代数,当X完备时,则称X为 Banach代数.由定理 1知闭(X→X)当x完备时是 Banach代数
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I.共轭空间 定义1设X是线性赋范空间,令X’表示X上线性连续泛函 全体所成的空间,称为X的共轭空间 由于实数体和复数体是完备空间,所以由定理1立即可得 定理2任何线性赋范空间的共轭空间是 Banach空间 在泛函分析一般理论的应用中,知道一些具体空间的共轭空 间的一般形式往往是十分有用的.下面作为例子给出空间U和 Z共轭空间的一般形式 首先引入两个线性赋范空间同构的概念 定义2设X和Y是两个线性赋范空间,T是X到Y中的线性 算子,并且对所有∈X,有 Tx!|="z1 则称T是X到Y中的保距算子,如果T又是映照到Y上的,则称T 是同构映照,此时称X与Y同构 显然保距算子是一对一的,而同构映照是等距映照,由于同构 陕照保持线性运算及范数不变,所以撇开X和Y中点的具体内容, 可以将X及Y看成司一抽象空间而不加以区别,在这个意义下,可 以认为X=Y 例14的共轭空间为l”,即()=l 证明令en=(6n,bn2,bn3,…),n=1,2,…,其中5n当j=n 时等于1,当jn时等于0,显然en∈l'并且对每个x=(1,5, 53,…)∈l,有 x=lim∑54e4 设(),令f(en)=na,n-1,2,…,那末由于f∈(l),因 而有
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