第四章微积分问题的计算机求解 微积分问题的解析解 ·函数的级数展开与级数求和问题求解* 数值微分 数值积分问题 曲线积分与曲面积分的计算*
第四章 微积分问题的计算机求解 • 微积分问题的解析解 • 函数的级数展开与级数求和问题求解* • 数值微分 • 数值积分问题 • 曲线积分与曲面积分的计算*
4.1微积分问题的解析解 4.1.1极限问题的解析解 单变量函数的极限 L= lim f(r) r-x 格式1:L=limi(fiun,x,xO) LI= lim f(x), x L2= lim f(x) 格式2:L=limi(fiun,x,xO,left?或‘ right)
4.1 微积分问题的解析解 4.1.1 极限问题的解析解 • 单变量函数的极限 – 格式1： L= limit( fun, x, x0) – 格式2： L= limit( fun, x, x0, ‘left’ 或 ‘right’)
例试求解权限问题1x(1+2)sn > syms x a b >>fx*(1+a/xx*sin(b/x) >>L=limit(f, x, inf) exp(a)*b 例:求解单边极限问题lim x→0+1- cos Vx 防 nx syms X >>limit((exp(x 3)-1/1-cos(sqrt(x-Sin()))), x,0,right ans
• 例: 试求解极限问题 >> syms x a b; >> f=x*(1+a/x)^x*sin(b/x); >> L=limit(f,x,inf) L = exp(a)*b • 例:求解单边极限问题 >> syms x; >> limit((exp(x^3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x)))),x,0,'right') ans = 12
在(-0.10.1)区间绘制出函数曲线: >>x=-0.1:0.001:0.1 >>y=(exp(x. 3)-1)./1-cos(sqrt(x-sin(x))) Warning: Divide by zero ype warning off 12016 MATLAB 12.014 12012 divide byzeroto 1201 suppress this warning. a ol > plot(, y, -,I0] 12004 [12]o) 11.998 0.10.0800600440200.020040.060D80.1
• 在(-0.1,0.1)区间绘制出函数曲线： >> x=-0.1:0.001:0.1; >> y=(exp(x.^3)-1)./(1-cos(sqrt(x-sin(x)))); Warning: Divide by zero. (Type "warning off MATLAB: divideByZero" to suppress this warning.) >> plot(x,y,'-',[0], [12],'o')
多变量函数的极限: L= lim f(x, y) x→→xO y→>y0 格式:L1= limit( limit(f,x,x0),y,yo n L=limit(limit(f, y, yo, x, Xo) 如果xo或y0不是确定的值,而是另一个 变量的函数,如x-〉g(y),则上述的极限求 取顺序不能交换
• 多变量函数的极限： –格式： L1=limit(limit(f,x,x0),y,y0) 或 L1=limit(limit(f,y,y0), x,x0) 如果x0 或y0不是确定的值，而是另一个 变量的函数，如x->g(y)，则上述的极限求 取顺序不能交换
例:求出二元函数极限值 lim 1/0+x2)sinx →0 >> syms x y a >> fexp 1/(y^2+x^2))*sin(x)2x^2*(1+1/y2)^(x+a^2*y^2) >>L=limit(limit(f, x, 1/sqrt(y)),y, inf) exp( 2)
• 例：求出二元函数极限值 >> syms x y a; >> f=exp(- 1/(y^2+x^2))*sin(x)^2/x^2*(1+1/y^2)^(x+a^2*y^2); >> L=limit(limit(f,x,1/sqrt(y)),y,inf) L = exp(a^2)
4.1.2函数导数的解析解 函数的导数和高阶导数 df (r) d"f(x dx d 格式:y=dif(fun,x)%求导数 y=dif(fun,xn)%求n阶导数 例:函数f(x)=sinx/(x2+4x+3)求出f( 阶导数: > syms x; f=sin(x)/(x 2+4*x+3) >>f1=diff(f): pretty(f1)
4.1.2 函数导数的解析解 • 函数的导数和高阶导数 – 格式： y=diff(fun,x) %求导数 y= diff(fun,x,n) %求n阶导数 • 例： 一阶导数： >> syms x; f=sin(x)/(x^2+4*x+3); >> f1=diff(f); pretty(f1)
cos(x) sin(x)(2 X+ 4) x+4x+3(x+4x+3) 原函数及一阶导数图: X1=0:01:5 03 y=subs(f,x, x1) 026 y1=subs(fl, x,x1) >>plot(x1,y2x1,y1,:2) 0.15 0.1 更高阶导数: tic, diff(f, x, 100); toc elapsed time 0.06 4.6860
cos(x) sin(x) (2 x + 4) --------------- - ------------------- 2 2 2 x + 4 x + 3 (x + 4 x + 3) 原函数及一阶导数图： >> x1=0:.01:5; >> y=subs(f, x, x1); >> y1=subs(f1, x, x1); >> plot(x1,y,x1,y1,‘:’) 更高阶导数： >> tic, diff(f,x,100); toc elapsed_time = 4.6860
原函数4阶导数 > f4 =diff(f, x, 4): pretty (f4) sin(x) cos(x)(2x+ 4) sin(x)(2 X +4 2 2 x+4x+3(X+4x+3) (x+4x+3) sin(x) cOs(x)(2X+4)co(x)(2X+4) +12 24 -+48 2 2 +4x+3)(X+4x+3 (x+4x+3) sin(x)(2 x+ 4) sin(x)(2 X+ 4 sin(x) +24 72- -+24 2 (x+4x+3) (x+4x+3)(x+4x+3)
• 原函数4阶导数 >> f4=diff(f,x,4); pretty(f4) 2 sin(x) cos(x) (2 x + 4) sin(x) (2 x + 4) ------------ + 4 ------------------- - 12 ----------------- 2 2 2 2 3 x + 4 x + 3 (x + 4 x + 3) (x + 4 x + 3) 3 sin(x) cos(x) (2 x + 4) cos(x) (2 x + 4) + 12 --------------- - 24 ----------------- + 48 ---------------- 2 2 2 4 2 3 (x + 4 x + 3) (x + 4 x + 3) (x + 4 x + 3) 4 2 sin(x) (2 x + 4) sin(x) (2 x + 4) sin(x) + 24 ----------------- - 72 ----------------- + 24 --------------- 2 5 2 4 2 3 (x + 4 x + 3) (x + 4 x + 3) (x + 4 x + 3)
多元函数的偏导 已知二元函数f(x,y,求m 格式:f=diff(dif(f,x,m),y,n n f=diff(diff(f, y, n), x, m) 例:已知z=f(x,y)=(x2-2xe-2-y2-x求其偏导数并 用图表示 > syms x y z=(x 2-2*x)*exp(-x2-y 2-x*ky) > zx=simple(diff(z, x)) ZX exp(x2y^2-x米y)*(-2*x+2+2*x3+x2米y-4*x2-2*x米y)
• 多元函数的偏导： –格式： f=diff(diff(f,x,m),y,n) 或 f=diff(diff(f,y,n),x,m) • 例： 求其偏导数并 用图表示。 >> syms x y z=(x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y); >> zx=simple(diff(z,x)) zx = -exp(-x^2-y^2-x*y)*(-2*x+2+2*x^3+x^2*y-4*x^2-2*x*y)
